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第二十五章 概率初步知识归纳与题型突破（9 题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一、事件类型
①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
二、概率
1. 用直接列举法求概率
直接获得所有可能的试验结果数,以及事件所包含的可能的结果数,运用古典概型的求法求概率.2. 用列表法列举法求概率
用列表法:用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫列表法.当一次试验要涉及,并且可能
出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法.
3. 画树形图法求概率
树形图法:就是用画树形图的方法列出某事件的所有可能的结果,求出出现某种结果的概率的方法.当一次
试验涉及三个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用“树形图”法来求概率.
三、用频率估计概率
1．在重复试验中，某个事件出现的次数叫频数（m），频数（m）与试验总次数（n）的比 ，叫这个
事件出现的频率.
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事
件A发生的概率，记作P(A)＝p. 也就是说，当试验次数很大时，频率≈概率.
2．实际问题中的试验一般不属于各种结果发生的可能性相等的类型，所以先用频率去估计概率，然后根
据估计的概率解决相关问题．用频率估计概率是重要的统计思想.在实际问题中往往根据概率与频率的关系
进行简单的估算或预测.
03 题型归纳
题型一 事件分类
例：下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
(1)张兵买来的电影票的座位号是偶数；
(2)抛出去的铅球会落在地上；
(3)婴儿会骑摩托车．
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起 B．抛掷硬币时，正面朝上
C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．掷一次骰子，向上的一面是6点
3．射击运动员随机射击一次，命中靶心，这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
4．下列事件中、属于不可能事件的是（ ）
A．打开电视机、正在直接足球比赛 B．在只装有2个玻璃球球的袋中摸出一个球是黑球
C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数大于7 D．当室外温度低于 时，一碗清水在室外会结冰
5．下列成语描述的事件是随机事件的是（ ）
A．水中捞月 B．日出东方 C．守株待兔 D．画饼充饥
6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，下列事件中是
不可能事件的为（ ）A．点数为1 B．点数为3 C．点数为5 D．点数为7
7．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．守株待兔 B．种豆得豆 C．水中捞月 D．水涨船高
8．在一个不透明的抽奖盒里装有除颜色外无其他差别的 个红球、 个黄球和 个蓝球，从中随机抽出 个
球，下列事件属于随机事件的是（ ）
A．至少摸出一个蓝球 B．至少摸出两个黄球
C．至少摸出一个红球 D．至少摸出两个蓝球
题型二 判断事件的可能性
例：有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转
动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新
转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不
指向绿色．
思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：
(1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示）
(2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．
10．一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列
事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球
C．摸出的是红球 D．摸出的是白球
11．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能
性最大的是（）
A．1号 B．2号 C．3号 D．4号12．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一
个球，①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为
．
13．在一副扑克牌中，任意抽取一张，则下列事件：①抽到“红桃”；②抽到“黑桃 ”；③抽到“ ”；
④抽到“红色的”，则事件发生的可能性最大的是 ．（填序号）
【答案】④
题型三 概率公式
例：骰子各面上的点数分别是1，2，…，6，抛掷一枚骰子，点数是2倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．1
15．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若方程有两个不相等实数根，求实数m的取值范围；
(2)在 ， ， ，0，1，2六个数中任取一个数作为m的取值，代入方程 ，求使得方程有
两个不相等的实数根的概率．
16．身份证是每一个公民的重要证件，身份证号码由 位数码组成，其中第 位表示性别（奇数分给男性，
偶数分给女性）．例如：某同学的身份证号码是 ，那么这位同学是男生．临近中考，
为了核对大家的报考信息，需收集学生的身份证．某班有 个男生， 个女生，从收齐的身份证中随机
抽取一张，第 位数码是奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
17．有5个除颜色以外大小触感完全相同的小球装在一个不透明的口袋中，其中2个红球，3个白球．随
机摸出一个小球，摸出红球的概率是 .
