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专题 02 三角函数的图象与性质（五点法作图）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围...2
题型二：用五点法画出具体某个范围内的图象...............8
三、专项训练.............................................13
一、必备秘籍
必备方法： 五点法步骤
③
①
②
对于复合函数 ，
第一步：将 看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令 等于 ， ，
， ， ，对应的 则取 ， ， ， ， 。，（如上表中，先列出序号①②两
行）
第二步：逆向解出 （如上表中，序号③行。）第三步：得到五个关键点为： ， , , ,
二、典型题型
题型一：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围
1．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数 .
(1)请用五点法作图作出 在一个周期内的大致图象;
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合正弦函数的五点作图法，列表描点即可作图，
（2）结合（1）的图象即可求解．
【详解】（1）列表如下:
00
1 3 0
对应的图象如下:
（2）由题意可得： 在 上恒成立，
根据小问一可得 在 上的最大值为 ，
则 ，解得 ，
的范围是 .
2．（23-24高一上·湖南张家界·阶段练习）利用“五点法”作图作函数 在长
度为一个周期的闭区间上的简图.（图中 轴上每格的长度为 ， 轴上每格的长度为1）
列表：【答案】见解析
【分析】根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．
【详解】列表：
【点睛】本题主要考查三角函数的图象的作法，利用五点法是解决三角函数图象的基本方
法．
3．（23-24高一下·北京怀柔·期中）已知函数 满足 .
(1)求 的值；
(2)用五点法画出函数 在一个周期上的图象；(3)根据（2）得到的图形，写出函数 的图象的对称轴方程与对称中心的坐标.
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3)对称轴为： ， ；对称中心为： ,
【分析】（1）由特殊角三角函数直接求解 ；
（2）结合五点作图进行列表描点即可作图得解；
（3）结合正弦函数的对称性即可求解对称轴及对称中心；
【详解】（1） ，即 ，又 ，则 ；
（2）列表如下：
0
0 1 0 0
描点连线，图像如下：
（3）令 ， ，解得 ， ，可得函数对称轴为：
， ．
令 ， ，解得 ， ，可得函数对称中心为： ,
.
4．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）小美同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如
下表：
0
0 0
(1)请将上表数据补充完整并求出函数 的解析式；
(2)若 ，求不等式 成立的 的取值集合．
【答案】(1)表格见解析，
(2)
【分析】（1）由表格数据得到 ，及 、 的方程组，解得即可得到函数解析式，再完善
表格即可；
（2）首先得到 解析式，再结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）根据表中已知数据可得 ， ，解得 ，
所以 ；
表格数据补全如下：
（2）由题意 ，
不等式 ，即 ，即 ，所以 ，
解得 ，
所以不等式 成立的 的取值集合为 .
5．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数 在某一个
周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 1 0
(1)请在答题卷上将上表 处的数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(2)设 ，求函数 的值域；
【答案】(1)补充表格见解析，
(2)
【分析】（1）由表得 ，解方程组即可得 ，进一步可据此完成表格；
（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简 的表达式，进一步通
过整体换元法即可求解.
【详解】（1）由题意 ，解得 ，
所以函数 的解析式为 ，
令 时，解得 ，当 时， ，
将表中 处的数据补充完整如下表：0
0 1 0 0
（2）若 ，
则
，
因为 ，所以 ，
进而 ，
所以函数 的值域为 .
题型二：用五点法画出具体某个范围内的图象
1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数 ．用“五点法”在给定的坐
标系中，画出函数 在 上的大致图象.
【答案】作图见解析
【分析】通过列表得函数 在 内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点
连线画出图.
【详解】列表：0
1 2 0 0 1
描点，连线，画出 在 上的大致图象如图：
2．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数 周期为 ，其中 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数 在
上的简图．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先利用周期求出函数解析式，再利用单调性可得答案；
（2）利用五点法画图可得答案.
【详解】（1）由题意可得 ，所以 ；令 ， ，解得 ，
故函数 的单调递增区间为 .
（2）
0
0
0 2 0
描点，连线，其简图如下
3．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 ．
(1)用“五点法”作出函数 在 上的图象；
(2)解不等式 ．
【答案】(1)图象见解析
(2)
【分析】（1）利用“五点作图法”即可得解；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数的性质即可得解.【详解】（1）列表
0
0 1 0 0
又当 时， ，当 时， ，
描点作图，如图所示：
（2）因为 ，
所以 ， ，
解得 ， ，
故不等式的解集为 .
4．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数 .
(1)用五点法作图作出 在 的图象；
(2)求 在 上的最大值和最小值.
【答案】(1)图象见解析
(2)【分析】（1）根据五点法作图的方法填表，描点，作图即可；
（2）根据 ，求出 的范围，再根据三角函数的性质求出最值.
【详解】（1）列表如下：
0
0
1 3 1
对应的图象如图：
（2） ，
又 ，
即 ，
.
5．（23-24高一上·天津河北·期末）已知函数 ， ．
(1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数 在区间 内的图象；
(2)求函数 的最小正周期；(3)求函数 的单调递增区间．
【答案】(1)图象详见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用五点作图法画出图象.
（2）由 求得 的最小正周期.
（3）利用整体代入法求得 的单调递增区间.
【详解】（1） ，
列表如下：
描点画图如下：
（2）函数 的最小正周期 .
（3）由 ，
解得 ，
所以 的单调递增区间为 .三、专项训练
1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出 在 上的图象；
x 0
(2)将 的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移 个单位
后，得到 的图象，求 的对称中心．
【答案】(1)表格见解析，图象见解析
(2)
【分析】（1）首先根据五点法将表格补充完整，然后描点，最终用一条“光滑”的曲线连
接起来即可.
