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第二十五章 概率初步（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，平面内有一圆及其内接四边形 ，若随机在圆周上取一点，已知该点取自弧 的概率是
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，概率的定义等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据概率的定义可得该点取自弧 的概率，于是根据圆内接四边形的性质即可求出 的度数．
【详解】解： 随机在圆周上取一点，该点取自弧 的概率是 ，
该点取自弧 的概率是 ，
四边形 是圆内接四边形，
，
，
故选： ．
2．以下事件为随机事件的是（ ）
A．通常加热到 时，水沸腾 B．任意画一个三角形，其内角和是
C．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 D．点 关于原点的对称点为点
【答案】C【分析】本题主要考查了事件的分类，根据随机事件，确定事件的定义逐项判断，可得答案．
【详解】因为通常加热到 时，水沸腾属于必然事件，所以A不符合题意；
因为任意画一个三角形，其内角和是 属于不可能事件，所以B不符合题意；
因为篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中属于随机事件，所以C符合题意；
因为点 关于原点的对称点为点 属于必然事件，所以D不符合题意．
故选：C．
3．已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为 ，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则
（ ）
A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样
C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定
【答案】C
【分析】分别求出陨石落在地球的表面陆地和落在海洋的概率，判断即可．
【详解】解：∵地球的表面陆地与海洋面积的比约为 ，
∴宇宙中飞来一块陨石落在地球的表面陆地的概率为 ；落在海洋的概率为 ；
∵ ，
∴落在海洋的可能性大；
故选C．
【点睛】本题考查几何概率，利用概率判断可能性大小．解题的关键是掌握几何概率的计算方法，求出概
率．
4．中央电视台的“中国诗词大会”是同学们非常喜爱的一档节目，其中唐代诗人刘禹锡的《秋词》的四
句诗被打乱了顺序：①我言秋日胜春朝；②便引诗情到碧霄；③自古逢秋悲寂寥；④晴空一鹤排云上；现
在已知③是首句，小明对其余三句诗的顺序进行随机调整，第一次就能把四句诗的顺序调整正确的可能性
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列举法力求概率，列举出所有等可能发生的情况，根据概率公式计算即可．
【详解】解：∵已知③是首句，
∴另3句的顺序可能为： ， ， ， ， ， ， ，∴共有6种等可能发生的情况，其中符合题意的情况有1种，
∴小明第一次就能把四句诗的顺序调整正确的可能性是 ．
故选B．
5．某运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者，经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定
通过抓球来确定人选，抓球规则如下：在不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的2个红球和1个绿球，
小明先取出一个球，记下颜色后放回，小颖再取出一个球，若取出的球都是红球，则小明获胜；若取出的
球是一红一绿，则小颖获胜，你认为这个规则（ ）
A．公平 B．对小明有利
C．对小颖有利 D．无法确定对谁有利
【答案】A
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，用树状图或列表法列举出所有可能出现
的结果总数，找出符合条件的结果数，注意每种情况发生的可能性相等．进而用概率公式求出概率，然后
进行判断即可．
【详解】解：画树状图如图所示：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中取出的球都是红球与一红一绿的结果各有4种，∴P(都是红
球) ，P(一红一绿) ，
∴这个规则对双方是公平的．
故选：A．
6．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 ， ， ， ， ， ．掷两次骰子，设其朝上的
面上的两个数字之和除以 的余数分别是 ， ， ， 的概率为 ， ， ， ，则 ， ， ， 中最
大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列树状图求出两个面朝上的所有情况，再求出它们的数字之和，然后除以4，得到余数为0，1，2，3的各种情况，然后分别计算其概率进行比较即可．
【详解】根据题意列树状图得：
共有36种情况，两个数字之和除以4：
和是4、8、12时余数是0，共有9种情况，
和是5、9时余数是1，共有8种情况，
和是2、6、10时余数是2，共有9种情况，
和是3、7、11时余数是3，共有10种情况，
所以 ，
，
∴ .
故选D.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，此题由于是一枚骰子投两次，故可理解为两枚骰子投一次，熟练
掌握树状图法及概率公式是解题关键.
