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第二十八章 锐角三角函数（4 大压轴考法 40 题专练）
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题型一：特殊角的三角函数综合题...................................................................................1
题型二：由锐角三角函数值求锐角综合题.......................................................................15
题型三：同角三角函数关系综合题.................................................................................34
题型四：解直角三角形及其应用.....................................................................................53
题型一：特殊角的三角函数综合题
1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末） 和 均为等腰直角三角形，按如图所示的方式放置，
的顶点 与 斜边 的中点重合，边 与边 相交于点 ，若 ，
， ，则 的面积为 ．
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形 中， ， ，点 是 的中点，点 是
对角线 上一点， 与 关于直线 对称， 交 于点 ，当 中有一个内角为
时，则 的长为 ．
3．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图， 中， ， ， ，P是AB上方一
动点，射线 ，连接 交 的外接圆于点D，则 的最小值为 ．4．（23-24九年级上·江苏·期末）若α，β为锐角且 时，现有公式： ，
利用此公式求解下列问题：
(1)求 的值；
(2)若A，B为锐角且 时，求 的值；
(3)求 的值．
5．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线
段做了如下探究：
【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形 中，点 E、 F分别是 、 上的两点，连接 、
， ，则 的值为 ；
【类比探究】（2）如图 2 ，在矩形 中， ，点 E是 上的一点，连接 、 ，
且 ，求 的值；
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形 中， ， ， ，点E为 上一点，
连接 ，过点 C作 的垂线交 的延长线于点 G，交 的延长线于点 F，求 的值；6．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）抛物线 与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，已
知 ，抛物线顶点的横坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段 上的一个动点，过点D作 轴于点E,延长 交抛物线于点F,求线段 的最大
值及此时点D的坐标；
(3)在y轴上是否存在一点P,使得 ．若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
7．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）综合与实践
周末小亮遇到了这样一道题：
【作业】如图1， 中， ，G为其重心，D为 的中点，以G为圆心， 长为半径画
，过A点作 的两条切线 ，切点分别为E、F，求 的值．
【小亮的解答】连接 ．G为重心，D为 的中点，
A、G、D在一直线上，
，
，
、 与 相切，
，
在 中， ，
，同理， ，
，
．
小明阅读了以上内容进行了一些反思，请你根据反思内容完成对应的任务
【反思1】小亮的解答过程中得到“ ”的依据是重心的一个性质：三角形的重心到顶点的距离
等于它到对边中点的距离的2倍．课本中并没有给出这样的结论，所以不能直接应用得到“
”．要想证明，只要作出如图2的辅助线（连接 并延长交 于H，连接 ）即可．
【任务1】请你在图2的基础上，帮小亮完善得到“ ”的过程．
【反思2】若将【作业】中“如图”去掉，其它条件保持不变， 的值是否会发生改变？
【任务2】请你求出 满足什么条件时， 的值保持为 ？
【反思3】若将【作业】中“G为其重心，D为 的中点”改为“D为边 上一动点，G为线段 上
一点， ”其它条件保持不变， 的值是否会发生改变？
【任务3】若 ， ，请你直接写出 的长度在什么范围内时， 的值保持为
？题型二：由锐角三角函数值求锐角综合题
8．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形
桌面如图①，餐桌两边 和 平行且相等， 如图②，小华用皮尺量得 ， ，
那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加( )
A． B．
C． D．
9．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，已知 ，B为双曲线 上的一点， ，
C为y轴的正半轴上一动点，当 （ ）时， 最大．
A． B． C． D．1
