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专题 02 不等式的性质及均值不等式的应用
一、单选题
1. （2024届辽宁省大连市高三上学期期初考试）下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】当 ， 时， ，则A错误.当 ， 时， ，则B错误.
当 ， 时， ，则C错误.由 ，得 ，则D正确.故选D.
2．（2023届四川省盐亭中学高三第三次模拟）若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，则 .所以 即 ，AB错误.
因为 ，所以 ，则 ，C错误.因为 ，所以
则 ，D正确.故选D
3．（2023届陕西省镇安中学高三模拟）若 ， ，且 ，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】对于A， （当且仅当 时取等号），A正确；
对于B， （当且仅当 时取等号）， ，B正确；
对于C， （当且仅当 时取等号），C正确；
对于D， ， ， ， ， ；
， ，D错误.故选D.
4．（2024届广东省深圳市南头中学高三上学期第一次月考）已知 ，则下列说法中错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A. ，不等式两边同时乘以 ，得 ，故A正确；
B. ，则 ，所以 ，故B错误；
C. ，不等式两边同时除以 ，得 ，故C正确；
D. ，当 时， ，当 时， ，所以 ，故D正确.故选B
5．（2024届广东省中山市华侨中学高三上学期一次模拟）设正实数 满足 ，则下列说法错误
的是（ ）
A． 的最小值为4 B． 的最大值为
C． 的最大值为2 D． 的最小值为【答案】C
【解析】对于A， ，当且仅当 时取等号，故A正确；
对于B， ，当且仅当 ，即 时取等号，故B正确；
对于C， ，
则 ，当且仅当 ，即 时，故C错误；
对于D， ，当且仅当 时取等号，故D正确.
故选C.
6．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研）已知平面单位向量 满足 ，若
，则 的最小值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，得 ，得
，
同理可得 ， ，
设 ，则
，因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
因为 ，所以 ，当 时取等号，
所以 ，当且仅当 ， 时取等号，
所以 的最小值是 ，故选C
7．（2024届安徽省六校教育研究会高三上学期入学素质测试）若 ，椭圆 与双曲线
的离心率分别为 ， ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】C
【解析】由已知 ， ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，故 的最大值为 ，无最小值(m范围为开区间).故选C8．（2024届四川省巴中市高三上学期“零诊”考试）已知 且 ，则 的最
小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【解析】由题意 得， ，令 ，则 ，
由 得 ，故 ，
当且仅当 ，结合 ，即 时取等号，也即 ，即 时，
等号成立，故 的最小值为9，故选B
9．（2024届】黑龙江省哈尔滨市高三上学期开学测试）已知函数 的最大值为
1，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【解析】当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，依题意， ，即 ，
当 时， ，若 ，则当 时， ，解得 ，符合题意，
若 ，则当 时， ，解得 ，矛盾，
所以实数 的值为 .故选A
10．（2023届北京市育英学校高三6月统一练习）已知椭圆 .过点 作圆 的切线
交椭圆 于 两点.将 表示为 的函数，则 的最大值是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意知， ，当 时，切线 的方程为 ，点 ， 的坐标分别为 ， ，
此时 ；当 时，同理可得 ；
当 时，设切线方程为 ，
由 得 ，
设 ， 两点两点坐标分别为 ， ，则
， ，
又由 于圆 相切，得 ，即 ，
∴ ，
由于当 时， ，
∴ ， ，
∵ ，
当且仅当 时， ，∴ 的最大值为2．故选B.
11．（2023届贵州省贵阳市高三3 3 3高考备考诊断性联考）已知正实数 分别满足 ， ，，其中 是自然常数，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得： ， ，
， ， ，又 ， ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
，即 ， ，即 ；
且 ，即 ， ，即 ；
综上所述： .故选A.
