文档内容
第 06 讲 二元一次方程组与消元—解二元一次方程组（6 个
知识点+6 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．
③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
知识点2．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程
的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确
定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出
其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
知识点3．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”
的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个
的对应值．知识点4．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
知识点5．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到
有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方
程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
知识点6．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，
将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式
代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求
出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的
值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知
数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系
数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个
一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入
原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在
一起，就得到原方程组的解，用 的形式表示．
知识复习
一．二元一次方程的定义（共6小题）
1．（2023春•绍兴期中）下列各方程中，是二元一次方程的是A． B． C． D．
【分析】根据二元一次方程的定义对四个选项进行逐一分析．
【解答】解： 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误；
、含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，是二元一次方程，故本选项正确；
、 、含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2，是二元二次方程，故本选项错误．
故选： ．
【点评】本题考查的是二元一次方程的定义，即含有两个未知数，并且未知数的次数都是
1的方程叫二元一次方程．
2．（2023春•威县月考）已知 是关于 ， 的二元一次方程，则 1
．
【分析】首先根据 是关于 ， 的二元一次方程得 且 ，
由此解出 ， ，进而可求出 的值．
【解答】解： 是关于 ， 的二元一次方程，
且 ，
由 解得： ，
由 解得： ，
．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，解一元一次方程，零次幂的运算法则，理
解二元一次方程的定义，熟练掌握零次幂的运算法则，以及解一元一次方程的方法是解答
此题的关键．
3．（2023春•高港区期中）若关于 、 的方程 是二元一次方程，则
的值等于 1 ．
【分析】由二元一次方程的定义可知 ， 的次数为1，据此可列出方程，并求解．
【解答】解： 关于 、 的方程 是二元一次方程，， ，
解得 ， ，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查解二元一次方程的定义，解题关键是熟知二元一次方程的定义：含有两
个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
4．（2023春•乌鲁木齐期中）若 是关于 ， 的二元一次方程，则 ，
的值分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】根据二元一次方程组的定义，得出 ，解方程组即可求解．
【解答】解：根据题意得 ，
解得 ，
故选： ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义以及解二元一次方程组，根据题意列出方程组
是解题的关键．
5．（2023春•中山区期中）定义：若点 满足 ，则称点 为二元一次方程
的坐标点．
（1）若点 为方程 的坐标点，则 5 ；
（2）若 为方程 的坐标点，且 ， 为正整数，求 ， 的值．
【分析】（1）将点 代入方程 ，即可解答．
（2）将点 代入方程 ，得 再代入 ，即可解答．
【解答】解：（1）将点 代入方程 ，得 ，
解得 ．
（2）由题意得： ， ， ， 为正整数，
或 ．
【点评】本题考查了解二元一次方程参数，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键．
6．（2023春•东丽区期末）在平面直角坐标系中， 为原点，点 ， ， 的坐标分别为
， ， ，且 ， 满足关于 ， 的二元一次方程 ．
（Ⅰ）求 ， 的坐标．
（Ⅱ）若点 为 轴负半轴上的一个动点．如图， ，当
时， 与 的平分线交于点 ，求 的度数．
【分析】（1）根据二元一次方程的定义列式计算；
（2）作 ，根据角平分线的定义、平行线的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得， ， ， ，
解得， ， ，
则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）如图，作 ，，
，
