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专题 02 不等式与复数
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：基本不等式二元式................................................................................................................2
题型二：和式与积式............................................................................................................................3
题型三：柯西不等式二元式................................................................................................................5
题型四：齐次化与不等式最值............................................................................................................6
题型五：复数的四则运算....................................................................................................................8
题型六：复数的几何意义....................................................................................................................9
重难点突破：不等式与复数新定义问题..........................................................................................10
02 重难创新练....................................................................................................................................12题型一：基本不等式二元式
1
1．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知ab= 且a,b∈(0,1)，则（ ）
4
1 4 2
A．a2+b2≥ B．b+ a>
2 9 3
1 1 3
C． + ≥4 D．a2+b≥
a b 4
【答案】ACD
1 1
【解析】对于A，因为a2+b2≥2ab= ，当且仅当a=b= 时等号成立，故A正确；
2 2
4 √4 2 1 3
对于B，b+ a≥2 ab= ，当且仅当b= ,a= 时等号成立，故B错误；
9 9 3 3 4
1 1 √ 1 1
对于C， + ≥2 =4，当且仅当a=b= 时等号成立，故C正确；
a b ab 2
1 1 8a3−1
对于D，a2+b=a2+ ，设f (a)=a2+ ，则f'(a)= ，
4a 4a 4a2
1 1
当00，
2 2
( 1) (1 )
故f (a)在 0, 上为减函数，在 ,1 为增函数，
2 2
(1) 3
故f (a) =f = ，故D成立，
min 2 4
故选：ACD.
2．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若ex−√2=e2y，则x−y的最小值为（ ）
1 5ln2
A． B．√2 C．1 D．
2 4
【答案】D1
【解析】因为ex−√2=e2y， ex=e2y+22，两边同时除以ey，得到
1 √ 1
ex
=ex−y=
e2y+√2
=ey+
22
≥2 ey×
22
=2
5
4 ，
ey ey ey ey
1
1n2 3ln2
当且仅当ey= 22 即y= ,x= 取“=”.
4 2
ey
5 1n2 3ln2
则 ex−y≥24，当且仅当y=
4
,x=
2
取“=”.
5 5ln2 1n2 3ln2
两边取自然对数，则x−y≥ln24= ，当且仅当y= ,x= 取“=”.
4 4 2
5ln2
故x−y的最小值为 .
4
故选：D.
1 1
3．（2024·河北·模拟预测）已知x>1，y>0，且 + =1，则4x+ y的最小值为（ ）
x−1 y
15+5√5
A．13 B． C．14 D．9+√65
2
【答案】A
1 1
【解析】∵x>1，∴x−1>0，又y>0，且 + =1，
x−1 y
( 1 1) y 4(x−1)
∴4x+ y=4(x−1)+ y+4=[4(x−1)+ y] + +4=9+ +
x−1 y x−1 y
√ y 4(x−1)
≥9+2 ⋅ =13，
x−1 y
当且仅当¿，解得¿时等号成立，故4x+ y的最小值为13.
故选：A
题型二：和式与积式
4．（多选题）已知a，b为正实数，且ab+2a+b=16，则（ ）
1 1 √2
A．2a+b的最小值为8 B． + 的最小值为