（2）根据三角函数图形的平移变换、伸缩变换法则求得 的表达式，通过整体代换即
可求解.
【详解】（1）
x 0
0 0（2） 的图象向下平移1个单位得 的图象，
横坐标扩大为原来的4倍得， ，
再向左平移 个单位后，得 ，
令 ，得 ，
所以函数 的对称中心为
2．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）某同学用“五点法”画函数 ，
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(2)当 时，求不等式 的解集．
【答案】(1)表格见解析，
(2)
【分析】（1）利用五点作图法完善表格即可，根据表中数据求出 即可求出函数解析
式；
（2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解.【详解】（1）由表可知 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
表格如下：
0
0 0
（2） ，即 ，
所以 ，解得 ， ，
又因 ，所以 ，
即不等式 的解集为 ．
3．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）用五点法作出函数 在一
个周期内的图象
【答案】答案见解析
【分析】根据五点法确定各点坐标，进而可得函数图象.
【详解】列表如下
描点连线，可得函数图象如下：4．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）某同学在研究函数
的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下：
(1)根据上表中数据，求出 及 的值；
(2)求函数 的单调递减区间.
【答案】(1) ， ， ， ，
(2)
【分析】（1）根据表格数据可得 最小正周期，由此可得 ；由 可求得
；根据“五点法”基本原理，采用整体对应方式即可求得 ；
（2）令 ，解不等式即可求得单调递减区间.
【详解】（1）由表格数据知： 的最小正周期 ， ，
， ，解得： ，
又 ， ；
令 ，解得： ；
令 ，解得： ；令 ，解得： .
（2）由（1）知： ，
令 ，解得： ，
的单调递减区间为 .
5．（2023高三·全国·专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数
在 上的大致图像.
【答案】答案见解析
【分析】根据函数解析式按照“五点法”的步骤，列表、描点、连线即可作出 的图
象.
【详解】列表：
0
1 2 0 0 1
描点，连线，画出 在 上的大致图像如图：6．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ， ．在用“五点法”
作函数 的图象时，列表如下：
x
完成上述表格，并在坐标系中画出函数 在区间 上的图象；
【答案】填表见解析；作图见解析
【分析】由五点作图法的步骤：列表（此题找特殊点），描点，连线（用一条光滑的曲线
连接）.
【详解】由题意列出以下表格：
0x 0
0 2 0
函数图象如图所示：
7．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数 ．
(1)请用“五点法”画出函数 在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数
字，再画图）；
(2)求 的单调递增区间．
【答案】(1)答案见解析
(2) ， ．
【分析】（1）分别令 ， ， ， ， ，列表描点连线可得函数图像；
（2）将 表示出来并化简，利用三角函数的单调性求解即可．
【详解】（1）
分别令 ， ， ， ， ，可得：
0
0 1 0 0
画出在一个周期的图像如图所示：
（2）
，
若求单调递增区间，需满足 ， ，
， ，
则 的单调递增区间为 ， ．
8．（22-23高一下·江西赣州·期末）已如函数 ．
(1)用“五点法”作出函数 在区间 上的图像；
(2)将函数 的图像向右平移 个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，求 在区间 上的取值范围．
【答案】(1)图像见解析
(2)
【分析】（1）根据题意列出“五点法”对应的表格，从而得解；
（2）利用三角函数平移伸缩变换的性质得到 的解析式，从而利用三角函数的性质即
可得解.
【详解】（1）依题意，列表如下：
所以数 在区间 上的图象如下：
.
（2）因为 ，
所以将函数 的图像向右平移 个单位长度，可得到
的图像，
再将得到的图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得到
的图像，
因为 ，所以 ，则故 的取值范围是 .
9．（22-23高一下·江西赣州·阶段练习）某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数
据，如下表：
x
0
0 3 0 0
(1)请将上表数据补充完整，并写出函数 的解析式（直接写出结果即可）；
(2)根据表格中的数据作出 在一个周期内的图象；
(3)求函数 在区间 上的值域．
【答案】(1)表格见解析， ；
(2)作图见解析；
(3) .
【分析】（1）利用最大值求 ；由表格中数据先求周期,再求 ；再由 求得 ,
进而得到解析式,由解析式补全表格即可；
（2）由表格数据描点连线作图即可；
（3）令 ,则 ,利用正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1）由题表知 ， ，所以 ，
， ，，
则数据补全如下表：
0
0 3 0 0
；
（2）由（1）， 在一个周期内的图象如图所示，
；
（3）令 ,则 ,
所以 在 上的值域可转化为 在 上的值域,
因为正弦函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
所以 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
故 的最小值为 ,最大值为 ,
当 时, ；当 时, ,
故当 时, ；当 时, ，
所以函数 在区间 上的值域为 .
10．（22-23高一上·广东广州·期末）设函数 （），将该函数的图像向左平移 个单位长度后得到函数 的图像，函数 的图像关于
y轴对称.
(1)求 的值；
(2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数 在一个周期内的图像；
(3)设关于x的方程 在区间 上有两个不相等的实数
根，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)图像见解析
(3)
【分析】（1）先对 作恒等变换，再求出 解析式，根据条件求出 ；
（2）用整体代入法取5点作图；
（3）将原方程转化为一元二次方程求解.
【详解】（1）
，
，是偶函数，并且 ；
（2）由（1）的结论得 ，
取5点得下表：0 0 0
作下图：
（3）由（1）得 ，原方程为：
，
， …①，
令 ， ，则t关于x的函数图像如下图：
由图可知：当 时，任意一个t对于2个x，当 时 ，任意一个t对应1个
x，并且 ；
变为： ，即 ，
即不论m为何值， 总是原方程的一个解，∴欲使得原方程有2个解，必须是
，
；
综上， ， .
