文档内容
第 06 讲 平行四边形【12 个必考点】
【人教版】
【知识点1 平行四边形的概念】..............................................................................................................................1
【知识点2 平行四边形的性质】..............................................................................................................................1
【必考点1 利用平行四边形的性质求角度】.........................................................................................................2
【必考点2 利用平行四边形的性质求线段长】.....................................................................................................4
【必考点3 利用平行四边形的性质求面积】.........................................................................................................8
【必考点4 平面直角坐标系中平行四边形的性质应用】...................................................................................11
【知识点3 两条平行线之间的距离】...................................................................................................................14
【必考点5 平面直角坐标系中平行四边形的性质应用】...................................................................................14
【知识点4 平行四边形的判定】............................................................................................................................17
【必考点6 平行四边形的判定条件】...................................................................................................................18
【必考点7 根据平行四边形的判定确定平行四边形的个数】...........................................................................23
【必考点8 平行四边形的判定解动点问题】.......................................................................................................24
【必考点9 证一个四边形是平行四边形】...........................................................................................................29
【必考点10 平行四边形的判定与性质综合】.....................................................................................................32
【知识点5 三角形的中位线及其定理】...............................................................................................................38
【必考点11 三角形中位线定理的应用】..............................................................................................................38
【必考点12 平行四边形中多结论问题】.............................................................................................................42
【知识点1 平行四边形的概念】
1.定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.表示方法
平行四边形通常用符号“▱”表示。以平行四边形ABCD为例，记作“▱ABCD”，其中A、B、C、D为平行
四边形的四个顶点，且顶点字母要按顺时针或逆时针方向依次排列。
【知识点2 平行四边形的性质】
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
边相等
角 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
角相等对角线 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
角线互相平分
【拓展延伸】
（1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答.
（2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据.
（3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.
（4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形
面积 的 四分之一 ；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
【规律方法】
（1）平行四边形的邻角互补；
（2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
【必考点1 利用平行四边形的性质求角度】
【例1】在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠D的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．110°
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【解答】解：画出图形如下所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
又∵∠A﹣∠B＝40°，
∴∠A＝110°，∠B＝70°，
∴∠D＝∠B＝70°．
故选：B．
【变式1】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E．已知∠AEB＝40°，则∠D的度数为（
） ▱A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】主要运用了平行四边形的两个性质：①边：平行四边形的对边平行．②角：平行四边形的对
角相等．由平行四边形的性质得∠ABC＝∠D，AD∥BC，则∠AEB＝∠BEC＝40°，再由角平分线定义
得∠ABC＝2∠ABE＝80°，即可得出结论．
【解答】解：在 ABCD中，
∴∠AEB＝∠EB▱C＝40°．
∵BE平分∠ABC交AD于点E，
∴∠ABC＝2∠ABE＝80°．
由题意可得：∠ABC＝∠D＝80°．
故选：C．
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接AC．若AB＝AE，∠EAC＝