7．甲乙两人玩一个游戏，他们轮流从砖墙上拿下一块或两块相邻的砖．缝隙可能会产生的新的墙，墙只
有一砖高．例如，如图，一组（4，2）的墙砖可以通过一次操作变成以下中的任何一种：（3，2），
（1，2，2），（2，1，2），（4），（4，1），（2，2）或（1，1，2）．若甲先开局，而拿下最后一块
砖的选手获胜，对于以下开局，甲没有必胜策略的开局是（ ）A．（6，1，1） B．（6，2，1） C．（6，3，1） D．（6，2，2）
【答案】A
【分析】根据游戏规则总结规律然后分析各个选项得出结论即可．
【详解】解：A选项中6个连续的砖墙无论甲先拿几块对方都能拿到最后一块，后面的两个1块的砖墙需
要拿两次，符合题意；
B选项中后面的一个2块连续的墙砖，一个1块的墙砖即可以分三次也能两次拿完，
∴6个连续的砖墙无论谁拿到最后一块，甲都能拿下最后一块砖，不符合题意；
C选项先拿走6块连续墙砖边上的两个，无论对方怎么拿都让他拿到这6块连续墙砖的最后一块，然后拿3
块连续墙砖边上的两个即可保证甲能拿最后一块；不符合题意；
D选项同理B，后面的两个2块连续的墙砖，即可以分三次也能分四次拿完，
∴6个连续的砖墙无论谁拿到最后一块，甲都能拿下最后一块砖，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查推理能力，根据游戏规则总结砖墙的变化规律是解题的关键．
8．某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合
这一统计结果的试验最有可能是（ ）
A．一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃
B．任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上
C．从标有数字 ， ， 的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字
D．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数
【答案】C
【分析】本题考查了频率估计概率，根据大量的实验后，事件发生的频率逐步稳定在一个固定值的附近，这个固定值大致约等于这个事件发生的概率，观察图象，找出四个选项中的概率为 左右的符合条件，
熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解： 、一副扑克牌去掉大小王后， 从中任抽一张牌是红桃的概率是 ，不符合题意；
、任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上的概率是 ，不符合题意；
、从标有数字 ， ， 的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字 的概率是 ，符合题意；
、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是 ，不符合题意；
故选： ．
9．某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从
所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表：
草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500
损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75
草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150
超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概
率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（ ）
A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元
【答案】A
【分析】本题主要考查用频率估计概率和一元一次方程的应用，先由草莓的损坏率得出完好率，再设每斤
草莓的售价为x元，根据“利润=售价-进价”列出一元一次方程，求出x的值即可．
【详解】解：由表格中的数据可得草莓的损坏率为 ，
则完好率为： ，
设每斤草莓的售价为x元，根据题意得，，
解得， ，
即每斤草莓的售价为25元，
故选：A．
10．如图，小明有两根长度为 ， 的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有长度不同的5根木棒供
他选择，现从桌上随机抽取一根木棒，则小明能钉一个三角形木框的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了概率公式和三角形的三边关系，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总
数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．根据三角形三边关系找到符合条件的情况数
目即可得到答案．
【详解】解：小明有两根长度为 ， 的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有长度不同的5根木棒
供他选择，能组成三角形的木棒有： ，共2根，
∴从桌上随机抽取一根木棒，则小明能钉一个三角形木框的概率为 ．
故选：B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 是 中的一个数，则关于 的方程 有解的概率为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了一元二次方程根据与系数的关系，求不等式的解集，概率的计算，掌握一元二次方程
根与系数的关系和概率计算是解题的关键．
根据一元二次方程有解的判定方法“ ”可得 的值，再根据概率的计算方法即可求解．【详解】解：关于 的方程 有解，
∴ ，
解得， ，
∴ 的值可以是 或 ，两个值，
∴方程有解的概率为 ，
故答案为： ．
12．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正
方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板
投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积
与总面积的比值．
【详解】解：设总面积为16，
则其中阴影部分面积为 ，
飞镖落在阴影部分的概率是 ．
故答案为： ．
13．自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐．
