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专题 10 直线和圆的方程
易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问
题）
距离问题
技巧总结
①两点间的距离：已知 则
②点到直线的距离:
③两平行线间的距离：两条平行直线 与 的距离公式
．
易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线x,y前的系数统一，然后代入公式求算.
例．已知直线 ， ，则（ ）
A．直线 过定点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时， 之间的距离为
变式1．曲线 在点 处的切线与其平行直线l的距离为 ，则直线l的方程可能为（ ）
A． B．C． D．
变式2．已知直线 ： ， ： ，圆C： ，下列说法正确的是（ ）
A．若 经过圆心C，则
B．直线 与圆C相离
C．若 ，且它们之间的距离为 ，则
D．若 ， 与圆C相交于M，N，则
变式3．已知直线 ，则（ ）
A．直线 过定点
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，两直线 之间的距离为1
1．若直线 与 之间的距离为 ，则a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
2．若两条直线 ， 与圆 的四个交点能构成正方形，则
（ ）
A． B． C． D．4
3．两条平行直线 和 间的距离为 ，则 ， 分别为（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．两条平行直线 与 之间的距离（ ）
A． B． C． D．7
5．已知直线 和 与圆 都相切，则圆 的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线 与 平行，则 与 间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直线 ： （ ）， ： ，若 ，则 与 间的距
离为（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知直线 ， ，若 ，则 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．若两条平行直线 与 之间的距离是 ，则m+n=
A．0 B．1 C．-2 D．-1
10．已知直线 ，则两条直线之间的距离为A． B． C． D．
易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的
考点）
直线方程的五种形式的比较如下表：
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴
斜截式 k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴
两点式 ， 是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴
a是直线在x轴上的非零截距，b是直 不垂直于 x 轴和 y
截距式
线在y轴上的非零截距 轴，且不过原点
一般式 A、B、C为系数 任何位置的直线
给定一般式求截距相等时，具体方案如下：
C
{ 令x=0⇒ y=−
B C C
Ax+By+C=0⇒ ⇒− =− ⇒A=B
C A B
令y=0⇒x=−
A
形如：第一种情况
Ax+By+C=0⇒C=0时，横纵截距皆为0
第二种情况：
截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型
易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解
例．已知直线 过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等
（1）求直线 的一般方程；
（2）若直线 在x，y轴上的截距不为0，点 在直线 上，求 的最小值．变式1．已知直线 过点 且在 轴上的截距相等
(1)求直线 的一般方程；
(2)若直线 在 轴上的截距不为0，点 在直线 上，求 的最小值．
变式2．已知直线 ： ，直线 ： ，其中a，b均不为0.
(1)若 ，且 过点 ，求a，b；
(2)若 ，且 在两坐标轴上的截距相等，求 与 之间的距离.
变式3．已知直线 ，直线
(1)若直线 在两坐标轴上的截距相等，求实数 的值；
(2)若 ，求直线 的方程.
1．已知圆 为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截
距相等时，l的方程为（ ）
A． B．
C． D．2．“直线 在坐标轴上截距相等”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0
4．下列说法正确的是（ ）
A．若直线 与直线 互相垂直，则
B．已知 ， ，点 ， 到直线 的距离分别为 和 ，则满足条件的直线 的条数是2
C．过 ， 两点的所有直线的方程为
D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
5．过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是
A． B． 或
C． D． 或
6．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“ ”的否定是“ ”
B．命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
C．“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件
D．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题7．与圆 相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
8．已知直线 过点 ，且与 轴、 轴分别交于A，B点，则（ ）
A．若直线 的斜率为1，则直线 的方程为
B．若直线 在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为
C．若M为 的中点，则 的方程为
D．直线 的方程可能为
9．已知直线 ： ， ： ，则下列结论正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， 在x轴上的截距相等则
D． 的倾斜角不可能是 倾斜角的2倍
10．直线 与圆 相切，且 在 轴、 轴上的截距相等，则直线 的方程可能是
A． B．
C． D．
易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问
题）技巧总结
(x ,y )
第一类：求过圆上一点 0 0 的圆的切线方程的方法
正规方法：
k
第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率
1
−
k
第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为
y−y =k(x−x )
第三步：利用点斜式 0 0 求出切线方程
注意：若
k=0
则切线方程为
x=x
0，若
k
不存在时，切线方程为
y=y
0
秒杀方法：
x2 +y2 =r2 P(x ,y ) x x+y y=r2
①经过圆 上一点 0 0 的切线方程为 0 0
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 P(x ,y ) (x −a)(x−a)+(y −b)(y−b)=r2
②经过圆 上一点 0 0 的切线方程为 0 0
x2 +y2 +Dx+Ey+F=0 P(x ,y )
③经过圆 上一点 0 0 的切线方程为
x+x y+y
x x+y y+D⋅ 0 +E⋅ 0 +F=0
0 0 2 2
(x ,y )
第二类：求过圆外一点 0 0 的圆的切线方程的方法
方法一：几何法
y−y =k(x−x ) kx−y−kx +y =0
第一步：设切线方程为 0 0 ，即 0 0 ，
k
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得 ，切线方程即可求出
方法二:代数法
y−y =k(x−x ) y=kx−kx +y
第一步：设切线方程为 0 0 ，即 0 0，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由 Δ=0 可求得 k ，切线方程即可求出
k
注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的 只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可得数形结合求出.
k
第三类：求斜率为 且与圆相切的切线方程的方法
方法一：几何法
y=kx+m kx−y+m=0
第一步：设切线方程为 ，即
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得m，切线方程即可求出.