20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再由平行线的性质和角平分线得出∠DAE＝
∠AEB，∠ACD＝∠BAC，∠BAE＝∠DAE，根据AB＝AE得出∠ABE＝∠AEB，由等量代换得出∠ABE
＝∠AEB＝∠BAE，根据等边三角形的判定得到△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得
∠BAE＝60°，由∠EAC＝20°可得∠ACD＝∠BAC＝80°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ACD＝∠BAC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠BAE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵∠EAC＝20°，
∴∠ACD＝∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°+20°＝80°，
故选：D．
【变式3】如图，在 ABCD中，∠B+∠C+∠D＝240°，线段AE在平行四边形内部，∠BAE＝2∠DAE，作
EF∥AB，交边BC▱于点F，以AE，EF为邻边构造 AEFG，则∠BFG的度数为（ ）
▱
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据平行四边形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：在 ABCD中，∠DAB＝360°﹣（∠B+∠C+∠D）＝360°﹣240°＝120°，
∵∠BAE＝2∠D▱AE，
∴∠DAB＝3∠DAE＝120°，
∴∠DAE＝40°，
∴∠EAB＝80°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥FG，
∴∠BGF＝∠BAE＝80°，
∵∠B＝180°﹣∠DAB＝60°，
∴∠BFG＝180°﹣∠B﹣∠FGB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
故选：B．
【必考点2 利用平行四边形的性质求线段长】
【例1】如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝2，则 ABCD的对角线AC的
长为（ ） ▱ ▱2
A．5 B．10 C． D．2❑√5
3
【分析】连接BD交AC于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出 BD＝AD＝2，即可
推出∠ADB＝90°，先利用勾股定理求出AF的长，即可求出AC的长．
【解答】解：在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝2，如图，连接BD交AC于
点F． ▱
∴BD＝BC，BC＝AD＝2，BF＝DF，AC＝2AF，
∴BD＝AD＝2，
1
∴DF= BD=1，
2
∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF=❑√22 +12 =❑√5，
∴AC=2AF=2❑√5，
故选：D．
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝
2，AE＝3，则DE的长为（ ）
A．5 B．❑√7 C．❑√6 D．2.5
【分析】先根据平行四边形的性质及角平分线的定义证明 AB＝BE＝2，CE＝CD＝2，再利用∠BAD+∠CDA＝180°结合角平分线的定义证明∠AED＝90°，推出△AED是直角三角形，利用勾股定理
即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2，
∴AD＝BC，CD＝AB＝2，AD∥BC，∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠CED＝∠ADE，∠AEB＝∠DAE，
∵∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，
1 1
∴∠BAE=∠DAE= BAD，∠CDE=∠ADE= ADC，
2 2
∴∠AEB＝∠BAE，∠CED＝∠CDE，
∴CE＝CD＝2，AB＝BE＝2，
∴AD＝BC＝BE+CE＝4，
1
∴∠DAE+∠ADE= (∠BAD+∠CDA)=90°，
2
∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝90°，
∵AE＝3，
∴DE=❑√AD2−AE2 =❑√7，
故选：B．
【变式2】如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF分别交CD边于点E，
F．若AD＝3，EF＝1，则AB的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由CD∥AB，得∠DEA＝∠BAE，∠CFB＝∠ABF，而∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，则
∠DEA＝∠DAE，∠CFB＝∠CBF，所以ED＝AD＝3，FC＝BC＝3，则1+AB＝6，求得AB＝5，于是得
到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD＝BC＝3，
∴∠DEA＝∠BAE，∠CFB＝∠ABF，∵AE，BF分别是∠BAD，∠ABC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，
∴∠DEA＝∠DAE，∠CFB＝∠CBF，
∴ED＝AD＝3，FC＝BC＝3，
∴EF+DF+FC＝ED+FC＝3+3＝6，
∵EF＝1，DF+FC＝CD＝AB，
∴1+AB＝6，
∴AB＝5，
故选：B．
【变式3】已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长
的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（ ）
A．3 B．5 C．2❑√5 D．❑√7
【分析】根据平行四边形的性质和△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，可证明OE是线段
AC的中垂线，根据勾股定理即可求出EO的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
∴O是AC的中点．
1
∴OA＝OC= AC＝3，
2
∵△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，
∴△DCE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD，
∴CE+DE＝AD，
∵AE+DE＝AD，
∴AE＝CE，
∴OE是线段AC的中垂线，
∴OE⊥BD，
∵AE＝EC＝4，OA＝3，∴EO=❑√AE2−OA2 =❑√16−9=❑√7．
故选：D．
【必考点3 利用平行四边形的性质求面积】
【例1】如图，在 ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是
∠CBA的平分线▱，若AE＝3，BE＝2，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【分析】利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出∠EAB+∠EBA＝90°，进而利用直角三角形的
性质求出答案．
【解答】解：∵AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，
∴∠DAE＝∠EAB，∠CBE＝∠ABE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∵AE＝3，BE＝2，
1
∴S△ABE =
2
×2×3＝3，
∴平行四边形ABCD的面积为：6．
故选：B．
【例2】如图， ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，
若△CON的面▱积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是（ ）
▱