如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在 座位，校长和学生乙在 ， ， 三个座位中随机选择两
个座位，则校长和学生乙坐在正对面的概率为 ．【答案】
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两
步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可得，共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种，
∴校长和学生乙坐在正对面的概率 ．
故答案为：
14．在超市的一次抽奖活动中，规定：从一个不透明的纸箱中任意摸出一个球为红球即获得一等奖．已知
不透明的纸箱中装有黑球10个，白球6个，红球2个，这些球颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出
1个球，要使中一等奖的概率为 ，则需要往这个纸箱再放入同种红球 个．
【答案】2
【分析】本题考查的是已知概率求数量．设需要往这个纸箱中再放入同种红球 个，根据概率公式求出
的值即可．
【详解】解：设需要往这个纸箱中再放入同种红球 个，
从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为 ，
，解得 ．
经检验， 是原方程的解，
故答案为：2
15．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数
发芽的频数
发芽的频率 （精确到 ）
这种油菜籽发芽的概率的估计值为 （精确到 ）．
【答案】
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值进行求解即可．
【详解】解：由表格可知，随着试验次数的增加，这种油菜籽发芽的频率稳定在 附近，
∴这种油菜籽发芽的概率的估计值为 ，
故答案为： ．
16．有四张正面分别标有﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝
上，洗匀后从中取出一张，将卡片上的数字记为a，不放回，再取出一张，将卡片上的数字记为b，设P点
的坐标为（a，b）．如图，点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部
分）的概率是 ．
【答案】
【分析】先确定抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），再利用树状图展示所有12
种等可能的结果数，然后找出满足条件的P点的个数，再利用概率公式计算．
【详解】解：解方程组 ，可得 或 ，
所以抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴
影部分）有4种，分别为（﹣1，1）、（0，1）、（0，2）、（1、2），
所以点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部分）的概率= = ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数，再找出某事件所
占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．在“六·一”儿童节来临之际，某妇女儿童用品商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如
图，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满100元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停
止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得80元、50元、20元的购物券，凭
购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可直接获得15元的购物券．转转盘和直接获
得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由．
【答案】直接转转盘，见解析
【分析】本题考查概率公式的应用，首先求得转转盘可能得到的购物券钱数，再和直接获得15元购物券作
比较即可求得答案．涉及到概率 所求情况数与总情况数之比，解本题的关键是求出转转盘可能得到的购
物券钱数．【详解】解：直接转转盘，理由：
整个圆周被分成了20份，
则获得80元购物券的概率为 ，获得50元购物券的概率为 ，获得20元购物券的概率为 = ，
则转转盘所获得的购物券为： （元）
∵ ，
∴直接转转盘．
18．“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销
售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，
请解决下面的问题：
(1)得到以下奖品的可能性最小的是______；
A．平板 B．手机 C．球拍 D．水壶
(2)请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的
可能性 抽到“球拍”的可能性 抽到“手机”的可能性．
【答案】(1)B
(2)见解析（答案不唯一）
【分析】本题主要考查可能性大小的判断，解题的关键是理解概率的计算公式．
（1）分别求出获得手机，平板，水壶，和球拍的可能性大小，然后进行解答即可；
（2）根据可能性的大小，保证“水壶”有3张，“球拍”有2张，“手机”有1张即可．【详解】（1）解：由题意可知一共有9个数，其中对应“手机”的有1个，则抽到“手机”奖品的可能性
是： ；对应“平板”、水壶和球拍的数字有2个，则抽到“平板”、水壶和球拍的可能性均为 ，
∴得到“手机”的可能性最小，
故选：B．
（2）解：∵抽到“水壶”的可能性 抽到“球拍”的可能性 抽到“手机”的可能性
∴设计六张牌中有3张对应水壶，2张对应球拍，1张对应手机，如图所示：
如图所示，
19．某儿童用品商店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一不透明的箱子里装了50个小球，这
些球分别标有50元，8元，2元，0元的金额，其中标有50元的小球有4个，标有0元小球有5个，标有2
元小球的个数比标有8元小球的个数的2倍少1，这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，
可以摸球一次，如果摸到标有50元，8元，2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个．已知小明购买了
指定商品，根据以上信息求小明获得奖品的概率是多少？获得8元奖品的概率是多少？
