文档内容
专题 01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：定义法求轨迹方程...........................................................2
题型二：直接法..............................................................................3
题型三：代入法（相关点法）.......................................................4
题型四：点差法..............................................................................5
三、专项训练.......................................................................................6
一、必备秘籍
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线 与方程 之间有以下两个关系：
①曲线 上的点的坐标都是方程 的解；
②以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点．
此时，把方程 叫做曲线 的方程，曲线 叫做方程 的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为 ；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
x、y
（4）用坐标 表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
3.1定义法：
如果动点 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定
学科网（北京）股份有限公司义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：
如果动点 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 满足的等量
关系易于建立，则可以先表示出点 所满足的几何上的等量关系，再用点 的坐标
表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3代入法（相关点法）：
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标
满足某已知曲线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把
的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 的轨迹方程。
3.4点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 ，
， ， 等关系式，由于弦 的中点 的坐标满足 ，
且直线 的斜率为 ，由此可求得弦 中点的轨迹方程.
二、典型题型
题型一：定义法求轨迹方程
1．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知动圆过定点 ，并且在定圆B：
的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知动圆 过动点 ，并且在定圆 ：
的内部与其相内切，则动圆圆心 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M： ，圆N：
学科网（北京）股份有限公司均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）一动圆 过定点 ，且与已知圆 ：
相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆 ： 相内切，且
与定直线 相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·全国·课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆
外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
题型二：直接法
1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知 ，若动点P满足直线 与直线
的斜率之积为 ，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知点 的坐标分别为 ，直线
相交于点 ,且直线 的斜率与直线 的斜率的差是1，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，已知定点 ， ，
学科网（北京）股份有限公司直线 与直线 的斜率之积为-4，则动点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中， ，动点
P满足 则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且
，则 .
5．（2024高三·全国·专题练习）已知点 ， ，直线PM，PN的斜率乘积
为 ，P点的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 .
题型三：代入法（相关点法）
1．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线 的两个焦点分别为 ，离心
率等于 ，设双曲线的两条渐近线分别为直线 ；若点 分别在 上，且满足
，则线段 的中点 的轨迹 的方程为
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知圆 与 轴交于点 、 ，过圆上动点
( 不与 、 重合)作圆 的切线 ，过点 、 分别作 轴的垂线，与切线 分别交于
点 ，直线 与 交于点 ， 关于 的对称点为 ，则点 的轨迹方程为
3．（23-24高二下·江西上饶·期末）已知椭圆 的左右焦点为 、 ，点 为椭
圆上任意一点，过 作 的外角平分线的垂线，垂足为点 ，过点 作 轴的垂线，
垂足为 ，线段 的中点为 ，则点 的轨迹方程为 .
4．（23-24高二上·四川成都·期中）点M为椭圆 上一点， 为椭圆的两个焦
学科网（北京）股份有限公司点，则 的内心轨迹方程为 .
5．（22-23高二上·广东·阶段练习）已知圆 上的动点M在x轴上的投影为N，
点C满足 ．
(1)求动点C的轨迹方程C；
6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为
， ，平面内两点G，M同时满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交
点：②M是△ABC的外心；③
(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；
题型四：点差法
1．（2024·贵州·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，过点
且斜率为1的直线交椭圆于 两点.若 的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川巴中·模拟预测）已知椭圆 四个顶点构成的四边形的
面积为 ，直线 与椭圆C交于A，B两点，且线段 的中点为 ，
则椭圆C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）焦距为 ，并且截直线 所得弦的中点
学科网（北京）股份有限公司的横坐标是 的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D． 或
4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为
，过点 的直线交双曲线E于A、B两点.若 的中点坐标为 ，则E的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦
点，过 的直线 与 相交于 ， 两点，且 的中点为 ，则 的方程为
（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二·全国·课后作业）过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 、 两点，
则线段 的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
三、专项训练
1．（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑
动，则点 关于点 的对称点 的轨迹方程为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知面积为 的正方形 的顶点 、 分别在 轴
和 轴上滑动， 为坐标原点， ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·广东佛山·期末）长为 的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴
上滑动，则点 关于点 的对称点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）平面上动点 到定点 的距离比点 到 轴
的距离大 ，则动点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
5．（23-24高二上·河南·期中）已知动点P在曲线 上，则点 与点P连线的
中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知点P是圆 上的动点，作
轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直线 交抛物线 ： 于 轴异侧两点 ，
，且 ，过 向 作垂线，垂足为 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
8．（23-24高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆的方程为 ，若抛物线过点A（﹣1，
0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
9．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知 ， ， ，第三个顶点C在曲
线 上移动，则 的重心的轨迹方程是 ．
10．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆 上有一点 ， 是 轴上的定
点，若有一点 满足 ，则 的轨迹方程为 ．
11．（23-24高二·全国·课后作业）已知点 是曲线 上任意一点， ，连接
并延长至 ，使得 ，求动点Q的轨迹方程 ．
12．（23-24高二上·全国·课后作业）设圆 的圆心为A，点P在圆
上，则PA的中点M的轨迹方程是 .
学科网（北京）股份有限公司