12．（2023届江苏省无锡市辅仁高级中学高三高考前适应性练习）从古至今，中国人一直追求着对称美学．
世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃
瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，
一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数 的图
像来刻画，满足关于 的方程 恰有三个不同的实数根 ，且 （其中
），则 的值为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 关于 对称，所以 的根应成对出现，
又因为 的方程 恰有三个不同的实数根 且 ，
所以该方程的一个根是 ，得 ，且 ，
所以 ，由 得 ，
当 ，即 ，即 时， ，①
则 ，②
由① ②得 ，解得 ，所以 ；
当 ，即 ，即 时， ，③
，④
由③ ④得 ，即 ，解得 ，此时 ，不合题意，舍去，
综上， .故选B.
二、多选题
13．（2024届云南省昆明市云南高三上学期期初）若 、 、 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 ，则
C．若 且 ，则
D．
【答案】BD
【解析】对于A选项，若 且 ，取 ， ，则 ，A错；
对于B选项，若 ，则 ，B对；
对于C选项，若 且 ，则 ，
则 ，故 ，C错；
对于D选项， ，
当且仅当 时，等号成立，故 ，D对.故选BD.
14．（2023届吉林省白山市高三一模）若正数a，b满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，故A错误；
因为 ，所以 ，则 ，同理可得 ，因为 ，所以
，当且仅当 时，等号成立，则B正确；
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，则C错误；
因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以D
正确．故选BD
15．（2024届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三上学期第二次质量检测）若正实数 满足 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为4 B． 的最大值为4
C． 的最小值为 D． 的最大值为8
【答案】ABC
【解析】由题意，正实数 满足 ，
对于A中，由 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，解得 ，所以A正确；
对于B中，由 ，可得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，所以 B正确；
对于C中，由 ，可得 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，所以C正确；对于D中，由 ，
因为 ，所以 的最小值为 ，当且仅当 时取得最小值，
所以D错误. 故选ABC.
16．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团高三上学期开学联考）在 中，内角 ， ， 的对边
分别为 ， ， ， ， 边上的中线 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D． 的最大值为30°
【答案】ACD
【解析】因为 ，故A正
确；
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，故B错误；
由余弦定理及基本不等式得 （当且仅当 时，等号成立），
由A选项知 ，所以 ，解得 ，
由于 ，所以 ，故C正确；
对于D， （当且仅当 时等号成立），
因为 ，所以 ，所以 ，故D正确.故选ACD.
17．（2024届贵州省贵阳市第一中学高三上学期开学考试）已知函数 为自然对数的底数）， ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意 ，即 ，
而 在定义域上递增，故 ，
所以 ，即 ，A对，C错；
由 ， ，故零点 ，
所以 ，B对；
由 ，则 ，
而 ，显然 ，则 ，故 ，
综上， ，D对.故选ABD
三、填空题
18．（2024届湖南省株洲市第三中学高三上学期8月月考）已知实数 满足 ，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】由 ，可知 ，
因此 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
则 ，当且仅当 时，取得最大值．
19．（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知实数a，b满足，则 的最小值为
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
若 ，则 ，不符合题意，
若 ，
则 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的最小值为 .
20．（2024届广东省佛山市南海区高三上学期8月摸底）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都
相切）的体积为 ，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为 ．
【答案】 .
【解析】设圆锥的内切球的半径为 ，可得 ，解得 ，
再设圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，如图所示，
由 ，可得 ，即 ，解得 ，
所以圆锥的体积 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，此时 ，母线长为 ，
此时圆锥的表面积为 .
21．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次验收）关于 的不等式 的整数
解恰有3个，则实数 的取值范围是.
【答案】
【解析】不等式 即不等式 ，
若 ，则 即 ，整数解有无数个，不合题意，
故 ，
由于关于 的不等式 的整数解恰有3个，
故需满足 ，解得 ；
则解 可得 ，
因为 ，故 ，
故不等式 的3个整数解恰为 ，
则 ，解得 ，即 ，
22．（2023届四川省成都市四七九名校高全真模拟）平面向量 ， 满足 ，且 ，则的最小值是．
【答案】 /
【解析】由 两边平方得 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值是 .
