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专题 10 直线和圆的方程
易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问
题）
距离问题
技巧总结
①两点间的距离：已知 则
②点到直线的距离:
③两平行线间的距离：两条平行直线 与 的距离公式
．
易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线x,y前的系数统一，然后代入公式求算.
例．已知直线 ， ，则（ ）
A．直线 过定点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时， 之间的距离为
【详解】由 ，令 ，可得 ，所以 过定点 ，A对
时， ，而 ，即 ，B对
时， ，而 ，显然不垂直，C错
，则 ，可得 ，由上知， 之间的距离为
D对.故选：ABD
变式1．曲线 在点 处的切线与其平行直线l的距离为 ，则直线l的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即
设直线 （ ），依题意得 ，解得 或
所以直线 的方程为 或 故选：AB
变式2．已知直线 ： ， ： ，圆C： ，下列说法正确的是（ ）
A．若 经过圆心C，则
B．直线 与圆C相离
C．若 ，且它们之间的距离为 ，则
D．若 ， 与圆C相交于M，N，则
【详解】对于A，因为圆心 在直线 上，所以 ，解得 ，A正确,对于B，因为直线 恒过点 ，且
即点 在圆C内，所以 与圆C相交，B错误,对于C，因为 ，则
故 与 之间的距离 ，所以 ，C正确
对于D， 时，直线 ： ，即
因为圆心 到直线 的距离 ,所以 ，D错误,故选：AC
变式3．已知直线 ，则（ ）
A．直线 过定点
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，两直线 之间的距离为1
【详解】依题意，直线 ，由 解得： ,
因此直线 恒过定点 ，A不正确
当 时，直线 ，而直线 ，显然
，即直线 不垂直，B不正确
当 时，直线 ，而直线 ，显然 ，即
，C正确
当 时，有 ，解得 ，即直线 ,因此直线 之间的距离，D正确故选：CD
1．若直线 与 之间的距离为 ，则a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
【答案】C
【分析】将直线 化为 ，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.
【详解】将直线 化为 ，
则直线 与直线 之间的距离 ，
根据题意可得： ，即 ，解得 或 ，
所以a的值为 或 .
故选：C
2．若两条直线 ， 与圆 的四个交点能构成正方形，则
（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由直线方程知 ，由题意正方形的边长等于直线 、 的距离 ，又 ，结合两线距离公
式即可求 的值.
【详解】由题设知： ，要使 ， ， ， 四点且构成正方形 ，
∴正方形的边长等于直线 、 的距离 ，则 ，若圆的半径为r， ，即 ，则 ，
由正方形的性质知： ，
∴ ，即有 .
故选：B.
3．两条平行直线 和 间的距离为 ，则 ， 分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据两直线平行的性质可得参数 ，再利用平行线间距离公式可得 .
【详解】由直线 与直线 平行，
得 ，解得 ，
所以两直线分别为 和 ，即 和 ，
所以两直线间距离 ，
故选：D.
4．两条平行直线 与 之间的距离（ ）
A． B． C． D．7
【答案】C
【分析】首先根据两条直线平行求出参数 的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由已知两条直线平行，得 ，所以 ，
所以直线 可化为 ，则两平行线间的距离 .
故选：C
5．已知直线 和 与圆 都相切，则圆 的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】易得 互相平行，故圆 的直径为 间的距离，再表达出距离求最大值即可得圆 的直径最
大值，进而得到面积最大值
【详解】由题， 互相平行，且 ，故圆 的直径为 间的距离 ，
令 ，则 ， ，故当 ，即
时 取得最大值 ，此时圆 的面积为
故选：A
6．若直线 与 平行，则 与 间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由两直线平行的判定有 且 求参数a，应用平行线距离公式求 与 间的
距离.【详解】∵直线 与 平行，
∴ 且 ，解得 ．
∴直线 与 间的距离 ．
故选：B．
7．已知直线 ： （ ）， ： ，若 ，则 与 间的距
离为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由直线平行的结论列方程求 ，再由平行直线的距离公式求两直线的距离.
【详解】由 得 ，解得 ，
所以直线 ： ，即 ，
所以 与 间的距离为 ，
故选B．
8．已知直线 ， ，若 ，则 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 ，解得 ， 时舍去，可得 ，再利用平行线之间的距离公
式即可得出．
【详解】由于两条直线平行，得 ，解得 ，
当 时，两直线方程都是 故两直线重合，不符合题意.当 时， ， ，
故两平行直线的距离为 .
故选A.
【点睛】本题主要考查了直线平行的充要条件及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．若两条平行直线 与 之间的距离是 ，则m+n=
A．0 B．1 C．-2 D．-1
【答案】C
【分析】根据直线平行得到 ，根据两直线的距离公式得到 ，得到答案.
【详解】由 ，得 ，解得 ，即直线 ，
两直线之间的距离为 ，解得 ( 舍去)，
所以
故答案选C.
【点睛】本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.
10．已知直线 ，则两条直线之间的距离为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两平行直线距离公式即可求得.
