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专题 11 圆锥曲线
易错点一：求轨迹方程时忽略变量的取值范围（求动点轨迹
方程）
求轨迹方程共有四大类，具体方法如下：
第一类：直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
第一步：建系：建立适当的坐标系
第二步：设点：设轨迹上的任一点
第三步：列式：列出有限制关系的几何等式
第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含 的代数式表示，如选用距离和斜率
公式等将其转化为 的方程式化简
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
第二类：定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点 和满足焦点标
志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为
的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线
的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
第三类：相关点法求动点的轨迹方程
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，
（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的
坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 的轨迹方程．
第四类：交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方
法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限
制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．
例．已知 是圆 ： 上的动点，点 ，直线 与圆 的另
一个交点为 ，点 在直线 上， ，动点 的轨迹为曲线 .
求曲线 的方程；
变式1．在平面直角坐标系中 中，动点 到定点 的距离比它到 轴的距离
大1， 的轨迹为 . 求曲线 的方程；
变式2．已知y轴右侧一动圆Q与圆P： 相外切，与y轴相切.
求动圆圆心Q的轨迹M的方程；
变式3．已知点 ，点 ，点 是 轴上的动点，点 在 轴上，直线
与直线 垂直， 关于 的对称点为 ．
求 的轨迹 的方程；
1．已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 和圆 均相
切，且一个内切、一个外切．
求动圆圆心 的轨迹 的方程．2．在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，
记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
3．设抛物线 的方程为 ，其中常数 ，F是抛物线 的焦点．
(1)若直线 被抛物线 所截得的弦长为6，求 的值；
(2)设 是点 关于顶点O的对称点， 是抛物线 上的动点，求 的最大值；
(3)设 是两条互相垂直，且均经过点F的直线， 与抛物线 交于点 ,
与抛物线 交于点 ，若点G满足 ，求点G的轨迹方程．
4．已知平面上动点 到点 与到圆 的圆心 的距离之和等
于该圆的半径.记 的轨迹为曲线 .
说明 是什么曲线，并求 的方程；
5．已知 为圆 ： 上任一点， ， ， ，
且满足 .
求动点 的轨迹 的方程；
6．已知点A为圆 上任意一点，点 的坐标为 ，线
段 的垂直平分线与直线 交于点 ．
求点 的轨迹 的方程；7．已知圆 ，一动圆与直线 相切且与圆C外切．
(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；
(2)若经过定点 的直线l与曲线 相交于 两点，M是线段 的中点，过 作
轴的平行线与曲线 相交于点 ，试问是否存在直线l，使得 ，若存在，求
出直线l的方程；若不存在，说明理由.
8．圆 ，圆心为 ，点 ，作圆上任意一点 与 点连线的中
垂线，交 于 .
求 的轨迹 的方程；
9．已知 ， ，对于平面内一动点 ， 轴于点
M，且 .
求点Р的轨迹C的方程；
10．在平面直角坐标系 中，已知点 、 ， 的内切圆与直线
相切于点 ，记点M的轨迹为C.
求C的方程；
易错点二：忽略了给定条件对 e 范围的限定（离心率的求
算）
求离心率范围的方法
建立不等式法：技巧1：建立关于 和 的一次或二次方程与不等式．
技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的
左、右焦点， 为椭圆上的任意一点， ； 为双曲线
的左、右焦点， 为双曲线上的任一点， ．
技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦
点， 为椭圆上的动点，若 ，则椭圆离心率 的取值范围为 ．
技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
PF⋅PF
技巧5：涉及 1 2的关系式利用基本不等式，建立不等关系．
易错提醒：圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是 ，而双曲
线的离心率范围是 ，在求范围的时候要时刻注意.