a+1 b+2 21 6√2−1
C．ab的最大值为2√2 D．b+ 的最小值为
9−a 10
【答案】AD
16−2a 18
【解析】对于选项A，由16=ab+2a+b，得b= = −2，
a+1 a+1
18 18 √ 18
所以2a+b=2a+ −2=2(a+1)+ −4≥2 2(a+1)⋅ −4=8，
a+1 a+1 a+1
18
当且仅当2(a+1)= ，即a=2,b=4时取等号，所以选项A正确，
a+1
1 1 √ 1 1 √ 1 √2
对于选项B，因为ab+2a+b=16，所以 + ≥2 ⋅ =2 = ，
a+1 b+2 a+1 b+2 ab+2a+b+2 3
1 1 √2
当且仅当a+1=b+2时取等号，此时 + 取得最小值 ，所以选项B错误，
a+1 b+2 3
对于选项C，因为16=ab+2a+b≥ab+2√2ab，
当且仅当2a=b，即a=2,b=4时取等号，
又√ab>0，解不等式得0<√ab≤2√2，即00，且ab=a+2b+6，则（ ）
A．ab的最小值为18 B．a2+b2的最小值为36
2 1 2
C． + 的最小值为 D．a+b的最小值为3+4√2
a b 3
【答案】ACD
【解析】对于A，由于ab=a+2b+6≥2√2ab+6，即(√ab−3√2)(√ab+√2)≥0，则√ab≥3√2，即ab≥18，当且仅当a=2b=6时等号成立，
所以ab的最小值为18，故A正确；
对于B，由a2+b2≥2ab≥36，当且仅当a=b且a=2b时等号成立，
显然不能同时成立，取不到等号，故B错误；
2 1 a+2b ab−6 6 6 2
对于C，由于ab=a+2b+6，所以有 + = = =1− ≥1− = ，
a b ab ab ab 18 3
当且仅当a=2b=6时等号成立，
2 1 2
即 + 的最小值为 ，故C正确；
a b 3
a+6
对于D，因为a>0，b= >0，所以a>2，
a−2
a+6 8 √ 8
所以a+b=a+ =a−2+ +3≥2 (a−2)⋅ +3=4√2+3，
a−2 a−2 a−2
8
当且仅当a−2= ，即a=2+2√2，b=1+2√2时等号成立，
a−2
则a+b的最小值为3+4√2，故D正确．
故选：ACD．
6．（多选题）（2024·广东肇庆·一模）设正实数m，n满足m>n，且m+2n=4，则下列说法正确的是
（ ）
n+2 n
A．|m−4|+2|n−4|=8 B． <
m+2 m
C．mn的最大值为2 D．m2+n2的最小值是4
【答案】AC
【解析】对于A选项，00，
m+2 m m(m+2) m(m+2)
n+2 n
所以 > ，故B错误；
m+2 m
1 1 (m+2n) 2
对于C选项，因为mn= m⋅2n≤ ⋅ =2，当且仅当m=2n，即m=2，n=1时，等号成立，故
2 2 2
C正确；
对于D选项，因为m=4−2n，
所以m2+n2=(4−2n) 2+n2=5n2−16n+16=5 ( n− 8) 2 + 16 ，
5 58 4 16
故当n= ，m= 时，m2+n2有最小值 ，故D错误.
5 5 5
故选：AC.
题型三：柯西不等式二元式
7．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一
个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量⃗a=(x ,y )，
1 1
⃗b=(x ,y )，由|⃗a⋅⃗b|≤|⃗a||⃗b|得到(x x + y y ) 2≤(x2+ y2)(x2+ y2)，当且仅当x y =x y 时取等号.现已
2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
知a≥0，b≥0，a+b=9，则√2a+4+√b+1的最大值为 .
【答案】6
【解析】令x =√2,y =1,x =√a+2,y =√b+1，
1 1 2 2
又a≥0，b≥0，a+b=9，
所以(√2a+4+√b+1) 2 ≤(2+1)(a+2+b+1)=3×12=36，
所以√2a+4+√b+1≤6，
当且仅当√2⋅√b+1=√a+2，即a=6,b=3时取等号，
所以√2a+4+√b+1的最大值为6.
故答案为：6
8． f(x)=|2asinx+2bcosx|+|acosx−bsinx|(a,b∈R)的最大值为√5，则复数z=a+bi的模为
【答案】1
【解析】f (x)=|2asinx+2bcosx|+|acosx−bsinx|
=√a2+b2[2|sin(x+φ)|+|cos(x+φ)|](
tanφ=
b)
，
a
令|sin(x+φ)|=m，|cos(x+φ)|=n，则m2+n2=1，
原条件转化为√a2+b2(2m+n)的最大值是√5，
由柯西不等式，(2m+n) 2≤(m2+n2)(4+1)=5，当且仅当m=2n时取等号，所以(2m+n)的最大值是√5，则有√a2+b2=1，
所以复数z=a+bi的模为|z|=√a2+b2=1，
故答案为：1.
9．若2x+3 y+z=7，则x2+ y2+z2的最小值为 ．
7
【答案】
2
【解析】由柯西不等式得：(x2+ y2+z2)⋅(22+32+12)≥(2x+3 y+z) 2，
7 x y
即14(x2+ y2+z2)≥49，∴x2+ y2+z2≥ （当且仅当 = =z时取等号），
2 2 3
7
∴x2+ y2+z2的最小值为 .
2
7
故答案为： .
