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第二十一章 概率初步（知识归纳+题型突破）
1.能描述简单随机事件的特征(可能结果的个数有限，每一个可能结果出现的
概率相等)；
2.能用列表、画树状图等方法求出简单随机事件所有可能的结果以及指定随机事件发生的所有可能结果；
3.能计算简单随机事件的概率;知道经历大量重复试验，随机事件发生的频率具有稳定性；
4.能用频率估计概率，体会数据的随机性以及概率与统计的关系；
5.能综合运用统计与概率的思维方法解决简单的实际问题.
知识点一：概率
1.概率及公式
定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．
概率公式：P(A)＝ (m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
2. 事件的类型及其概率
事件类型 概率
确定性事件 1或0
必然事件 1
不可能事件 0
不确定性事件(随机事件) 0<P(A)<1
知识点二：随机事件概率的计算
1.随机事件概率的计算方法
(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；
(2)两步完成：列表法、画树状图法；
(3)两步以上：画树状图法
2.几何概率的计算方法
求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.
知识点三：用频率可以估计概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率
P(A)＝p＝ .题型一随机事件与可能性
【例1】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）下列事件中，判断正确有（ ）
①在地球上抛出的篮球会下落，是必然事件；
②郑一枚图钉，针尖朝上，是不可能事件；
③从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是黑桃5，是随机事件；
④若 ，则一定有 ，是必然事件．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2（2023春·四川成都·七年级统考期末）转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最
大的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练：
1．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．随机掷一枚质地均匀的骰子一次，掷出的点数是1
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
2．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．掷一次骰子，向上的一面是6点
C．购买一张彩票，中奖 D．如果a、b都是实数，那么
3．（2023·重庆·九年级统考学业考试）下列事件，是随机事件的是（ ）
A．一个三角形的内角和为181度 B．掷一次骰子，向上一面点数大于0
C．3人分成两组一定有2人分在一组 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
4．（2023春·山东济南·七年级校联考期中）“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角”这一事
件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是
5．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，反面朝上 B．经过某一有交通信号灯的路口，恰好遇到绿灯
C．内错角相等，两直线平行 D．打开电视，正在播放3月15日消费者权益日晚会6．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是
（ ）
A．守株待兔 B．旭日东升 C．瓜熟蒂落 D．夕阳西下
7．（2021春·广东江门·九年级校考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“概率为0.001的事件”是不可能事件
C．“同位角相等，两直线平行”是必然事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
8．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）某天气预报软件显示“菏泽市东明县明天的降水概率为 ”，
对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A．东明县明天将有 的时间下雨 B．东明县明天下雨的可能性较小
C．东明县明天下雨的可能性较大 D．东明县明天将有 的地区下雨
9．（2023春·七年级单元测试）某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，
甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔
着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同
一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那
么甲和乙也不同一组．正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023春·天津红桥·九年级开学考试）一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色
外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
11．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）成语“水中捞月”反映的事件是 事件（填必然、不
可能或随机）．
12．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）排队时，小亮和2位同学站成一横排，其中小亮“站在中
间”的可能性 小亮“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．
13．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）一只不透明的口袋中装有3只黄色乒乓球和5只白色乒乓球
（除颜色外都相同），搅匀后从中任意摸出一只乒乓球，摸到 （填写“黄”或“白”）色乒乓球的可
能性大．
14．（2023秋·九年级课前预习）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙两位同学轮流从中选出一个数字，
从左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第
一个数字是6，甲先填，
（1）请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果 ；
（2）满足条件的填法有 种．
6
15．（2023·广西·模拟预测）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从长桥畔爬行到古樟旁，标记
有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有 种不同的爬行路径．
16．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已
知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况．
17．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）有甲、乙、丙三个不透明的布袋，在甲袋中放有8个红球，