，
，
，
，
，
与 的平分线交于 点，
， ，
， ，
， ，
．
【点评】本题考查的是二元一次方程的定义、平行线的性质，掌握二元一次方程的定义、
平行线的性质和正确作辅助线是解题的关键．
二．二元一次方程的解（共6小题）
7．（2023春•南通期末）若 ，是关于 和 的二元一次方程 的解，则
的值等于
A．3 B．6 C． D．【分析】把 与 的值代入方程计算即可求出 ，把所求式子因式分解后代入计算
即可．
【解答】解：将 代入方程 得： ，
．
故选： ．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的
值．
8．（2023春•朝阳区校级期中） 是二元一次方程 的一个解，则 的值为
．
【分析】根据方程的解的定义，把 与 的值代入方程计算即可求出 的值，方程的解即
为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【解答】解： 是二元一次方程 的一个解，
，
解得： ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，理解方程的解是解题的关键．
9．（2023春•黔江区期末）下列哪对 ， 的值是二元一次方程 的解
A． B． C． D．
【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题．
【解答】解： ．当 ， ，得 ，那么 ， 不是
的解，故 不符合题意．．当 ， ，得 ，那么 ， 不是 的解，故 不符合
题意．
．当 ， ，得 ，那么 ， 是 的解，故 符
合题意．
．当 ， ，得 ，那么 ， 不是 的解，故 不
符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解
决本题的关键．
10．（2023春•朝阳区期末）写出二元一次方程 的一组整数解 （答案不
唯一） ．
【分析】用 表示出 ，确定出整数解即可．
【解答】解：方程 ，
解得： ，
当 时， ，
则二元一次方程的一组整数解为 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2023春•姜堰区期末）若关于 、 的二元一次方程变形为 的形式 、
是常数， ，则其中一对常数 、 称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程 变形为 ，则二元一次方程 的“相
伴系数对”为 ， ．
（1）二元一次方程 的“相伴系数对”为 ；
（2）已知 是关于 、 的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为
，写出这个二元一次方程；
（3）关于 、 的二元一次方程 ，已知该方程的“相伴系数对”
之和为2，求 的值．
【分析】（1）先把二元一次方程 变形为 ，根据“相伴系数对”的定义
解答即可；
（2）先根据“相伴系数对”的值写出方程 ，然后把 、 的值代入即可求
出 的值，从而写出方程；
（3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于 、 的方程，从而
求出 的值．
【解答】解：（1） ，
，
，
二元一次方程 的“相伴系数对”为 ，
故答案为： ；
（2） 方程的“相伴系数对”为 ，该方程为 ，
是该方程的一个解，
，
解得 ，
，
即 ；
（3）将关于 、 的二元一次方程 变形为 ，
“相伴系数对”为 ，
该方程的“相伴系数对”之和为2，
，
，
，
．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键．
12．（2023春•泰兴市期末）定义：若有序数对 满足二元一次方程 、
为不等于0的常数），则称 为二元一次方程 的数对解．例如：有序数对
满足 ，则称 为 的数对解．
（1）下列有序数对，是二元一次方程 的数对解的是 ②③ ；（填序号）
① ，② ，③ ．（2）若有序数对 为方程 的一个数对解，且 、 为正整数，求
、 的值；
（3）若有序数对 是二元一次方程 的一个数对解，且
求 的取值范围．
【分析】（1）根据数对解的概念将3个数对分别代入求解判断即可；
（2）根据数对解的概念将 代入 整理得到 ，然后根据
为正整数求解即可；
（3）根据数对解的概念将 代入 整理得到 ，设
，两个方程联立解得 ，然后利用 代入求解即可．
【解答】解：（1）将 代入 得， ，故①不是二元一次方程
的数对解；
将 代入 得， ，故②是二元一次方程 的数对解；
将 代入 得， ，故③是二元一次方程 的数对解；
综上所述，是二元一次方程 的数对解的是②③，
故答案为：②③．
（2） 有序数对 为方程 的一个数对解，
，
整理得， ，
、 为正整数，或 ；
（3） 有序数对 是二元一次方程 的一个数对解，
，
设 ，
联立 ，
解得 ，
，
，
，即 ．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式等知识
解题的关键是熟练掌握数对解的概念．
三．解二元一次方程（共6小题）
13．（2023春•潢川县期末）已知二元一次方程 ，用含 的代数式表示 ，则
．
【分析】根据解方程一般步骤，可得答案．
【解答】解： ，
移项，得 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解二元一次方程，利用解方程一般步骤是解题关键，注意移项要变号．
14．（2023春•朝阳区期末）把方程 改写成用含 的式子表示 的形式，正确的
是A． B． C． D．
【分析】把 看作已知数求出 即可．
【解答】解：方程 ，
解得 ．
故选： ．
【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2022 秋•五华县期末）将方程 写成用含 的代数式表示 ，则
．
【分析】利用等式的性质解方程即可．
【解答】解： 移项得 ，
系数化为1得 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了解一元一次方程，正确掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
16．（2023春•桐柏县期末）二元一次方程 的非负整数解有
A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个
【分析】将 ，1，2， ，分别代入 ，求出二元一次方程 的非负
整数解有多少组即可．
【解答】解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
二元一次方程 的非负整数解有 ， ， ， ， ，
