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4.2.2 等差数列的前n项和
题组一 等差数列的基本量
1．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三三模（文））已知等差数列 的前 项和为 ，
，若 ，则 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解析】 ,所以
,选B.
2．（2020·东北育才学校高二月考（文））已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列{a }首项为 ，公差为d,
n
∵ ，∴3( ,∴ +12d=8，即
故S = = =25a =200故选：D．
25 13
3．（2020·四川省泸县第二中学开学考试（文））等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，
则 的公差 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由等差数列性质知 ，则 .
所以 .故选A.
4．（2020·云南高一期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、
惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分
日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ）
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
【答案】C
【解析】从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二
个节气其日影长依次成等差数列 ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为
85.5尺,
∴ ,解得 , ,∴小满日影长为
（尺）.故选C.
5．（2020·陕西省洛南中学高二月考）在等差数列 中，已知 ，求通项公式
及前 项和 .
【答案】 ，
【解析】令等差数列 的公差为 ，则由 ，知：
，解之得 ；
∴根据等差数列的通项公式及前n项和公式，有：，
；
题组二 前n项和S 与等差中项
n
1．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））已知数列 为等差数列， 为其前 项和，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可得 ，
.故选：B.
2．（2019·贵州六盘水·高二期末（理））在等差数列 中， ，则 （ ）
A．12 B．28 C．24 D．35
【答案】B
【解析】等差数列 中， ，故 ，所以 .故选：B.
3．（2020·湖北荆州·高二期末）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （
）
A．36 B．72 C．91 D．182
【答案】D
【解析】数列 为等差数列，则 ，解得
则 故选：D4．（2019·黄梅国际育才高级中学月考）若两个等差数列 的前n项和分别为A、B，且满足
n n
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】等差数列 、 前 项和分别为 ， ，由 ，
得 ．故选： .
5．（2020·赣州市赣县第三中学期中）设等差数列 前n项和为 ，等差数列 前n项和为 ，若
．则 （ ）
A． B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解析】因为等差数列 前n项和为 ，所以 ，
当 是奇数时， ，所以 ,故选：B
6．（2020·广西田阳高中高二月考（理））已知等差数列 ， 的前 项和分别为 和 ，且
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为等差数列 ， 的前 项和分别为 和 ，且 ，
所以可设 ， ，
所以 ， ，所以 .故选：A
7．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）等差数列{a }、{b }的前n项和分别为S、T，且 ，
n n n n
则使得 为整数的正整数n的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】∵等差数列{a }、{b }，∴ ，
n n
∴ ,又 ，
∴ ，
经验证,当n=1,3,5,13,35时, 为整数，则使得 为整数的正整数的n的个数是5.本题选择C选项.
题组三 前n项和S 的性质
n
1．（2020·榆林市第二中学高二月考）设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则( )
A．12 B．8 C．20 D．16
【答案】C
【解析】∵等差数列 的前 项和为 ， ，
由等差数列的性质得： 成等比数列
又 ∴
．故选：C．
2．（2020·重庆其他（文））等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的值等于（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】等差数列 的前 项和为 ,由题意可得 成等差数列，
故 ，代入数据可得 ，解得 故选C
3．（2020·江苏徐州·高二期中）已知 为等差数列 的前n项之和，且 ， ，则 的值
为（ ）.
A．63 B．81 C．99 D．108
【答案】C
【解析】由 为等差数列 的前n项之和，则 , 也成等差数列，
则 ， 成等差数列，所以 ，由 ， ，
得 ，故选：C.
4．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））等差数列 的前n项和为 ，且 ，，则 ( )
A．10 B．20 C． D．
【答案】D
【解析】由等差数列 的前 项和的性质可得： ， ， 也成等差数列，
， ，解得 ．故选 ．
5．（2020·朔州市朔城区第一中学校期末（文））设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，
则 （ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
【答案】B
【解析】由等差数列性质知S、S﹣S、S﹣S 成等差数列，即9，27，S﹣S 成等差，∴S﹣S=45
3 6 3 9 6 9 6 9 6
∴a+a+a=45故选B．
7 8 9
6．（2020·新疆二模（文））在等差数列 中， ，其前n项和为 ，若 ，则
（ ）
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
【答案】C
【解析】设等差数列 的前 项和为 ，则 ，
所以 是等差数列．因为 ，
所以 的公差为 ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，所以 故选：C
8 ． （ 2020· 河 北 路 南 · 唐 山 一 中 ） 已 知 是 等 差 数 列 的 前 项 和 ， 若 ，
，则 __________．
【答案】
【 解 析 】 是 等 差 数 列 的 前 项 和 ， 是 等 差 数 列 ， 设 其 公 差 为 ，
， ，
，
故答案为 ．
9．（2020·湖南怀化·高二期末）已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则
________.
【答案】2016
【解析】 是等差数列 的前 项和， 是等差数列，设其公差为 .
