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易错点 09 直线与圆
易错点1： 直线的方程
若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参
数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。
注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的
运用可有效地简化运算。
易错点2：圆的方程
(1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；
(2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.
易错点3：直线与圆相离
直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合
来解决.
易错点4：直线与圆相切
直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常
见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与
圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.
易错点5：直线与圆相交
直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角
形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
1．已知 ， 分别为 轴， 轴上的动点，若以 为直径的圆与直线 相切，
则该圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 为直径， ，
点必在圆上，
由点 向直线 作垂线，垂足为 ，
当点 恰好为圆与直线的切点时，圆的半径最小，
此时圆直径为 到直线 的距离 ，
即半径 ，所以圆的最小面积 ，
故选：C.
2．已知直线 与圆 相交于A，B两点 ，则k＝
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】圆 的圆心 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
而 ，所以 ，解得： .
故选：B.
3．已知圆 经过点 ，半径为2，若圆 上存在两点关于直线 对称，则
的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】设圆心的坐标为 ，则 ，
又圆 上存在两点关于直线 对称，则圆心必在直线上，
所以 与 有交点，则 ，解得 ，
故 的最大值为 .
故选：D
4．已知直线 ： 恒过点 ，过点 作直线与圆C：
相交于A，B两点，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【详解】由 恒过 ，
又 ，即 在圆C内，要使 最小，只需圆心 与 的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由 ，圆的半径为5，
所以 .
故选：A
5．已知圆C过圆 与圆 的公共点．若圆
， 的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题，圆 ， 的公共弦为 和 的两式
相减，化简可得 ，又 到 的距离
，故公共弦长为 ，故圆C的半径为 ，故圆C的面积为
故选：B
1．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，圆心 到直线 的距离均为 ；
圆心 到直线 的距离均为
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B.
2．直线 与圆 相切，则实数 等于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】圆的方程即为（ ，圆心 到直线的距离等于半径
或者
故选C．
3．过点（ ，0）引直线ι与曲线 交于A,B两点 ，O为坐标原点，当△AOB的
面积取最大值时，直线ι的斜率等于
A． B．- C． D-
【答案】B
【详解】画图可知过点（ ，0）的直线与曲线相切时斜率为-1,所以相交成三角形的直线
斜率在（-1,0）之间，故选B.
考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查应用能力和计算能力.
4．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形
ABCD的面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝10，则圆心坐标为M
（1,3），半径为 .由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则|AC|＝ .BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且AC⊥BD，E为AC与BD的
交点，则由垂径定理可是|BD|＝ .
从而四边形ABCD的面积为 |AC||BD|＝ × × ＝ .故选B.
考点：圆的弦长及四边形的面积.
5．若过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设直线方程为 ，即 ，直线 与曲线 有公共
点，
圆心到直线的距离小于等于半径 ，
得 ，选择C
另外，数形结合画出图形也可以判断C正确．
一、单选题
1．已知 ， 分别为 轴， 轴上的动点，若以 为直径的圆与直线 相切，
则该圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 为直径， ，点必在圆上，
由点 向直线 作垂线，垂足为 ，
当点 恰好为圆与直线的切点时，圆的半径最小，
此时圆直径为 到直线 的距离 ，
即半径 ，
所以圆的最小面积 ，
故选：C.
2．若直线 与圆 相交于 两点， 为坐标原点，则
（ ）
A． B．4 C． D．－4
【答案】D
【详解】由题意得圆 的圆心 到直线 的距离为
，
所以 ，所以 ，
所以
，
故选：D
3．过直线 上的点作圆 的切线，则切线长的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆心 到直线 的距离 ，
所以切线长最小值为 .故选：B
4．不论k为何值，直线 都与圆相交，则该圆的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ， ，∴直线恒过点P（—4，1） ，
对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为： ，
即P点不在该圆内；
对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为 ，
故点P在该圆内；
对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为 ，
故点P不在该圆内；
对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为 ，
点P该在圆上，可能相切也可能相交；
故选：B.
5．已知直线 与x轴和y轴分别交于A、B两点，动点P在以点A为圆心，2
为半径的圆上，当 最大时， APB的面积为（ ）
A． B．1 △ C．2 D．
【答案】C
【详解】由已知 ， 圆A的方程为 ，当 最大时，
此时直线PB是圆 的切线，即直线PB的方程为： 或 ，
当直线PA的方程为 时， APB的面积为 ，
△
当直线PA的方程为 时， APB的面积为 ，
△
故选：C．
6．当圆 截直线 所得的弦长最短时，m的值为（ ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】C
【详解】直线 过定点 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
当 时，圆 截直线 所得的弦长最短，
由于 ，所以 ，即 .
故选：C
7．过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若
PA⊥PB，则点P到直线 的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【详解】∵过圆C: 外一点 向圆C引两条切线 ，
切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以 ，
所以 点的轨迹E是以C(1,0)为圆心， 为半径的圆，
圆心 到直线 的距离 ，
所以点P到直线 的最短距离为 ，
故选：B
8．已知A，B为圆 上的两动点， ，点P是圆
上的一点，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】设M是AB的中点，因为 ，所以 ，
即M在以O为圆心，1为半径的圆上，
，所以 ．
又 ，所以 ，
所以 ．
故选：C.
二、多选题
9．已知直线 ，圆 ，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，
则（ ）
A．直线l与圆O相切 B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为C．存在点M，使 D．存在点M，使 为等边三角形
【答案】BD
|−4|
【详解】对于A选项，圆心到直线的距离d= =2√2>√2=r，所以直线和圆相离，
√12+12
故A错误；
对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为 ，故B正确；
对于C选项，当OM⊥l时， 有最大值60°，故C错误；
对于D选项，当OM⊥l时， 为等边三角形，故D正确.
故选：BD.
10．已知圆 和圆 的交点为 ， ，则（ ）
A．圆 和圆 有两条公切线
B．直线 的方程为
C．圆 上存在两点 和 使得
D．圆 上的点到直线 的最大距离为
【答案】ABD
【详解】解：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得 ，即得公共弦 的方程为 ，故B
正确；
对于C，直线 经过圆 的圆心 ，所以线段 是圆 的直径，故圆 中不存在比
长的弦，故C错误；
对于D，圆 的圆心坐标为 ，半径为2，圆心到直线 的距离为
，所以圆 上的点到直线 的最大距离为 ，D正确.
故选：ABD.
三、解答题
11．已知 的三个顶点分别为 ， ， ，求：
(1)AB边中线所在的直线方程；
(2) 的外接圆的方程.
【答案】(1) ；
(2) .（1）
设AB中点为 ， ， ， ，直线CM斜率 ，由点斜式得AB
边中线方程为： .
（2）
设 外接圆的一般方程为： ，把 ，
， 三点坐标代入圆的一般方程得：
，解得 ，
所求圆的一般方程为： ，化为标准方程为： .
12．圆 的圆心为 ，且过点 ．
(1)求圆 的标准方程；
(2)直线 ： 与圆 交 两点，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2) 或
（1）
解：因为圆 的圆心为 ，且过点 ,
所以半径 ，
所以，圆 的标准方程为
（2）
解：设圆心 到直线 的距离为 ，因为
所以 ，解得
所以，由圆心到直线距离公式可得 ．
解得 或 ．
