第06讲二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（知识解读+真题演练+课后巩固）（学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2024版

第 06 讲 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 1.会用配方法将二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k，从而 确定顶点坐标、对称轴. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用. 3.会利用二次函数的对称性画出二次函数的图象. 4. 掌握二次函数字母系数与图象的关系. 知识点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 y a(xh)2 k 2. 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一 y ax2 bxc 般式 ． 3. 一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ． 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚 线画出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这 两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、 D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称 点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图 象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 在对称轴的左侧，即当 2a时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 2a时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a y  ax2 bxc(a  0) 知识点4 二次函数 图象和性质 a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母的符号 图象的特征 字母 a a＞0 开口向上a＜0 开口向下 ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 b ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴与最值问题】 【典例1】（2022秋•郊区期末）抛物线y＝﹣4x2+3的开口方向和顶点坐标分别 是（ ） A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3） C．向下，（0，3） D．向上，（0，3） 【变式 1-1】（2022 秋•镇海区期末）抛物线 y＝﹣3x2+6x﹣1 的对称轴是 （ ） A．直线x＝2 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝﹣1 【变式 1-2】（2022 秋•厦门期末）点 A（0，5），B（4，5）是抛物线 y＝ ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的顶点可能是（ ） A．（2，5） B．（2，4） C．（5，2） D．（4，2） 【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】 【典例2】（2023•纳溪区模拟）把函数 y＝x2﹣2x+3的图象向左平移1个单位 长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3 【变式2-1】（2023•纳溪区模拟）把函数y＝x2﹣2x+3的图象向左平移1个单位 长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3 【变式2-2】（2022•泸州）抛物线y＝﹣ x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物 线是（ ）A．y＝﹣ x2+x B．y＝﹣ x2﹣4 C．y＝﹣ x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1 【变式2-3】（2023•神木市一模）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移4个单位，再 向下平移3个单位，得到抛物线y＝x2﹣4x+3，则b、c的值分别为 （ ） A．b＝﹣12，c＝32B．b＝4，c＝﹣3 C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6 【题型3： 二次函数y=ax2+bx+c的性质】 【典例3】（2023•成都模拟）下列关于抛物线 y＝x2+4x﹣5的说法正确的是（ ） ①开口方向向上； ②对称轴是直线x＝﹣4； ③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小； ④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【变式3-1】（2022秋•绵阳期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部 分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列结论中，正确的是（ ） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x＝4 C．当x＞4时，y随x的增大而减小 D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大 【变式3-2】（2022秋•金水区期末）关于二次函数y＝x2+4x﹣1，下列说法不正 确的是（ ） A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1） B．图象的对称轴在y轴的左侧 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣5） D．当x＜2时，y的值随x值的增大而减小 【变式3-3】（2023•秦都区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 ﹣1 m 3 … 以下结论错误的是（ ） A．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣1） B．当x＞1时，y随x增大而增大 C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2 D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2 【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】 【典例4】（2023•汉中二模）二次函数 y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象经过A （﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ），D（5，y ）四个点，y ＜0，y ＞ 1 2 3 4 2 4 0，则下列结论正确的是（ ） A．y y ＞0 B．y y ＜0 C．y y ＜0 D．y y ＞0 3 4 2 3 1 2 1 3 【变式4-1】（2023•宜州区二模）P （﹣2，y ），P （﹣1，y ），P （3，y ） 1 1 2 2 3 3 均在二次函数y＝x2+2x﹣3的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ） 1 2 3 A．y ＞y ＞y B．y ＝y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y 1 3 2 1 2 1 3 1 2 1 2 3 【变式4-2】（2023•邯郸模拟）已知点A（n﹣2，y ），B（n，y ）在二次函数 1 2 的y＝﹣x2+2x+3图象上，若y ＜y ，则n的取值范围为（ ） 1 2 A．n≤1 B．n＜2 C．1＜n＜2 D．n＞2 【变式4-3】（2023•洞头区二模）已知（﹣1，y ），（2，y ），（4，y ）是 1 2 3 抛物线y＝﹣x2+4x+c上的点，则（ ） A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y 3 2 1 3 1 2 2 3 1 1 3 2 【变式4-4】（2023•南岗区模拟）已知（﹣3，y ），（﹣2，y ）是抛物线y＝ 1 2 ﹣x2﹣4x+1上的点，则（ ） A．y ＜y B．y ＜y C．y ＝y D．y ≤y 2 1 1 2 1 2 1 2 【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】 【典例5】（2022秋•江门校级期末）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在 ﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ） A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或【变式5-1】（2023•山丹县模拟）二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（ ） A．﹣2 B．﹣10 C．﹣6 D．6 【变式5-2】（2022秋•江阳区期末）若函数 y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最 小值为4，则实数a的值为（ ） A．﹣3或3 B．﹣1或1 C．0或2 D．