例．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，关于原点对称的两点A、
B分别在双曲线的左、右两支上， ， ，且点C在双曲线上，则双
曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式1．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，P为双曲线
右支上一点，若 ， ，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．2
变式2．已知双曲线 的上焦点为 ，点P在双曲线的下支上，若
，且 的最小值为7，则双曲线E的离心率为（ ）
A．2或 B．3或 C．2 D．3
变式3．过双曲线 ： 的右焦点 作双曲线一条渐近线的垂线，
垂足为 ，且与另一条渐近线交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率是
（ ）
A． B． 或 C． D．
1．已知圆 与双曲线 ，若在双曲线
上存在一点 ，使得过点 所作的圆 的两条切线，切点为 、 ，且 ，则
双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
2．已知双曲线 的离心率为 ，且双曲线 上的点到焦点的
最近距离为2，则双曲线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，P为双曲线C
的右支上一点，且 ， ，则双曲线C的离心率的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线 过双曲线 的右焦点 ，且与双
曲线右支交于 ， 两点．若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 是其右支上一点．若 ， ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线 与双曲线 交于 两点，点 是双曲线上与
不同的一点，直线 的斜率分别为 ，则当 取得最小值时，
该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示， 是双曲线 的左、右焦点， 的右支上存在
一点 满足 与双曲线 左支的交点 满足 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以 为直径的圆与
双曲线在第二象限的部分交于点 ，若双曲线上的点 满足 ，则双曲线的
离心率为（ ）A． B． C． D．
9．已知 为双曲线 ： 的右焦点，平行于 轴的直线 分别交
的渐近线和右支于点 ， ，且 ， ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 与双曲线
的右支交于 ， 两点，且 ，点 关于原点 的对称点为点 ，若
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
易错点三：易忽略判别式自身参数范围（求最值问题）
知识点一、直线和圆锥曲线联立（设点设线联立化解韦达判别）
与直线 相交于 两点，设 ，
（1）椭圆
，
椭圆 与过定点 的直线 相交于 两点，设为， 如 此 消 去 ， 保 留 ， 构 造 的 方 程 如 下 ： ，
与直线 相交于 两点，设 ，
（2）抛物线
联立可得 ， 时，
特 殊 地 ， 当 直 线 过 焦 点 的 时 候 ， 即 ，
抛物线 与直线 相交于 两点，设 ，
联立可得 ， 时，
知识点二、根的判别式和韦达定理
与 联 立 ， 两 边 同 时 乘 上 即 可 得 到
， 为 了 方 便 叙 述 ， 将 上 式 简 记 为
． 该 式 可 以 看 成 一 个 关 于 的 一 元 二 次 方 程 ， 判 别 式 为
可简单记 ．
遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存
和 联立 ，
同理
为了方便叙述，将上式简记为 ，
与C相离 ； 与C相切 ； 与C相交 ．
注意：
1.如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把 ， 互换位置即可．
2.
直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把 换成 即可；焦点在
y轴的双曲线，把 换成 即可， 换成 即可．
易错提醒：求最值问题时一般转化为函数最值问题，自变量范围一般容易忽略判别式
的前提（判别式也存在隐含自变量的范围）例．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则
的取值范围是 ．
变式1．已知椭圆 的左焦点为 是C上的动点，点 ，
若 的最大值为6，则C的离心率为 ．
变式2．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上一个动点，
为圆 上一个动点，则 的最大值为
变式3．设 ， 分别为椭圆 （ ）的左，右焦点， 为 内
一点， 为 上任意一点，若 的最小值为 ，则 的方程为 .
1．已知直线 过圆 的圆心，且与圆相交于 ， 两点， 为椭圆
上一个动点，则 的最大值与最小值之和为 ．
2．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
则 面积的最大值为 ．3．已知椭圆 离心率为 ， 为椭圆 的右焦点， ， 是
椭圆 上的两点，且 .若 ，则实数 的取值范围是 .
4．已知椭圆 是椭圆上两点，线段 的垂直平分线与 轴交于 ，
则 的取值范围是 .
5．已知椭圆 的面积为 ，点 在椭圆
上，点A关于x轴，y轴，原点的对称点分别为B，C，D，记四边
形ABDC的面积为S，则 的取值范围为 ．
6．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 是 上异于左、右顶点
的一点， 外接圆的圆心为M，O为坐标原点，则 的最小值为 .
7．椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 为椭圆 的
左顶点，且 ，过原点的直线交椭圆 于 两点，则 的取值
范围为 .
