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易错点 11 直线与圆
易错题【01】写直线的截距式方程忽略截距为零的情况
直线的截距式方程为 ，其中 分别为该直线在x轴、y轴上的截距，用截距式方
程表示直线，首先保证直线在x轴、y轴上的截距都存在，且不为零，当截距不存在，或截
距为零，不能使用截距方程表示直线。
易错题【02】利用斜率判断直线的垂直忽略斜率不存在的情况
若直线 的斜率分别为 ，则 ，另外还要注意当一条直线的斜率不
存在，另一条直线的斜率为零，这两条直线也垂直，因此用斜率判断直线的垂直，不要忽
略斜率不存在的情况，此外为了避免讨论直线的斜率是否存在，可利用直线的方向向量，
若 分别为直线 的方向向量，则 。
易错题【03】忽视方程表示圆的条件致误
圆的标准方程为 ，圆的一般方程为 ，
在用圆的一般方程解题时要注意 这一条件。
易错题【04】忽略三角形三顶点不共线致误
求解与△ABC与直线与圆的交汇问题，要注意 三点不共线。
01
直线l过点 ,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为
【警示】本题错误解法是：因为直线l过点 ,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的
方程为 ,则 ,所以 ,故直线l的方程为 ,即 .
【答案】 或
【问诊】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况.正确解法为：若直线l过原点,满足题意,此时直线 l 的方程为 ；若直线 l 不过原点,设直线 l 的方程为 ,则
,所以 ,故直线l的方程为 ,即 .所以直线l的方程为
或 .
【叮嘱】直线l的方程可以表示为 的条件是直线l在两坐标轴上的截距存在且不
为零.
1.过点 ，且横、纵截距的绝对值相等的直线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，当直线不经过原点时，设直
线方程为 .由题意得 解得 或 综上，符合题意的直线共有3
条.
故选C．
2. 过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】当直线过原点时，满足题意，方程为 ，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为 ，∵直线过(1，2)，∴ ，∴ ，∴方程为 ，故
选D﹒
02
a为何值时,(1)直线l：x＋2ay－1＝0与直线l：(3a－1)x－ay－1＝0平行？
1 2
(2)直线l：2x＋ay＝2与直线l：ax＋2y＝1垂直？
3 4
【警示】本题错误解法是：(1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0的方程可变形
为y＝－x＋与y＝x－,
∴当－＝且≠－,
即a＝时,两直线平行．
(2)当－＝－1时,两直线垂直,此方程无解,故无论a为何值时,两直线都不垂直．
【问诊】(1)没考虑斜率不存在即a＝0的情况；(2)没有考虑l 的斜率不存在且l 的斜率为0
3 4
也符合要求这种情况．
【答案】(1)①当a＝0时,两直线的斜率不存在,直线l：x－1＝0,直线l：x＋1＝0,此时,l∥l.
1 2 1 2
②当a≠0时,l：y＝－x＋,
1
l：y＝x－,
2
直线l 的斜率为k＝－,
1 1
直线l 的斜率为k＝,
2 2
要使两直线平行,必须解得a＝.
综合①②可得当a＝0或a＝时,两直线平行．
(2)方法一 ①当a＝0时,直线l 的斜率不存在,直线l：
3 3
x－1＝0,直线l：y－＝0,此时,l⊥l.
4 3 4
②当a≠0时,直线l ：y＝－x＋与直线l ：y＝－x＋,直线l 的斜率为k ＝－,直线l 的斜率为
3 4 3 3 4
k＝－,要使两直线垂直,必须k·k＝－1,
4 3 4
即－·＝－1,不存在实数a使得方程成立．
综合①②可得当a＝0时,两直线垂直．
方法二 要使直线l ：2x＋ay＝2和直线l ：ax＋2y＝1垂直,根据两直线垂直的充要条件,必
3 4
须AA＋BB＝0,即2a＋2a＝0,解得a＝0,所以,当a＝0时,两直线垂直．
1 2 1 2
【叮嘱】求直线方程,特别是研究含参数的直线方程问题时,一定要对直线斜率的存在性进行
讨论,这是避免出错的重要方法．
1．已知直线 与直线 垂直，则实数a的值为( )
A． B． C． 或 D．不存在【答案】C
【解析】当 时，直线 ，直线 ，两直线垂直，符合题意；当 时，
由两直线垂直可得 ，解得 或1(舍去)，综上所述， 或 .
故选C
2. (2022届“四省八校”高三上学期期中)直线 和直线 垂直，
则实数 的值为( )
A． 或 B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为直线 和直线 垂直，所以 ，
或 ．故选A.
03
已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆
的切线有两条,求a的取值范围．
【警示】本题错误解法是：将圆C的方程配方有
(x＋)2＋(y＋1)2＝.
∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝.
当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线,
∴|AC|>r,即 >,
化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－35<0,
∴a∈R.
【问诊】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了圆C的方程是圆的一般式方程,x2＋y2＋
ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件没有考虑．
【答案】将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝,
∴>0,①
∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝.
当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,∴|AC|>r,
即 >,
化简得a2＋a＋9>0.②由①②得－0.本题的失分原因是忽视了
这个条件．在解决此类问题时,可以直接判断D2＋E2－4F>0,也可以配方后,判断方程右侧大
于0,因为右侧相当于r2.对于曲线方程中含有参数的,都要考虑参数的条件．
1．若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，解得 ，故选C．
2. 经过点 可做圆 的两条切线，则 的范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圆 ，即为 ，
或 ；由题意知点A在圆外， ，解得
．
所以 或 .故选B
04
已知Rt△ABC的斜边为AB,点A(－2,0),B(4,0),求点C满足的方程．
【警示】本题错误解法是：设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半,如图,
这
样直角三角形斜边上的中点为M(1,0),则半径为 ,
即得所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
【问诊】因为忽视结论的检验,没有注意到点C是直角三角形的顶点,即C点不能在直线AB
上,因此造成错解．
【答案】设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0),如图所示,则半径为 ,即
得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上,因此y≠0,也就是要除去两个点,
即(－2,0),(4,0),因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(y≠0)．
【叮嘱】要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件,也就是曲线上点的坐标的取值范围.