【答案】小明获得奖品的概率是 ，获得8元奖品的概率是
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是解决问
题的关键．
求出标有“8元”“2元”的小球个数，即可求出“获奖”的概率，获得“8元”的概率；
【详解】解：设标有“8元”的小球有 个，则标有“2元”的小球有 个，
由题意得， ，
解得： ，
，
即标有“8元”的小球有14个，则标有“2元”的小球有27个，
所以小明获得奖品的概率是 ，共有50个小球，标有“8元”的有14个，
因此获得“8元”的概率为 ，
答：小明获得奖品的概率是 ，获得8元奖品的概率是 ．
20．数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可
以自由转动的转盘， 盘被分成面积相等的几个扇形， 盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是 ．
(1)转动 盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为__________________；
(2)若同时转动 盘和 盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色
就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配
成紫色的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用树状图或列表法求概率．
（1）先求出转盘 红色部分圆心角， 即可得出一共3个蓝色部分，然后根据概率公式计算概率即可．
（2）画出树状图，得出总出现的情况数，再得出出现蓝红的情况数，最后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：转盘 红色部分圆心角 ，相当于2个蓝色部分，
∴转动 盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为： ．
（2）转盘 红色部分圆心角 ，相当于2个蓝色部分
画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
同时转动 盘和 盘，配成紫色的概率是
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．第十六届中国昆明新春购物博览会于2024年1月23日－2月7日举行，展期16天，为大家呈现一个
集传统手工艺、传统美食、传统春节习俗为一体的春节文化体验．某商家为了促销，开展“砸金蛋送优惠
券”的活动，即购物超200元的顾客可获得一次砸金蛋的机会．刘爷爷和张爷爷购物都超过了200元，商
家共提供了4个金蛋，只有1个金蛋有优惠券．（记有优惠券的金蛋为A，其余金蛋分别为 ）
(1)请用列表法或画树状图法，列出刘爷爷和张爷爷砸金蛋所有可能出现的结果；
(2)当商家让刘爷爷先砸时，张爷爷认为商家这种做法对他不公平．请从两人获得优惠券的概率的角度说明
张爷爷的质疑是否合理．
【答案】(1)见解析
(2)不合理，理由见详解
【分析】本题主要考查列表法或画树状图法和用概率公式求解概率，
根据树状图画法画图即可，然后将所有的可能结果均列出；
按照概率公式将刘爷爷和张爷爷获得优惠券的概率求出进行对比即可．
【详解】（1）解：树状图如图所示
由树状图可知，共有12种等可能的结果，分别为 ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ；
（2）由树状图可知，刘爷爷先砸时，获得优惠券的概率为 ，张爷爷获得优惠券的概率为 ，
则两人获得优惠券的概率相等，
故张爷爷的质疑不合理．
22．如图，小君参加一个闯关游戏，共有两关，两关均有四个完全相同的按钮，第一关有两个是闯关成功
按钮，其余两个是闯关失败按钮；第二关有一个是闯关成功按钮，其余三个是闯关失败按钮．进行闯关时，
每一关任选一个按钮，规则如下：
第一关闯关失败后，游戏失败；
第一关闯关成功后，进入第二关，若第二关闯关失败，则游戏失败，若两关均闯关成功，则游戏获胜；
闯关前，允许任选一关使用“提示”功能，使用后，会去掉一个闯关失败按钮．
(1)若小君第一关不使用“提示”功能，则他第一关闯关成功的概率是 ；
(2)若小君决定在第二关使用“提示”功能，用列表法或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，
求游戏获胜的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查树状图法求概率：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）用 表示成功按钮，用 表示失败按钮，画出树状图进行求解即可．
【详解】（1）解：第一关闯关成功的概率是 ；
故答案为： ；（2）解：用 表示成功按钮，用 表示失败按钮，由题意，第一个有2个成功按钮，2个失败按钮，第二
个用掉一个“提示功能”剩下1个成功按钮，2个失败按钮，画出树状图如图：
共有12种等可能的结果，成功的结果有2种，
∴ ；
故答案为： ．
23．某校为了解九年级学生对急救知识的掌握情况，从全年级1000名学生中随机抽取部分学生进行测试，
所得成绩分为以下四种等级：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格），将数据进行整理后，
绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
已知扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为 ，根据以上信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)如果全年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该年级获得A等级的学生人数；
(3)为分析学生对急救知识掌握情况欠缺的原因，该校决定从D等级的学生中随机抽取两名进行调查，若D
等级中有2名男生，其余均为女生，求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)见解析
(2)200
(3)【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，利用例举法求解随机事件的概
率，掌握以上基础知识是解本题的关键．
（1）先由B等级所对应的扇形圆心角的度数为 ，求解总人数，再求解D等级的人数，再补全图形即
可；
（2）由总人数乘以A等级的百分比即可得到答案；
（3）利用例举法求解所有等可能的结果数，再结合符合条件的结果数，利用概率公式可得答案，
【详解】（1）解： 随机抽取的人数为 （人），
D等级人数为 （人），补全条形统计图如图所示．
