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培优专题 04 一元二次方程问题的实际应用
◎应用一：传播问题
技巧： 公式 a ( 1 +x ) n = M 其中 a 为传染源（一般 a= 1 ）， n 为传染轮数， M 为最后得病总人数
1．（2021·河南周口·九年级阶段练习）2021年7月来，新冠病毒的变异毒株“德尔塔”病毒影响全国人民
的生活，有研究表明，“德尔塔”病毒具有较强的传染性，当一个人感染了“德尔塔”病毒后，在没有防
控的情况下，经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A．3人 B．4人 C．5人 D．6人
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了x
（1+x）人，根据1人感染了后经过两轮传染共有25人感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其
正值即可得出结论．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了x
（1+x）人，
依题意得：1+x+x（1+x）=25，
即 ，
解得： =4， =-6（不合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了4人．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有225人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为x人，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有（1+x）人患了流感，经过第
二轮后有[（1+x）+x（1+x）]人患了流感，再根据经过两轮传染后共有225人患了流感即可列出方程．
【详解】解：依题意得（1+x）+x（1+x）=225．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题关键是根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数．
3．（2022·山东烟台·八年级期中）一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握
手36次，则这次会议与会人数是共_________人．
【答案】9
【分析】设这次参加座谈会的有x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握（x-1）次手，所以x人共
握手 x（x-1）次，又知共握手36次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解．
【详解】解：设这次参加座谈会的有x人，则每人应握（x-1）次手，
由题意得： ，
即：x2-x-72=0，
解得：x=9，x=-8（不符合题意舍去）
1 2
所以，这次参加座谈会的有9人．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．
4．（2022·全国·九年级专题练习）2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两个同学
都互相发一次，小明统计全组共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数
为x人，则可列方程为____________．
【答案】x(x-1)=90
【分析】每个人都要发送（x-1）次微信，有x个人，由微信的总数量列出方程，即可得到答案．
【详解】解：设数学兴趣小组的人数为x个，
∴每人要发送（x-1）次微信，
∴全班共送x（x-1）=90，
故答案为：x（x-1）=90．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是本题的关键．
5．（2022·全国·九年级专题练习）某种病毒传播非常快，如果1人被感染，经过2轮感染后就会有81人被
感染．
(1)每轮感染中平均1人会感染几人？
(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？
【答案】(1)8人
(2)会
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有81个人
被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3轮感染后被感染的人数=2轮感染后被感染的人数×（1+8），即可求出3轮感染后被感染的人
数，再将其与700进行比较后即可得出结论．
(1)
设每轮感染中平均1人会感染x人，依题意，得1＋x＋x（1＋x）＝81，解得x＝8，x＝－10（不合题意，
1 2
舍去）．
答：每轮感染中平均1人会感染8人．
(2)
81×（1＋8）＝729（人），729＞700．
答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
◎应用二：平均增长率问题
技巧： b=a(1±x ) n ， n 为增长或降低次数 , b 为最后产量， a 为基数， x 为平均增长率或降
低率
6．（2022·安徽安庆·八年级期中）某经济开发区，今年一月份工业产值达 亿元，第一季度总产值为
亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为 ，根据题意，可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】增长率问题，一般用增长后的量 增长前的量 增长率) ，本题可先用 表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【详解】解：二月份的产值为： ，
三月份的产值为： ，
故第一季度总产值为： ．
故选B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几个月的产值，再根
据题意列出方程即可．
7．（2022·安徽·合肥市五十中学新校八年级期中）某口罩厂八月份的口罩产量为100万只，由于市场需求
量增加，十月份的产量比八月份增加了44万只，设该厂九、十月份的口罩产量的月平均增长率为x，可列
方程为（ ）
A．（1+ x）2 =4400 B．10000（1+x）2=4400
C．（1+ x）2 =1.44 D．10000（1+2x）=14400
【答案】C
【分析】根据八月份的产量× =十月份的产量列方程即可．
【详解】解：由题意，得100 =44+100，即 =1.44，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解增长率的意义，正确列出方程是解答的关键．
8．（2022·全国·九年级单元测试）某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，假
设每次降价的百分率相等，这种药品每次降价的百分率是________．
【答案】20%
【分析】设这种药品每次降价的百分率是x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x即得出答案．
【详解】设这种药品每次降价的百分率是x，
根据题意得： ，
解得： ， （舍）．
故这种药品每次降价的百分率是20%．
故答案为20%．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．9．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200
万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x，那么可列方程是 _____．
【答案】100（1＋x）2＝200
【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200
万元，即可列出关于x的一元二次方程．
故答案为：100（1＋x）2＝200
【详解】设平均每月的增长率为x，
根据题意可得：100（1＋x）2＝200．
故答案为：100（1＋x）2＝200．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．
10．（2022·山东泰安·八年级期末）东平湖景区在2021年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计
在2023年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
(1)求景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；
(2)景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则
平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，店家决定进行降价促销活动，
则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利
润额？
【答案】(1)年平均增长率为20%
(2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利
润额．