， ，共7组．
故选： ．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是关键．
17．（2023春•凤台县期中）若一个两位数十位、个位上的数字分别为 、 ，我们可将
这个两位数记为 ，即： ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【分析】（1）按定义列出方程求出 的值即可；
（2）按定义列出方程求出 、 的值，代入计算即可．
【解答】解：（1） ， ，
，
；
（2） ， ，
，解得 ，
，
， 或 ， 或 ，
或22或31．
【点评】本题考查了一次方程的解法．明确新的定义是解题的关键．
18．（2017春•姜堰区期中）已知： ．
（1）用 的代数式表示 ；
（2）如果 、 为自然数，那么 、 的值分别为多少？
（3）如果 、 为整数，求 的值．
【分析】（1）方程组消去 得到 与 关系式即可；
（2）根据 与 为自然数，确定出 与 的值即可；
（3）方程组整理表示出 的值，原式利用幂的乘方与同底数幂的乘法法则变形，将
的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1） ，
消去 得： ；
（2）当 时， ； 时， ； 时， ； 时， ；
（3）方程组整理得： ，
则原式 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是消去 ．四．二元一次方程组的定义（共6小题）
19．（2023春•川汇区月考）下列方程组中，二元一次方程组的个数是
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二元一次方程组的定义分析即可．
【解答】解：①中方程组含有2次项，故不是二元一次方程组；
②是二元一次方程组；
③中方程组含有2次项，故不是二元一次方程组；
④是二元一次方程组；
⑤中方程组的分母含未知数，故不是二元一次方程组；
故选： ．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有
两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程
组叫做二元一次方程组．
20．（2023春•徐州期末）观察所给的4个方程组：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中，符合二元一次方程组定义的是 ①②④ （写出所有正确的序号）
【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可．
【解答】解：① ，符合二元一次方程组定义；② ，符合二元一次方程组定义；
③ ，未知数 的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义；
④ ，符合二元一次方程组定义；
所以符合二元一次方程组定义的是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，属于只记题目，比较简单．
21．（2023春•邻水县期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高
次数都应是一次的整式方程．
【解答】解： ．含有三个未知数，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意；
．符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
．第2个方程的未知数的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不
合题意．
．第2个方程含未知数的项的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选
项不合题意．
故选： ．
【点评】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件
①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一
次方程．
22．（2023春•江北区期中）若方程组 是二元一次方程组，则“ ”可以是（答案不唯一，符合即可） ．
【分析】根据二元一次方程组的定义求解．
【解答】解：“ ”可以是： ，
故答案为： ．（答案不唯一，符合即可）
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键．
23．（2023春•滨州期末）在人教版七年级上、下册分别学习了《一元一次方程》和《二
元一次方程组》，请叙述学习“方程”的研究路径，并猜想在以后学习，我们还将学习哪
些方程？请举例．
【分析】根据一元一次方程和二元一次方程组的定义得出答案即可．
【解答】解：路径：方程的定义一方程的解一解方程—方程的应用；我们将来还可能研究
一元
二次方程、一元三次方程、二元二次方程组等等（只要按照元和次数两方面作答均可以）．
如：一元三次方程 ．
【点评】本题考查了二元一次方程组，二元一次方程等知识点，能熟记一元一次方程，二
元一次方程组的定义是解此题的关键，注意：①只含有一个未知数，并且所含未知数的最
高次数是1的整式方程叫一元一次方程，②由几个二元一次方程组成，并且共含有两个不
同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数都是 1，且每个方程都是整式方程，这样的
方程组叫二元一次方程组．
24．（2023春•泸县校级期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
（1） ；
（2） ．
【分析】由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【解答】解：（1）是，理由如下：中的两个方程都是一次方程，并含有两个未知数，它是二元一次方程组．
（2）是，理由如下：
中的两个方程都是一次方程，并含有两个未知数，它是二元一次方程组．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义“由两个二元一
次方程组成的方程组”是关键．
五．二元一次方程组的解（共6小题）
25．（2023春•岳池县期末）若关于 ， 的二元一次方程组 的解满足
，则 的值为
A．0 B．1 C．2 D．
【分析】利用方程①减去方程②，得到 ，再利用整体代入法求解即可．
【解答】解： ，
① ②得： ，即 ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“利用整体未知数的方法解决问
