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第 07 讲 实际问题与二次函数
课程标准 学习目标
①利用二次函数解决实际问题的 1. 掌握利用二次函数解决实际问题的基本步骤并能够在解决题
基本步骤 目时熟练应用。
②利用二次函数解决实际问题的 2. 掌握二次函数解决实际问题中的基本类型，抓住各类型的解
基本类型 决方法解决问题。
知识点01 二次函数解决实际问题的步骤
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确 、 以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式．
④解：根据已知条件，借助二次函数的图象与性质解决实际问题．
⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论．
⑥答：写出答案。
知识点02 二次函数解决面积问题1. 二次函数与图形面积问题：
解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为
二次函数问题，然后利用二次函数的图象与性质解决问题。
【即学即练1】
1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 40米的篱笆围成，
已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，
则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
【即学即练2】
2．如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时
草坪的面积为y（m2）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．
知识点03 二次函数解决销售利润问题
1. 二次函数解决销售利润问题：
计算公式：总利润＝ 单利润 × 数量
现单利＝ 原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）
涨价部分 降价部分
×变化基数 ×变化基数
涨价基础 降价基础
现数量＝ 原数量－ （原数量＋ ）
【即学即练1】
3．衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡山红脆桃为早熟品种，肉质甜脆爽
口，成熟果肉血红色、多汁、离核，深受人们喜爱．某特产批发店以30元/箱的价格购进了一批衡山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销
售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润w（元）与每箱降价x（元）之间的函数表
达式为 ．
【即学即练2】
4．麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，其色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一
批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为 40元/件时，每
天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件．
（1）求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出出
变量取值范围；
（2）当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润．
知识点04 二次函数解决抛物线形问题
1. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题：
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。
（2）从已知条件和图象中获取求二次函数表达式所需要的条件。
（3）利用待定系数法求函数表达式。
（4）运用求出的抛物线的图象和性质解决实际问题。
【即学即练1】
5．如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测
量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为4.2m，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2+4.2
（a＜0），则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的
（ ）
A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴
B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为x轴
C．以水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴
D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为y轴
【即学即练2】
6．如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，再以相等的间隔从主索上设
置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，主索DPC所在曲线的y与x之间近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k
（a＞0）．
某实践小组经过测量，桥面AB中点M处上方点P为该悬索桥主索的最低点，MP＝5m，MA＝40m，塔
桥AD高度为25m．
（1）求该悬索桥主索所在抛物线的解析式；
（2）若想在距离M点20米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度；
（3）厂家生产了一条长16.25m的吊索，应将该吊索安置在距A点多远的桥面上？
题型01 二次函数解决面积问题
【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，
Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速
度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当
△PBQ的面积为最大时，运动时间t为 s．
【变式2】如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙
MN，墙MN可利用的长度为39m．（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，说明理由．
（2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．
【变式3】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材
料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）．
（1）如图1，如果忽略门的计算，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最小，小敏说：“只要饲
养室长比（1）中的长
多 2m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
【变式4】某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩
形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为x m，
矩形区域ABCD的面积为y m2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
（3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米
和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．
题型02 二次函数解决销售利润问题
【典例1】将进货单价为90元的某种商品按100元售出时，能卖出500个，单价每上涨1元，其销售量就
减小10个，为了获得最大利润，售价应定为每件（ ）
A．110元 B．120元 C．130元 D．150元
【变式1】一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1元，每月可多售出20
顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
【变式2】昆明某电商平台以每件20元的价格购进了一批商品进行销售，销售时该商品的售价不低于进价
且不超过28元．经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足如图所
示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少元？
【变式3】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调
查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要
求销售单价不得低于成本，且不高于100元．
（1）求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【变式4】为满足市场需求，某超市在中秋节前夕购进价格为 12元/盒的某品牌月饼，根据市场预测，该
品牌月饼每盒售价14元时，每天能售出200盒，并且售价每上涨1元，其销售量将减少10盒，为了维
护消费者利益，物价部门规定：该品牌月饼的售价不能超过20元/盒．
（1）当销售单价为多少元时，该超市每天销售该品牌月饼的利润为720元；
（2）当销售单价为多少元时，超市每天销售该品牌月饼获得利润最大？最大利润是多少？题型03 二次函数解决抛物线形的形状与运动轨迹问题
【典例1】如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．
如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝
20t﹣5t2．下列叙述正确的是（ ）
A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
【变式1】一次足球训练中，小天在球门正前方的A处射门，足球射向球门的运动路线为抛物线，足球在
离地面4米处到达最高点，此时足球与球门的水平距离为6米．已知球门高OB为2.44米，足球离地面
3米时，其与球门的水平距离为10米．现以O为原点建立如图所示的直角坐标系．
（1）求抛物线的函数解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球；
（2）若防守队员辉辉在抛物线对称轴的左侧进行防守，他跳起后能拦截的最大高度为2.31米，求辉辉
需要站在离球门多远的地方才可能防住这次射门？【变式2】如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点D的坐标为（﹣1，﹣10），运
动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在
空中最高处A点的坐标为 ，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻
腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员人水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式；（不写自变量的取值范围）
（2）正常情况下，若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点 D的水平距离为4米，问该运动员此
次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
【变式3】小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，
1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物
线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．
请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
【典例 2】如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m时水面宽4m．水面下降 1m，水面宽度为