A．12 B．16 C．24 D．32
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，得出 S△CON ＝S△AOM ，S△ABD ＝S△CBD ，求出S△AOB ＝S△AOD ＝
6，即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC，BD的交点，
∴四边形ABCD是中心对称图形，OB＝OD，
∴S△CON ＝S△AOM ，S△ABD ＝S△CBD ，
∵S△AOD ＝S△AOM +S△DOM ＝2+4＝6，
∴S△AOB ＝S△AOD ＝6，
∴S△ABD ＝S△AOB +S△AOD ＝12，
∴S
ABCD
＝2S△ABD ＝24，
故选▱：C．
【变式1】如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，
则平行四边形ABCD的面积为（ ）cm2．
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据平行四边形的性质可得BC+CD＝10，根据面积公式可得2BC＝3CD，然后联立组成方程
组可得CD和BC的长，进而可得面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∵周长为20cm，
∴BC+CD＝10①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，
∴2BC＝3CD②，
{BC+CD=10)
联立①②得 ，
2CB=3CD
{CD=4)
解得： ，
CB=6
∴平行四边形ABCD的面积为：AE×CB＝2BC＝2×6＝12（cm2），
故选：D．
【变式2】如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，2AB＝BC＝
AC＝4，则△OCE▱的面积为（ ）❑√15 ❑√15 ❑√17 ❑√17
A． B． C． D．
2 4 2 4
1
【分析】由 ABCD，AE平分∠BAD，可得∠BEA＝∠BAE，则BE=AB=2= BC，即E为BC的中
2
▱
1 1 1 1
点，S = S = × S ，如图，作 CF⊥AB 于 F，则AF= AB=1，由勾股定理得，
△OCE 2 △BOC 2 4 ▱ABCD 2
CF=❑√15，则S
ABCD
＝AB×CF，进而可求S△OCE ．
【解答】解：∵▱ ABCD，AE平分∠BAD，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BE▱A，∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
1
∴BE=AB=2= BC，即E为BC的中点，
2
1 1 1
∴S = S = × S ；
△OCE 2 △BOC 2 4 ▱ABCD
如图，作CF⊥AB于F，
∵AC＝BC，
1
∴AF= AB=1，
2
由勾股定理得，CF=❑√AC2−AF2 =❑√15，
∴S =AB×CF=2❑√15，
▱ABCD
❑√15
∴S = ，
△OCE 4
故选：B．
【变式3】如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝20厘米，BC边上的高是8厘米．EF是AD和BC的平行线，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
A．75 B．80 C．85 D．90
【分析】根据图形可知推出图中阴影部分的面积＝平行四边形ABCD的面积的一半，即可求解．
【解答】解：由题意可知，四边形AEFD、四边形EBCF都是平行四边形，
设平行四边形AEFD边AD，平行四边形EBCF的边BC边上的高分别为h ，h ，
1 2
1 1
则图中阴影部分的面积= BC•h + AD•h ，
2 2 2 1
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
1
∴图中阴影部分的面积= BC（h +h ），
2 1 2
∵h +h ＝8厘米，
1 2
1
∴图中阴影部分的面积= ×20×8＝80（平方厘米），
2
故选：B．
【必考点4 平面直角坐标系中平行四边形的性质应用】
【例1】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，
1），C（5，2），则顶点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（4，﹣1） C．（3，﹣1） D．（3，﹣2）
x+1 −1+5 y+1 −2+2
【分析】设点B（x，y），由平行四边形的性质可得 = ， = ，即可求解．
2 2 2 2
【解答】解：设点B（x，y），
∵四边形ABCD是平行四边形，点A（﹣1，﹣2），点D（1，1），点C（5，2），x+1 −1+5 y+1 −2+2
∴ = ， = ，
2 2 2 2
∴x＝3，y＝﹣1，
∴点B（3，﹣1），
故选：C．
【变式1】在平面直角坐标系中， PQMN的三个顶点坐标分别是P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M
（6，8），则N点坐标是（ ▱）
A．（﹣15，5） B．（﹣14，1） C．（﹣14，5） D．（﹣15，1）
【分析】设N（x，y），根据平行四边形的性质结合P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8），得
出|x﹣6|＝|﹣5﹣15|，|y+10|＝|8+3|，结合N点在第二象限得出得出x，y的值即可推出结果．
【解答】解：设N（x，y），
∵四边形PQMN是平行四边形，P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8），
∴|x﹣6|＝|﹣5﹣15|，|y+10|＝|8+3|，
∵N点在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴x＝﹣14，y＝1，
∴N（﹣14，1），
故选：B．
【变式2】如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点
D的坐标是（ ▱ ）
A．（8，2） B．（4，1） C．（﹣8，2） D．（4，﹣1）
【分析】根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵ ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣4，﹣4）、（4，﹣4），
∴▱AD＝BC＝8，OA＝2，
∴顶点D的坐标为（8，2）．
故选：A．
【变式3】在平面直角坐标系中，已知点A（0，0）、B（5，0）、C（2，3），以A、B、C三点为顶点画
平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是（ ）
A．（7，3） B．（﹣3，3） C．（3，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
【解答】解：已知点A（0，0）、B（5，0）、C（2，3），以A、B、C三点为顶点画平行四边形，设
D（a，b），
0+5 0+0 5
①当AB为对角线时，中点坐标为( ， )，即( ，0)，
2 2 2
a+2 5 b+3
根据平行四边形的性质，得 = ， =0，
2 2 2
解得a＝3，b＝﹣3，
∴点D的坐标为（3，﹣3）；
0+2 0+3 3
②当AC为对角线时，中点坐标为( ， )，即(1， )，
2 2 2
a+5 b+0 3
根据平行四边形的性质，得 =1， = ，
2 2 2
解得a＝﹣3，b＝3，
∴点D的坐标为（﹣3，3）；5+2 0+3 7 3
③当BC为对角线时，中点坐标为( ， )，即( ， )，
2 2 2 2
a+0 7 b+0 3
根据平行四边形的性质，得 = ， = ，
2 2 2 2
解得a＝7，b＝3，
∴点D的坐标为（7，3），
故选：D．
【知识点3 两条平行线之间的距离】
1.定义：两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条
平行线之间的距离.
2.性质：
①如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
②两条平行线之间的任意两条平行的线段长都相等.