方法二:代数法
y=kx+m
第一步：设切线方程为 ，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由 Δ=0 可求得m，切线方程即可求出
方法三：秒杀方法
x2 +y2 =r2 k y=kx±r√k2 +1
已知圆 的切线的斜率为 ，则圆的切线方程为
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 k y=kx±r√k2 +1+b−ka
已知圆 的切线的斜率为 ，则圆的切线方程为
工具：点与圆的位置关系判断
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 (r>0)
的标准方程为
圆
x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2 +E2 −4F>0)
一般方程为 .
(x −a) 2 +(y −b) 2 =r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F=0
点在圆上： 0 0 0 0 0 0
①
(x −a) 2 +(y −b) 2 >r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F>0
0 0 0 0 0 0
②点在圆外：
(x −a) 2 +(y −b) 2 <r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F<0
0 0 0 0 0 0
③点在圆内：
易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理
(1 √3)
，
x2 +y2 =1 2 2
例、圆的方程为 ，过点 的切线方程(3 √3 )
， −1
x2 +y2 −4x+2 y+4=0 2 2
变形1、圆的方程为 ，过点 的切线方程
x2 +y2 −4x+2 y+4=0 (1，1)
变形2、圆的方程为 ，过点 的切线方程
2 2
变形3、圆的方程为
(x−2) +(y+1) =1
，切线斜率为1方程为
1．在平面直角坐标系中，过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点 在圆 上，过 作圆 的切线 ，则 的倾斜角为 （ ）
A． B． C． D．
3．已知圆 与直线 ，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与
圆C恰有1个公共点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．4．已知直线 与圆 ，过直线 上的任意一点 向圆 引切
线，设切点为 ，若线段 长度的最小值为 ，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆 ，直线 ，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数k，使得直线l与圆C相切
B．若直线l与圆C交于A，B两点，则 的最大值为4
C．当 时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
D．当 时，对任意 ，曲线 恒过直线 与圆C的交点
6．过圆 上一点P作圆 的两条切线，切点分别为A，B，则（ ）.
A．
B．
C．
D．直线AB与圆 相切
7．已知圆 的方程为 ，点 ，点 是 轴上的一个动点，过点 作圆 的两条切线，
切点分别为 ，则（ ）
A．存在切点 使得 为直角 B．直线 过定点C． 的取值范围是 D． 面积的取值范围是
8．已知直线 与圆 ，下列说法正确的是（ ）
A．所有圆 均不经过点
B．若圆 关于直线 对称，则
C．若直线 与圆 相交于 、 ，且 ，则
D．不存在圆 与 轴、 轴均相切
9．已知 ，过点 作圆 的切线，切点分别为 ，则下列命题中真命题是
（ ）
A．
B．直线 的方程为
C．圆 与 共有4条公切线
D．若过点 的直线与 交于 两点，则当 面积最大时， .
10．已知点 为直线 与 轴交点， 为圆 上的一动点，点 ，
则（ ）
A． 取得最小值时， B． 与圆 相切时，
C．当 时， D． 的最大值为易错点四：忽略斜率是否存在（与圆的代数结构有关的最值问题）
处理此类问题宗旨：截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值
①截距式：求形如
mx+ny
的最值转化为动直线斜率的最值问题
y−m
②斜率式：求形如
x−n
的最值转化为动直线截距的最值问题
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2
③距离式：求形如 的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
y
形如：若
P(x,y)
是定圆
C:(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2
上的一动点，则求
mx+ny
和
x
这两种形式的最值
思路1：几何法
|ma+nb−t|
d= ,
①
mx+ny
的最值，设
mx+ny=t
，圆心
C(a,b)
到直线
mx+ny=t
的距离为
√m2 +n2
由
d=r
即可解得两个t值，一个为最大值，一个为最小值
y y
② x 的最值： x 即点P与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值
思路2：代数法
① mx+ny 的最值，设 mx+ny=t ，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于 0 ，求得t的两
个值，一个为最大值，一个为最小值.
y y
t=
② x 的最值：设 x ，则 y=tx ，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于 0 ，求得t的两个
值，一个为最大值，一个为最小值.
易错提醒：截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要
注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在
例、已知 为圆 ： 上任意一点.(1)求 的最大值；
(2)求 的最大值和最小值；
(3)求 的最大值和最小值.
变形1、如果实数 ， 满足 ，求：
（1） 的最大值与最小值；
（2） 的最大值与最小值；
（3） 的最大值和最小值．
变形2、已知实数 ， 满足方程 .
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求 的最大值和最小值；
（3）求 的最大值和最小值.
变形3、已知实数 满足 ．
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求 的最大值和最小值．1． 可以转化为平面上 点与点 之间的距离．结合上述观点，可得
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数 满足曲线 的方程 ，则下列选项错误的是（ ）
A． 的最大值是
B． 的最大值是
C． 的最小值是
D．过点 作曲线 的切线，则切线方程为
3．点 到直线 的最大距离为（ ）
A．2 B． C． D．1
4．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转
化为几何问题加以解决，如： 可以转化为平面上点 与点 的距离．结合上述
观点，可得 的最小值为（ ）
A． B． C． D．5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转
化为几何问题加以解决，如： 可以转化为点 到点 的距离，则
的最小值为（ ）．
A．3 B． C． D．
6．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”
事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与 相关的代数问题，可
以转化为点 与点 之间的距离的几何问题.已知点 在直线 ，点 在直
线 上，且 ，结合上述观点， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
7．已知 为抛物线 的准线上一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与
三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性
质，.则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．9．已知实数 满足 ，那么 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化
为几何问题加以解决，如： 可以转化为平面上点 与点 的距离.结合上述
观点，可得 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