题”是解本题的关键．
26．（2022秋•宝安区期末）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解．你写的方程
组是 （答案不唯一） ．【分析】根据二元一次方程组的定义，结合方程组的解即可得到结论．
【解答】解：根据二元一次方程组的定义，结合方程组无解得 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题考查二元一次方程组的定义及方程组无解的理解，熟练掌握二元一次方程组
的定义是解决问题的关键．
27．（2023 春•确山县期中）若 是关于 、 的方程组 的解，则
的值为 ．
【分析】把 与 的值代入方程组，求出 与 的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：把 代入方程组得： ，
① ②得： ，即 ，
① ②得： ，
则原式 ．
故答案为：
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的
未知数的值．
28．（2023春•沧州期末）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方
程组的问题：
已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ③，求 的值．
请结合他们的对话，解答下列问题：（1）按照小云的方法， 的值为 5 ， 的值为 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出 的值．
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）利用整体代入的方法求解即可．
【解答】解：（1）③ ① ，得 ，
把 代入①，得 ，
解得 ，
故答案为：5； ；
（2）① ②，得 ，
即 ，
，
，
，
解得 ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入
的思想方法是解答本题的关键．
29．（2023春•开州区期末）已知关于 ， 的方程组 ，给出下列说法：
①当 时，方程组的解也是 的解；
②若 ，则 ；
③无论 取何值， ， 的值不可能互为相反数；
④ ， 都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4【分析】将 代入原方程组得 ，解得 ，经检验得是 的解，
故①正确；方程组 两方程相加得 ，根据 ，得到
， 解 得 ， 故 ② 正 确 ； 根 据 ， ， 得 到
，得到 ，从而得到无论 取何值， ， 的值不可能互为相反数，故
③正确；根据 ，得到 ， 都为自然数的解有
共5对，故④正确．
【解答】解：将 代入原方程组得 ，
解得 ，
将 代入方程 左右两边，
左边 ，右边 ，
当 时，方程组的解也是 的解，故①正确；
方程组 ① ②得 ，
若 ，则 ，解得 ，故②正确；
， ，
两方程相加得 ，，
无论 取何值， ， 的值不可能互为相反数，故③正确；
，
， 都为自然数的解有 共5对，
故④正确．
故选： ．
【点评】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的
自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关
键．
30．（2023春•东海县期中）已知关于 ， 的二元一次方程 ， 均为常
数，且 ．
（1）当 ， 时，用 的代数式表示 ；
（2）若 是该二元一次方程的一个解，
①探索 与 关系，并说明理由；
②无论 、 取何值，该方程有一个固定解，请求出这个解．
【分析】（1）将 ， 代入原方程，再用含 的代数式表示 即可；
（2）①将 代入 ，整理，得 ，即可确定 与 的
关系；
②根据①中 ，原方程化为 ，即可确定该方程的固定解．
【解答】解：（1）当 ， 时，
原方程化为 ，
；（2）① ，理由如下：
将 代入 ，
得 ，
整理，得 ，
，
；
② ，
二元一次方程 化为 ，
变形，得 ，
当 时， ，
无论 、 取何值，该方程有一个固定解，这个解为 ．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程解的含义是解题的关键．
六．解二元一次方程组（共6小题）
31．（2023 春•高青县期末）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足
，则 的值为 1
【分析】② ①得到 ，代入 中计算即可求出 的值．
【解答】解： ，
② ①得： ，
，，
解得： ，
故答案为：1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
32．（2024•西城区校级开学）解方程（组
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把 系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把 系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化1得， ；
（2）去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化1得， ；
（3） ，
① ② 得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，解方程去分母时注意各项都乘
以各分母的最小公倍数；消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
33．（2023春•绿园区校级月考）关于 、 的二元一次方程组， 用代入法消去
后所得到的方程，正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用代入消元法进行分析即可．
【解答】解： ，
把①代入②得： ，
整理得： ，
故选： ．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌
握．
34．（2023春•凤山县期末）用加减法解方程组 时，下列四种变形中正确的是
A． B．
C． D．
【分析】方程组中第一个方程左右两边乘以2，第二个方程左右两边乘以3，将两方程 系
数化为互为相反数，利用加减法求解即可．
【解答】解：用加减法解方程组 时，下列四种变形中正确的是 ，故选： ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
