文档内容
秘籍 09 圆锥曲线大题
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：解题规范
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】极点、极线
【题型二】 自极三角形与调和点列
【题型三】 齐次化法解决斜率相关问题
【题型四】 定比点差法
【题型五】 定点、定值
【题型六】 求轨迹方程型
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 极点、极线
圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以
一般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，
这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。
一些固定题型解题方法的掌握还是需要熟练，并且理解圆锥曲线中解析几何的解题思维，延伸知识
点例如极点、极线，齐次化解法、定比点差法等等比较热门的需要熟练于心。
易错点：解题规范圆锥曲线大题在遇到直线与曲线相交相关的问题是，极点、极线的思想只能辅助我们解题，不可出现
在答题过程中，都需要设点或设线，写出完整的证明过程。
例（2023 年全国乙卷）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
变式1：（2024·湖南衡阳·二模）（多选）已知圆 是直线 上一动点，过点 作
直线 分别与圆 相切于点 ，则（ ）
A．圆 上恰有一个点到 的距离为 B．直线 恒过点
C． 的最小值是 D．四边形 面积的最小值为
【题型一】极点、极线
二次曲线的极点极线
（1）.二次曲线 极点 对应的极线为
（半代半不代）
（2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程
①极点 在椭圆外， 为椭圆的切线，切点为
则极线为切点弦 ；②极点 在椭圆上，过点 作椭圆的切线 ，
则极线为切线 ；
③极点 在椭圆内，过点 作椭圆的弦 ，
分别过 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线 ；
（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.
【例1】过点 （3，1） 作圆 的两条切线，切点分别为A 、 B则直线AB的方程为（ ）
2x+y−3=0 2x−y−3=0 4x−y−3=0 4x+y−3=0
A． B． C． D．
x2 y2
+ =1
【例2】已知点P为 2x+y=4 上一动点．过点P作椭圆 4 3 的两条切线，切点分别A、B，当点P
运动时，直线AB过定点，该定点的坐标是________．
【例3】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线xy30上的动点，过P作圆O:x2y2 3的两条切线，
切点分别为A，B，若点M为圆E:x22y32 4上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为
．
【变式1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，且 ，
与短轴的一个端点 构成一个等腰直角三角形，点 在椭圆 ，过点 作互相垂直且与 轴
不重合的两直线 ， 分别交椭圆 于 ， 和点 ， ，且点 ， 分别是弦 ， 的中点．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 ，求以 为直径的圆的方程；
(3)直线 是否过 轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【变式2】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆 ， 分别为椭圆 的左、右顶点， 分
别为左、右焦点，直线 交椭圆 于 两点（ 不过点 ）.
(1)若 为椭圆 上（除 外）任意一点，求直线 和 的斜率之积；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)若直线 与直线 的斜率分别是 ，且 ，求证：直线 过定点.
【变式3】（2024·新疆喀什·二模）已知椭圆 的左焦点 ，点 在椭
圆 上，过点 的两条直线 分别与椭圆 交于另一点 ，且直线 的斜率满足
．
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明直线 过定点．
【题型二】 自极三角形与调和点列
一、调和点列的充要条件
A C B D
如图，若 四点构成调和点列，则有（一般前2个出现较多）二、调和点列与极点极线的联系
如图，过极点 作任意直线，与椭圆交于 ，与极线交点 则点 成调和点列，若点 的极
线通过另一点 ，则 的极线也通过 ．一般称 、 互为共轭点．
三、自极三角形
如图, 设 P 是不在圆雉曲线上的一点, 过 P 点引两条割线依次交二次曲线于 E,F,G,H四点, 连
接对角线EH,FG 交于 N, 连接对边 EG,FH交于 M, 则直线 MN 为点 P 对应的极线. 若P为圆雉
曲线上的点, 则过P点的切线即为极线.
同理, PM为点N对应的极线, PN为点M所对应的极线. 因而将△MNP称为自极三点形. 设直线MN
交圆锥曲线于点A,B两点, 则PA, PB恰为圆锥曲线的两条切线.
从直线 上任意一点 向椭圆 的左右顶点 引两条割线 与椭圆
交于 两点，则直线 恒过定点 ．
【例1】已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为
直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【例2】（2022·全国乙卷高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
【变式1】（2024江南十校联考）在平面直角坐标系 中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是
坐标轴，右支与x轴的交点为 ，其中一条渐近线的倾斜角为 .