【详解】因为 ，则 ，故选C.
【点睛】本题考查了两平行直线距离问题，运用平行直线距离公式可以求解，但要注意将两直线一般方程
的 系数化为相同的值；也可以在其中一条直线中选取一个特殊点，然后利用点到直线距离公式进行求
解，属于基础题.
易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的考点）
直线方程的五种形式的比较如下表：
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴
斜截式 k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴
两点式 ， 是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴
a是直线在x轴上的非零截距，b是直 不垂直于 x 轴和 y
截距式
线在y轴上的非零截距 轴，且不过原点
一般式 A、B、C为系数 任何位置的直线
给定一般式求截距相等时，具体方案如下：
C
{ 令x=0⇒ y=−
B C C
Ax+By+C=0⇒ ⇒− =− ⇒A=B
C A B
令y=0⇒x=−
A
形如：第一种情况
Ax+By+C=0⇒C=0时，横纵截距皆为0
第二种情况：
截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型
易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解
例．已知直线 过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等
（1）求直线 的一般方程；
（2）若直线 在x，y轴上的截距不为0，点 在直线 上，求 的最小值．
【详解】试题分析：（1）当截距为0时，得到 ；当截距不为0时设直线方程为 ，代入
点坐标即可得方程．（2）由第一问可得 ， ，
由不等式得到结果.⑴ ① 即
②截距不为0时，设直线方程为 ，代入 ，计算得 ，则直线方程为 ，综上，
直线方程为
⑵由题意得
变式1．已知直线 过点 且在 轴上的截距相等
(1)求直线 的一般方程；
(2)若直线 在 轴上的截距不为0，点 在直线 上，求 的最小值．
【详解】（1）因为直线 过点 且在 轴上的截距相等，当截距为0时，则
当截距不为0时，可设 ，则 ，即 ，∴
综上， 的一般方程： 或
（2）由题意得 ，
，当且仅当 时，等号成立
的最小值为
变式2．已知直线 ： ，直线 ： ，其中a，b均不为0.
(1)若 ，且 过点 ，求a，b；
(2)若 ，且 在两坐标轴上的截距相等，求 与 之间的距离.
【详解】（1）当 过点 时， ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，于是
（2）由 ： ，令 ，则 ，令 ，则
因为 在两坐标轴上的截距相等，所以 ，故 ，又 ，所以 ，所以则 ： 与 ： 之间的距离 ，所以 与 之间的距离为 .
变式3．已知直线 ，直线
(1)若直线 在两坐标轴上的截距相等，求实数 的值；
(2)若 ，求直线 的方程.
【详解】（1）由题意可知， ，直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，则
，解得：
（2）若 ，则 且 ，解得：
此时直线 的方程为
1．已知圆 为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截
距相等时，l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用过圆上点的切线的性质可得 ，利用点 表示出切线方程，结合l的横纵截距
相等，即得解
【详解】由题意，点 在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；
点 在圆上，故 ，即故直线l的方程为：
令 令
当l的横纵截距相等时，
又
解得：
即 ，即
故选：A
2．“直线 在坐标轴上截距相等”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由直线 在坐标轴上截距相等得 或 ，再根据充分条件和必要条件的定义
判断即可.
【详解】解：由题知： ，由 得 ；由 得， .
因为在坐标轴上的截距相等，所以 ，解得 或 .
所以直线 在坐标轴上截距相等”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查直线的截距与充分条件、必要条件，属于基础题.
3．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0
【答案】D
【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.【详解】当直线过原点时，其斜率为 ，故直线方程为y＝2x；
当直线不过原点时，设直线方程为 ，代入点（1，2）可得 ，解得a＝－1，故直线方程
为x-y+1＝0.
综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线
方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.
4．下列说法正确的是（ ）
A．若直线 与直线 互相垂直，则
B．已知 ， ，点 ， 到直线 的距离分别为 和 ，则满足条件的直线 的条数是2
C．过 ， 两点的所有直线的方程为
D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
【答案】B
【分析】对于A，利用直线与直线垂直的条件判断；对于B，利用点到直线的距离、直线与圆的位置关系
判断；对于C，利用两点式方程判断；对于D，利用直线的截距式方程判断
【详解】解：对于A，若直线 与直线 互相垂直，则 ，解得 或
，所以A错误；
对于B，因为 ， ，所以 ，分别以点 ， 为圆心，2，4为半径作
圆，因为 ，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，所以满足条件的直线 的条数是2，
所以B正确；
对于C，当 且 时，过 ， 两点的直线方程为 ，所以C错误；
对于D，当截距为零时，设直线方程为 ，则 ，所以直线为 ，当截距不为零时，设直线方程
为 ，则 ，得 ，所以直线方程为 ，综上，经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为 或 ，所以D错误
故选：B
5．过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【详解】当直线过原点时，直线方程为y= x，即4x﹣3y=0；
当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a．
则3+4=a，得a=7．
∴直线方程为x+y﹣7=0．
∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．
故选：D
6．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“ ”的否定是“ ”
B．命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
C．“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件
D．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题
【答案】C
【分析】利用含有一个量词的命题的否定、否命题的概念、两直线平行的充要条件以及 的真假进行判
断.
