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专题 11. 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型
费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考
试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................1
模型1.费马点模型.........................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................19
模型1.费马点模型
皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因
为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为
人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。
费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，
MA+MB+MC的值最小。注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就
是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN．
∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN，
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
图1 图2 图3
法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵ ，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，
设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2）
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（2024·江苏八年级阶段练习）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．
如 果 是 锐 角 （ 或 直 角 ） 三 角 形 ， 则 其 费 马 点 P 是 三 角 形 内 一 点 ， 且 满 足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．如图，在边长为6的
正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩
形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为
．
解：设BM＝x，则BN＝6﹣x，∵MN2＝BM2+BN2，
∴MN2＝x2+（6﹣x）2＝2（x﹣3）2+18，∴当x＝3时，MN最小，此时Q点离AD最近，
∵BM＝BN＝3，∴Q点是AC和BD的交点，∴AQ＝DQ＝ AD＝3 ，
过点Q作QM′⊥AD于点M′，在△ADQ内部过A、D分别作∠M′DP＝∠M′AP＝30°，则∠APD＝
∠APQ＝∠DPQ＝120°，点P就是费马点，此时PA+PD+PQ最小，
在等腰Rt△AQD中，AQ＝DQ＝3 ，QM′⊥AD，
∴AM＝QM′＝ AQ＝3，故cos30°＝ ，解得：PA＝2 ，则PM′＝ ，
故QP＝3﹣ ，同法可得PD＝2 ，则PA+PD+PQ＝2× +3﹣ ＝3+3 ，
∴点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为3+3 ，故答案为3+3 ．
例2．（2023·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形 的对角线 上一动点，若
，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】如图所示，将 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ∴ 是等边三角形
∴ ∴∴当点 ， ， ， 四点共线时， 的值最小，即为 的长度，
∵菱形 的边长为4∴
∵ ， ∴ ∴
∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
例3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点
E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【答案】
解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为
等边三角形，∴AM＝MM’，∴MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，
由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E＝DG+GE＝4+3 ，
∴MA+MD+ME的最小值为4+3 ．
例4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形 是正方形， 是等边三角形， 为对角线 （不含 点）上任意一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
(1)求证： ；(2)当 的最小值为 时，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析(2)正方形的边长为
【详解】（1）证明， 是等边三角形， ， ．由旋转的性质可得 ，
．即 ， ．
（2）解：连接 ，由（1）知， ， ，
， ， 是等边三角形． ． ．
根据“两点之间线段最短”可知，若 、 、 、 在同一条直线上时， 取得最小值，最
小值为 ．过 点作 交 的延长线于 ，
．设正方形的边长为 ，则 ， ．
在 中， ， ．
解得 ， （舍去负值）． 正方形的边长为 ．例5．（2024上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设 是边长为1的正方形 内的两个点，则
的最小值为 ．
【答案】 /
【详解】解：将 绕点A顺时针旋转 至 ；将 绕点D逆时针旋转 至 ，
∴ ， ， ， ，
∴ 和 都是等边三角形，∴ ， ， ，
∴ ，
∴当 六点共线时 的值最小．
连接 ，∵ ， ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ 在 的垂直平分线上，同理可证 ，∴ 在 的垂直平分线上，
∵四边形 是正方形，∴ ，∴ 垂直平分 ，
∴ ，四边形 是矩形，∴ ， ，
∴ ，同理可求 ，∴ ，
即 的值最小为 ．故答案为： ．
例6．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图， 中， ，点 为边 上一点．(1)如图1，若 于点 ， ，求 的长；(2)如图2，已知 ，延长 至点 ，
以 、 为边作 ，连接 、 ，若 于点 ，求证： ；(3)如图3，已