(1)求C的标准方程；
(2)过点 作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段 上取一点E满足
，证明：点E在一条定直线上.
【变式2】设椭圆 过点 ，且左焦点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）当过点 的动直线 与椭圆 相交于两不同点 ， 时，在线段 上取点 ，满足
，证明：点 总在某定直线上．
【变式3】已知 、 分别为椭圆 : 的上、下焦点，其中 也是抛物线
的焦点，点 是 与 在第二象限的交点，且 .（1）求椭圆 的方程;
（2）已知点 和圆 : ，过点 的动直线 与圆 相交于不同的两点 ，在线段 上取一
点 ，满足: ， ，( 且 ).求证:点 总在某定直线上.
【题型三】 齐次化法解决斜率相关问题
“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思 .在代数里也有“齐次”的叫法，例如
f =ax²+bxy+cy²称为二次齐次式， f中每一项都是关于x，y的二次项.与圆锥曲线相关的问题以大运算
量著称，齐次化引入圆锥曲线有时会极大地缩减运算量.
1：“齐次化”方法使用场景
题目中出现了一个定点引出的两条动直线的斜率之和 k₁+k₂或斜率乘积 k₁⋅k₂为定值时，优先考
虑使用齐次化的技巧.
2： 用法：必须先把该定点平移至原点位置，然后将两个动点所成的直线假设为 mx+my=1,再联
立即可.
3: 方程为 mx+my=1的直线，可以表示不过原点 (原点坐标不适合方程)的所有直线 (讨论m.n与0
的关系)
x2 y2 √2
【例1】如图，椭圆 E: + =1(a⟩b>0)经过点. A(0,−1),且 离心率为 .
a2 b2 2
(1):求椭圆E的方程;
(2)：经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P、Q (均异于点A),
x2 y2 √2
【例2】已知椭圆 C: + =1(a⟩b>0)的离心率为 ,且过点A(2,1).
a2 b2 2
(1)求椭圆C的方程;
(2) 点M,N在椭圆C上, 且. AM⊥AN,AD⊥MN, D为垂足.【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知P为椭圆 上一点，过原点且斜率存在的直线 与椭圆C
相交于A，B两点，过原点且斜率存在的直线 （ 与 不重合）与椭圆C相交于M，N两点，且点P满足
到直线 和 的距离都等于 ．
(1)求直线 和 的斜率之积；
(2)当点P在C上运动时， 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【变式2】（2024·安徽合肥·二模）已知椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，短轴长
为 ，且经过点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 （不与 轴重合）与 交于 两点，直线 与直线 的交点分别为 ，记
直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线 与曲线 关于直线 对称．
(1)求曲线 的方程．
(2)若过原点的两条直线分别交曲线 于点 ， ， ， ，且 （ 为坐标原点），则四边形
的面积是否为定值？若为定值，求四边形 的面积；若不为定值，请说明理由．
【题型四】 定比点差法
直线与圆雉曲线相交时,中点(定比分点)问题通常运用韦达定理和点差法两种方式.点差法
(定比点差)是从设点的视角,将点的坐标代人曲线方程,通过系数调配后进行两式作差.
一般地,设椭圆 上两点 ,若定点 满足 ,则得到
,化简得
由 得
两式相减得 .
把 代 人 , 得 , 化 简 得
.
特别地,如果 (或 ),则可以得到方程组 继而能相对快捷地求出
交点坐标,避免暴求交点.椭圆、双曲线中的多点共线的倍值问题,也可类似解决,其实质就是一
种降维处理.此外,当 时,则 是 的中点即转化为中点弦问题.【例1】直线 与椭圆 交于 两点， 与 轴、 轴分别交于点 .如果 是线段
的两个三等分点，则直线 的斜率为 ．
【例2】设 分别为椭圆 的左右两个焦点，点 在椭圆上.
若 ，则点 的坐标是 ．
【例3】已知点 ，椭圆 上两点 满足 ，则
当 时，点 横坐标的绝对值最大.
【变式1】已知 是双曲线 的左焦点，点 的坐标为 ，直线
与双曲线 的两条渐进线分别交于点 .若 ，则双曲线 的离心率为 ．
【变式2】已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点，与 轴
的交点为 .
(1) 若 ，求直线 的方程；
(2)若 ，求 的值.