（2）该年级获得A等级的学生人数为 （人）．
（3） D等级的人数为4，
D等级中女生有2人．
设这4人分别为a，b，c，d，其中a，b为男生，c，d为女生，随机抽取两名学生，共有以下6种等可能
的情况： ， ， ， ， ， ．
其中抽到一男一女的情况共有4种，即 ， ， ， ．
（抽取的两名学生恰好是一男一女） ．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，搅匀后，
她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统
计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 498摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249
(1)小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是 (填序号)
①必然事件 ②不可能事件 ③随机事件
(2)摸到白球的概率的估计值是 (精确到0.01)；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合问题（2）中结果的试验最有可能的是 (填序号)．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
②在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
③掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“小于3”．
(4)受上述摸球实验的启发，小刚为了估计边长为10的正方形二维码上黑色阴影部分的面积，他在纸片内
随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 0.65 左右，则据此估计此二维码黑色阴影
部分的面积为 ．
【答案】(1)②
(2)0.25
(3)②
(4)65
【分析】本题主要考查用频率估计概率，理解频率和概率之间的关系是解决问题的关键．
（1）根据事件的分类可得答案；
（2）用频率估计概率可得答案；
（3）分别求出试验①②③的概率可得答案；
（4）用正方形面积乘以点落在黑色阴影的频率即可．
【详解】（1）解：小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是不可能事件，
故答案为：②；
（2）解：由表可知，摸球2000次时摸到白球的频率为0.249，
因此摸到白球的概率的估计值是0.25，
故答案为：0.25；（3）解：①“投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上”的概率为 ．
②“在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲”的概率为 ．
③“掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数小于3”的概率为 ．
因此符合问题（2）中结果的试验最有可能的是②，
故答案为：②；
（4）解： ，
估计此二维码黑色阴影部分的面积为65，
故答案为：65．
25．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A， ， 三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12
元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A， ， 三种午餐购买情况的数据制
成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：
种类 数量（份）
A 1800
2300
900
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图
的方法求该校学生小芳选择“ ”组合的概率；
(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不
得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得
下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
【答案】(1)12
(2)
(3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利
润不超过且更接近3元
【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；
（2）根据题意画树状图，即可解答；
（3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即
可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3
元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答．
【详解】（1）解：全校师生上周购买午餐的份数为 （份），
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，
（A+B）一共为 （份），因此中位数为B午餐的费用，即为12．
故答案为：12；
（2）树状图如下：
根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，
∴小芳选择“ ”组合的概率为 ；
（3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
平均利润为： （元），
∵ ，因此应调低午餐单价；
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为： （元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为： （元），调低C单价一元，平均每份午餐的利润为： （元），
当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周
平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为
14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元．
【点睛】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图法求
概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键．