35．（2023春•济南期中）定义一种运算“◎”，规定 ◎ ，其中 、 为常数．
若2◎ ，3◎ ，则 的值是 2 ．
【分析】首先根据新定义的运算法则，可得 ， ，两式相减即可得到
的值．
【解答】解：由题意可得： ，
由② ①得： ．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消
元法是解题的关键．
36．（2023春•永定区期中）小鑫、小童两人同时解方程组 时，小鑫看错
了方程②中的 ，解得 ，小童看错了①中的 ，解得 ．
（1）求正确的 ， 的值；
（2）求原方程组的正确解．
【分析】（1）把小鑫的结果代入第一个方程，小童的结果代入第二个方程，求出正确 与
的值即可；
（2）把 与 的值代入方程组，求出正确解即可．
【解答】解：（1）根据题意，可得 ，
整理得： ，解得： ；
（2）将 ， 代入原方程组，得 ，
由②可得 ③，
将③代入①，可得 ，
解得： ，
把 代入③，解得： ．
故原方程组的正确解是 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
强化训练
一、单选题
1．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二元一次方程组的定义；
根据二元一次方程组的定义：方程组中，含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数
是1的整式方程，逐项判断即可．
【详解】解：A.方程组中第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组；
B.符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
C.方程组中第一个方程含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组；
D.方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组；
故选：B．2．（22-23七年级下·贵州铜仁·阶段练习）下列各组数中，不是二元一次方程 的
解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未
知数的值是解题的关键．把各项中x与y的值代入方程检验即可．
【详解】A． 把 代入方程得：左边 ，右边 ，左边 右边，不符合题意．
B．把 代入方程得：左边 ，右边 ，左边 右边，不符合题意．
C．把 代入方程得：左边 ，右边 ，左边 右边，符合题意．
D． 把 代入方程得：左边 ，右边 ，左边 右边，不符合题意．
故选：C．
3．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若关于x，y的二元一次方程组
的解是 ，则关于m，n的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解答此题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧．观察方程组 与
不难得出： ，然后解此方程组即可得出答案．
【详解】解： 关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，
关于m，n的二元一次方程组 中 ，
得： ，
，
将 代入②得： ，
方程组 的解是 ．
故选：A．
4．（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义，
从而完成求解．二元一次方程必须满足以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②含
未知数的项的最高次数为一次；③方程是整式方程，根据依次判断即可．
【详解】 是二元一次方程，故选项A正确；
，含未知数的项的次数是2，故选项B错误；含未知数的项的次数是2，故选项C错误；
，只有一个未知数，故选项D错误；
故选：A．
5．（22-23七年级下·贵州铜仁·阶段练习）在方程 中，当 时， ；当
时， ；则当 时， （ ）
A．8 B．10 C． D．12
【答案】B
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．将x与y的两对值代入 中，得到二元一次方程组，解方程组求出k
与b的值，将 代入计算即可求出y的值．
【详解】解：当 时， ；当 时， ：
∴
解得： ，
∴ ，
将 代入 得： ．
故选B．
6．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）若 是方程组 的解，则a、b的
值分别是（ ）
A．1， B． ，1 C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组．把 代入原方程组，
得到关于 、 的方程组，解方程组即可．【详解】解：把 代入方程得： ，
解得： ，
故选：B．
7．（22-23七年级下·河北廊坊·期中）若二元一次方程组 的解为 ，则
表示的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将方程组的解代入每个选项分别计算即可判断．
【详解】解：A、将 代入 ，左边 右边，故不符合题意；
B、将 代入 ，左边＝右边，但不是整式方程，故不符合题意；
C、将 代入 ，左边＝右边，但不是二元一次方程，故不符合题意；
D、将 代入 ，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，正确理解二元一次方程组的定义及正确代入计
算是解题的关键．
8．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知方程组 则
的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C
【分析】将 整体代入即可．
【详解】解：∵ ，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式求值，本题不需要方程， 只需要整体思想的应用求解．
9．（22-23七年级下·甘肃天水·期末）已知 ，则 、 的值分别
是( )
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查了非负数的性质及解二元一次方程组，先根据非负数的性质得到关于 、
的二元一次方程，再用加减消元法或代入消元法求出未知数的值，求出 ， 的值即可，