知 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 ，在线段 上求一点 ，使得 的
值最小，请直接写出最小值．
【答案】(1) (2)见解析(3)
【详解】（1）解： ， ， ，
， ， ， ；
（2）证明：如图，在线段 上取一点 ，使 ，
于点 ， ， ， ，
，
， ， ， ，
， ， ，
四边形 是平行四边形， ， ， ，
， ， ， ， ， ；
（3）解： 在 中， ， ，将 沿直线 翻折，使点 落点 处，， ，
如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ， ， ， ，
，
连接 ，则 ，
当 、 、 、 四点在一条直线上时， 的值最小，最小值为 的长度，
作 交 的延长线于点 ，
， ，
， ， ， ，
， ，
， 的最小值为 ．
例7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴，
轴交于 ， 两点，点 为 中点，四边形 和四边形 都是正方形．
(1)求 的长；(2)如图②，连接 ， ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，求证：
；
(3)如图③， ，点 在 边上，且 ， 为 的中点，点 为正方形 内部一点，连接
， ， ，请直接写出 的最小值．【答案】(1) (2)见详解(3)
【详解】（1）解：对于直线 ，当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
∴ ， ，∴ ，
∵点 是 的中点， ，∴ ；
（2）证明：过点 作 交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，
∵四边形 为正方形，∴ ， ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，同理 ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ；
（3）解：将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ，∴ ， ，
∵ ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
∴当 共线时， 有最小值，最小值为 的长，
在正方形 中， ， ， 为 的中点， ∴ ， ，∴ ，
在 中， ，∴ 的最小值为 ．1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图， 已知菱形 的边长为8 ，P是对角线 上的一动点，
且 ， 则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作 于E点，连接 ，根据垂线段最短，此时 最短，即 最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出 的长，进而得出结论．
【详解】解：如图，作 于E点，连接 ，∵菱形 中， ，
∴ ， 为等边三角形， ， 互相平分，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
根据垂线段最短，此时 最短，当A，P，E三点共线时，即 最小，
∵菱形的边长为8， 为等边三角形，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 最小值为 ，故答案为：D．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，掌握菱
形的性质，垂线段最短是解题关键．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2 ，BC＝6，P为矩形内一点，连接
PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）
A．4 +3 B．2 C．2 +6 D．4
【答案】B
【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF，
∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴tan∠ACB= = ，∴∠ACB=30°，AC=2AB= ，
∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴AE= = .故选B．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形， B 6，且∠ABC=60° ，M是菱形内
任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． =
【答案】
【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，
∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当
A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，
∠BAH=30°，∴BH= AB=3，AH= BH= ，∴AE=2AH= ．故答案为 ．4．（23-24九年级上·陕西西安·期中）正方形 的边长为4, 为正方形内任意一点，连接 、 、
, 的最小值为 .
【答案】
【详解】解：如图，以A为中心，逆时针旋转△APD至△AP´D´，则△PAP´为等边三角形，则
PA+PB+PD=PB+PP´+P´D´，∴当点B、P、P´、D´在同一条直线上时，PB+PP´+P´D´值最小，最小值为线段BD
´长.作直线D´M⊥AB交BA延长线于M点，
∵AD´=AD=4，∠D´AM=30°，∴D´M=2，∴根据勾股定理得，AM= ，∴BM=4+ ，∴根据勾股定理得，BD´= = = .
∴ 的最小值为 .故答案为：
5．（2024·重庆·九年级期中）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为
，正方形的边长为_______．
解：以A为旋转中心，将△ABE顺时针旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长
线于P点，如图，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，
∴△ANE为等边三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC，
当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC＝ ，
∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM为等边三角形，
∴∠MBC＝150°，则∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，设BC＝x，PM＝
所以 所以x＝2，∴BC＝2，即正方形的边长为2．
6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形 内部一点，若点P到A，B，C三点的距离
之和的最小值为 ， ，则这个矩形面积的最小值是 ．【答案】
【详解】解：如图，将 以 为中心，顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ，
由旋转得 ， ， ， ，