【必考点5 平面直角坐标系中平行四边形的性质应用】
【例1】如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（ ）
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．直线a，b之间的距离是线段AB的长
D．直线a，b之间的距离是线段CE的长
【分析】因为a∥b，AB∥CD，所以四边形ABDC是平行四边形，可得AB＝CD，故A不符合题意；因
为CE⊥b，FG⊥b，所以CE∥GF，因为a∥b，所以四边形CEGF是平行四边形，且CE⊥a，可得CE
＝FG，故B不符合题意；因为AB不垂直于直线a、b，所以直线a、b之间的距离不是线段AB的长，
故C符合题意；因为CE⊥b，CE⊥a，a∥b，所以直线a、b之间的距离是线段CE的长，故D不符合题
意．
【解答】解：∵a∥b，AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AB＝CD，故A不符合题意；∵CE⊥b，FG⊥b，
∴CE∥GF，
∵a∥b，
∴四边形CEGF是平行四边形，且CE⊥a，
∴CE＝FG，故B不符合题意；
∵AB不垂直于直线a、b，
∴直线a、b之间的距离不是线段AB的长，故C符合题意；
∵CE⊥b，CE⊥a，a∥b，
∴直线a、b之间的距离是线段CE的长，故D不符合题意，
故选：C．
【变式1】已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为
2cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．3cm B．7cm
C．3cm或7cm D．以上都不对
【分析】本题考查平行线间的距离：分①直线c在直线a，b外，②直线c在直线a，b之间两种情况
讨论求解．
【解答】解：如图①，直线c在直线a，b外时，
∵a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，
∴a与c之间的距离为5+2＝7（cm）；
如图②，直线c在直线a，b之间时，
∵a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，
∴a与c之间的距离为5﹣2＝3（cm）．
综上所述，a与c之间的距离为3cm或7cm．
故选：C．
【变式2】如图，直线l ∥l ，l 和AB的夹角∠BAD＝135°，且AB＝5，则两平行线l 和l 之间的距离是（
1 2 1 1 2
）5❑√2
A．5❑√2 B． C．5 D．2.5
2
【分析】根据平行线的性质以及平行线间的距离的定义构造直角三角形，由直角三角形的边角关系即可
求出答案．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥l ，垂足为点C，
2
∵l ∥l ，
1 2
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝135°，
∴∠ABC＝180°﹣135°＝45°，
在Rt△ABC中，AB＝5，∠ABC＝45°，
❑√2 5❑√2
∴AC= AB= ．
2 2
故选：B．
【变式3】如图，l ∥l ，直线l 与直线l 之间的距离为4，点A是直线l 与l 外一点，点A到直线l 的距离
1 2 1 2 1 2 1
为2，点B，D分别是直线l 与直线l 上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆
1 2
心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】过C作CK∥l ，过A作AH⊥CK，交l 于M，交l 于N，作CP⊥l 于P，得到CK∥l ，因此
1 1 2 2 2
AM＝2，MN＝4，由平行四边形的性质推出，△ABM≌△CDQ（ASA），CP＝AM＝2，得到HN＝2，求出AH＝8，由AC≥AH，即可求出AC的最小值．
【解答】解：过C作CK∥l ，过A作AH⊥CK，交l 于M，交l 于N，作CP⊥l 于P，
1 1 2 2
∵l ∥l ，
1 2
∴CK∥l ，
2
∴AH⊥l ，AH⊥l ，
1 2
∴AM＝2，MN＝4，
由题意得：BC＝AD，CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠BAM＝∠QCD，AB＝CD，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠ABM＝∠CDQ，
∴△ABM≌△CDQ（ASA），
∴CP＝AM＝2，
∴HN＝CP＝2，
∴AH＝2+4+2＝8，
∵AC≥AH，
∴点A与点C之间距离的最小值是8．
故选：B．
【知识点4 平行四边形的判定】
判定方法 数学语言 图形
两组对边分别平行的四边形
是平行四边形.（定义）
四边形ABCD是平行四边形.
边 两组对边分别相等的四边形
是平行四边形.
四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边
形是平行四边形. （或 ），四边形 是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形
角
是平行四边形. ，
四边形ABCD是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是
对角线
平行四边形.
四边形ABCD是平行四边形.