2
题型四：齐次化与不等式最值
10．（2024·高三·浙江金华·期末）已知x2+2y2−√3xy=1(x,y∈R)，则x2+ y2的最小值为 ．
2
【答案】
5
【解析】x2+2y2−√3xy=1(x,y∈R)，
x2+ y2
则x2+ y2=
，
x2+2y2−√3xy
若y=0，则x=±1，x2+ y2=1；
x
1+( ) 2
y
若y≠0，可得x2+ y2=
，
x √3x
( ) 2− +2
y y
x 1+t2
设
=t，可设z=x2+ y2=
，
y t2−√3t+2即为(z−1)t2−√3zt+2z−1=0，
若z=1，可得t=2+√3，成立；
若z≠1，则△≥0，即3z2−4(z−1)(2z−1)≥0，
2
解得 ≤z≤2，
5
2 √3
即有z的最小值为 ，此时t=− ，成立．
5 3
2
故答案为 ．
5
3 8
11．已知正数x，y满足 + =2，则xy的最小值是（ ）
(x+2y)y (3x+2y)x
5 5 4 7
A． B． C． D．
8 4 3 4
【答案】B
xy[ 3 8 ] 1( 3x 8 y )
【解析】xy= + = +
，
2 (x+2y)y (3x+2y)x 2 x+2y 3x+2y
n−m 3m−n
令x+2y=m，3x+2y=n，则x= ，y= ，
2 4
1( 3x 8 y ) 1(3n 6m 7) 1( 7) 5
xy= + = + − ≥ 6− = ，
2 x+2y 3x+2y 2 2m n 2 2 2 4
√10 √10 5
当且仅当n=2m，即x= ，y= 时，等号成立，故xy有最小值 ．
2 4 4
故选：B
2xy xy
12．已知x>0，y>0，S= + ，则（ ）
4x2+ y2 x2+ y2
9 2√2
A．S的最大值是 B．S的最大值是
10 3
3 9√2
C．S的最大值是 D．S的最大值是
2 4
【答案】B
【解析】∵(2x y) (2x y)
3 + 3 +
2xy xy 2xy(x2+ y2)+xy(4x2+ y2) 6x3y+3x y3 y x y x
S= + = = = =
4x2+ y2 x2+ y2 (4x2+ y2)(x2+ y2) 4x4+5x2y2+ y4 (2x) 2 ( y) 2 (2x y) 2
+ +5 + +1
y x y x
2x y
令t= + ，
y x
2x y √2x y 2x y
∵x>0，y>0，则t= + ≥2 × =2√2，当且仅当 = ，即y=√2x时等号成立，
y x y x y x
(2x y)
3 +
y x 3t 3
故t∈[2√2,+∞)，可得S= = = ，
(2x
+
y) 2
+1
t2+1
t+
1
y x t
1 1 9√2
又∵f (t)=t+ 在[2√2,+∞)上单调递增，则f (t)≥f (2√2)=2√2+ = ，
t 2√2 4
3 3 2√2
S= ≤ = 2√2
∴ 1 9√2 3 ，即S的最大值是 .
t+ 3
t 4
故选：B.
题型五：复数的四则运算
z4
13．（2024·浙江·二模）已知z2−z= ，则|z|=（ ）
z
√2 √6
A．0 B． C．1 D．
2 2
【答案】C
z4
【解析】因为z2−z= ，所以z−1=z2,
z
所以z2−z+1=0,
1±√1−4 1±√3i
所以z= = ,
2 2
|1±√3i| √12+(±√3) 2
所以|z|= = =1.
2 2
故选：C.14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程x2−2x+2=0的两个根分别为x ，x ，则
1 2
|x +2x |=（ ）
1 2
A．1 B．√5 C．√7 D．√10
【答案】D
【解析】根据题意可得(x−1) 2=−1=i2，
∴x−1=±i，即x=1±i，
当x =1−i，x =1+i时，x +2x =3+i，
1 2 1 2
∴|x +2x |=√12+32=√10，
1 2
当x =1+i，x =1−i时，x +2x =3−i，
1 2 1 2
∴|x +2x |=√12+32=√10，
1 2
综上，|x +2x |=√10.
1 2
故选：D.