在乙袋中放有4个红球，4个黄球，在丙袋中放有8个黄球，这些球除颜色外，其它都相同，从三个袋中
任意摸出一球，哪一个可以使“摸到红球”是必然发生的？哪一个可以使“摸到红球”是不可能发生的？
哪一个可以使“摸到红球”是随机发生的？
18．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）甲袋中放着22个红球和7个黑球，乙袋中放着42个白球和16
个黑球，三种球除颜色外没有任何区别，将两袋中的球搅匀，从两个袋中各任取一个球，哪个袋中取出黑
球的可能性大？
19．（2023春·上海·八年级专题练习）盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以外都相同，每次从
盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案．
(1)摸到红球是不可能的；
(2)摸到红球是必然的；
(3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能．
20．（2023春·江苏·八年级专题练习）一只不透明的袋子中有 个红球、 个绿球和 个白球，这些球除颜
色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出 个球．
（1）会出现哪些可能的结果？
（2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？
（3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？（4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？
题型二 概率公式及其应用
【例3】（2023春·陕西西安·七年级校考期末）在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球
除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
(1)求出摸出的球是红球的概率；
(2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球．那么这9个球中红球和黄球的数量分
别应是多少？
【例4】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，则他
停留在卧室或客厅的概率是 ．
巩固训练
1．（2023·山东·九年级专题练习）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗
产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋
友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案
既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球
中只有3个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球试验
后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出a大约是（ ）A．12 B．9 C．4 D．3
3．（2023春·辽宁锦州·七年级统考期末）如图是水平放置的圆形瓷砖，瓷砖上的图案是三条直径把两个同
心圆中的大圆分成六等份．若在这个大圆区域内随机地抛一个小球，则小球落在阴影部分的概率是（
）
A． B． C． D．
4．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）从 ， ， ，0，3这五个数中随机抽取一个数。恰好是负
数的概率是 ．
5．（2023春·甘肃张掖·七年级校考期末）有7张纸签，分别标有数字1，1，2，2，3，4，5，从中随机地
抽出一张．抽出标有数字1的纸签的概率是 ．
6．（2023春·江苏南京·八年级校考期中）一只不透明的袋子中装有10个白球、20个黄球和30个红球，每
个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则下列事件：（1）该球是白球；（2）该球是黄
球；（3）该球是红球；则发生的可能性最大的为： （只填写序号）．
7．（2023·重庆·九年级统考学业考试）在单词“ ”中任意选择一个字母，选到字母“ ”的
概率是 ．
8．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机
在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．
9．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）如图，在边长为a的正方形里画一个最大的圆，然后随机向正方
形内投一粒米，则这粒米落在圆内的概率是 ．（线粗忽略不计）10．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是
等腰直角三角形）．随机抛一个小球停留在某块地板砖上，则小球停留在阴影区域的概率是 ．
11．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）有红球，白球，黄球若干个备用，在一个不透明的口袋中放入
8个红球和12个白球，摇匀．
(1)求从这个不透明口袋中随机摸出一个球是白球的概率；
(2)现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的黄球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出的一个球不
是红球的概率为 ，问放入了多少个黄球？
12．（2023春·云南文山·七年级校联考期末）某超市为了促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸
箱，纸箱里装有1个红球，2个白球和12个黄球，并规定：顾客每购买50元的新品牌商品，就能获得一次
摸球的机会，如果摸到红球，顾客可以获得一把雨伞，摸到白球，可以获得一个文具盒，摸到黄球，可以
获得一支铅笔，甲顾客购此新商品80元，问：
(1)获得奖品的概率是多少？
(2)得到一把雨伞，一个文具盒，一支铅笔的概率分别是多少？
13．（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满 元的
顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成 个扇形），转动转
盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某
一扇形为止）
颜色 红 蓝 黑
奖券金额 20 5 80（元） 0
(1)甲顾客购物 元，他获得奖券的概率是___________；
(2)乙顾客购物 元，并参与该活动，他获得 元和 元奖券的概率分别是多少？
(3)为加大活动力度，现商场想调整获得 元奖券的概率为 ，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个
黄色区域改为红色？
14．（2023春·山东威海·七年级统考期末）有一个被等分成 份的转盘，其中有8份被涂成了红色，小鹿
用它做了10组试验，每组试验转50次，记录每组试验中转盘停下后指针指向红色区域的次数，并制成如
下所示的折线统计图，据图回答问题：
(1)转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是多少？（精确到0.1）
(2)转盘被等分成了几份？
15．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）一个不透明的口袋里有20个除颜色外都相同的球，其中有5个
红球，15个黄球．
(1)从中随意摸出一个球，摸出______球的可能性小；
(2)若从中随意摸出一个球，摸出黄球的概率是______；
