易错点15直线和圆答案-备战2023年高考数学易错题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习易错题（含解析）

易错点 15 直线和圆 易错点1： 直线的方程 若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参 数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。 注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的 运用可有效地简化运算。 易错点2：圆的方程 (1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开； (2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单. 易错点3：直线与圆相离 直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合 来解决. 易错点4：直线与圆相切 直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常 见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与 圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得. 易错点5：直线与圆相交 直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角 形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理. 题组一：直线的方程 1.【2016·上海文科】已知平行直线 ，则 的距离 _______________． 【答案】 【解析】利用两平行线间距离公式得 2.【2014四川】设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知直线 过定点 ，直线 过定点 ，且 两条直线相互垂直，故点 在以 为直径的圆上运动，故 ．故选B． 【叮嘱】对于直线过定点，有以下常用结论： 若直线 ： （其中 为常数），则直线 必过定点 ；若直线 ： （其中 为常数），则直线 必过定点 ； 若直线 ： （其中 为常数），则直线 必过定点 ； 若直线 ： （其中 为常数），则直线 必过定点 ； 若直线 ： （其中 为常数），则直线 必过定点 ； 若直线 ： （其中 为常数），则直线 必过定点 。 3.【2012浙江】设 ，则“ ”是“直线 ： 与直线 ： 平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】“直线 ： 与直线 ： 平行”的充要条件是 ，解得， 或 ，所以是充分不必要条件。故选： . 题组二：圆的方程 4.【2020年北京卷】已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为 （ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A. 【解析】设圆心 ，则 ，化简得 ， 所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆， 所以 ，所以 ， 当且仅当 在线段 上时取得等号，故选：A. 5．【2018·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆 的方程为__________． 【答案】【解析】设圆的方程为 ，圆经过三点（0，0），（1，1）， （2，0）， 则 ，解得 ，则圆的方程为 ． 6．【2015北京文】圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得圆的半径为 ，则圆的标准方程为 ． 题组三：直线与圆相交 7.【2021北京卷9】曲线 ，直线 ， 变化时，直线 截曲线 的 最小弦长为2，则 的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆的性质知，当 时，圆心到直线的距离最大，弦长最小，故此时有 ，所以 . 8．【2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）】已知圆 ，过点 （1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ， 设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的 弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为 . 故选：B. 9.【2015全国1卷文】已知过点 且斜率为k的直线l与圆C： 交于M，N两点.（I）求k的取值范围； （II） ，其中O为坐标原点，求 . 【答案】（I） （II）2 【解析】(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1. 因为l与C交于两点，所以<1，解得0) 截直线 x+ y=0 所得线段的长度是2 2，则圆M与 （x-1）2+(y- 1)2 =1 圆N： 的位置关系是 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【解析】由 x2  y2 2ay 0 （ a0 ）得 x2 ya2 a2 （ a0 ），所以圆的圆 心为 0,a ，半径为 r 1 a ，因为圆截直线 x y 0 所得线段的长度是 2 2 ，所 2 a 2 2   a2     12 12  2  a2  1,1 r 1 以 ，解得 ，圆 的圆心为 ，半径为 2 ，所   012 212  2 r r 3 r r 1 以 ， 1 2 ， 1 2 ，因为 r r   r r 1 2 1 2，所以圆与圆  相交，故选B． 5．圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a= 4 3 A．− 3 B．− 4 C． 3 D．2 【答案】A 【解析】由题意知圆心为 ，由距离公式有 ，解得 ，故选A． 6．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是 A． B．C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得圆的半径为 ，则圆的标准方程为 ． 7．直线 与圆 相切，则 的值是 A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12 【答案】D 【解析】圆的标准方程为 ，圆心 到直线 的距离 ，所以 或 ． A(1,0) B(0, 3) C(2, 3) ABC 8．已知三点 ， ， ，则 外接圆的圆心到原点的距离为 5 21 2 5 4 A．3 B． 3 C． 3 D．3 【答案】B 【解析】由题意可得， ，∴ 为等边三角形，故 的外接 圆圆心时 的中心，又等边 的高为 ，故中心为 ，故 外接圆的圆心到原点的距离为 ． 9．设点 ，若在圆 上存在点N，使得 ，则 的取值范 围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当点 的坐标为 时，圆上存在点 ，使得 ，所以 符合题意，排除B、D；当点 的坐标为 时， ，过点 作圆 的一 条切线 ，连接 ，则在 中， ， 则 ，故此时在圆 上不存在点 ，使得 ， 即 不符合题意，排除C，故选A． 10．已知直线 过圆 的圆心，且与直线 垂直，则 的方程是 A． B． C． D．【答案】D 【解析】直线 过点 ，斜率为 ，所以直线 的方程为 ．