15．在复平面内，复数z ,z 对应的点关于直线y=x对称，若z =2+i，则|z +1−3i|=（ ）
1 2 1 2
A．√29 B．5 C．√5 D．1
【答案】C
【解析】因为z =2+i，所以其对应点为(2,1)，
1
(2,1)关于直线y=x对称的点为(1,2)，则z =1+2i，
2
所以|z +1−3i|=|1+2i+1−3i|=|2−i|=√22+12=√5，
2
故选：C．
题型六：复数的几何意义
1−z
16．（2024·湖北·模拟预测）若复数z满足 =1+i,i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（ ）
z−i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A1−z
【解析】因为 =1+i，所以1−z=(z−i)⋅(1+i)，即(2+i)z=i，
z−i
i i(2−i) 1 2
所以z= = = + i，
2+i (2+i)(2−i) 5 5
(1 2)
所以z对应的点的坐标为 , ，位于第一象限．
5 5
故选：A
17．复数z满足|z−5|=|z−1|=|z−i|，则|z|=（ ）
A．√10 B．√13 C．3√2 D．5
【答案】C
【解析】由|z−5|=|z−1|得复数z对应的点到点(5,0)和(1,0)距离相等，所以复数z对应的点在直线x=3上；
由|z−1|=|z−i|得复数z对应的点到点(1,0)和(0,1)距离相等，所以复数z对应的点在直线y=x上；
因为直线x=3和直线y=x的交点为(3,3)，所以z=3+3i，所以|z|=√32+32=3√2.
故选：C.
18．（2024·陕西榆林·模拟预测）若复数z满足z(1−i)=a−i(a∈R)，则复数z在复平面内对应的点不可
能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
a−i a+1+(a−1)i
【解析】z= = ，
1−i 2
若¿，则a>1，∴复数z可能在第一象限；
若¿，无解，即复数z不可能在第二象限，故应选B；
若¿，则a<−1，∴复数z可能在第三象限；
若¿，则−10，y>0且z=min ,√y ，则
8 8 x+ y
z的最大值为（ ）
1 √2
A． B．1 C． D．2
2 2
【答案】C
√x √xy
【解析】由题可得，00,b>0，
则a+b≥2√ab，即6≥2√ab，所以ab≤9，当且仅当a=b=3时，等号成立
又“赵爽弦图”的面积为a2+b2=(a+b) 2−2ab=36−2ab≥36−2×9=18，
所以当a=b=3时，“赵爽弦图”的最小面积为18.
故选：B.
z
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）若 =i3 ，则z=（ ）
z+i
1 1 1 1 1 1
A． −i B． +i C． − i D． + i
2 2 2 2 2 2
【答案】C
z 1 1−i 1 1
【解析】因为 =i3=−i，所以z=−zi−i2=1−zi，所以z= = = − i ．
z+i 1+i (1+i)(1−i) 2 2
故选：C．
z+1
3．（2024·北京·模拟预测）若 =i，则|z|=（ ）
z−1
√2 1
A．√2 B． C．1 D．
2 2
【答案】C
z+1
【解析】由 =i，可得z+1=i(z−1)，
z−1
−1−i (−1−i)(1+i)
所以z= = =−i，
1−i (1−i)(1+i)故z=i,|z|=1，
故选：C
4．（2024·四川宜宾·一模）如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为1，点A、B对应的复数分
别为z 、z ，则|z −z |=（ ）
1 2 1 2
A．√13 B．√10
C．3 D．√5
【答案】A
【解析】由图可知：A(3,−1),B(0,1),所以|z −z |=|⃗OA−⃗OB|=|⃗BA|=√32+22=√13,
1 2
故选：A
5．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数z=a+bi在复平面内表示一个圆周，则z'=a2+b2i在复平面内表
示的点构成的形状为：（ ）.
A．圆周 B．椭圆周 C．双曲线的一部分 D．线段
【答案】D
【解析】z=a+bi表示点(a,b)，故a2+b2=R2≠0 ⇒a2=R2−b2，
∴z'=(R2−b2)+b2i，由此可知z'表示：(R2−b2,b2)，在直线y=−x+R2上，
又a∈[−R,R],b∈[−R,R]，所以表示一条线段.
故选：D.
6．（2024·浙江温州·一模）若i2025z=1+i，则复数z对应的点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【解析】根据复数几何意义知道，对应的点为(1,−1)，在第四象限.