2或4 【变式5-3】（2022秋•盐山县校级期末）当 y＝x2﹣6x﹣3的值最小时，x的取 值是（ ） A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9 【变式 5-4】（2022 秋•和平区校级期末）已知二次函数 y＝x2﹣2x+2 在 m≤x≤m+1时有最小值m，则整数m的值是（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2 【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】 【典例6】（2023•兴庆区校级二模）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如 图所示，则一次函数y＝bx﹣a在坐标系内的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2023•绥化模拟）函数 y＝ax2+bx+1和y＝ax﹣b（a是常数，且 a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A． B． C． D． 【变式6-2】（2023•新都区模拟）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2023•拱墅区模拟）二次函数y＝ax2﹣2x+1和一次函数y＝ax﹣a （a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A． B．C． D． 【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【典例7】（2023•梅州一模）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象， 有如下结论： ①abc＞0：②a+b+c＜0：③4a+b＜0；④4a＞c． 其中正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（2023•广东模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下 结论：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④对任意实数m，都有 2am2+2bm﹣b≥0．其中正确的有（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式 7-3】（2023•雁塔区校级三模）如图，直线 x＝1 是二次函数 y＝ ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0； ③3a+c＞0；④4a+2b+c＞0，正确的是（ ）A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 【变式7-4】（2023•滕州市校级模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数 y ＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 5个结论：①abc＞0；②a﹣ b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（ ） A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣4 2．（2021•河池）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中， 错误的是（ ）A．对称轴是直线x＝ B．当﹣1＜x＜2时，y＜0 C．a+c＝b D．a+b＞﹣c 3．（2022•六盘水）如图是二次函数 y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ﹣ 4 ． 4．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到 y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ． 5．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤ 时，函数值y的最 小值为1，则a的值为 ． 5．（2022•北京）在平面直角坐标系 xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点（x ，m）（x ≠1）在抛物线上．若 m＜n＜c，求t的取值范围及x 0 0 0 的取值范围． 6．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣ 3），（﹣6，﹣3）． （1）求b，c的值． （2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． （3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．1．（2023•高阳县校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（ ） A．（1，﹣4） B．（1，4） C．（0，﹣3） D．（2，﹣3） 2．（2022秋•云州区期末）已知点（﹣3，y ），（﹣2，y ），（0，y ）在函 1 2 3 数y＝x2+4x+3的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ） 1 2 3 A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y 2 3 1 2 1 3 1 2 3 1 3 2 3．（2023•拱墅区模拟）将二次函数 y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向 下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（ ） A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x﹣3）2+2 C．y＝5（x+3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2 4．（2023•宛城区校级模拟）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再 向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （ ） A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6 5．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数 y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的 取值范围为（ ） A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣3或x＞ 1 6．（2022秋•大连期末）画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 5 … y … 0 1 0 ﹣3 ﹣8 … 关于此函数有下列三个结论：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x 的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3．其中正确的结论个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2023•鄞州区校级一模）二次函数y＝x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增 大而增大，则一次项系数b满足（ ） A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣2 8．（2022秋•盐湖区期末）二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函 数y＝abx+c的图象大致是（ ）A． B． C． D． 9．（2022秋•金水区期末）关于二次函数y＝x2+4x﹣1，下列说法不正确的是（ ） A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1） B．图象的对称轴在y轴的左侧 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣5） D．当x＜2时，y的值随x值的增大而减小 10．（2022秋•盐山县校级期末）当 y＝x2﹣6x﹣3的值最小时，x的取值是（ ） A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9 11．（2022秋•梅里斯区期末）抛物线y＝ax2+bx+c（x≠0）的部分图象如图， 则下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④a+b+c＜﹣3，正确 的是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2022秋•番禺区校级期中）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的 范围内有最小值为﹣5，则c的值（ ） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 13．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增 大时，x的取值范围是（ ） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 14．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值 为15，则a的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2022秋•济南期末）已知二次函数 y＝mx2+（m﹣1）x+m﹣1有最小值为 0，求m的值．