(3)若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为 ，袋子中需再加入______个红球；
(4)若另外拿20个同款的球放入口袋中（球的颜色是红色和黄色），你认为怎样放才能使摸到的红球和黄
球的可能性相同？请分别求出放入口袋中红球、黄球的个数．
16．（2023春·甘肃张掖·七年级校联考期末）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球个数的5倍．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是 ．
(1)求袋中红球的个数；
(2)求从袋中摸出一个球是白球的概率；
17．（2023春·贵州·七年级统考期末）一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全
相同．
(1)判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率；
(2)求从口袋中随机摸出一个球是白球的概率；
(3)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球
的概率是 ，则取走了多少个白球？
18．（2023春·宁夏银川·七年级银川唐徕回民中学校考期末）暑期亲临，某商场柜台为了吸引顾客，打出
了一个小广告如下：本专柜为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率100%，最
高奖50元，具体方法是：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指
针正好对准黄、红、绿、白色区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（转盘被等
分成16份）．请根据以上信息，解答下列问题：
(1)小亮的妈妈购物150元，她获得50元、20元、5元购物券的概率分别是多少？
(2)请在转盘的空白区域涂上黑色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在这一区域的事件发
生概率为 ．
题型三 用树状图和列表法求概率
【例5】（2023·陕西咸阳·校考二模）国际数学家大会（ ），是由国际数学联盟（ ）主办的国际
数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥
林匹克盛会．李颖和汪洋两人想通过玩游戏的方式，了解关于国际数学家大会的一些常识，他们给一个不
透明的袋子里装了四个分别标有 、 、 、 的小球，这些小球除所标字母不同外其他都相同，汪洋先从四个小球中随机摸出一个，李颖再从剩下的三个小球中随机摸出一个，然后两人按照如下图示各自搜索
并回答自己所摸小球上字母对应的问题．
(1)汪洋随机摸出的一个小球是小球 的概率为_______；
(2)请用列表法或画树状图的方法求游戏结束后，两人恰好回答完 、 两个问题的概率．
【例6】（2023·云南临沧·统考三模）五一小长假期间，小林和小云一起来到昆明旅游，晚上他们打算去特
色街吃饭，他们看到满大街各式各样的美食，却不知道选择哪一个，于是通过抽卡片的游戏来决定吃什么，
他们制作了四张背面完全相同的卡片，在正面上分别写着：A过桥米线；B野生菌火锅；C鲜花饼；D汽锅
鸡，将这四张卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗匀放好．小林先从四张卡片中随机抽取一张，放回洗
匀后，小云再从四张卡片中随机抽取一张．
(1)小林抽到卡片正面写着汽锅鸡的概率是 ；
(2)请利用列表或画树状图的方法，求两个人抽到同一种特色美食的概率．
【例7】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进
行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min 人数
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中 ______．
(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“ ”所对应的圆心角度数．
(3)若全校共有 名学生，请估计平均每天阅读时长为“ ”的学生人数，
(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分
别用相同的卡片 ， ， ， 标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法
或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
巩固训练
1．（2023春·山东泰安·九年级校考期中）用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率
为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2023·全国·九年级专题练习）今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红
军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那
么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A． B． C． D．1
3．（2023·全国·九年级专题练习）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学
表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概
率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·宁夏银川·八年级校考期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界
誉为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大
寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐
从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）在一个黑色布袋中装有标号分别为2、3、4的三
个小球，从中摸出一个小球，不放回，再摸出一个小球，两次摸出小球的标号的和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分
2，0， ；转盘B被四等分3，2， ， ．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应
数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘） 落在直角坐标系y轴正半轴上的
概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江西九江·七年级统考期末）有4根细木棒，长度分别为1 ，2 ，3 ，4 ，从中任
选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．
8．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）现有长度分别为 和 的木棒，用5根长度为 、 、
、 、 的木棒分别与之围成三角形，则能围成三角形的概率为 ．
53．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）小丽与妈妈用一个如图所示的六等分、可以自由转动的转盘来玩游戏；将转盘随机转一次，指针指向的数字如果是能被 整除 妈妈获胜，如果是不能被 整除，则小丽
获胜（指针指到线上则重转）．求：
(1)转完转盘后指针指向数字是 的倍数概率是多少？
(2)这个游戏公平吗？请你说明理由．