故选：D.( 1)( 1)
7．（2024·河南·模拟预测）已知a>0,b>0，且a+b=1，则 a+ b+ 的最小值为（ ）
a b
16 25
A．4 B．5 C． D．
3 4
【答案】D
(a+b) 2−2ab 1 2
【解析】=ab+ + =ab+ −2，
ab ab ab
(a+b) 2 1
因为a>0,b>0，且a+b=1，所以00，y+1>0，
1 1 ( 1 1 ) 1 1 (3 1+ y x )
则 + = + × (x+1+ y)= ⋅ + +
2x 1+ y 2x 1+ y 2 2 2 2x 1+ y
1(3 √1+ y x ) 1 (3 ) 3+2√2
≥ +2 ⋅ = ⋅ +√2 = ，
2 2 2x 1+ y 2 2 4
1+ y x
当且仅当 = 时，即x=2√2−2,y=3−2√2时，等号成立，
2x 1+ y
1 1 3+2√2
所以 + 的最小值为 ．
2x 1+ y 4
故选：B．
2x+5 y
9．（2024·福建·模拟预测）在△ABC中，点D是边BC上一点，若⃗AD=x⃗AB+ y⃗AC，则 的最小
xy
值为（ ）A．7−2√10 B．7+2√10 C．−2√10 D．7
【答案】B
【解析】在△ABC中，点D是边BC上一点，⃗AD=x⃗AB+ y⃗AC，则x+ y=1，x>0，y>0.
2x+5 y 5 2 5 y 2x √5 y 2x
=( + )(x+ y)=7+ + ≥7+2 ⋅ =7+2√10，
xy x y x y x y
5 y 2x 5−√10 √10−2
当且仅当 = ，即x= ,y= 时取等号，
x y 3 3
2x+5 y
所以 的最小值为7+2√10.
xy
故选：B
10．（2024·山西·模拟预测）已知x>0，y>0，且4x2+5xy=(4+ y)(4−y)，则7x+4 y的最小值为
（ ）
A．6√3 B．6√5 C．8√3 D．8√5
【答案】C
【解析】因为4x2+5xy=(4+ y)(4−y)，
所以4x2+5xy+ y2=(4x+ y)(x+ y)=16，
所以7x+4 y=4x+ y+ 3(x+ y)≥2√3(x+ y)(4x+ y)=8√3，
8√3 4√3
当且仅当4x+ y=3(x+ y)，即x= ，y= 时，等号成立，
9 9
所以7x+4 y的最小值为8√3.
故选：C.
1 1 1
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若存在t，使得a−22 B．a2+2a−3>0
16 a4
C．a2+
的最小值为8 D． 的最大值为－16
a2 4−a2
【答案】AD
1 1 1
【解析】选项A：存在t，使得a−20，
a+2 t a−21 1
（提示：只有当ab>0时，才有a>b⇔ < ）
a b
解得a>2或a<−2，所以|a|>2，故A正确．
选项B：若a2+2a−3>0，则a>1或a<−3，又|a|>2，故B错误．
16 16
选项C：a2+ ≥2√16=8，当且仅当a2=4时等号成立，又|a|>2，所以a2+ >8，故C错误．
a2 a2
选项D：因为|a|>2，所以a2−4>0，
a4 (a2−4+4) 2 16 √ 16
所以 = =(a2−4)+ +8 ≥2 (a2−4)⋅ +8=16，
a2−4 a2−4 a2−4 a2−4
a4
当且仅当a2−4=4，即a=±2√2时取等号，所以 的最大值为−16，故D正确．
4−a2
故选：AD.
12．（多选题）（2024·江西新余·模拟预测）已知z∈C，z为z的共轭复数，则下列条件可判定z∈R的是：
（ ）.
z z
A． = B．z⋅z=0
|z| |z|
C．z2=z2 D．z2 ⋅z=z⋅z2
【答案】ABD
【解析】已知z∈C，设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，
z z a+bi a−bi
对于A，若 = ，即 = ，得bi=−bi，即b=0，
|z| |z| √a2+b2 √a2+b2
所以z=a，有z∈R，A选项正确；
对于B，若z⋅z=a2+b2=0，则有a=b=0，得z=0，有z∈R，B选项正确；
对于C，若z2=z2，即a2+2abi−b2=a2−2abi−b2，有4abi=0，得ab=0，
其中当a=0,b≠0时，z∉R，C选项错误；
对于D，若z2 ⋅z=z⋅z2，有(z⋅z)⋅z=(z⋅z)⋅z，即|z| 2 ⋅z=|z| 2 ⋅z，
若|z|=0，则得z=0，有z∈R；若z=z，则b=0，z=a，有z∈R，D选项正确.