【变式3】如图，椭圆 .过点 作直线 分别交椭圆 于 ， 四点，
且直线 的斜率为 .试判断直线 与直线 的位置关系.【题型五】 定点、定值
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再
表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ， 的左焦点与点
连线的斜率为 ．
(1)求 的方程．
(2)已知点 ，过点 的直线 与 交于 两点，直线 分别交 于 ．试问：直线 的
斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【例2】（2023·河南焦作·模拟预测）已知椭圆 的长轴为4，直线 与圆
相切于点 ，与 相交于 ， 两点，且 ， ， .
(1)记 的离心率为 ，证明： ；
(2)若 轴右侧的点 在 上，且 轴， ， 是圆 的两条切线，切点分别为 ， （ 在
上方），求 的值.
【例3】（2024·上海奉贤·二模）已知曲线 ， 是坐标原点， 过点 的直线 与曲线
交于 ， 两点.(1)当 与 轴垂直时，求 的面积；
(2)过圆 上任意一点 作直线 ， ，分别与曲线 切于 ， 两 点，求证： ；
(3)过点 的直线 与双曲线 交于 ， 两点（ ， 不与 轴重合）.记直线 的斜
率为 ，直线 斜率为 ， 当 时，求证： 与 都是定值.
【变式1】（2024·上海崇明·二模）已知椭圆 ， 为 的上顶点， 是 上不同于点 的两
点．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若 是椭圆 的右焦点， 是椭圆下顶点， 是直线 上一点.若 有一个内角为 ，求点 的坐
标；
(3)作 ，垂足为 ．若直线 与直线 的斜率之和为 ，是否存在 轴上的点 ，使得 为
定值？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程．
(2)设过点 且斜率不为0的直线 与椭圆 交于 ， 两点．问：在 轴上是否存在定点 ，使直线
的斜率 与 的斜率 的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为 的椭圆 的左、右顶点分别为
，点 为椭圆 上的动点，且 面积的最大值为 ．直线 与椭圆 交于
两点，点 ，直线 分别交椭圆 于 两点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ．
(1)求椭圆 的方程．
(2)记直线 的斜率为 ，证明： 为定值．
(3)试问：是否存在定点 ，使 为定值？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，说明理由．
【题型六】 求轨迹方程型
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把 分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将 代入 .
【例1】（2024·上海嘉定·二模）如图：已知三点 、 、 都在椭圆 上．
(1)若点 、 、 都是椭圆的顶点，求 的面积；
(2)若直线 的斜率为1，求弦 中点 的轨迹方程；
(3)若直线 的斜率为2，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，是否存在定点 ，使得
恒成立？若存在，求出所有满足条件的点 ，若不存在，说明理由．
【例2】（2024·安徽合肥·二模）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系
中两个点 和 ，记 ，称 为点 与点 之间的“距离”，其中 表示 中较大者．
(1)计算点 和点 之间的“ 距离”；
(2)设 是平面中一定点， ．我们把平面上到点 的“ 距离”为 的所有点构成的集合叫做
以点 为圆心，以 为半径的“ 圆”．求以原点 为圆心，以 为半径的“ 圆”的面积；
(3)证明：对任意点 ．
【例3】（2024·河南开封·三模）已知 ， ，对于平面内一动点 ， 轴于
点M，且 ， ， 成等比数列．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若 ，求直线l的方程．
【变式1】（2024·广东韶关·二模）已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4， 是其
左、右顶点， 是其右焦点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 是椭圆 上一点， 的角平分线与直线 交于点 ．
①求点 的轨迹方程；
②若 面积为 ，求 ．
【变式2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点 ， ， 和动点 满足 是 ，
的等差中项．
(1)求 点的轨迹方程；
(2)设 点的轨迹为曲线 按向量 平移后得到曲线 ，曲线 上不同的两点M，N的连线交
轴于点 ，如果 （ 为坐标原点）为锐角，求实数 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果 时，曲线 在点 和 处的切线的交点为 ，求证： 在一条定直线上．
【变式3】（2024·山西吕梁·二模）在平面直角坐标系 中，动点 在圆 上，动点 在直线
上，过点 作垂直于 的直线与线段 的垂直平分线交于点 ，且 ，记 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程.
(2)若直线 与曲线 交于 两点， 与曲线 交于 两点，其中 ，且
同向，直线 交于点 .
（i）证明：点 在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；
（ii）当 的面积等于 时，试把 表示成 的函数.