根据非负数的性质得出方程组是解答此题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
解得： ，
故选： ．
10．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元
法方程组的步骤，其中开始出现错误的是（ ）A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四
【答案】C
【分析】根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定．
【详解】解：
由 得： ，
把 代入 得： ，
去分母得： ，
解得： ，
则开始出现错误的是步骤三，
故选： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是
解题的关键．
二、填空题
11．（21-22七年级下·湖南娄底·期中）请任写一个方程与方程 －2 =10组成一个二元一
次方程组 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据二元一次方程组的定义，写出一个含有字母为 的二元次一次方程即可求
解．
【详解】解：根据题意，与 组成一个二元一次方程组的方程可以是：
故答案为： （答案不唯一）【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个这样的整
式方程．像这样的方程组叫做二元一次方程组．
12．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）已知方程 ，用含 的代数式表示 ，则
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程，掌握等式的性质是正确解答的关键．根据等式的性质
进行变形即可．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
13．（22-23七年级下·全国·课时练习）（1）若 是关于x，y的二元一次
方程，则a的值是 ；
（2）若方程组 是关于x，y的二元一次方程组，则 的值是 ．
【答案】 -3 -1
【解析】略
14．（22-23七年级下·贵州铜仁·阶段练习）若 是二元一次方程 的一个解，
则 的值为 ．
【答案】2026
【分析】本题考查了本题考查了二元一次方程的解，求解代数式的值，掌握方程解的定义
是解题的关键．根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得 ，再代入代数式
可得答案．
【详解】解：∵ 是二元一次方程 的一个解，∴代入得： ，
∴ ，
故答案为： ．
15．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若 是二元一次方程，那么a、
b的值分别是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义和利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握
二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未
知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．根据未知数的次数是1列方程组求解
即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得 ．
故答案为：2，1．
16．（22-23七年级下·湖南衡阳·阶段练习）下列说法：①二元一次方程组的解都是唯一的；
②含有两个未知数的方程一定是二元一次方程；③方程 的解有无数个；④解为
的方程组是唯一的；其中正确是 ．
【答案】③
【分析】根据二元一次方程组解得情况可以分析出二元一次方程组的解不都是唯一的．可
以是唯一的，也可以是无限个，也可以为无解，故判断①、④错误；由二元一次方程的定
义可知②错误；由二元一次方程的解的情况得出③正确．
【详解】①二元一次方程组的解不都是唯一的．可以是唯一的，也可以是无限个，也可以
为无解．
①不正确②二元一次方程的定义是含有两个未知数，且未知数的指数是 的整式方程．而②中未知
数的指数不一定为 ．
②不正确
③适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．每个二
元一次方程都有无数对方程的解．
方程 是二元一次方程，故它的解有无数个．
③正确．
④解为 的方程组不是唯一的，有无数个．
④正确．
【点睛】本题考查二元一次方程的概念．以及二元一次方程解得情况以及二元一次方程组
解得情况．判断是有唯一解还是无解还是无穷多解．
17．（22-23七年级下·重庆·阶段练习） 是关于 的二元一次方程，则
．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含
未知数的项的次数都是1的方程．据此即可求解．
【详解】解：由题意得： 且 ，
解得：
故答案为：
18．（22-23七年级下·云南昆明·期末）已知 满足方程组 ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将原方程组中的两个方程相加得到
，即 ，再整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关
键．【详解】解：将方程组中的两个方程相加得， ，
即 ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
19．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于 ， 的二元一次方程
．
(1)求 ， 的值；
(2)判断下列各数对哪些是该二元一次方程的解，请填写下表（直接填写“是”或“不
是”）．
数对
判断数对是否是方程 的解
【答案】(1) ，
(2)是；不是；是；不是
【分析】（1）根据二元一次方程的定义得到 ， ，解得 ， 的值即可；
（2）把数对代入方程验证左边是否等于右边即可．
【详解】（1）解：∵ 是关于 ， 的二元一次方程，
∴ ， ，
解得 ， ．
（2）由（1）可知，关于 ， 的二元一次方程 ，
当 时， ， 是方程 的解，
当 时， ， 不是方程 的解，当 时， ， 是方程 的解，
当 时， ， 不是方程 的解，
故答案为：是；不是；是；不是
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的
定义是解题的关键．