【必考点6 平行四边形的判定条件】
【例1】在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出六组条件：①AB＝DC，AD∥BC；
②AB＝CD，AB∥CD；③AB∥CD，AD∥BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB＝CD，AD＝BC；
⑥AD∥BC，∠ABC＝∠ADC．能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可．
【解答】解：①由“AB＝DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据
此不能判定该四边形是平行四边形；
②由“AB＝CD，AB∥CD”可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行
四边形；
③由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形；
④由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形；
⑤由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形；
⑥由 AD∥BC 可知∠DAB+∠ABC＝180°，由∠ABC＝∠ADC，可得∠DAB+∠ADC＝180°，可证
AB∥CD，可得四边形ABCD是平行四边形，
则能判定此四边形是平行四边形的有5组，
故选：A．
【例2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（
）A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC
B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．AD∥BC，OB＝OD
D．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD
【分析】由∠ABD＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，证明△AOB≌△COD，得OB＝OD，则四边
形 ABCD 是平行四边形，可判断 A 不符合题意；由∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，不能证明
△ABC≌△CDA，所以不能确定BC与AD是否相等，则不能判断四边形ABCD是平行四边形，可判断B
符合题意；AD∥BC，得∠OCB＝∠OAD，而∠COB＝∠AOD，OB＝OD，可根据“AAS”证明
△COB≌△AOD，得OC＝OA，则四边形ABCD是平行四边形，可判断 C不符合题意；由∠ABD＝
∠BDC，得AB∥CD，由∠ADB＝∠CBD，得AD∥CB，则四边形ABCD是平行四边形，可判断D不符
合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠ABD＝∠BDC，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△AOB和△COD中，
{∠ABO=∠CDO
)
∠AOB=∠COD ，
OA=OC
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A不符合题意；
∵由∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，不能证明△ABC≌△CDA，
∴不能确定BC与AD是否相等，
∴不能判断四边形ABCD是平行四边形，
故B符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠OCB＝∠OAD，在△COB和△AOD中，
{∠COB=∠AOD
)
∠OCB=∠OAD ，
OB=OD
∴△COB≌△AOD（AAS），
∴OC＝OA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C不符合题意；
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥CB，
四边形ABCD是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：B．
【变式1】下面给出了四组四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能确定四边形ABCD
为平行四边形的是（ ）
A．2：3：6：7 B．3：4：5：6 C．3：3：5：5 D．4：5：4：5
【分析】由平行四边形的判定方法直接判断，即可求解．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C：∠D＝4：5：4：5，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：D．
【变式2】如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与
原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【分析】根据确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题，四个顶点
的位置确定了，平行四边形的大小就确定了．
【解答】解：∵只有①③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小，
故选：B．
【变式3】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP
＝180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案：
甲：添加BM＝PC；
乙：添加BM∥PC；
丙：添加MP＝BC．
则正确的方案（ ）
A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对
C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案．
【解答】解：∵∠P+∠BCP＝180°，
∴MP∥BC，
甲：添加BM＝PC后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形MBCP为平行四边形；
乙：添加BM∥PC后，满足两组对边平行，能证明四边形MBCP为平行四边形；
丙：添加MP＝BC后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形MBCP为平行四边形；
综上可知，只有乙、丙才对，
故选：B．
【变式4】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，
②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，
可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（ ）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②④⑥ D．①③④⑥【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论．
【解答】解：①∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
②∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③∵AB∥CD，AD＝BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故③不正确；
④∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确；
⑤∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△AOB和△COD中，
{∠ABO=∠CDO
)
BO=DO ，
∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AO＝CO，
又∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故⑤正确；
∵∠BCD+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
⑥∵∠DBA＝∠CAB，
∴OA＝OB，
∵AB∥CD，
∴∠DBA＝∠CDB，∠CAB＝∠ACD，
∵∠DBA＝∠CAB，
∴∠CDB＝∠ACD，∴OC＝OD，
不能得出四边形ABCD是平行四边形，故⑥不正确；
故选：B．
【必考点7 根据平行四边形的判定确定平行四边形的个数】
【例1】如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则
这样的平行四边形最多可以画（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题；
【解答】解：在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形
最多可以画5个，
故选：D．
【变式1】在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数
为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格结构的特点找出平行四边形即可得
解．
【解答】解：由图可知，图中平行四边形有 ABEC， BDEC， BEFC共3个．
故选：B． ▱ ▱ ▱
【变式2】如图，是由小正方形组成的3×3的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都
是格点，以AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（