9．（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图，是一副扑克牌中的四张牌，将它们正面向下洗均匀，从中
任意抽取两张牌，求抽出的两张牌中，牌面上数字都是偶数的概率．
10．（2023·江苏常州·统考一模）在3张相同的小纸条上，分别写上线段的长度：① ；② ；③ ．
将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中，
(1)搅匀后从中任意抽取一支签，抽中②签的概率是__________；
(2)搅匀后从中任意抽取两支签，求这两支签的线段能与长为 的线段组成一个三角形的概率．
11．（2023·广东梅州·统考二模）已知代数式 ．
(1)化简代数式 ；
(2)在满足 的整数中随机抽取1个代入代数式中，求不会使得代数式无意义的概率．
12．（2023·全国·九年级假期作业）成语是我国灿烂文化宝库中一颗璀璨的明珠，具有简洁明快、画龙点
睛的特点．如：成语“物美价廉”形容东西价钱便宜、质量又好．乐乐无返回依次到甲、乙、丙三地旅游，
在途中准备购买一个金边的“冰墩墩”作为纪念．已知甲、乙、丙三地相离较远，都可以买到乐乐心仪的
同款金边“冰墩墩”；但市场上这款金边冰墩墩的质量有优、良、合格、不合格，价格有130元、120元、
105元、95元、90元、85元等情况，乐乐认为只要买到优良品质、价格不超过100元的金边冰墩墩，就达
到“物美价廉”．(1)若乐乐打听到甲地所卖的金边冰墩墩质量为优品，因此乐乐决定在甲地购买．试求出乐乐买到“物美价
廉”的金边冰墩墩的概率；
(2)乐乐认为：没有了解三地所销售金边冰墩墩的相关信息，直接选择到了丙地再购买，能买到“物美价
廉”的金边冰墩墩的概率与（1）中在甲地买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率是一样的，这个想法是
否正确？试说明理由，并列举出乐乐没有了解三地所销售金边冰墩墩的相关信息，直接选择在丙地购买到
“物美价廉”金边冰墩墩的情况．
13．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）如图，一个转盘平均分成6等份，分别标有1、2、3、4、5、6
六个数字．随机转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指向分界线时重新转动）．
(1)随机转动转盘，求转出的数字小于3的概率；
(2)现有两张分别写有2和3的卡片．随机转动转盘转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长
度，求这三条线段能构成三角形的概率是多少？
14．（2023·全国·九年级专题练习）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国
旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景
区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽
奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．
(1)小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是_________．
(2)小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．
15．（2023春·宁夏银川·八年级校考期末）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等
分，分别标有数字2，0， ；转盘B被四等分，分别标有数字3，2， ， ．如果同时转动转盘A，
B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重
新转动转盘），小明和小刚玩游戏，如果点 落在直角坐标系的第一或第三象限则小明胜，如果点
落在坐标轴上则小刚胜，请列树状图或表格的方法求出二人各自获胜的概率，并说明游戏是否公平．16．（2023·陕西宝鸡·统考二模）棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极
为广泛的益智游戏．喜欢思考的小敏设计了如图所示的 的小方格棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，
且每一个方格内最多放入一枚棋子．棋盘内现已有四枚棋子，在剩余的1、2、3、4、5方格内继续随机放
入棋子，如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”．
(1)若小敏随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是________________；
(2)若小敏随机放入2枚棋子，请用画树状图或列表法求放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的概率．
17．（2023春·山东日照·九年级校考期中）下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，
乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同
时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内
的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分
割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．
(1)请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率．
(2)该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．
18．（2023秋·海南海口·九年级校考期末）某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛
的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段 频数 频率
2
m12
14 n
4
(1)表中 ________ ________；
(2)请在图中补全频数分布直方图：
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在________分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在 分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，
则恰好是一名男生和一名女生的概率为________．
19．（2023·重庆·九年级统考学业考试）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分利用好
课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小
组）： ．礼仪； ．陶艺； ．园艺； ．厨艺； ．编程．为了解学生对以上活动的参与情况，随机
抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查一共随机抽取了_________名学生；“D．厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_________
度；(2)补全条形统计图（请在条形图上方注明人数）；
(3)学校计划从参加“E．编程”活动的四位优秀学生甲、乙、丙、丁中随机抽取两人參加区青少年人工智
能编程比赛，请用树状图或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
20．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）【问题情境】数学活动课上，老师指