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的
解即可；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，
解方程并对方程的解作出取舍即可．
（1）
设景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为x，
由题意得： ，
解得： （舍）．
答：年平均增长率为20%；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ．
∵要让顾客获得最大优惠，
∴y=20．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的
利润额．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关
键．
◎应用三：形积问题
技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿
混淆
11．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，一块长方形绿地长10m，宽5m．在绿地中开辟三条道路后，绿
地面积缩小到原来的78%，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图可知三条道路宽都为x，把道题平移到边缘，让剩下的绿地形成一个长方形，根据题意列出
方程即可．
【详解】如图：将剩下的绿地进行平移后是一个长方形，长方形的长为（10-2x）米，宽为（5-x）米；
根据题意列出方程为： ，
故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
12．（2022·广西崇左·八年级期中）如图，在长为30m，宽为15m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图
中阴影部分），其余部分铺设草坪，要使草坪的面积为406m2，则小路的宽度应为多少（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．
【详解】解：将道路进行平移，剩余的草坪为一个小长方形，
设小路宽为x m，
根据题意，得（30−x）（15−x）＝406．
整理得 ．
解得 ， （不合题意，舍去）．
则小路宽为1m，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行
计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．
13．（2022·浙江·温州市南浦实验中学八年级期中）如图，在一块长为60米，宽为40米的长方形空地内
修建一间正方形凉亭和两条宽度相等的小路，且小路的宽度是正方形凉亭边长的 ，其余部分种植草坪，
若草坪面积为2328平米，设小路宽为x米，依题意可列方程为______．【答案】
【分析】设小路宽为x米，则凉亭的宽度为4x米，根据面积之间的关系列出方程即可．
【详解】解：设小路宽为x米，则凉亭的宽度为4x米，
根据题意得：60×40-(60-4x)x- =2328，
故答案为：60×40-(60-4x)x- =2328．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解题关键．
14．（2022·河北承德·八年级期末）如图，矩形ABCD中， ， ．
（1）矩形ABCD的周长为______；
（2）若一正方形的面积与矩形ABCD的面积相等，则这个正方形的边长为______．
【答案】
【分析】（1）根据长方形周长公式求解即可；
（2）设正方形的边长为x，由题意得 ，解方程即可．
【详解】解：（1）∵矩形ABCD中， ， ，
∴矩形ABCD的周长为 ，
故答案为： ，（2）设正方形的边长为x，
由题意得 ，
∴ （负值已舍去），
∴正方形的边长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
15．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为 米的墙，
另外三边用 米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边 上留一个 米宽的门，
(1)若 ，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为 平方米
(2)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到 平方米？
【答案】(1)长为 米，宽为 米
(2)不能
【分析】（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为 米，则矩形鸡舍的另一边长为 米，根据鸡
舍面积为 平方米，列出方程并解答；
（2）利用鸡舍面积等于 平方米得出一元二次方程，根据判别式可得出答案．
（1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为 米，则矩形鸡舍的另一边长为 米，依题意，得：
，解得： ， ，当 时， （舍去），当 时，
．答：矩形鸡舍的长为 米，宽为 米．
（2）当鸡舍面积等于 平方米时，依题意，得： ，整理得： ，∴
，∴所围成鸡舍面积不能为90平方米．答：所围成鸡舍面积不能为90平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
◎应用四：数字问题
技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程
即可
16．（2022·全国·九年级课时练习）一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字
互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意易得原两位数的十位数字为9-x，然后可根据题意进行列方程排除选项．
【详解】解：由题意得：原两位数的十位数字为9-x，则有，
；
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
17．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置
相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么
根据题意可列方程为( )
A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225
C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225
【答案】C
【分析】最大数为x，则我们只需要将最小数用x表示出来即可列出方程．
【详解】∵最大数为x，∴最小数用x表示为：x-16，
∴列方程为：x(x﹣16)=225，
故选：C
【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程．
18．（2021·江苏·九年级专题练习）有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与
个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是_________．
【答案】35或53．
【分析】设个位为x，则十位上的数字为8-x，根据如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两位数
乘以原来的两位数就得1855，求解即可．
【详解】设原两位数的十位数字为x，则个位数字是（8-x），由题意得
[10x+（8-x）]·[10（8-x）+x]=1855．
化简得x2-8x+15=0，
解之得：x=3，x=5．
1 2
经检验，x=3，x=5都符合题意．
1 2
答：原两位数是35或53．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是表示出对调前后两位数的表示方法．
19．（2021·湖北黄冈·九年级阶段练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这
个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是___．
【答案】63
【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可，等量关系为：原来的两位数-新两位数=27，把相关数
值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可．
【详解】解：设个位数字为 ，则十位数字为 2－3，
由题意得10( 2－3)＋ －(10 ＋ 2－3)＝27 ，
整理得 ，解得 (不合题意，舍去)，
∴十位数字为 ，
则原来的两位数为63
故答案为：63
【点睛】本题考查了列一元二次方程解应用题，弄清已知中的等量关系是解题的关键．
20．（2021·江苏·九年级专题练习）李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程
11千米，应收 元” 该城市的出租车收费标准如下表所示，请求出起步价 ．里程 千米
价格 N元
元 千米 元 千米
【答案】起步价是10元．
【分析】根据收费标准,将11千米分段计费,列出方程即可.