10．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，扇形 中， ， ，点 为 的中点，
将扇形 绕点 顺时针旋转90°，得到扇形 ，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B．
C． D．
11．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，直线 与反比例函数 的图象交于点
，直线 与直线 交于点M，与反比例函数图象交于点N．
（1） ．
（2）当 时， ，此时 ．
12．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ， 是第一象限内
任意一点，连接 、 ，若 ， ，则我们把 叫做点 的“双角坐标”．例
如，点 的“双角坐标”为 ．
（1）点 的“双角坐标”为 ；
（2）若“双角坐标”为 ，则点坐标为 ；
（3）若点 到 轴的距离为1，则 的最小值为 ．
13．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将一副三角板如图拼接：含 角的三角板（ ）的长直
角边与含（ 角的三角板 ）的斜边恰好重合．已知 ，P是 上的一个动点，连接 ．
(1)当点P运动到 的平分线上时，求 的长；
(2)当点P在运动过程中出现 时，求此时 的度数．14．（22-23九年级上·陕西西安·期末）问题提出：
(1)如图1，点E，F分别在正方形 的边 ， 上， ，连接 ，则线段 ， 和
之间的数量关系是 ．（提示：将 绕点A旋转至 ）
(2)问题探究：如图2，在四边形 中， ， ，点E，F分别在边 ， 上，
．已知 ， 都不是直角，则当 与 满足 时， 成立，
(3)问题解决：为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课．
学校内有一个空置讲堂，如图3，其俯视图是边长为 的正方形 ，高为 ，现需用隔音板材填充
， ， ，（板材填充至顶部，隔板上门的面积忽略），分隔中四个空间进行实践教学，点E，F
分别在边 ， 上 ， ， ，求共需消耗的板材面积．15．（22-23九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，记线段OA的中点为M．若
点A，M，P，Q按逆时针方向排列构成菱形AMPQ，其中 ， ，则称菱形AMPQ
是点A的“ -旋半菱形”，称菱形AMPQ边上所有点都是点A的“ -旋半点”．已知点 ．
(1)在图1中，画出点A的“30°-旋半菱形”AMPQ，并直接写出点P的坐标；
(2)若点 是点A的“ -旋半点”，求 的值；
(3)若存在 使得直线 上有点A的“ -旋半点”，直接写出b的取值范围．
题型三：同角三角函数关系综合题
16．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形 中， ， ，将 沿射线 平
移a个单位长度 得到 ，连接 ， ，则当 是直角三角形时，a的值为 ．17．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知四边形 为正方形， 为对角线 上
一点，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，以 为邻边作矩形 ，连接
，则 ．
18．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，
以每秒5个单位的速度沿 向终点C匀速运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作 交 于
点Q，以 为边向上作正方形 ，设正方形 与 重叠部分面积为S（平方单位），点P
的运动时间为t（秒）．
(1)用含t的代数式表示线段 的长度为______；
(2)当点N落在线段 上时，求t的值；
(3)求S与t之间的函数关系式；
(4)当点N恰好落在 的角平分线上时，直接写出t的值．19．（22-23九年级上·山东济南·期末）（1）如图1， 和 均为等边三角形，直线 和直线
交于点F．填空：
①线段 ， 之间的数量关系为________；② 的度数为______．
（2）如图2所示， 和 均为等腰直角三角形， ，直
线 和直线 交于点F，请判断 的度数及线段 ， 之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示， 和 均为直角三角形， ，
，当点B在线段 的延长线上时，求线段 和 的长度．20．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）【问题提出】
（1）如图①，在 中， ，点D为 上一点，且 ，过点D作 于点
E，若 ，则 的长为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在 中， ，点D是 边上一点，连接 ，过点D作 交
于点E，过点B作 于点F，交 于点G，试判断 与 是否相似，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③， 是一块菜园平面示意图， ， ， 是 边上的中线，
于点F，交 于点G， 交 于点E，经测量， 米，现欲沿 修一条灌溉水
渠，请你求出灌溉水渠的长度 ．21．（22-23九年级上·山东青岛·期末）已知，如图，在 中， ， ，
于 ，直线 从点 出发沿 方向匀速运动，速度为 ；运动过程中始终保持 ，
直线 交 于 ，交 于点 ；过点 作 ，交 于 ，交 于点 ，连接 ，设运动
时间是 （s）（ ），解答下列问题：
(1)当 为何值时， ？