导同学们开展“调查某社区每个家庭五月份的用水量”的实践活动．
【实践发现】善思小组随机抽查了某社区20个家庭五月份的用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭
五月份的用水量在3～7吨范围内，整理数据如下：
五月份用水量
（吨）
户数
【实践探究】分析数据如下：
众
平均数 中位数 方差
数
五月份用水量
（吨）
【问题解决】
(1)上述表格中： ______， ______， ______；
(2)甲同学说：“估计该社区，有一半以上的家庭五月份用水量不超过5吨．
乙同学说：“根据样本数据，估计该社区200户家庭中五月份用水量不超过5吨的约有120户．”
上面两位同学的说法中，合理的是______同学（填“甲”或“乙”）
(3)该社区决定从五月份用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用
列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、乙两户的概率．
21．（2023·四川成都·校考三模）为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课．学生
根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺．张老师随机对该校部分学生的选课
情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)张老师调查的学生人数是_____，其中选择“泥塑”选修课在的扇形统计图中圆心角的度数为_____；
(2)若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数；
(3)现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑，张老师要从这4人中任选2人了解情
况，请用树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书画的概率．
22．（2023春·安徽·九年级专题练习）为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，我市某中学九（
）班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从 ．“中国天眼”： ，“北斗卫星”； ．“高速
铁路”； ．“神州火箭”四主题中任选一个自己喜欢的主题．现统计了同学们所选主题的频数，绘制了
不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)九（ ）班共有 名学生；
(2)请以九（ ）班的统计数据估计全校 名学生中大约有多少人选择 主题？
(3)请求出 主题所对应扇形圆心角的大小；
(4)在手抄报比赛中，甲、乙两位同学均获得了一等奖，请用画树状图或列表的方法求出他们的手抄报主题
不相同的概率．
题型四 游戏公平性
【例8】（2023·浙江·九年级假期作业）某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级： ．优秀； ．良
好； ．及格； ．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
(1)本次共调查了________名学生，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中， 的值是________， 对应的扇形圆心角的度数是________；
(3)若该校共有 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数；
(4)某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加知识竞赛．班长设计了如下游戏来确定人选，
具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字 ， ， ， ．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，
两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树
状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
巩固训练
1．（2023秋·湖南衡阳·七年级校考开学考试）小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三
位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则 （填“公平“或“不公平”）．
2．（2023春·广东云浮·九年级校考期末）甲、乙两班进行篮球比赛，裁判员采用同时抛掷两枚完全相同硬
币的方法选择比赛场地：若两枚硬币朝上的面相同，则甲班先选择场地；否则乙班先选择场地．为了判断
这种方法的公平性，明明画出树状图如图所示，根据树状图，这种选择场地的方法对两个班级 ．
（填“公平”或“不公平”）
3．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个
名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动；将一个均匀的、可以自由转动的转盘9等分，分别标上
1至9九个号码，随机转动转盘，若转到3的倍数，小亮去参加活动；转到偶数，小芳去参加活动；转到
其它号码则重新转动转盘．(1)转盘转到3的倍数的概率是多少？
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）小华和小军做摸球游戏，A袋中装有编号为1，2，3的三个小球，B
袋中装有编号为4，5，7的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同，从两个袋子中分别随机摸出一
个小球，若B袋摸出的小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为奇数，则小华胜，否则小军胜，这个游戏
对双方公平吗？请说明理由．
5．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）一个不透明的布袋里装有20个除颜色外均相同的小球，其中白
球有x个，红球有 个，其他均为黄球．现从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，若为黄球，
则乙同学获胜．
(1)当 时，谁获胜的可能性大？
(2)要使游戏对甲乙双方是公平的，x应取何值？
6．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）在一次数学兴趣小组活动中，江华和江玉两位同学设计了如图所
示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则
如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则江华获胜；若指
针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则江玉获胜（若指针停在等分
线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
(2)分别求出江华和江玉获胜的概率；
(3)请问游戏规则公平吗？如不公平，请更改游戏规则，使游戏公平．
7．（2023春·云南昭通·九年级统考期中）某班甲、乙两名同学周末一同外出游玩，但游玩的景点两人意见不一致，于是用游戏的方式在大理古城与丽江古城中决定游玩的景点． 游戏规则如下：一个不透明袋子
中装有质地完全相同的乒兵球共4个，分别标有数字 ，另一个不透明的袋子中装有质地完全相同的
乒乓球共3个，分别标有数字 ． 甲从两个袋子中各摸出一个球，若两个球上的数字之和不大于4，则
去大理古城；否则，去丽江古城．
(1)用画树状图或列表法列出所有可能的结果．