， ， . ， .. .故答案为： .
题组四 前n项和S 的最值
n
1．（2020·安徽铜陵·）设 是公差不为零的等差数列 的前n项和，且 ，若 ，则当 最
大时，n=（ ）
A．6 B．7 C．10 D．9
【答案】 B
【解析】由等差数列中， ，可得 ，故 ，其中 ，可知当
时， 最大．
2．（2020·河北运河·沧州市一中月考）等差数列 中， ， ， ，则
使前 项和 成立的最大自然数 是（ ）
A．2015 B．2016 C．4030 D．4031
【答案】C
【解析】由题意知 ，所以 ，而 ，则有
，而 ，所以使前 项和 成立的最大自
然数 是4030，故选C．
3．（2020·河北路南·唐山一中期末）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，
则 取得最大值时 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】A【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，
解得 ，故 ，
故当 时， ；当 时， ，
所以当 时， 取最大值.故选：A.
4．（2020·广西南宁三中开学考试）已知等差数列 的通项公式为 ，则使得前 项和 最
小的 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，解得 ， 时， ； 时，
则使得前 项和 最小的 的值为 故选：B
5．（2020·四川青羊·石室中学高一期末）在等差数列 中，其前 项和是 ，若 ， ，则
在 中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于 ，所以可得 ．
这样 ，而 >0， ，所以在 中最大的是 ．故选C．
6．（2020·福建宁德·期末）公差为 的等差数列 ，其前 项和为 ， ， ，下列说法
正确的有（ ）
A． B． C． 中 最大 D．
【答案】AD
【解析】根据等差数列前 项和公式得： ，
所以 ， ，
由于 ， ，
所以 ， ，所以 ， 中 最大，
由于 ，所以 ，即： .故AD正确，BC错误.故选：AD.
7．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，
则 取最大值时 的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，
且 ， 且 ，所以当S 取最大值时 .故选：D
n
8．（2020·浙江其他）已知等差数列 的前 项和 ，且 ， ，则 最小时， 的
值为（ ）.
A．2 B．1或2 C．2或3 D．3或4
【答案】C【解析】设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ， ，
所以 ，
因为 ，所以当 或 时，其有最小值.选：C
题组五 含有绝对值的求和
1．（2020·山西大同·高三其他（理））若等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且
，则 ________.
【答案】
【解析】∵等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，
，
，
，
∴当 时， ；
当 时，，
.
故答案为： .
2．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模（理））已知等差数列 前三项的和为 ，前三
项的积为 ，
（1）求等差数列 的通项公式；
（2）若公差 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） 或 （2）
【解析】（1）设等差数列的 的公差为
由 ，得 所以
又 得 ，即
所以 ，或
即 或
（2）当公差 时，1）当 时， ，
设数列 的前项和为 ，则
2）当 时，
当 时， 也满足 ，
当 时， 也满足 ，
所以数列 的前 项和
3．（2020·全国高三（文））在等差数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 的表达式.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设公差为 ，则 ，解得 ， ，所以 .
（2）由 可得 ，所以当 时， ，
当 时，
.
所以 .
4．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））已知数列 满足： ，
.
（1）求 及通项 ；
（2）设 是数列 的前 项和，则数列 ， ， ，… …中哪一项最小？并求出这个最小值.
（3）求数列 的前10项和.
【答案】（1） ， ；（2） 最小， ；（3）前10项和为： .
【解析】（1） ，
当 时， ， ， ， ，
由 知数列为首项是 ，公差为4的等差数列，故 ；
（2） ，故 ， ，故 最小，
；
（3） 当 时， ；当 时， ，
.
5．（2020·湖北武汉）已知数列 是等差数列，公差为d， 为数列 的前n项和， ，
.
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求数列 的前n项和T.
n
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）∵ 是等差数列，公差为 ，且 ， ，
∴ ，解得 ， ，
∴ ，
∴数列 的通项公式为： .（2）令 ，则 ，∴ ，∴ ， .
∴ 时， ； 时， ，
∵ ， ，
∴ 时， ，
当 时，
.
∴ .
6．（2020·任丘市第一中学）在公差是整数的等差数列 中， ，且前 项和 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，
由题意知， 的最小值为 ，则 ，
，所以 ，解得 ， ， ，因此， ；
（2） .
当 时， ，则 ， ；
当 时， ，则 ， .
综上所述： .