故选：ABD.
13．（多选题）（2024·宁夏吴忠·一模）已知z ,z 为方程x2−10x+40=0的根，则（ ）
1 2
A．z +z =10 B．z z =10
1 2 1 2C．z =z D．|z |=|z |
1 2 1 2
【答案】ACD
【解析】设z =a+bi,z =c+di，
1 2
因为z ,z 为方程x2−10x+40=0的根，且Δ=102−4×40<0，则b≠0,d≠0，
1 2
所以z +z =(a+c)+(b+d)i=10,z z =(ac−bd)+(bc+ad)i=40，即
1 2 1 2
a+c=10,b+d=0,ac−bd=40,bc+ad=0，
解得a=c=5,b=−d=√15或a=c=5,b=−d=−√15，
所以z =a−bi=5−bi,z =5+di=5−bi，则z =z ；
1 2 1 2
|z |=√52+(√15) 2=2√10,|z |=√52+(√15) 2=2√10，所以|z |=|z |，故ACD正确，B错误.
1 2 1 2
故选：ACD.
14．（多选题）（2024·山东·模拟预测）已知a>0，b>0，ab=2，则（ ）
1
A．log a⋅log b的最大值为 B．2a+4b的最小值为8
2 2 2
1 b 3
C．a3+b3的最小值为4√2 D． + 的最小值为
b a 2
【答案】BCD
【解析】因为a>0，b>0，ab=2，
(log a+log b) 2 (log ab) 2 1
对于A：log a⋅log b≤ 2 2 = 2 = ，当且仅当a=b=√2时等号成立，故A错误；
2 2 2 2 4
对于B：2a+4b=2a+22b≥2√2a ⋅22b=2√2a+2b≥2√22√2ab=8，当且仅当a=2，b=1时等号成立，故B正
确；
对于C：a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)=(a+b)(a2−2+b2)，
又a+b≥2√ab=2√2，a2+b2≥2ab=4，a2+b2−2≥2
所以a3+b3≥4√2，当且仅当a=b=√2时等号成立，故C正确；
对于D：
1
+
b
=
a+b2
=
a+b2
=
1(2 +b2)
，
b a ab 2 2 b
2 2 2(b2−1) 2(b−1)(b+1)
设f (b)= +b2(b>0)，则f'(b)=− +2b= = ，
b b2 b2 b2所以当01时f'(b)>0，则f (b)单调递增，
所以f (b)≥f (1)=3，
1 b 3
所以 + 的最小值为 ，当且仅当b=1、a=2时取等号，故D正确.
b a 2
故选：BCD
15．（多选题）（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数x，y满足x+2y=1，则下列说法正确的是（ ）
1 1
A．xy的最大值为 B．x2+4 y2的最小值为
8 2
1 3
C．√x+√2y的最大值为2√3 D． + 的最小值为7+2√6
x y
【答案】ABD
【解析】对于A：∵x>0，y>0，x+2y=1.
(x+2y) 2 (1) 2 1 1
∴x⋅2y≤ = = ，xy≤ .
2 2 4 8
1 1
当且仅当¿，即x= ，y= ，取“=”，∴A正确；
2 4
1 1
对于B：x2+4 y2=(x+2y) 2−4xy=1−4xy，由（1）知xy≤ ，∴−4xy≥− .
8 2
1 1
x2+4 y2=1−4xy≥1− = . B正确；
2 2
∴ ∴
对于C：(√x+√2y) 2=x+2y+2√x⋅2y=1+2√x⋅2y≤1+x+2y=1+1=2.
∴√x+√2y≤√2，∴C错误；
(1 3) 2y 3x 2y 3x
对于D： + (x+2y)=1+ + +6=7+ + ≥7+2√6，
x y x y x y
2y 3x
当且仅当 = ，即¿，取“=”，∴D正确.
x y
故选：ABD.