(2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．
8．（2023春·云南德宏·九年级统考期中）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是
快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除编号和人
物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将
四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为 ，再把剩下的3张卡片洗
匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为 ．若他们取出的两张卡片
上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，列出 所有可能出现的结果．
(2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
9．（2023秋·甘肃兰州·九年级校考期末）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等
份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则
重转．(1)请用树状图或列表法列出所有可能的结果；
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足 ，则小明胜；若x，y满足 ，则小红胜，
这个游戏公平吗？请说明理由．
10．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，转盘被它的半径分成标有数字的扇形区域，每个扇
形圆心角的度数如图所示.小亮和小周做游戏，规则如下：小亮和小周各转动一次转盘，待转盘自动停止后，
指针指向扇形内部，则该扇形内部的数字即为转出的结果（若指针指向两个扇形的交线，则此次转动无效，
重新转动），若转盘所得数字都为1，则小亮赢，否则小周赢．
(1)转动转盘，出现 的概率为__________；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由．
11．（2023春·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）如图，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分
别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转
出的数字．
两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动
转盘的人获胜．猜数的规则从下面两种中选一种：
①猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
②猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．
如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由．12．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）现有若干个除颜色外完全相同的球，从中选取10个球放入一
个不透明的袋子里进行摸球游戏．
(1)若袋子中装有5个红球、2个白球和3个黄球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是______；
(2)小明和小亮一起做游戏，若袋子中有4个红球和6个白球，从中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，
摸到白球小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？说明理由；
(3)小颖在（2）中的袋子里随机摸出一个球，发现是白球，如果这个白球不放回，再从袋子里任意摸出一
个球，摸到白球的概率是______
13．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）某中学要在全校学生中举办“爱护环境”的知识竞赛活动，
要求每班选取一名代表参赛，九年级某班经过投票初选，小王和小张票数并列班级第一，现在他们都想代
表本班参赛，经班委与他们协商，决定采用摸球的方法确定谁去参赛，规则如下：在一个不透明的袋子中
装有标有数字1、2、3的3个小球，这些球的形状、大小、质地完全相同，小王随机从袋中摸出1个球，
记下数字，然后放回，小张再随机从袋中摸出1个球，记下数字并放回．
(1)用列表或树状图（树状图也称树形图）中的一种方法，写出两人摸球所得数字可能出现的所有情况；
(2)若摸出球的数字相同则小王去参赛，若摸出球的数字不相同则小张去参赛，问该游戏是否公平？若不公
平，请说明理由．
14．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）为增强教育服务能力，持续提升市民幸福指数，某学校根
据《达州市中小学生课后服务实施意见》，积极开展延时服务，提供了声乐，体锻，科创，书法四种课程，
为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪类课程”的问卷调查（要求必须选择且只能
选择一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程 人数
声乐 30
书法
科创 36
体锻
(1)表中 ___________， ___________；(2)扇形统计图中“书法”所对的圆心角度数为___________．
(3)由于学校条件限制，“科创”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌
的方法来确定，规则是，将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置
在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，
再由另一人抽，若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．请用画树状图或列表
的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．
题型五 一元二次方程的实际应用
【例9】（2023春·山东烟台·七年级统考期末）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可
以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针
落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000
落在“可乐”区域的次数
60 122 240 298 b 604
m
落在“可乐”区域的频
0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.604
率”
(1) ______， ______；
(2)请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率是______；
（结果精确到0.1）
(3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角是多少度？
巩固训练
1．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点
数，小颖在做掷骰子的实验，投掷a次，点数为偶数朝上的有b次，记 ．下列说法正确的是（ ）A．p一定等于 B．多投一次，p会更接近
C．p一定不等于 D．投掷次数逐渐增加，p稳定在 附近
2．（2023秋·广东惠州·九年级校考开学考试）在一个不透明的盒子中装有 个黑、白两种颜色的球，小明