18．劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数 （单位：次），按劳动次数分为 组： ，
， ， ，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周
家庭劳动次数不足 次的概率是 ．题型四 几何概率
例：一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，求他停留在卧室或客厅的概率是多少？
20．如图， 过矩形 对角线的交点 ，且分别交 、 于 、 ，矩形 内的一个动点
落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，随机地投放一粒米，米粒落在阴影部分（边界忽略不计）的概率是 ．22．如图，地上画了两个半径分别为 和 的同心圆．假设用小石子投中圆形区域上的每一点是等可能
的（若投中圆的边界或没有投中圆形区域，则重投1次），任意投掷小石子一次，则投中白色小圆的概率
为 ．
23．向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某
个正三角形内．
(1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 ．
(2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为 ，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出．
题型五 列举法求概率
例：2024年“甲骨文杯”安阳马拉松赛于4月21日开赛，共设全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑项目．
现从这三个项目中随机选择两项进行推广，则选到欢乐跑项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
25．从 ， ， 这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点 的坐标记为 ，若点 为 ，
则在平面直角坐标系内直线 经过第二象限的概率为 ．
26．如图，随机地闭合开关 中的三个，能够使灯泡 同时发光的概率是 ．27．小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完
成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ．
题型六 列表法求概率
例：某中学学生会要从初三（2）班4名同学（2男2女）中选出周一晨会的升旗手，选人的方法是从这4
人中随机选出2人．
(1)请你用列表或画树状图的方法求出所有可能出现的结果（两名男生分别用 ， 表示，两名女生分别用
， 表示）；
(2)求这2名同学性别相同的概率．
29．十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广
为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的；下列四副十二生肖
图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，两张图片
恰好是“牛”和“兔”的概率是（ ）
A． B． C． D．
30．在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中
二选一；女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每
个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是
31．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件 和 组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概
率均为 ，且每个元件能否正常工作互相不影响．当 到 的电路为通路状态时，系统正常工作，当 到的电路为断路状态，系统不能正常工作．
（1）方案1中电路为通路的概率为 ；
（2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 （选填“方案1”或“方案
2”）．
32．某市为创评“全国文明城市”称号，周末组织志愿者进行宣传活动．班主任张老师决定从4名女生
（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式选择2名女生去参加．
抽签规则：将4名女生的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面
上，梁老师从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩下的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
(1)该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件（填“不可能”“必然”或“随机”）；第
一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ．
(2)试用画树状图法或列表法求出小惠被抽中的概率．
题型七 树状图法求概率
例：2023年6月4日，我省“神十五”航天员张陆和他的两位战友安全回到地球家园，“神十六”的三位
航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，现在要
从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心
舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，则甲、乙两人同时被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
34．成都有古堰流碧、祠堂柏森、青城叠翠、草堂喜雨等美景．现将分别印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城叠翠”“草堂喜雨”图案的卡片 卡片除图案外都相同 各1张放入不透明的甲盒中，再将与甲盒中
完全一样的4张卡片放入不透明的乙盒中．小兰从甲、乙两个盒中各随机抽取1张卡片，则抽到的卡片恰
好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”的概率是（ ）
A． B． C． D．
35．小宇与小琳用如图所示的两个转盘做配数游戏，甲盘平均分成四个面积相等的扇形，乙盘平均分成三
个面积相等的扇形．两位同学分别转动两个转盘一次．甲盘指针指向的数作为个位上的数，乙盘指针指向
的数作为十位上的数，组成一个两位数．这个两位数是3的倍数的概率为 ．
36．西安是中华文明的重要发祥地，其饮食文化也十分丰富多彩．某校要举行“我为家乡美食代言”的宣
讲活动，主要介绍西安的特色美食，已知学校给定了4个极具特色的主题：A．羊肉泡馍；B．
面；C．肉夹馍；D．凉皮．参加的选手从这四个主题中随机抽取一个进行宣讲，小乐和小阳都参加了这项
活动．
(1)小乐抽中“C．肉夹馍”主题的概率是 ；
(2)请用列表或画树状图的方法，求小乐和小阳抽中不同主题的概率．
37．春节是我国的传统佳节，深圳是一个很年轻包容的城市，市民来自全国各地．春节期间，小深调查了
本年级学生的去向．其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示广东省内深
圳市外．并将调查情况绘制成如下两幅统计图．请根据以上信息回答：
(1)本次参加抽样调查的学生有 人；
(2)将两幅不完整的图补充完整；
(3)求扇形统计图中C所对圆心角的度数 ；
(4)若有来自A、B、C、D的四位同学，从中抽取两位同学在开学典礼中分享春节见闻，请用树状图或列表
法求恰好抽到的同学都来自广东省的概率．
（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得答案．
（2）分别求出C类的人数、扇形统计图中A，C的百分比，补全条形统计图和扇形统计图即可．
（3）用 乘以C的百分比，即可得出答案．
题型八 游戏公平性
例：在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并
在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，
如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；
如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢．
(1)投掷1次，底面数字出现3是 事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的
概率为 ．
(2)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，
并判断此游戏对三人是否公平．