是等边三角形， ， ，
当 ， ， ， 共线时， 的值最小，即等于 的值， ，
过点 作 的垂线，交 延长线于点 ，设 ，
，四边形 是矩形， ， ，
， ，
， ， ， ，
， ，解得 ，
， ， ，故答案为： ．
7．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、
被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不
在一条直线上的三个点 、 、 ，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 的位置．托里拆利成功地
解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点 、 、 距离之和最
小的点称为 的费马—托里拆利点．
【问题解决】证明：如图②，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
， ， 为等边三角形， ，
点 可看成是线段 绕 点逆时针旋转 而得的定点， 为定长．
当 四点在同一直线上时， 最小．
（1）观察图②中 、 和 ，试猜想这三个角的大小关系．（2）【类比探究】如图③，在直角三角形 内部有一动点 ， ， ，连接 ，
， ，若 ．求 的最小值；
（3）【拓展应用】已知正方形 内一动点 到 三点的距离之和的最小值为 ，求出此
正方形的边长．
【答案】（1） ，理由见详解（2） （3）
【详解】（1）解： ；理由如下： 是等边三角形， ，
四点在同一直线上， ， ，
由旋转得： ， ， ；
（2）解：如图，由【问题解决】同理将 绕 点逆时针旋转 得到 ，
当 四点在同一直线上时， 最小，
此时 ，由旋转得： ， ，
是等边三角形， ， ， ， ，
， ， ，
在 中 ，故 最小值为 ；
（3）解：如图， 绕 点逆时针旋转 得到 ，过 作 交 的延长线于 ，
当 四点在同一直线上时， 最小，此时 ，由旋转得： ， ，
，设正方形的边长为 ，则有 ， ，
， ，
在 中， ， ，解得： ， （舍去），
，故正方形的边长为 ．
8．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出
(1)如图，点 、 是直线 外两点，在直线 上找一点 ，使得 最小．
问题探究：(2)在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 度数的大小．
问题解决：(3)如图，矩形 是某公园的平面图， 米， 米，现需要在对角线 上修
一凉亭 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．问：是否存在这样的点 ？若存在，请画出点
的位置，并求出 的和的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析 (2)
(3)对角线 上不存在这样的点 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小，理由见解析
【详解】（1）解：如图1，连接点 ，与直线 交于点 ，点 即为所求．
（2）解：如图2，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质， ， ， ，
是等边三角形， ， ，
， ， ， ，；故 ；
（3）解：如图，连接 ，设在 内一点 ，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质， ， ， ， ， ， ，
、 是等边三角形， ， ，
根据两点间线段距离最短得：当 时最短，
是等边三角形， 以 为一边作等边三角形 ，
最小值为 的长，此时点 在线段 上， 点 为 、 的交点．
若点 与点 重合，即 在对角线 上，则点 为 与 的交点，此时点 （E）与点 重合，
显然不符合题意，故点 不在对角线 上，
即对角线 上不存在这样的点 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．
9．（2023·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动
点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；
(2)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、
BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．
【答案】(1) (2
（1）解：法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°
∴ ， ∴
∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°， ∴∴ BEF为等边三角形∴BF＝EF＝ BC∴CF＝EF＝5
△
在 中， ∴CG＝ CD＝5，DG＝ CG＝5
∵FG＝CF+CG＝10∴DF＝ ＝5
法二：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°∴ ，
∵AF⊥BC∴∠AFB＝90° 在 中 ，
∵ 是 的中点 ∴ ∵ ∴ 是等边三角形
∵EF＝5，EF＝BE＝ AB ∴ ∴AF＝5
在 中， DF＝ ＝5 ∴ 的值为 ．
（2）解：如图a 在 ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到 ABP．
以点B为旋转中心，将△ ABP逆时针旋转 60°，得到 EBD △
∴BD＝BP，∴△DBP 为△一个等边三角形∴PB＝PD △
∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC∴当E、D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小．
如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．
∵将 APC绕点C顺时针旋转60°，得到 DGC，∴△APC≌△DGC，∴CP＝CG，∠PCG＝60°，
∴△P△CG是等边三角形，∴PG＝CG＝CP△，∠GPC＝∠CGP＝60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝ ∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DG＝CG，∴BP＝PG＝GD．
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，
△
∴OC＝ ，∴BO= ∴BD＝2BO＝ ，∴BP＝ BD＝ 即当PA+PB+PC值最小时PB的长为 ．
【点睛】本题考查了菱形，特殊的直角三角形，勾股定理，全等三角形，等腰三角形，和的最值，旋转，
二次根式等知识点．解题的关键是灵活综合运用菱形的性质，旋转等知识．
10．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形 是正方形， 是等边三角形，M为对角
线 （不含B点）上任意一点，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ．
(1)求证： ；(2)如图1，当M点在何处时， 的值最小．(3)如图2，在 中，
， ， ．若点 是 内一点，直接写出 的最小值．