【详解】解：依题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ， ．
由于 ，所以 ．
答：起步价是10元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,列方程是解题关键.
◎应用五：商品销售问题
技巧：销售总额＝单件售价 × 数量
总利润：单件利润 × 数量＝（售价－进价） × 数量
利润＝成本 × 利润率
21．（2022·全国·九年级单元测试）将进价为 元/个的某种商品按 元/个出售时，能卖出500个，
已知这种商品每个每涨价1元，其销售数量就减少 个，若想使利润达到 元，售价应是多少？设售
价为 元/个，则可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由售价为x元/个，则可表示出此时一个的利润及销售数量，根据利润为9000元，可列方程．
【详解】解：设售价为x元，则（x﹣90）[500﹣10（x﹣100）]＝9000，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，由售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解．
22．（2022·全国·九年级专题练习）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，
每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千
克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（
）
A．（45-30-x）（300+50x）=5500 B．（x-30）（300+50x）=5500
C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500 D．（45-x）（300+50x）=5500
【答案】A
【分析】先求出每千克的售价为 元，此时每天销量为 千克，再根据“利润 （售价 进
价） 每天销量”建立方程即可得．
【详解】解：由题意可知，当售价每千克降低 元时，每千克的售价为 元，此时每天销量为
千克，
则可列方程为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了列一元二次方程，正确找出等量关系是解题关键．
23．（2022·全国·九年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，
由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫
每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬
衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______．
【答案】
【分析】设每件衬衫降价x元，根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件可得销售量为
，则每件衬衫的利润为 ，根据销售量乘以每件衬衫的利润等于1200元，列出一元二次方
程即可
【详解】解：设每件衬衫降价x元，根据题意得，
故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2022·全国·九年级课时练习）某商店以30元的价格购进了一批服装，若按每件50元出售，一个月
内可销售100件；当售价每提价1元时，其月销售量就减少5件．当利润达到1875元时，设售价提价x元，
则可列方程为____________．
【答案】5x2-125=0
【分析】根据“每月售出服装的利润=每件的利润×每周的销售量”可得1875=(50+x-30)(100-5x)，然后整理
即可解答．
【详解】解：根据题意得出：
1875=(50+x−30)（100-5x）
整理得：5x2-125=0
故答案为：5x2-125=0．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，理解每件利润以及其销量是解答本题的关键．
25．（2022·山东烟台·八年级期末）某商场以每件220元的价格购进一批商品共900件，起初，商场按每
件280元的价格销售该商品，每天可售出30件，销售两天后，为庆祝“618购物节”，商场决定开展降价
促销活动，经调查发现：该商品每降价1元，平均每天可多售出3件．
(1)若要使该商品每天的销售利润达到降价前的两倍，则每件商品应降价多少元？
(2)在（1）的条件下，要使该商品尽快售完，需开展几天的降价促销活动？
【答案】(1)每件商品应降价20元或30元；
(2)需开展7天的降价促销活动．
【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设需开展y天的降价促销活动．根据“900-30×2=（30+3×30）y”求得y的值即可．
（1）
解：设每件商品应降价x元，
由题意，得（280-x-220）（30+3x）=（280-220）×30×2，
解得 x=20，x=30．
1 2
答：每件商品应降价20元或30元；
（2）
解：∵要使该商品尽快售完，
∴每件商品应降价30元．
设需要开展y天的降价促销活动．
由题意，得900-30×2=（30+3×30）y．解得y=7．
答：需开展7天的降价促销活动．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
◎应用六：动点几何问题
技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列
方程
26．（2022·河北沧州·九年级期末）如图，在 中， ，AB= ，BC= ．点 从点 开始
沿边 向点 以 的速度移动，同时点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动，当其中一
点到达终点时，另一点随即停止．当四边形 的面积为 时，点 的运动时间为( )
A． B． 或 C． D． 或
【答案】C
【分析】先求出 的面积，得出当四边形 的面积为 时△BPQ的面积，设运动时间为t，则
， ，根据三角形面积公式列出关于他t的方程，解方程即可．
【详解】解：∵在 中， ，AB= ，BC= ，
∴ ，
∴当四边形 的面积为 时，
，
设运动时间为t，则 ， ，
∴ ，解得： ， ，
∵点P在AB上的运动时间为： ，
∴ ，
∴ 不符合题意，
即当四边形 的面积为 时，点 的运动时间为2s，故C正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解二元一次方程组，设运动时间为t，根据题意
列出关于t的方程，是解题的关键．
27．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出
发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，
P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（ ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的 ？
A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】根据题意，求得 的长，进而求得 ，根据 的面积是 面积的 ，列出方程，
解方程即可解决问题．
【详解】解： ，
，
∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，
∴ ，
∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，∴AQ=2 ， ， ，
的面积是 面积的 ，
，
整理得 ，
解得 ，
当 s时， 的面积是 面积的 ．
故选择B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，根据三角形面积列
出方程是解题的关键．
28．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形 中， ，点 从点 出发沿