39．某运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者，经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选，抓球规则如下：在不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的2个红球和1个绿球，
小明先取出一个球，记下颜色后放回，小颖再取出一个球，若取出的球都是红球，则小明获胜；若取出的
球是一红一绿，则小颖获胜，你认为这个规则（ ）
A．公平 B．对小明有利
C．对小颖有利 D．无法确定对谁有利
40．小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．
于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相
同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中随机摸
出一个小球．若摸出的两个小球上的数字之积为3的倍数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．这个游戏对
公平吗？请说明理由．
41．小明、小亮做一个“配色”的游戏．下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几
个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者
转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小亮赢；同样，蓝色
和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明赢；在其它情况下，则小明、小亮不分胜，这个游戏对双方公平
吗？请说明理由．
42．如图，一个均匀的转盘被等分成 份，分别标有 ,这 个数字．转动转盘，当转盘停止后，
指针指向的数字即为转出的数字，两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字
相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方法从下面三种中选择一种：
(1)“猜是奇数”或“猜偶数”的概率；
(2)猜“是 的倍数”或“不是 的倍数”的概率；(3)猜“是大于等于 的数”或“小于等于 的数”的概率；如果轮到你猜数，那么尽可能的获胜，你将选
择哪一种猜数方法？说明理由．
43．2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉
松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上马拉松．经过大家积极的参与，
报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与比赛．小红和小星类比该方式进
行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样的小球，分别标有1、2、3、4四
个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回．
(1)计算摸到小球数字为2的概率；
(2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明
理由．
题型九 用频率估计概率
例：甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所
示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
45．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了200次，其中有50
次揽到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有
个白球．
46．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合
表格数据的试验可能是 ．
试验总次
100 200 300 500 800 1000 2000 3000
数
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 0.333①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；
②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍；
③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；
④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃．
47．某水果销售网络平台以 元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到
的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时（精确到
元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润）
沃柑总质量 … 100 200 300 400 500
损坏沃柑质量 …
沃柑损坏的频率 （精确到0.001） …
48．电影公司随机收集了2000部电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类
第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
型
电影部
140 50 300 200 800 510
数
好评率 0.4 0.2 m 0.25 0.2 0.1
注：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则 ．
(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率．
(3)在（1）的条件下电影公司为了增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生
变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好
评率减少0.1，可使改变投资策略后总的好评率达到最大？
(4)设一到六类电影的票价依次为60元，50元，40元，30元，20元，10元，未获好评的电影的上座率均
相同．获好评的六类电影的上座率依次会加 ， ， ， ， ， ，在（3）的条件下，
试说明总票房是否增加？
49．一个不透明的袋子中装有4个质地大小均相同的小球，这些小球分别标有数字4、5、6、 ，甲、乙两
人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋
中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总次数 10 20 60 120 180 240 330 450“和为10”出现的频
2 10 24 37 58 82 110 150
数
“和为10”出现的频
0.20 0.50 0.40 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33
率
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为10”的频率趋于稳定．请估计出现“和为10”的概
率是______；
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是 ，那么 的值可以取8吗？请用列表法或画树状图法
说明理由；如果 的值不可以取8，请写出一个符合要求的 值．
50．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：
转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下：
100
转动转盘的次数 200 300 400 1600 2000
0
转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667
转到黄色区域的频率
(1)下列说法错误的是______（填写序号）．
①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域；
②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数；
③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10．
(2)求表中 ， 的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）；
(3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可．