1．在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A
的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程：
条件 方程
① ABC周长为10 C ：y2＝25
1
△
② ABC面积为10 C ：x2＋y2＝4(y≠0)
2
△
③ ABC中，∠A＝90° C ： ＝1(y≠0)
3
△
则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为( )
A．C ，C ，C B．C ，C ，C
3 1 2 1 2 3
C．C ，C ，C D．C ，C ，C
3 2 1 1 3 2
【答案】A
【解析】对于①，△ABC的周长为10，则 ，
又 ，所以 ，此时动点A的轨迹为椭圆(不与A、B重合)，
与C 对应；
3
对于②，△ABC的面积为10，所以 ，即 ，与C 对应；
1
对于③，因为 ，所以点A在以 为直径的圆上(不与A、B重合)，与C 对应.
2
故选A.2. 已知一个等腰三角形ABC的一个顶点是A(4,2)，底边的一个端点B(3,5)，底边另一个端
点C的轨迹方程是___________.
【答案】 (去掉(3,5)，(5,-1)两点)
【解析】由题意知：设另一个端点 ，腰长为 ，∴C的轨
迹方程： ，又由A、B、C构成三角形，即三点不可共线，∴需要去掉
重合点(3,5)，反向共线点(5,-1)，故答案为： (去掉(3,5)，(5,-1)两点)
错
1．(2022届重庆市第一中学高三上学期期中)过点 作直线l，满足在两坐标轴上截距相
等的直线l有( )条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】若截距都为零，则直线过 ，则直线方程为 ；若截距都不为零，则设直
线方程为 ，则 ，解得 ，所以直线方程为： ，故满足在两
坐标轴上截距相等的直线l有 条；故选B
2．若方程 表示圆，则实数m的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由方程 表示圆，则 ，
解得 .所以实数m的取值范围为 .故选D
3．下列四个选项中正确的是( )A．关于 的方程 ( )的曲线是圆
B．设复数 是两个不同的复数，实数 ，则关于复数 的方程 的
所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆
C．设 为两个不同的定点， 为非零常数，若 ，则动点 的轨迹为双曲线
的一支
D．双曲线 与椭圆 有相同的焦点
【答案】D
【解析】A. 当 时，方程 ( )表示的曲线是
圆，故错误；
B. 设复数 所对应的点A，B，复数 所对应的点C，方程 表示点C
到点AB的距离和为2a，当 时，轨迹是椭圆，故错误；
C.设 为两个不同的定点， 为非零常数，若 ，当 时，动点 的轨
迹为双曲线的一支，故错误；
D.因为双曲线 ，所以 ，所以其焦点坐标为 和
，椭圆 ， ，所以其焦点坐标为 和
，故正确；故选D
4．已知点 在圆 的外部(不含边界)，则实数 的取值范围为(
)
A． B． C． D．【答案】B
【解析】圆 ，即 ，圆心 ，半径 ，
因为点 在圆 的外部，所以点 到圆心 的距离
大于半径，即 ，解得 ，故选B.
5．下列命题正确的是( )
A．已知点 ， ，若直线 与线段 有交点，则 或
B． 是直线 ： 与直线 ： 垂直的充分不必要条件
C．经过点 且在 轴和 轴上的截距都相等的直线的方程为
D．已知直线 ， ： ， ，和两点 ， ，如果
与 交于点 ，则 的最大值是 .
【答案】ABD
【解析】对于A，∵直线 过定点 ，又点 ， ，
∴ ，
如图可知若直线 与线段 有交点，则 或 ，故A正确；对于B，由直线 ： 与直线 ： 垂直得，
，解得 或 ，
故 是直线 ： 与直线 ： 垂直的充分不必要条件，故
B正确；
对于C，当直线过原点时，直线为 ，
当直线不过原点时，可设直线为 ，代入点 ，得 ，
所以直线方程为 ，
故经过点 且在 轴和 轴上的截距都相等的直线的方程为 或 ，故C错
误；
对于D，∵直线 ， ： ，
又 ，所以两直线垂直，
∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号，故D正确.
故选ABD
6．下列说法错误的是( )
A．若直线 与直线 互相垂直，则
B．直线 的倾斜角的取值范围是
C． 四点不在同一个圆上
D．经过点 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】ACD
【解析】当 时，直线 与直线 也互相垂直，所以选项A不正确；
直线 的倾斜角 ，可得 ， ，所以 的取值范围是
；所以B正确；
由题得 ,
，所以
,所以 四点在同一个圆上，所以选项C不
正确；
经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为 ，或 ，所以D不正
确；
故选ACD
7．(2021届安徽省马鞍山市高三上学期月考)阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、
欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面
内到两定点距离之比为定值 ( )的动点的轨迹.已知在 中，角 的对边
分别为 ， 则 面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】依题意， ，得 ，
即 ，以 边所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴
建立直角坐标系，则 ，设 ，
由 ，则 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为
，边 高的最大值为 ，∴ .
8．过点 作圆 的切线有两条，则 的取值范围是________
【答案】
【解析】 表示一个圆，
，
又由过点 作圆 的切线有两条，得：P在圆外，
所以 ，解得： 或 .
综上所述： .
所以 的取值范围是 .