以 的速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，点 到达终点后，
、 两点同时停止运动，则__秒时， 的面积是 ．
【答案】2或3##3或2
【分析】设t秒后 的面积是 ，则 ， ，列方程即可求解．
【详解】解：设运动时间为 秒，则 ， ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
或3秒时， 的面积是 ．故答案为：2或3．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
29．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB
向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，
有一点到终点运动即停止，当t＝___时，S DPQ＝28cm2．
△
【答案】2或4
【分析】由题意可知当运动时间为t秒时，则AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=2t cm，CQ=（12-2t）cm，根
据S DPQ=28cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出答案．
△
【详解】解：当运动时间为t秒时，则AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=2t cm，CQ=（12-2t）cm，
依题意得：12×6- ×12t- ×6（12-2t）- ×2t•（6-t）=28，
整理得：t2-6t+8=0，
解得：t=2，t=4．
1 2
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查一元二次方程的几何应用与矩形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
30．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，
设它们的运动时间为t．
(1)根据题意知：CQ＝ ，CP＝ ；（用含t的代数式表示）(2)t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的 ？
(3)运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
【答案】(1)t，4﹣2t
(2) 或
(3) 或 秒
【分析】（1）结合题意，直接得出答案即可；
（2）根据三角形的面积列方程即可求出结果；
（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若
Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解．
（1）
解：AC=3cm，BC=4cm，
根据题意得：经过t秒后，BP=t，PC=4-2t，CQ=t，
故答案为：t，4-2t；
（2）
解：当△CPQ的面积等于△ABC面积的 时，
即 （4-2t）•t= × ×3×4，
解得；t= 或t= ；
答：经过 或 秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的 ；
（3）
解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则 ，即 ，解得t= ；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则 ，即 ，解得t= ；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜
2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．
答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或 秒．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌
握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论．
◎应用七：相互问题（循环、握手、互赠礼品等）
技巧： 循环问题：又可分为单循环问题 n(n-1 ) ，双循环问题 n(n-1) .
31．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环
比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【分析】设有x支队伍，根据题意，得 ，解方程即可．
【详解】设有x支队伍，根据题意，得 ，
解方程，得x=10，x=-9（舍去），
1 2
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
32．（2022·广西柳州·模拟预测）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72家，设
参加比赛的球队有 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛72场，可列出
方程．
【详解】解：设有x个队参赛，则 x（x-1）=72．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
33．（2022·全国·九年级专题练习）某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去72张贺卡，则该学习小组
________有名成员；
【答案】9【分析】设这个小组有x名成员，则小组内每名成员需送出（x−1）张贺卡，由该小组新年互送新年贺卡共
72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这个小组有x名成员，则小组内每名成员需送出（x−1）张贺卡，
根据题意得：x（x−1）＝72，
解得：x＝9，x＝−8（不合题意，舍去）．
1 2
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
34．（2021·江苏·九年级专题练习）某校准备组织一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛
程计划安排7天，每天安排4场比赛，那么共有___个队参加．
【答案】8
【分析】可设共有x个队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有 场比赛，可以列出一个一元
二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
【详解】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4=28场比赛，
设共有x个队参赛，
则由题意可列方程为： =28，
解得：x=8，x=-7（舍去），
1 2
答：共有8个队参赛，
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队
之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
35．（2018·湖北·武汉市梅苑学校九年级期中）来自武汉高校的若干个社团参加了“敢为人先，追求卓
越”的城市精神的研讨会，参加研讨会的每两个社团之间都签订了一份合作协议，所有社团共签订了45份
协议，共有多少个社团参加研讨会？
【答案】10个.
【分析】因为参加研讨会的每两个社团之间都签订了一份合作协议，设有x个社团参加，则每个社团要签
（x-1）份合同，签订合同共有 份，由题意列方程即可．
【详解】解：设有 个社团参加，依题意，得解得： ， （舍去）.
答：共有10个社团参加研讨会
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的一般思路是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方
程求所列方程的解，检验和作答．