又放入了 个红球，这些球大小都相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出 个球记下颜色再放回盒子，通
过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 左右，则 的值大约为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）一个不透明的盒子里有n个除颜色外完全相同
的小球，其中有9个黄球，摇匀后任意摸出一球记下颜色后放回，大量重复实验后发现摸到黄球的频率稳
定在 ，估计盒中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
4．（2023·重庆·九年级统考学业考试）为了解我区某条斑马线上机动车驾驶员“礼让行人”的情况，下表
是某志愿者小组6周累计调查的数据，由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率（精确到 ）
为（ ）
抽查车辆数 200 400 800 1500 2400 4000
礼让行人的驾驶员人数 169 332 689 1272 2047 3404
礼让行人的频率 0.845 0.830 0.861 0.848 0.853 0.851
A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.86
5．（2023春·山东烟台·七年级统考期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出
现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是
试验次
100 200 300 500 800 1000 2000
数
频率 0.365 0.28 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在一个装有3个红球、6个白球的箱子里（小球除颜色外都相同），从中摸到的是红球
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是5
D．抛一枚质地均匀的硬币，出现的是反面
6．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不
着地”的概率为 ．
抛掷次数 100 300 500 800 1000针尖不着地的频数 64 180 310 488 610
针尖不着地的频率 0.64 0.60 0.62 0.61 0.61
7．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）某射箭运动员在同一条件下的射箭记录计如下：
射箭次数 20 50 100 300 600 1000
“射中9环以上”
15 41 78 237 481 802
次数
根据以上统计结果．估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为 ．（结果保留小数点后
一位）
8．（2023·河南洛阳·校联考一模）如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为 的正方
形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6
左右，则黑色部分的面积为 ．
9．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．
为此，李老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校九年级（1）班同
学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信
息解答下列问题：
(1)这次参与调查的共有______人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为______；
(2)将条形统计图补充完整；(3)如果该校有6000人在使用手机：
①在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“ ”的概率是______．
②请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数．
10．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30个，这
些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球
放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601
(1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为____________；（精确到 ）
(2)盒子里白色的球有____________个；
(3)若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是 ，求m的值．
11．（2023春·江苏南京·八年级校联考期中）一个不透明的口袋中有若干个红球和黑球，这两种球除颜色
外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸
到黑球的频率逐渐稳定在0.3附近．
(1)估计摸到黑球的概率是______；
(2)若袋中红球和黑球的总数为20个，估计其中黑球的个数．
97．（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他
们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 16 14 25 20 12 13
(1)计算“点数1朝上”的频率和“点数6朝上”的频率；
(2)小亮说：“若投掷1000次，则出现点数4朝上的次数正好是200次”，小亮的说法_________（填“正
确”或“不正确”）；
(3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
12．（2023春·山东烟台·七年级统考期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中
红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相
同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各
小组的汇总数据统计表：摸球次数 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数 63 123 247 365 484 603
摸到白球的频率
(1)表中的 ________；
(2)请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到 ）
(3)试估算摸到红球的概率是________（精确到 ）
(4)试估算这个不透明的口袋中红球的个数．
13．（2023春·山东烟台·七年级统考期末）投掷一枚质地均匀的正方体骰子．
(1)下列事件是确定事件的有________．（填序号）
①向上一面点数为2点和5点的可能性一样大；
②投掷12次，向上一面点数为6点的一定会出现2次；
③连续投掷3次，向上一面的点数之和不可能等于19；
(2)如果小明连续投掷了20次，其中有6次出现向上一面点数为5点，这时小明说：投掷正方体骰子，向上
一面点数为5点的概率是 ．你同意他的说法吗？说明理由：
(3)为了估计投掷正方体骰子出现5点朝上的概率，小亮采用转盘来代替骰子做实验．
下图是一个可以自由转动的转盘，请将转盘分为2个扇形区域，分别涂上红、白两种颜色，使得转动转盘，
当转盘停止转动后，指针落在红色区域的概率与投掷正方体骰子出现5点朝上的概率相同．（注：在转盘
上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数．）