16．（2024·上海普陀·模拟预测）函数y=log (x+2)−1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直
a
1 1
线mx+ny+2=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为 .
m n
【答案】2
【解析】因为log 1=0，所以函数y=log (x+2)−1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(−1,−1)，
a a即A(−1,−1)，
又点A在直线mx+ny+2=0上，故m+n=2，
又m>0,n>0，所以
1
+
1
=
1( 1
+
1)
(m+n)=
1(
2+
n
+
m)
≥
1(
2+2
√ n
×
m)
=2，
m n 2 m n 2 m n 2 m n
n m
当且仅当 = 即m=n=1时等号成立，
m n
1 1
所以 + 的最小值为2.
m n
故答案为：2.
alnx e
17．（2024·新疆喀什·三模）已知函数f (x)= 和g(x)=b(√x−x)（b>0）有相同的最大值．则a+
x b
的最小值为 ．
【答案】e
alnx a(1−lnx)
【解析】f (x)= ，f'(x)= (x∈(0,+∞))，
x x2
当a=0时，f (x)=0，最大值为0，
1 b
又g(x)=b(√x−x)=b[−(√x) 2+√x]，所以当√x= 时，g(x) = ，
2 max 4
b
由 =0得b=0，与题设矛盾；
4
当a≠0时，令f'(x)=0得，lnx=1，即x=e，
当x∈(0,e)时，1−lnx>0，当x∈(e,+∞)时，1−lnx<0，
当a<0时，
当x∈(0,e)时，f'(x)<0，当x∈(e,+∞)时，f'(x)>0，
∴f(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，
∴f(x)在e处取到最小值，没有最大值，不符合题意；
当a>0时，
当x∈(0,e)时，f'(x)>0，当x∈(e,+∞)时，f'(x)<0，
∴f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
a
∴f(x) =f(e)= .
max e
∵f(x)与g(x)有相同的最大值，a b eb
∴ = ,a= ，又∵a,b>0，
e 4 4
e eb e √eb e eb e
∴a+ = + ≥2 · =e，当且仅当 = ，即b=2时取等号.
b 4 b 4 b 4 b
e
即a+ 的最小值为e.
b
故答案为： e.
18．（2024·吉林长春·一模）若(√3+i) 99=x+ yi，则x+2y= .
【答案】2100
3
(√3 1 )
【解析】由于 + i =i，
2 2
则(√3+i) 99= [ 2 (√3 + 1 i )] 99 =299 [ (√3 + 1 i ) 3] 33 =299i33 =299i32 ⋅i=299i
2 2 2 2
所以x=0，y=299，即x+2y=2100.
故答案为：2100.
|z |
19．（2024·浙江杭州·一模）已知复数z ,z 的实部和虚部都不为0，满足① 1 =2；②|z z |=2.则z =
1 2 z 1 2 1
2
，z = .（写出满足条件的一组z 和z ）
2 1 2
√2 √2
【答案】 z =√2+√2i z = + i
1 2 2 2
【解析】设z =a+bi,z =c+di(abcd≠0,a,b,c,d∈R)，
1 2
z a+bi (ac+db)+(bc−ad)i
则 1= = ，
z c+di c2+d2
2
z z =(a+bi)(c+di)=ac−bd+(ad+bc)i，
1 2
由¿，
整理得¿，即¿，
所以¿，
√2
可取a=b=√2,c=d= ，
2
√2 √2
所以z =√2+√2i,z = + i.
1 2 2 2√2 √2
故答案为：z =√2+√2i;z = + i.（答案不唯一，只要满足a2+b2=4,c2+d2=1,abcd≠0即可）
1 2 2 2
20．（2024·湖北荆州·三模）棣莫弗定理：若n为正整数，则[r(cosθ+isinθ)] n =rn[cos(nθ)+isin(nθ)]，
其中i为虚数单位，已知复数z=202√4 985 ( sin π +icos π) ， 则|z2024|= ，(z2024)的实部为 ．
6 6
985
【答案】 985 − /−492.5
2
π π π π
【解析】因为复数z=202√4 985(sin +icos )=202√4 985(cos +isin )，
6 6 3 3
所以由棣莫弗定理可得，
π π 2024 2024π 2024π
z2024=[ 202√4 985(cos +isin )] =985(cos +isin )
3 3 3 3
2π 2π 1 √3
=985[cos(674π+ )+isin(674π+ )]=985(− + i)，
3 3 2 2
√ √3 2 1 2
所以|z2024|= 9852 [( ) +(− ) ]=985.
2 2
1 √3
所以(z2024 )=985(− − i)，
2 2
985
所以(z2024 )的实部为− .
2
985
故答案为：①985；②− .
2