）个．A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形
最多可以画5个，
故选：C．
【变式3】如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两
个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】根据平行四边形的判定作出图形，即可得到结论．
【解答】解：如图，以AB为对角线的平行四边形有11个，以AB为边的平行四边形有2个，
∴共有13个，
故选：D．
【必考点8 平行四边形的判定解动点问题】
【例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长
度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向
点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四
边形是平行四边形，则t的值为 ．【分析】由AD∥BC，则PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，则得：9﹣3t＝5﹣t，解方程即可，
②当Q运动到E和B之间时，则得：3t﹣9＝5﹣t，解方程即可．
【解答】解：∵E是BC的中点，
1
∴BE＝CE= BC＝9，
2
∵AD∥BC，
∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，
则得：9﹣3t＝5﹣t，
解得：t＝2，
②当Q运动到E和B之间时，
则得：3t﹣9＝5﹣t，
解得：t＝3.5；
∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：2或3.5．
【变式1】如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的
速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t
（s）当t＝ s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F
为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出
发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，
另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边
形是平行四边形时，t＝ ．
【分析】设t秒后四边形ABQP是平行四边形，由题意得AP＝t cm，CQ＝2t cm，由AP＝BQ列方程求
解即可；当四边形DCQP是平行四边形，由题意得AP＝t cm，CQ＝2t cm，由PD＝CQ或PD＝BQ列方程求解即可．
【解答】解：设t秒后四边形ABQP是平行四边形，
由题意得，AP＝t cm，CQ＝2t cm，
则BQ＝（10﹣2t）cm，
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t＝10﹣2t，
10
解得t= ，
3
10
即 秒时四边形ABQP是平行四边形；
3
当四边形DCQP是平行四边形，
则PD＝（6﹣t）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝CQ时，四边形DCQP是平行四边形，
∴2t＝6﹣t，
解得t＝2，
当PD＝BQ时，10﹣2t＝6﹣t，
解得t＝4，
10
∴ 或2或4秒时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形，
3
10
故答案为： 或2或4．
3
【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC=4❑√5cm，其中BD是AC边上的高．点M从点A出
发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，
过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：（1）线段BP＝ cm，AM＝ cm（用含t的代数式表示）；
（2）求AD的长；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）设AD＝x，由勾股定理求出AD即可；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm，得出MD＝
AD﹣AM＝（6﹣4t）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方
程即可；
②当点M在点D的下方时，PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm，得出MD＝AM﹣AD＝（4t﹣6）
cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意，得：BP＝t cm，AM＝4t cm；
故答案为：t，4t；
（2）设AD＝x cm，则：CD＝（10﹣x）cm，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∴BD2＝AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2，
∴102−x2 =(4❑√5) 2 −(10−x) 2，
解得：x＝6；
∴AD＝6cm；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，由题意得：PQ＝BP＝t cm，AD＝6cm，
∴MD＝AD﹣AM＝（6﹣4t）cm．
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD，即当t＝6﹣4t时，四边形PQDM是平行四边形，
解得t＝1.2；
②当点M在点D的下方时，
根据题意得：PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm，
∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣6）cm．
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，即当t＝4t﹣6时，四边形PQMD是平行四边形，
解得t＝2．
综上所述，当t＝1.2或t＝2时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．
【必考点9 证一个四边形是平行四边形】
【例1】如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE
＝DF，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】先证明AB∥CD，再证明△ABE≌△CDF（AAS），得AB＝CD，然后由平行四边形的判定即
可得出结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
在△ABE与△CDF中，
{∠BAE=∠DCF
)
∠BEA=∠DFC ，
BE=DF
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【变式 1】如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 BD 上一点，且 BE＝BC，AB＝EF，∠ABD＝
∠BFE，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【分析】证明△ABD≌△EBF（ASA），得出AD＝BE，由平行四边形的判定可得出结论．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵∠ABD＝∠BFE，
∴∠A＝∠BEF，
在△ABD和△EBF中，{ ∠A=∠BEF )
AB=EF ，
∠ABD=∠BFE
∴△ABD≌△EBF（ASA），
∴AD＝BE，
又∵BE＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【变式 2】如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E和F为对角线 AC 上的两点，AE＝CF，∠ABE＝
∠CDF．
求证：四边形ABCD为平行四边形．
【分析】证△AEB≌△CFD（AAS），得AB＝DC，再由AB∥DC，根据平行四边形的判定即可得出结
论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠FCD，
在△AEB和△CFD中，
{∠ABE=∠CDF
)
∠EAB=∠FCD ，
AE=CF
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴AB＝DC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【变式3】如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是
平行四边形．【分析】先证△AFB≌DCE（SAS），得FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，则∠BFC＝∠ECF，得FB∥CE，
即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠BAF＝∠EDC，
在△AFB和△DCE中，
{ AB=DE )
∠BAF=∠EDC ，
AF=DC
∴△AFB≌△DCE（SAS），
∴FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，
∴∠BFC＝∠ECF，
∴FB∥CE，
又∵FB＝CE，
∴四边形BCEF是平行四边形．
【变式4】如图，D为AB上一点，DF交AC于点E，E为AC的中点，CF∥AB．连接DC，FA．求证：四