(2)设四边形 的面积为 ，试求出 与 的函数关系式；是否存在某一时刻 ，使 的值最大？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)是否存在某一时刻 ，使点 在线段 的垂直平分线上？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．22．（22-23九年级上·江苏南京·期末）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个
顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．
(1)如图①，在 中， ， ， ，则 边上的伴随圆的半径为___________．
(2)如图②， 中， ， ，直接写出它的所有伴随圆的半径．
(3)如图③， 中 ，点 在边 上， ， 为 的中点，且 ．
①求证： 的外接圆是 的 边上的伴随圆；
② 的值为___________．
题型四：解直角三角形及其应用
23．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在正方形 中， 分别是边
上的点，且 分别在边 上，且 与 交于点O，记 ，若
，则 （ ）A． B． C． D．
24．（24-25九年级下·全国·期末）图（1）是一个倾斜角为 的斜坡的横截面， ，斜坡顶端B与
地面的距离 为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的
水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直
高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系
（a，b是常数， ），图（2）记录了x与y的相关数据，则y与x的函数关系式为
．
25．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在 中， ，将 绕点C顺
时针旋转60°得到 ，其中点 与点A是对应点，点 与点B是对应点，若点 恰好落在 边上．
(1)连接 ，求证： ．
(2)若 ，求点A到直线 的距离．26．（23-24九年级上·浙江·期末）图1是一把可折叠的哑铃椅，其侧面可抽象成图2， 为支撑杆，M
为靠背 的中点，点N可在斜支柱 上滑动，通过调节螺母可将点N固定在斜支柱 上的六个孔位处，
靠背 随之绕点C转动，当点N位于第一个孔位处时， ；当点N位于最后一个孔位处时，
．已知 ， ， ，坐凳 与水平地面l平行．
(1)在点N从第一个孔位滑动到最后一个孔位的过程中，求点M所运动的路径长（结果保留π）
(2)在 转动的过程中，求点H到水平地面l的最大距离．
（结果精确到 ．参考数据： ．）27．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）中山公园原址为一个叫刘家屯的小山头，1898年沙俄强占旅大期间，
将这里改为绿地．日占时期改为圣德公园，多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报．大连解
放后的1945年11月，市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，历经多年修建了5个小亭，其中敬闲亭
位于山头最高处．某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到此地，为测量敬闲亭设计了如下方案，请
根据以下材料，完成项目任务．
项
测量敬闲亭的高度及底面圆的半径
目
测
量
测角仪、皮尺等
工
具
说明：点H为亭底面圆圆心，在A、C处分别测得亭
顶端的仰角为 、 ， ，测角仪高度
测
，测角仪 所在位置与亭底部边
量
缘距离 ．点B、D、M、H在同一条直线
上．
参
考
， ， ， ， ， 最后结果保留 ．
数
据
任
务 求敬闲亭的高度 的长．
1任
务 求敬闲亭底面圆的半径 的长．
2
28．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）在 中， 、 、 所对的边分别为a、b、c，求证：
．
证明：如图1，过点C作 于点D，则：在 中， ，在 中， ，
，
．
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在锐角 中， 、 、 所对的边分别为a、b、c，若 ， ， ，
求 的度数；
(2)如图3，一片三角形区域需美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积．（结果
保留根号，参考数据： ， ）29．（24-25九年级上·山东·期末）（1）一个几何体的三个视图如图所示（单位： ）．若其俯视图为正
方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积．
（2）如图所示，某市有一天桥高 为5米， 是通向天桥的斜坡， ，为了便于行走，市城
建局启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使 ，试求 的长度约为多少米？
（保留一位小数，参考数据： ）
30．（24-25九年级上·全国·期末）如图，AB是 的直径， 是 的切线， 为 上的一点，
，延长CD交 的延长线于点 ，(1)求证：CD为 的切线；
(2)若 ，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）；
(3)若 ，求 的值．