（ ）
A．2 m B．2 m C． m D． m
【变式1】如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式
为y＝ ，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（ ）A．10m B．12m C．24m D．48m
【变式2】如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C
到AB的距离为8m，AB＝40m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为10m，
则DE的长为 m．
【变式3】如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．最大高
度为6米，底部宽度为12m，AO＝3m．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式．
【变式4】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，
在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．
如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8米的王师傅站立时
必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池
的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究
扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
1．如图，将一根长30cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的一边长
为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（ ）A．y＝﹣x2+30x B．y＝﹣x2+15x C．y＝x2﹣30x D．y＝﹣2x2+15
2．学习兴趣小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，得到如下数据：
支撑物高度h（cm） 5 10 15 20 25 30 35 40
小车下滑时间t（s） 2.11 1.50 1.23 1.07 0.94 0.85 0.79 0.75
下列说法一定错误的是（ ）
A．当h＝25cm时，t＝0.94s
B．随着h逐渐变大，t逐渐变小
C．h每增加5cm，t减小0.61s
D．当h＝45cm时，时间t小于0.75s
3．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急
制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离
s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采
取紧急制动措施的最小安全距离为（ ）m．
A．13 B．14 C．15 D．16
4．一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，
如图所示（1cm对应一个单位长度），AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，CH⊥AB且CH＝
1cm，BD＝2cm．则轮廓线DFE所在抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚
被削离时与开水锅的高度差h＝0.45m，与锅的水平距离L＝0.3m，锅的半径R＝0.5m．若将削出的小面
圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度v 不可能
0
为（提示 ，g＝10m/s2，水平移动距离s＝vt）（ ）A．2.5m/s B．3m/s C．3.5m/s D．5m/s
6．在平面直角坐标系xOy中，M是抛物线y＝x2+x﹣2在第三象限上的一点，过点M作x轴和y轴的垂线，
垂足分别为P，Q，则四边形OPMQ的周长的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
7．如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅
轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其
中点E的坐标为（3n﹣4，m+1），点F的坐标为（n2，2m），若点E到x
轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数y＝x2+nx+m图象的顶点坐标是
（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3）
C． D． 或（2，﹣3）
8．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，
弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在
整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间的关系
图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为6cm
9．如图，一男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）是水平距离x（单位：米）的二次函数，即铅球飞
行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为 1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球
高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最
大高度，最大高度为4.05米；②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ；
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
10．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每
星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论：
①设每件涨价x元，则实际卖出（300﹣10x）件；
②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元；
③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价57.5元时利润最大；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．从地面竖直向上抛出一小球，t（秒）后小球的高度h（米）适用公式h＝30t﹣5t2，那么经过
秒后，小球回到地面．
12．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长
40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．
13．如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h
（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系h＝20t﹣5t2.则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间
为 秒．
14．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，
水面宽度为 米．（结果保留根号）15．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴
上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均
为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G
点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 ．
16．“端午节”期间，某超市销售甲、乙两款粽子，甲、乙两款粽子的进价分别是每袋35元，45元，这
个超市用4300元购进甲、乙两款粽子共100袋．
（1）购进甲、乙两款粽子各是多少袋？
（2）市场调查发现：乙款粽子每天的销售量m（袋）与销售单价n（元）满足如下关系：m＝﹣n+105
（65≤n≤105），设乙款粽子每天的销售利润是w元，当乙款粽子的销售单价是多少元时，乙款粽子的
销售利润最大？最大利润是多少元？
17．某城区公园内有一个直径为7m的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心O处修喷水装置，喷出水柱
呈抛物线状，当水管OA高度在6m处时，距离OA水平距离1m处喷出的水柱达到最大高度为8m，建立
如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距水管的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，并且使水柱落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考
虑边宽），则水管OA的高度应调节为多少？
18．习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成
长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为30m的篱
笆围成．已知墙长为18m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为 x m，平行于墙的一边的长
为ym，矩形劳动实践基地的面积为Sm2．
（1）请直接写出y与x，S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）能否围成一个100m2的矩形劳动实践基地，若能，请求出此时垂直于墙的一边的长；若不能，请
说明理由．
（3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14m，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实
践基地的面积最大？并求出这个最大值．
19．某文具商店用销售进价为28元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒40元的价格销售，平均每天
销售80盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售，价为x（x＞40）元，平
均每天销售y盒，平均每天的销售利润为W元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式： ．
（2）求W与x之间的函数关系式．（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于50元，当每盒的销售价为多少元时，平
均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
20．实验与探究
某课外科技小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：
m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如下表：
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 9 18 27 36 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …【探究发现】
通过分析数据可以发现x随t的变化满足一次函数关系，y随t的变化满足二次函数关系．
（1）请直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
【解决问题】
如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探
究发现解决下面的问题：
（1）若发射平台相对于水平安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在水平安全线上设置回收区域MN，AM＝112.5m，MN＝4.5m．若飞机落到回收区域MN内（不包
括端点M、N），求发射平台相对于水平安全线的高度变化范围．
