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专题 10 直线和圆的方程
易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问
题）
距离问题
技巧总结
①两点间的距离：已知 则
②点到直线的距离:
③两平行线间的距离：两条平行直线 与 的距离公式
．
易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线x,y前的系数统一，然后代入公式求算.
例．已知直线 ， ，则（ ）
A．直线 过定点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时， 之间的距离为
变式1．曲线 在点 处的切线与其平行直线l的距离为 ，则直线l的方程可能为（ ）
A． B．C． D．
变式2．已知直线 ： ， ： ，圆C： ，下列说法正确的是（ ）
A．若 经过圆心C，则
B．直线 与圆C相离
C．若 ，且它们之间的距离为 ，则
D．若 ， 与圆C相交于M，N，则
变式3．已知直线 ，则（ ）
A．直线 过定点
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，两直线 之间的距离为1
1．若直线 与 之间的距离为 ，则a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
2．若两条直线 ， 与圆 的四个交点能构成正方形，则
（ ）
A． B． C． D．4
3．两条平行直线 和 间的距离为 ，则 ， 分别为（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．两条平行直线 与 之间的距离（ ）
A． B． C． D．7
5．已知直线 和 与圆 都相切，则圆 的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线 与 平行，则 与 间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直线 ： （ ）， ： ，若 ，则 与 间的距
离为（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知直线 ， ，若 ，则 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．若两条平行直线 与 之间的距离是 ，则m+n=
A．0 B．1 C．-2 D．-1
10．已知直线 ，则两条直线之间的距离为A． B． C． D．
易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的
考点）
直线方程的五种形式的比较如下表：
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴
斜截式 k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴
两点式 ， 是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴
a是直线在x轴上的非零截距，b是直 不垂直于 x 轴和 y
截距式
线在y轴上的非零截距 轴，且不过原点
一般式 A、B、C为系数 任何位置的直线
给定一般式求截距相等时，具体方案如下：
C
{ 令x=0⇒ y=−
B C C
Ax+By+C=0⇒ ⇒− =− ⇒A=B
C A B
令y=0⇒x=−
A
形如：第一种情况
Ax+By+C=0⇒C=0时，横纵截距皆为0
第二种情况：
截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型
易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解
例．已知直线 过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等
（1）求直线 的一般方程；
（2）若直线 在x，y轴上的截距不为0，点 在直线 上，求 的最小值．变式1．已知直线 过点 且在 轴上的截距相等
(1)求直线 的一般方程；
(2)若直线 在 轴上的截距不为0，点 在直线 上，求 的最小值．
变式2．已知直线 ： ，直线 ： ，其中a，b均不为0.
(1)若 ，且 过点 ，求a，b；
(2)若 ，且 在两坐标轴上的截距相等，求 与 之间的距离.
变式3．已知直线 ，直线
(1)若直线 在两坐标轴上的截距相等，求实数 的值；
(2)若 ，求直线 的方程.
1．已知圆 为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截
距相等时，l的方程为（ ）
A． B．
C． D．2．“直线 在坐标轴上截距相等”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0
4．下列说法正确的是（ ）
A．若直线 与直线 互相垂直，则
B．已知 ， ，点 ， 到直线 的距离分别为 和 ，则满足条件的直线 的条数是2
C．过 ， 两点的所有直线的方程为
D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
5．过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是
A． B． 或
C． D． 或
6．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“ ”的否定是“ ”
B．命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
C．“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件
D．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题
7．与圆 相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（ ）A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
8．已知直线 过点 ，且与 轴、 轴分别交于A，B点，则（ ）
A．若直线 的斜率为1，则直线 的方程为
B．若直线 在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为
C．若M为 的中点，则 的方程为
D．直线 的方程可能为
9．已知直线 ： ， ： ，则下列结论正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， 在x轴上的截距相等则
D． 的倾斜角不可能是 倾斜角的2倍
10．直线 与圆 相切，且 在 轴、 轴上的截距相等，则直线 的方程可能是
A． B．
C． D．
易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问
题）技巧总结
(x ,y )
第一类：求过圆上一点 0 0 的圆的切线方程的方法
正规方法：
k
第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率
1
−
k
第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为
y−y =k(x−x )
第三步：利用点斜式 0 0 求出切线方程
注意：若
k=0
则切线方程为
x=x
0，若
k
不存在时，切线方程为
y=y
0
秒杀方法：
x2 +y2 =r2 P(x ,y ) x x+y y=r2
①经过圆 上一点 0 0 的切线方程为 0 0
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 P(x ,y ) (x −a)(x−a)+(y −b)(y−b)=r2
②经过圆 上一点 0 0 的切线方程为 0 0
x2 +y2 +Dx+Ey+F=0 P(x ,y )
③经过圆 上一点 0 0 的切线方程为
x+x y+y
x x+y y+D⋅ 0 +E⋅ 0 +F=0
0 0 2 2
(x ,y )
第二类：求过圆外一点 0 0 的圆的切线方程的方法
方法一：几何法
y−y =k(x−x ) kx−y−kx +y =0
第一步：设切线方程为 0 0 ，即 0 0 ，
k
第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得 ，切线方程即可求出
方法二:代数法
y−y =k(x−x ) y=kx−kx +y
第一步：设切线方程为 0 0 ，即 0 0，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由 Δ=0 可求得 k ，切线方程即可求出
k
注意：过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的 只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存
在，可得数形结合求出.
k
第三类：求斜率为 且与圆相切的切线方程的方法
方法一：几何法
y=kx+m kx−y+m=0
第一步：设切线方程为 ，即第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得m，切线方程即可求出.
方法二:代数法
y=kx+m
第一步：设切线方程为 ，
第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由 Δ=0 可求得m，切线方程即可求出
方法三：秒杀方法
x2 +y2 =r2 k y=kx±r√k2 +1
已知圆 的切线的斜率为 ，则圆的切线方程为
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 k y=kx±r√k2 +1+b−ka
已知圆 的切线的斜率为 ，则圆的切线方程为
工具：点与圆的位置关系判断
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 (r>0)
的标准方程为
圆
x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2 +E2 −4F>0)
一般方程为 .
(x −a) 2 +(y −b) 2 =r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F=0
点在圆上： 0 0 0 0 0 0
①
(x −a) 2 +(y −b) 2 >r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F>0
0 0 0 0 0 0
②点在圆外：
(x −a) 2 +(y −b) 2