【详解】对于A，命题“ ”的否定是“ ”，故A正确；
对于B，命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，故B正确；
对于C，若两直线斜率相等，则两直线平行或重合；但若两直线平行，斜率可能不存在，故C错误；
对于D，若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，故D正确.
故选：C.7．与圆 相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
【答案】A
【分析】过原点的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为 ，
根据圆心到直线的距离等于半径可得 有两解，综合可得结果.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1，
由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意；
当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为 ，
圆心到直线的距离 ，解得 ，此时满足条件的直线有两条，
综上可得：满足条件的直线有两条，
故选：A.
【点睛】本题主要考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线，属于中档题.
8．已知直线 过点 ，且与 轴、 轴分别交于A，B点，则（ ）
A．若直线 的斜率为1，则直线 的方程为
B．若直线 在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为
C．若M为 的中点，则 的方程为
D．直线 的方程可能为
【答案】AC
【分析】根据直线点斜式判断A，由过原点直线满足题意判断B，由中点求出A,B坐标得直线方程判断
C，由直线与坐标轴有交点判断D.
【详解】对于A，直线l的斜率为1，则直线l的方程为 ，即 ，故A正确；
对于B，当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，l的方程为 ，故B错误；
对于C，因为中点 ，且A，B在 轴、 轴上，所以 ， ，故AB的方程为，即 ，故C正确；
对于D，直线 与x轴无交点，与题意不符，故D错误．
故选：AC．
9．已知直线 ： ， ： ，则下列结论正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， 在x轴上的截距相等则
D． 的倾斜角不可能是 倾斜角的2倍
【答案】AB
【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD选项的正
确性.
【详解】若 ，则 ，得 ，选项A正确；
若 ，则 ，得 ，选项B正确；
若 ， 在x轴上的截距相等，则 ，解得 ，选项C错误；
当 时， 的倾斜角 恰好是 的倾斜角 的2倍，选项D错误．
故选：AB
【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其
次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在
性.
10．直线 与圆 相切，且 在 轴、 轴上的截距相等，则直线 的方程可能是
A． B．
C． D．【答案】ACD
【解析】由于直线 在 轴、 轴上的截距相等，设直线为： 或 ，利用圆心到直线的距离
为半径，即得解
【详解】由于直线 在 轴、 轴上的截距相等，设直线为： 或
由于直线 与圆 相切，
故圆心 到直线的距离等于半径
或
故直线的方程为：
故选：ACD
易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问
题）
技巧总结
(x ,y )
0 0
第一类：求过圆上一点 的圆的切线方程的方法
正规方法：
k
第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率
1
−
k
第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为
y−y =k(x−x )
0 0
第三步：利用点斜式 求出切线方程
注意：若
k=0
则切线方程为
x=x
0，若
k
不存在时，切线方程为
y=y
0
秒杀方法：x2 +y2 =r2 P(x ,y ) x x+y y=r2
0 0 0 0
①经过圆 上一点 的切线方程为
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 P(x ,y ) (x −a)(x−a)+(y −b)(y−b)=r2
0 0 0 0
②经过圆 上一点 的切线方程为
x2 +y2 +Dx+Ey+F=0 P(x ,y )
0 0
③经过圆 上一点 的切线方程为
x+x y+y
x x+y y+D⋅ 0 +E⋅ 0 +F=0
0 0 2 2
(x ,y )
0 0
第二类：求过圆外一点 的圆的切线方程的方法
方法一：几何法
y−y =k(x−x ) kx−y−kx +y =0
0 0 0 0
第一步：设切线方程为 ，即 ，
k
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得 ，切线方程即可求出
方法二:代数法
y−y =k(x−x ) y=kx−kx +y
0 0 0 0
第一步：设切线方程为 ，即 ，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由 Δ=0 可求得 k ，切线方程即可求出
k
注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的 只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存
在，可得数形结合求出.
k
第三类：求斜率为 且与圆相切的切线方程的方法
方法一：几何法
y=kx+m kx−y+m=0
第一步：设切线方程为 ，即
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得m，切线方程即可求出.
方法二:代数法
y=kx+m
第一步：设切线方程为 ，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由 Δ=0 可求得m，切线方程即可求出
方法三：秒杀方法
x2 +y2 =r2 k y=kx±r√k2 +1
已知圆 的切线的斜率为 ，则圆的切线方程为
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 k y=kx±r√k2 +1+b−ka
已知圆 的切线的斜率为 ，则圆的切线方程为
工具：点与圆的位置关系判断
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 (r>0)
圆的标准方程为x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2 +E2 −4F>0)
一般方程为 .
(x −a) 2 +(y −b) 2 =r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F=0
点在圆上： 0 0 0 0 0 0
①
(x −a) 2 +(y −b) 2 >r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F>0
0 0 0 0 0 0
②点在圆外：
(x −a) 2 +(y −b) 2