边形AFCD是平行四边形．
【分析】证明△ADE≌△CFE（ASA），得DE＝FE，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵CF∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△ADE和△CFE中，{∠DAE=∠FCE
)
AE=CE ，
∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴DE＝FE，
∵AE＝CE，
∴四边形AFCD是平行四边形．
【必考点10 平行四边形的判定与性质综合】
【例1】如图，在 ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC．
（1）求证：四▱边形BEDG是平行四边形；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若 ABCD的周长为28，EF＝5，求S△ABC ．
▱
【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC，则∠DAC＝∠BCA，再
由角平分线的定义得∠ADG＝∠CBE，然后证明△ADG≌△CBE（ASA），即可得出结论；
（2）过E点作EH⊥BC于点H，由角平分线的性质得EH＝EF＝5，再由平行四边形的性质得AB+BC＝
14，然后利用三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，
1 1
∴∠ADG= ∠ADC，∠CBE= ∠ABC，
2 2
∴∠ADG＝∠CBE，
∴△ADG≌△CBE（ASA），
∴∠AGD＝∠CEB，BE＝DG，
∴180°﹣∠AGD＝180°﹣∠CEB，
∴∠DGE＝∠BEG，
∴BE∥DG，∵BE＝DG，
∴四边形BEDG是平行四边形；
（2）解：如图，过E作EH⊥BC于点H，
∵ ABCD的周长为28，
▱ 1
∴AB+BC= ×28=14，
2
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EH＝EF＝5，
1 1 1 1
∴S = AB⋅EF+ BC⋅EH= EF(AB+AC)= ×5×14=35．
△ABC 2 2 2 2
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接
AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，因为延长CD至点E，使CD＝DE，所以
AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABDE是平行四边形；
1
（2）连接OE，由 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，得OA＝OC= AC＝4，由AC平分∠BAE，
2
▱
得∠BAC＝∠EAC，由 AB∥CD，得∠BAC＝∠ECA，则∠EAC＝∠ECA，所以 AE＝CE＝6，则
1
OE⊥AC，所以∠AOE＝90°，求得OE=❑√AE2−OA2 =2❑√5，则S△ACE =
2
AC•OE＝8❑√5．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∵延长CD至点E，使CD＝DE，
∴AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）解：连接OE，
∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，
▱ 1
∴OA＝OC= AC＝4，
2
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE＝6，
∴OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∴OE=❑√AE2−OA2 =❑√62−42 =2❑√5，
1 1
∴S△ACE =
2
AC•OE=
2
×8×2❑√5=8❑√5，
∴△ACE的面积是8❑√5．
【变式2】如图，在 ABCD的对角线BD上依次取点E，F（BE＜BF），且BE＝DF，作GE∥FH，分别
交边AB，CD于点▱G，H．
（1）求证：四边形GEHF为平行四边形．
（2）若GF＝HD，∠EHD＝140°，求∠ABD的度数．【分析】（1）证明△GBE≌△HDF（ASA），得GE＝FH，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得GF＝HE，则HE＝HD，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出
∠HDE＝∠HED＝20°，然后由平行线的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GBE＝∠HDF，
∵GE∥FH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴∠GEB＝∠HFD，
∴△GBE≌△HDF（ASA），
∴GE＝FH，
∴四边形GEHF为平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形GEHF为平行四边形，
∴GF＝HE，
∵GF＝HD，
∴HE＝HD，
1 1
∴∠HDE＝∠HED= ×（180°﹣∠EHD）= ×（180°﹣140°）＝20°，
2 2
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠HDE＝20°．
【变式3】如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边▱形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得 AD∥BC，AD＝BC．根据平行线的性质，得∠ADB＝∠CBD，则∠ADE＝∠CBF．根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE＝CF，∠AED＝∠CBF，从而证明
AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
1
（2）根据勾股定理得到BD=❑√AB2−AD2 =❑√52−32 =4，连接AC交EF于O，求得DO＝OB= BD＝
2
1
2，根据平行四边形的性质得到EO＝OF= EF，设DE＝BF＝x，根据勾股定理即可得到结论．
2
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠ADB＝∠CBD．
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
{ AD=BC )
∠ADE=∠CBF ，
DE=BF
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF．
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，BC＝AD＝3，
∴BD=❑√AB2−AD2 =❑√52−32 =4，
连接AC交EF于O，
1
∴DO＝OB= BD＝2，
2
∵四边形AECF是平行四边形，
1
∴EO＝OF= EF，
2
∴DE＝BF，
设DE＝BF＝x，
∴EF＝2x+4，
∵EF﹣AF＝2，
∴AF＝2x+2，
∵AF2＝AD2+DF2，∴（2x+2）2＝32+（4+x）2，
∴x=❑√7（负值舍去），
∴DE的长为❑√7．
【知识点5 三角形的中位线及其定理】
1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
【必考点11 三角形中位线定理的应用】
【例1】如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且∠AFC＝90°．若
AC＝6，DF＝5，则BC的长为（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．4
【分析】先根据直角三角形斜边上中线的性质求出 EF的长，进而求出DE的长，然后根据三角形中位
线定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，∠AFC＝90°，点E是AB的中点，AC＝6，
1
∴EF= AC=3，
2∵DF＝5，
∴DE＝DF﹣EF＝2，
∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝2×2＝4．
故选：D．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动
点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
12 24
A．2 B． C．3 D．
5 5
【分析】连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，根据勾股定理
1
求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DE= CM即可．
2
【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，
理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=❑√AC2 +BC2 =❑√62 +82 =10，
1 1
∴ AC•BC= AB⋅CM，
2 2
1 1
∴ ×6×8= ×10×CM，
2 224
∴CM= ，
5
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
1 1 24 12
∴DE= CM= × = ，
2 2 5 5
12
即DE的最小值是 ，
5
故选：B．
【变式2】如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．
若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【分析】延长CE，交AB于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AF＝
