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第 06 讲 切线长定理与弦切角定理
课程标准 学习目标
1. 掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运
①切线长的定义与切线长定理 用切线长解决问题。
②三角形的内切圆与内心 2. 掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心
③弦切角的定义与弦切角定理 极其性质，并能够运用其解决相关问题。
3. 掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。
知识点01 切线长定理
1. 切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段的
长，叫做这点到圆的切线长。
即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA
与PB的长度是切线长。
2. 切线长定理：
从圆外一点作圆的切线，可以作 条，它们的长度 。圆心和这一点的连线两
条切线的夹角。
即PA PB，∠APO ∠BPO。
推广：有切线长定理的结论可得：
⌒ ⌒
①△APO △BPO ∠AOP ∠BOP AM AM AB OP。
题型考点：①切线长定理的应用。
【即学即练1】
1．如图， O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么
BC的长为 ．
⊙
【即学即练2】
2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若 O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D
点，则DF的长为（ ）
⊙
A．2 B．3 C．4 D．6
【即学即练3】
3．如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于A、B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．5 B．7 C．8 D．10
【即学即练4】
4．如图所示，P是 O外一点，PA，PB分别和 O切于A，B两点，C是 上任意一点，过C作 O的切
⊙ ⊙ ⊙线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
A．12 B．6 C．8 D．4
知识点02 三角形的内切圆与内心
1. 内切圆的定义：
如图：与三角形各边都 的圆叫三角形的 。三角
形
叫做圆的 。
2. 内心：
三角形的 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角 的
交点。所以圆心到三角形三边的距离 相等 。
特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。
3. 直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系：
若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边。则这个直角三角形的内切圆半径为
。
4. 三角形的面积与内切圆半径的关系：
若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为： 。
考点题型：内切圆与内心的性质的应用。
【即学即练1】
5．如图， O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
⊙
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
【即学即练2】
6．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（ ）A．119° B．120° C．121° D．122°
【即学即练3】
7．如图，已知等边△ABC的内切圆 O半径为3，则AB的长为（ ）
⊙
A．3 B．3 C．6 D．6
【即学即练4】
8．已知△ABC的三边长a＝3，b＝4，c＝5，则它的内切圆半径是 ．
【即学即练5】
9．已知：如图， O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求 O的半径r；若AC
＝b，BC＝a，AB＝c，求 O的半径r．
⊙ ⊙
⊙
知识点03 弦切角定理
1. 弦切角的定义：如图，像∠ACP这样顶点在 ，一边与圆 ，一边与圆 的角叫弦切
角。即圆的切线与弦构成的夹角。
2. 弦切角定理：
弦切角的度数与它所夹的弧的圆周角度数 。等于它所夹弧
的圆心角度数的 。
证明提示：连接圆心与切点，过圆心作弦的切点即可证明。
题型考点：①利用弦切角定理计算。
【即学即练1】
10．如图，在 O中，AB是弦，AC是 O切线，过B点作BD⊥AC于D，BD交 O于E点，若AE平分
∠BAD，则∠ABD的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．30° B．45° C．50° D．60°
【即学即练2】
11．如图，AB是 O的直径，DB、DE分别切 O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．50° B．55° C．60° D．65°
【即学即练3】
12．如图，已知AB是 O的直径，PC切 O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 5 5 度．
⊙ ⊙
题型01 切线长定理求长度
【典例1】
如图， O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC
⊙的长为 ．
【典例2】
如图，AB、AC、BD是 O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（ ）
⊙
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【典例3】
如图， O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
⊙
A．8 B．9 C．10 D．11
【典例4】
如图，直线AB、CD、BC分别与 O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG
的长等于（ ）
⊙
A．13 B．12 C．11 D．10
题型02 切线长与周长
【典例1】
如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若
PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙A．8 B．12 C．16 D．20
【典例2】
如图，四边形ABCD是 O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 ．
⊙
【典例3】
以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长
为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
题型03 三角形的内切圆与内心的性质
【典例1】
如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．140° B．135° C．125° D．110°
【典例2】
如图所示，△ABC内接于 O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（ ）
⊙A．50° B．55° C．60° D．80°
【典例3】
如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点M是AB上一点（不与点A重合），点P是△ACM的内心，
则∠MPC的度数（ ）
A．等于115° B．可以等于80°
C．等于120° D．无法确定
【典例4】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3． O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点
D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（ ）
⊙
A． B．3 C． D．
【典例5】
如图，在 O中， ＝ ，BC＝6．AC＝3 ，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
⊙
A．1 B． ﹣3 C．5﹣ D．
【典例6】
如图，△ABC的内切圆 I与BC，CA，AB分别相切于点 D，E，F，若 I的半径为 r，∠A＝ ，则
（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（ ）
⊙ ⊙ αA．2r，90°﹣ B．0，90°﹣ C．2r， D．0，
题型04 弦切角定理的应用
α α
【典例1】
如图，AB是 O的直径，DB、DE分别切 O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．50° B．55° C．60° D．65°
【典例2】
如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，过点C作 O的切线，交直径AB的延长线于点D，若
∠ABC＝65°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．25° B．30° C．40° D．50°
【典例3】
如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若
∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）
A．97° B．104° C．116° D．142°
【典例4】
如图，PA、PB分别是 O的切线，A、B是切点，AC是 O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB的度数
为 °．
⊙ ⊙1．如图，AB、AC、BD分别切 O于点P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
⊙A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于A、B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．5 B．7 C．8 D．10
3．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm， O是它的内切圆，小明准备用剪刀在
O的右侧沿着与 O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
⊙
⊙ ⊙
A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内切圆 O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若
O的半径为2，AD•DB＝24，则AB的长（ ）
⊙
⊙
A．11 B．10 C．9 D．8
5．如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是
（ ）A．36° B．53° C．74° D．128°
6．已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c． O是△ABC的内切圆，下列选项中， O的半
径为（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
7．点P是 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，∠P＝70°，点C是 O上的点（不与点A、B重
合），则∠ACB等于（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
8．如图，等边△ABC边长为a，点O是△ABC的内心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段
AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：
①△ODE形状不变；
②△ODE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一；
③四边形ODBE的面积始终不变；
④△BDE周长的最小值为1.5a．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图
放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是 cm．10．如图，点O是△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝3，OC＝6， ，则 O的半径为 ．
⊙
第10题 第11题 第12题
11．如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于A、B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
若PA＝5，则△PCD的周长为 ．
⊙ ⊙ ⊙
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直角边BC在x轴上，
其内切圆的圆心坐标为I（0，1），抛物线y＝ax2+2ax+1的顶点为A，则a＝ ．
13．如图，PA、PB、DE切 O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，
（1）若PA＝10，求△PDE的周长．
⊙
（2）若∠P＝50°，求∠O度数．
14．如图，AB为 O直径，PA、PC分别与 O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
⊙ ⊙
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．15．如图，PA、PB、CD是 O的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
⊙
（2）如果∠P＝40°，
①求∠COD；
②连AE，BE，求∠AEB．