【答案】(1)见解析(2)当E，N，M，C在同一直线上时(3)
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，∴ ,
∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ；
（2）连接 ,当M点位于 与 的交点处时， 的值最小,连接 ，
由（1）得 ，∴ ，∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，∴ ，
根据两点之间线段最短，当点 在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ．
（3）以点 为旋转中心，顺时针旋转 到 ，旋转角是 ，连接 、 ，如图所示，
则 ， ， ， 是等边三角形，
， ， ，
当 ， ， ， 四点共线时， 最小，最小值就是 的值，， ， ， ， ， ，
， ．
11．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，平行四边形 的顶点 、 在 轴上，点 在
轴， ， ， ．若实数 、 、 满足 ．
(1)求点 ， ， ， 的坐标．(2)如图2，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 ，旋转得
， 轴正半轴上是否存在一点 ，能使以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图3， ， 为 内一点，连接 、
、 ，直接写出 的最小值为________．
【答案】(1) (2)存在， ，理由见详解(3)
【详解】（1）解： ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）解：存在，点 ，理由如下，如图所示，在 中， ，∴ ，
∵点 在 的正半轴上，∴当 轴时，四边形 是平行四边形，设 与 交于点 ，
∴ ， 轴，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）解： ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，即 ，∴ 是直角三角形， ，
如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，延长 到 ，使得 ，延长
到 ，使得 ，连接 ，∴ ，∴ ，
∵点 分别是 的中点，∴ ，即 ，∴ ，
∵ ， ，∴ 是等边三角形，，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，在 中， ，
当点 在线段 上时， 的值最小，∵ ，∴ ，且 ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，即点 三点共线，
在 中， ， ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
12．（23-24九年级上·陕西西安·开学考试）问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何
图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明
白显现，题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1， 是边长为 的等边三角形， 为 内部一点，连接 、 、 ，求
的最小值．
问题解决：如图2，将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 、 ，记 与 交于点 ，
易知 ， ，由 ， ，可知 为等边三角形，
有 ．故 ，因此，当 、 、 、 共线时， 有
最小值是______．
学以致用：如图3， 是边长为 的正方形 内一点， 为边 上一点，连接 、 、 ，求
的最小值．
【答案】 ；
【分析】问题解决：将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 、 ，证明 为等边三角形，
由等边三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质可得出答案；学以致用：将 绕点 逆时针
旋转 ，得到 ，则易知 是等边三角形，转化为两定点之间的折线，再利用“垂线段最短”求
最小值．
【详解】解：问题解决：将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 、 ，， ， ，
为腰长为 ，顶角为 的等腰三角形，如下图，在 中，过点 作 ，垂足为 ，
， ，
， ，
， ， 是等边三角形， ，
，
当 、 、 、 共线时， 有最小值，最小值为 ，故答案为： ；
学以致用：如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
， ， ， 为等边三角形， 为等边三角形，
，
作 于点 ，交 于点 ， ， ， ，
，当点 、 、 、 四点共线且垂直 时， 有最小值为
，
， ， 的最小值为 ．
13．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务
费马点的思考
问题 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的
背景 一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段 行转化：
如图：把 绕点A逆时针旋转60度得到 ，连接 ，这样就把确定 的
最小值的问题转化成确定 的最小值的问题了．当 ， 四点共线时，线段
的长为所求的最小值，容易证明 ，此时点P为 的“费马
点”．
素材1
图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活
区，正方形边长为 ，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通
办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．
素材2
任务 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明：
感悟证明定理
一
在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（ ）
任务
初步探索位置
二
A． 内的区域 B． 内的区域
任务 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最
拟定恰当方案
三 少，最少费用为多少？
【答案】任务一：见解析；任务二：A；任务三：研发区E应建在 内部，且满足
时花费最少，最少费用为 元
【详解】解：任务一：如图，由旋转得： ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ；任务二：在素材2中，由题意得：要找一点E到A、B、C三点距离和最小，
研发区E建在 内的区域比较合适，故选：A；
（3）如图， 把 绕点B逆时针旋转60度得到 ，则 ，
连接 ， 为等边三角形， ，
绕点B逆时针旋转60度得到 ， ，
， ，
当且仅当 在 上时， 的值为最小，为 ，
此时，点E在 内部，且满足 ，
过点 作 ，交 延长线于点H，
在 中， ， ， ，
在 中， ，
最小值为 ，此时费用为 元．