20．（22-23七年级下·海南海口·阶段练习）解方程．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查了解一元一次方程和二元一次方程组．
（1）移项、合并同类项、系数化1即可；
（2）去括号、移项、合并同类项、系数化1即可；
（3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1即可；（4）用代入消元法即可解答；
（5）用加减消元法即可解答．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
；
（3） ，
，
，
，
，
；
（4） ，
将①代入②得到： ，
解得 ，
将 代入①得 ，
∴方程组的解为： ；
（5） ，
①+②得： ，
解得： ，把 代入①得： ，
解得： ，
所以方程组的解为 ．
21．（16-17七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知方程组 是二元一次
方程组，求m的值．
【答案】m=5
【详解】解：依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0，
解得：m=5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组
中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方程．
22．（22-23七年级下·广西桂林·期中）如图，直线a、b被c所截， ，
，求∠1和∠2的度数．
【答案】 ，
【分析】本题考查的是邻补角的含义，二元一次方程组是解法，熟练的利用邻补角的含义
与方程思想解题是关键，由邻补角的含义可得 ，结合
，再解方程组即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
23．（22-23七年级下·河北沧州·期中）按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下：
．……
．……
(1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处．
(2)猜想第n个方程组和它的解并验证．
(3)若方程组 的解是 ，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规
律．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) ，它不符合（1）中的规律
【分析】（1）根据已知的方程组，观察方程未知数系数，常数与解的关系，确定第４个方
程组；
（2）通过观察，知第n个方程组为 解为 ，将解代入方程组验证；
（3）将解代入方程求得参数值，故可知本方程组不符合规律．
【详解】（1）解：
（2）
把 代入 得 ，所以成立．（3）将 代入 ，解得 ，
即方程组为 ，所以它不符合（1）中的规律．
【点睛】本题考查规律探索，观察方程组，探索出方程未知数系数，常数与解的关系是解
题的关键 ．
24．（22-23七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组
时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形，得 ，
即 ． ③
把①代入③，得 ，解得y=-1．
把 代入①，得 ，
解得 ．
所以方程组的解为：
请你模仿小军的“整体代换”法解方程组
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程②变形为 ，再将
整体代入即可求方程组．熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，
体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键．【详解】解： 中，
将②变形，得： 即 ，
将①代入③得， ，
∴ ，
将 代入①得， ，
∴方程组的解为 ．
25．（22-23七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如 ， ， ……都是方
程 的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求 这个二元一次方程的正整数解．
解： ，得： ，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程 的正整数解为 或 ．
问题：
(1)若 为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个．
(2)直接写出满足方程 的正整数解______．
(3)若要把一根长为 的绳子截成长为 和 两种规格的绳子若干段（两种规格都有），
请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
【答案】(1)6(2)
(3)共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m
的绳子
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解一元一次方程：
（1）根据题意可得 或 或 或 或 或 ，解
方程即可得到答案；
（2）先求出 ，再由 都是正整数得到 是正整数，即 或 ，据此
可得答案；
（3）设 和 两种规格的绳子分别为x段，y段，由题意得， ，解方程即可
得到答案．
【详解】（1）解：∵ 为非负整数，
∴ 或 或 或 或 或 ，
解得 或 或 或 或 或 ，
故答案为：6；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 都是正整数，
∴ 是正整数，即 或 ，
当 时， （不符合题意）；
当 时， 符合题意，
∴ 的正整数解为 ，故答案为： ；
（3）解：设 和 两种规格的绳子分别为x段，y段，
由题意得， ，
∴ ，
∵x、y都为正整数，
∴ 是正整数，
∴x是4的倍数，
∴当 ， ；当 ， ，
∴共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m
的绳子．
26．（17-18七年级下·江苏·课时练习）判断 是否是二元一次方程组
的解.
【答案】不是
【分析】将x和y的值带入到二元一次方程组中看是否正确即可得出本题答案.
【详解】将 分别代入方程①和方程②中,得4x＋2y＝2成立,x＋y＝－1不成立,所以
不是方程组 的解.
【点睛】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题
的关键.