8．已知 为函数 图象上第一象限内的一个动点， 为
坐标原点，则四边形 的面积最大值为 .9．过椭圆 左焦点F的直线与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平
分线与x轴及y轴各有唯一公共点M，N，则 的取值范围是 .
10．如图，在直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，
点 、 为椭圆上位于 轴上方的两点，且 ，则 的取值范围为
.
易错点四：意义不明导致定点问题错误（有关直线与圆锥曲
线的定点与定值问题）
1、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系 ，用一个参数表示另外一
个参数 ，即可带用其他式子，消去参数 ．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为 时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式 ，就和参数 没什么关系了，或者说参数 不起作
用．
2、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目
的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个
直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个
方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式
来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程： ，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到 和 的关系： ，等式带入消参，消掉 ．
③参数无关找定点：找到和 没有关系的点．
易错提醒：直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线
的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必
有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明．
例．椭圆 的离心率 ，过点 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与椭圆交于 两点，椭圆的左顶点为 ，求直
线 与直线 的斜率之积.
变式1．已知圆 ： ，点 ， 是圆 上任意一点，线段 的
垂直平分线和半径 相交于
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)经过点 和 的圆与直线 ： 交于 ， ，已知点 ，且 、 分
别与 交于 、 .试探究直线 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，
请说明理由.变式2．在平面直角坐标系 中，已知定点 ，定直线 ，动点 在 上
的射影为 ，且满足 .
(1)记点 的运动轨迹为 ，求 的方程；
(2)过点 作斜率不为0 的直线与 交于 两点， 与 轴的交点为 ，记直线
和直线 的斜率分别为 ，求证： .
变式3．已知点 ， 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两个不同的点（异于 ），过 作 轴的垂线分别交直
线 于点 ，当 是 中点时，证明．直线 过定点.
1．已知椭圆C： 的离心率为 ，点 在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过点 的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C上是否存在
点Q，使得直线 与直线 分别交于点A，B，且点A，B关于x轴对称？若存
在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)已知过右焦点 的直线 与 交于 两点，在 轴上是否存在一个定点 ，使
？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
3．已知椭圆 ，其离心率为 ，直线 被椭圆截得的弦长
为 ．
(1)求椭圆 的标准方程．
(2)圆 的切线交椭圆 于 ， 两点，切点为 ，求证： 是定值．
4．已知平面上动点 到点 与到圆 的圆心 的距离之和等
于该圆的半径.记 的轨迹为曲线 .
(1)说明 是什么曲线，并求 的方程；
(2)设 是 上关于 轴对称的不同两点，点 在 上，且 异于 两点， 为
原点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，试问 是否为定值?
若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.
5．已知 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上异于左､右顶点的任意一
点， 的周长为6，面积的最大值为 ：
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 的另一交点为 ，与 轴的交点为 .若 ， .
试问： 是否为定值？并说明理由.6．已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆 经过
点 ，
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 是椭圆上不同于点 的两个动点，直线 与 轴围成底边在 轴上的等
腰三角形，证明：直线 的斜率为定值．
7．已知椭圆 的离心率为 ，且直线 是抛物线
的一条切线．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 交椭圆 于 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在
一个定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，
请说明理由．
8．已知椭圆 的焦距为2，圆 与椭圆 恰有两个公共
点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知结论：若点 为椭圆 上一点，则椭圆在该点处的切线方程为
．若椭圆 的短轴长小于4，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别
为 ，求证：直线 过定点．9．已知椭圆 过点 两点，椭圆的离心率为 ，
为坐标原点，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设P为椭圆 上第一象限内任意一点，直线 与y轴交于点M，直线 与x轴交
于点N，求证：四边形 的面积为定值.
10．已知椭圆 与椭圆 的离心率相同，
且椭圆 的焦距是椭圆 的焦距的 倍．
(1)求实数 和 的值；
(2)若梯形 的顶点都在椭圆 上， ， ，直线 与直线 相
交于点 ．且点 在椭圆 上，证明直线 恒过定点．