31．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）如图1，四边形 中， ， ， ， 为
四边形 的对角线， ．
(1)求点 到 的距离；
(2)如图2，点 在 边上，且 ．以 为圆心， 长为半径作 ，点 为 上一点，连接
交 于 ． ．
①当 与 相切时，求 的长；
②当 时，直接写出 的长．
32．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）【问题探究】
（1）如图1，在正方形 中，点E，F分别为 和 上的点，连接 ， 交于点O，若
．求证： ；【类比迁移】
（2）如图2，在矩形 中， ，点E为 边上一点，点F为对角线 上一点，连接 ，
交于点O，若 ， ，求 的值；
【拓展应用】
（3）如图3，在矩形 中， ，点E为 边上一点，点F为CD边上一点，若 平分 ，
且 ，求CF的长．
33．（24-25九年级上·全国·期末）（1）【操作发现】如图1，将 绕点 顺时针旋转 ，得到
，连接 ，则 的度数为 ；
（2）【类比探究】如图2，在等边三角形 内任取一点 ，连接 ， ， ，求证：以 ， ，
的长为三边必能组成三角形；
（3）【解决问题】如图3，在边长为 的等边三角形 内有一点 ， ， ，求
的面积；
（4）【拓展应用】如图4是 ， ， 三个村子位置的平面图，经测量 ， ， ，
为 内的一个动点，连接 ， ， ，求 的最小值．34．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x
轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)当 时，直接写出点A、B、C、D的坐标：
A ，B ，C ，D ；
(2)如图1，直线 交x轴于点E，若 ，求抛物线的表达式；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点N为 的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，
垂足为Q，交 于点F；过点F作 ，垂足为H．设点P的横坐标为t，记 ．
①用含t的代数式表示f；
②请直接写出f的最大值为： ．35．（23-24九年级下·重庆大足·期末）等边 中，点 在线段 上，连接 ．
(1)如图 ，过点 作 于点 ，若 ， ，求 的长；
(2)如图 ，点 在线段 的延长线上，点 在线段 上，连接 ，若 ，
，求证： ；
(3)如图 ， ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，点 是直线 上一动
点，将 沿直线 翻折得到 ，在点 运动过程中， 最小时，请直接写出 的面积．36．（23-24九年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系 中的 ，点 ，点 ，给出如下定义：线段
为⊙ 的弦，点 是弦 上任意一点．若 ，则称点 是点 关于 的 倍关联点．
已知， 的半径为2，点 的坐标为 ．
(1)在点 ， ， 中，是点 关于 的2倍关联点的是 ；
(2) 在直线 上，若 是点 关于⊙ 的2倍关联点，直接写出 的取值范围；
(3) 与 轴正半轴交于点 ，对于线段 上任意一点 ，在 上都存在点 ，使得点 是点
关于 的 倍关联点，直接写出 的最大值和最小值．
37．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系 中，对于线段 与直线 ，给出如下定义：若线段 关于直线 的对称线段为 ( ， 分别为点 ， 的对应点)，则称线段 为线
段 的“[k,b)关联线段”．
已知点 ， ．
(1)线段 为线段 的“ 关联线段”，点 的坐标为 ，则 的长为______， 的值为______；
(2)线段 为线段 的“[k,0)关联线段”，直线 经过点 ，若点 ， 都在直线 上，连接 ，
求 的度数；
(3)点 ， ，线段 为线段 的“[k,b)关联线段”，且当 取某个值时，一定存在 使得
线段 与线段 有公共点，直接写出 的取值范围．
38．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ， ， 是边AB的
中点．动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿AB向终点 运动，过点 作 于点 ，
当点 不与点 重合时，以 为邻边作 ，设点 的运动时间为 秒．
(1)用含有 的代数式表示线段DE的长．
(2)当点 到点 的距离相等时，求DE的长．
(3)当 的某条对角线与边AB垂直时，求 的值．
(4)作点 关于直线DE的对称点 ，连结 ，当 时，直接写出 的值．
39．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（A在B的左
边），与y轴交于点C，连接 ， ，点D在抛物线上一点．(1)求证； 是等腰直角三角形．
(2)连接 ，如图1，若 平分 ，求点D的坐标．
(3)如图2，若点D在线段 的下方抛物线上一点，画 于点E．
①求DE的最大值．
②在线段CE上取点F，连 ， ，若 ，且点C关于直线 的对称点恰好落在抛物线
上，求点D的坐标（直接写出答案）．
40．（24-25九年级上·重庆·期末）在 中， ， ，点 在射线AB上，连接CD，
过点 作 ，交CB于点 ，交CD于点 ．
(1)如图 ， ， ，求BD长度；
(2)如图 ，点 在射线 上，满足 ，连接 ，探究线段 之间的数量关系并证明；
(3)如图 ，在（ ）的条件下，点 为平面内一动点，满足 ，当 最小时，在射线 、射
线 上分别有点 、点 ，使得 ，当 最小值时，请直接写出 的面积．