AC，EF＝EC，根据三角形中位线定理得出BF＝2，即可得出结果．
【解答】解：延长CE，交AB于点F．
∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，
∴∠EAF＝∠EAC，∠AEF＝∠AEC，
在△EAF与△EAC中，
¿，
∴△EAF≌△EAC（ASA），
∴AF＝AC，EF＝EC，
又∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF＝2DE＝2．
∴AC＝AF＝AB﹣BF＝7﹣2＝5；
故选：C．【变式3】如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O．
1
（1）求证：OE= EC；
2
（2）若OD＝2，求AB的长．
【分析】（1）证明四边形EFCD是平行四边形即可得出结论；
（2）证明DF是△ABC的中位线即可求解．
【解答】（1）证明：∵ED，EF是中位线，
∴ED∥FC，EF∥DC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵对角线CE和DF相交于点O，
1
∴OE= EC；
2
（2）解：∵EC，DF是平行四边形EFCD的对角线，OD＝2，
∴DF＝2OD＝4，
∵ED，EF是△ABC的中位线，
∴点D，F分别是AC，BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
1
∴DF= AB，
2
∴AB＝2DF＝8．
【变式4】如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD中点，EF分别
交AC、BD于点H、G．求证：OG＝OH．【分析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角
形，根据等边对等角，即可证得∠MEF＝∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH＝∠OHG，根据
等角对等边即可证得．
【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
1
∴MF∥BD，MF= BD，
2
1
同理：ME∥AC，ME= AC，
2
∵AC＝BD，
∴ME＝MF，
∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE＝∠OGH，
同理∠MEF＝∠OHG，
∴∠OGH＝∠OHG，
∴OG＝OH．
【必考点12 平行四边形中多结论问题】
【例1】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB
▱
1 1
=
2
BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S平行四边形ABCD ＝AB×AC；③S△ABC ＝2S△ACE ；④OE=
4
BC，成立的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，利用角平分线的定义证明
1
△ABE是等边三角形，然后推出AE＝BE= BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进
2
行推理即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，
1
∵AB= BC，
2
1
∴AE＝BE= BC，
2
∴AE＝CE，故①正确；
∴∠EAC＝∠ACE＝30°
∴∠BAC＝90°，
∴S ＝AB•AC，故②正确；
ABCD
∵B ▱ E＝EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE ＝S△ACE ，
∴S△ABC ＝2S△ACE ，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝CO，
∵AE＝CE，
∴EO⊥AC，∵∠ACE＝30°，
1
∴EO= EC，
2
1
∵EC= BC，
2
1
∴OE= BC，故④正确；
4
故正确的个数为4个，
故选：D．
【变式1】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延
长线交于点F，连接AC、CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝
AF；④S△BEF ＝S△ABE ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE＝∠DAE，可得
∠BAE＝∠BEA，得AB＝BE，由AB＝AE，得到△ABE是等边三角形，②正确；则∠ABE＝∠EAD＝
60°，由SAS证明△ABC≌△EAD，①正确；由S△AEC ＝S△DEC ，S△ABE ＝S△CEF 得出④即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形；
②正确；∴∠ABE＝∠EAD＝60°，
∵AB＝AE，BC＝AD，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；
①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD ＝S△ABC ，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC ＝S△DEC ，
∴S△ABE ＝S△CEF ．
若AD与BF相等，则BF＝BC，
题中未限定这一条件，
若S△BEF ＝S△ACD ；则S△BEF ＝S△ABC ，
则AB＝BF，
∴BF＝BE，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确．
若AD与AF相等，即∠AFD＝∠ADF＝∠DEC，
即EC＝CD＝BE
即BC＝2CD，
题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
故选：B．
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于
H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD=❑√2BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝
BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①由等腰直角三角形的性质可求BD=❑√2BE；
②由余角的性质和平行四边形的性质可求∠A＝∠C＝∠BHE；③由“ASA”可证△BHE≌△DCE，可得BH＝CD；
④在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，则△BCF与△DCE不全等．
【解答】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝∠BDE＝45°，
∴BE＝DE，
∴BD=❑√2BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH＝∠DEC＝90°，
∴∠BHE+∠HBE＝90°＝∠HBE+∠C，
∴∠C＝∠BHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝∠BHE，故②正确；
∵∠C+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠HBE，
在△BHE和△DCE中，
{ ∠HBE=∠EDC )
BE=DE ，
∠BEH=∠DEC=90°
∴△BHE≌△DCE（ASA），
∴BH＝CD＝AB，故③正确，
在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，
∴△BCF与△DCE不全等，故④错误．
故选：B．
【变式3】在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中
点，连接▱GF、GE、EF，GE 交 OB 于点 N．下列结论：① GN＝NE；② AE⊥GF；③ AC 平分
∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的结论是（ ）A．①③ B．①② C．②③④ D．①②③④
【分析】通过证明四边形BGFE是平行四边形，可得GN＝NE，故①正确；由等腰三角形的性质可得
BE⊥AC，由平行四边形的性质可证GF⊥AE，故②正确；由外角的性质可得∠BOC＞∠ACD，由等腰
三角形的性质可得∠BOC＝∠BCO≠∠ACD，故③错误；由等腰三角形的性质可得 BE⊥AE，可得
∠BOE＜90°，则AC与BD不垂直，故④错误，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴CD＝2EF，EF∥CD，AB＝2BG，
∴BG＝EF，AB∥EF∥CD，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GN＝NE，
故①正确，符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC，
∵BD＝2AD＝2BC，
∴BO＝BC，
又∵点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴GF∥BE，
∴GF⊥AC，
即GF⊥AE，
故②正确，符合题意；
∵BO＝BC，
∴∠BOC＝∠BCO，
∵∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BOC＞∠ACD，
∴∠BCO≠∠ACD，
∴AC不平分∠BCD，
故③错误，不符合题意；∵BO＝BC，点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BOE＜90°，
∴AC与BD不垂直，
故④错误，不符合题意，
故选：B．
