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第 05 讲 二次函数与一元二次方程
课程标准 学习目标
1. 掌握二次函数与一元二次方程的基本关系，并能够数量
①二次函数与一元二次方程的关系 运用它们的关系解决相关题目。
②二次函数与一元二次不等式的关系 2. 掌握二次函数与一元二次不等式的关系，并能够数量运
用它们的关系解决相关题目。
知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴有两个交点⇔ 有2个 不相等 的实数根
Δ=b2 −4ac
⇔根的判别式 ＞ 0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴有 1 个交点⇔ 有2个相等的实数根⇔
Δ=b2 −4ac
根的判别式 = 0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴没有交点⇔ 没有 实数根⇔根的判别⇔
Δ=b2 −4ac
＜ 0。二次函数图象与x轴的交点 横坐标 即为一元二次方程的解。
2.
y=ax2 +bx+c(a≠0)
与y=m（m为常数且不为0）的交点：
①若
y=ax2 +bx+c
与y=m有两个交点，则方程
ax2 +bx+c=m
的根的判别式 大于 0，方程
有两个 不相等 的实数根。
②若
y=ax2 +bx+c
与y=m有一个交点，则方程
ax2 +bx+c=m
的根的判别式 等于 0，方程
有两个 相等 的实数根。
③若
y=ax2 +bx+c
与y=m没有交点，则方程
ax2 +bx+c=m
的根的判别式 小于 0，方程没
有实数根。
3.
y=ax2 +bx+c(a≠0)
与
y=mx+n
（m为常数且不为0）的交点：
①若
y=ax2 +bx+c
与
y=mx+n
有两个交点，则方程
ax2 +bx+c=mx+n
的根的判别式 大于
0，方程有两个 不相等 的实数根。
②若
y=ax2 +bx+c
与
y=mx+n
有一个交点，则方程
ax2 +bx+c=mx+n
的根的判别式 等于
0，方程有两个 相等 的实数根。
③若
y=ax2 +bx+c
与
y=mx+n
没有交点，则方程
ax2 +bx+c=m
的根的判别式 小于 0，
方程没有实数根。
【即学即练1】
1．如图，无论x为何值，y＝ax2+bx+c恒为正的条件是（ ）
A．a＞0，b2﹣4ac＜0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0
C．a＞0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b2﹣4ac＜0
【分析】利用二次函数的性质得到a＞0，利用判别式的意义得到Δ＜0，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵无论x为何值，y＝ax2+bx+c恒为正，
∴抛物线开口向上，抛物线与x轴没有公共点，
∴a＞0，Δ＝b2﹣4ac＜0．
故选：A．
【即学即练2】
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）A．x ＝﹣4，x ＝2 B．x ＝﹣3，x ＝﹣1
1 2 1 2
C．x ＝﹣4，x ＝﹣2 D．x ＝﹣2，x ＝2
1 2 1 2
【分析】根据抛物线的对称性求解．
【解答】解：因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
设另一个交点的横坐标为x，
则x+2＝2×（﹣1），
解得：x＝﹣4，
故选：A．
【即学即练3】
3．若函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
A．3或5 B．3 C．4 D．5
【分析】分m﹣3＝0及m﹣3≠0两种情况考虑：当m＝3时，由一次函数图象与x轴只有一个交点，可
得出m＝3符合题意；当m≠3时，由二次函数图象与x轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于
m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上即可得出结论．
【解答】解：①当m﹣3＝0，即m＝3时，y＝﹣4x+2，
令y＝0，则﹣4x+2＝0，
解得x＝ ，
∴此时函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，
②当m﹣3≠0时，
∵二次函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣8（m﹣3）＝0，
解得m＝5．
综上所述，当图象与x轴有且只有一个交点时，m的值为3或5．
故选：A．
知识点02 二次函数与一元二次不等式1. 二次函数与一元二次不等式：
b2 −4ac＞0 b2 −4ac=0 b2 −4ac＜0
抛物线的图象
a
大
于 不等式
ax2 +bx+c＞0
x＜x 或x＞x x≠−
b
全体实数
1 2 2a
0 的解集
ax2 +bx+c＜0
不等式 x ＜x＜x
无解 无解
1 2
的解集
抛物线的图象
A
小
于 不等式
ax2 +bx+c＞0
x ＜x＜x
无解 无解
1 2
0 的解集
ax2 +bx+c＜0 b
不等式 x＜x 或x＞x x≠− 全体实数
1 2 2a
的解集
【即学即练1】
4．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0）．则y＞0的解集
﹣ 5 ＜ x ＜ 3 ．
【分析】依据题意，由对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），结合对称性可得另一交
点为（3，0），再结合图象可以得解．
【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），
∴根据对称性可得另一交点为（3，0）．
由抛物线开口向下，
∴当y＞0时，﹣5＜x＜3．
故答案为：﹣5＜x＜3．题型01 根据二次函数图象判断根的情况
【典例1】如图，是抛物线y＝ax2+bx+c的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次
方程ax2+bx+c＝0根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式1】二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的根的情
况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】一元二次方程ax2+bx+1＝0的根即为二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线y＝﹣1的交点
的横坐标，结合图象即可得到答案．
【解答】解∵方程ax2+bx+1＝0可化为ax2+bx＝﹣1，
∴一元二次方程ax2+bx+1＝0的根即为二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线y＝﹣1的交点的横坐
标，结合图象，可知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线y＝﹣1有两个不同的交点，即方程ax2+bx+1
＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式 2】已知抛物线 y＝mx2+4x 的对称轴为直线 x＝2，则关于 x 的方程 mx2+4x＝3 的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【分析】根据抛物线的对称轴求出m的值，再解方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝mx2+4x的对称轴为直线x＝2，
∴﹣ ＝2，
解得m＝﹣1，
∴﹣x2+4x＝3，
整理得x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴方程mx2+4x＝3有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式3】函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【分析】一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0的根可以看成y＝ax2+bx+c和y＝3的交点，即可求解．
【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0的根可以看成y＝ax2+bx+c和y＝3的交点，
从图象看，上述两个函数的交点只有一个，
故一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0的根为：有两个相等的实数根．
故选C．【变式4】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据函数图象可知a＞0，b＞0，从而可以得到关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况，
本题得以解决．
【解答】解：由函数图象可知，a＞0，b＞0，
∴Δ＝a2+4b＞0，
故一元二次方程x2+ax﹣b＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
题型02 根据图象或根的情况求未知系数
【典例1】若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范
围．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0
∴k＞﹣1
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数
∴k≠0
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
【变式1】已知函数y＝mx2+3mx+m﹣2的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 或 2 ．
【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣2的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m﹣2
＝0，m＝2，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．
【解答】解：当m＝0时，y＝﹣2，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣2的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣2＝0，
∴m＝2，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣2）＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣ ，
综上所述：m的值为2或﹣ ，
故答案为：2或﹣ ．
【变式2】二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 k ≤ 1 且 k ≠ 0 ．
【分析】先根据二次函数的定义得到 k≠0，再根据抛物线与 x轴的交点问题得到 Δ＝（﹣4）2﹣
4k×4≥0，然后解不等式即可得到k的值．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k×4≥0，解得k≤1，
又∵y＝kx2﹣4x+4是二次函数，
∴k≠0，
∴k的取值范围是k≤1且k≠0．
故答案为：k≤1且k≠0．
【变式3】在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，则k＝ 4 ．
【分析】由Δ＝0求解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，
∴Δ＝42﹣4k＝0，
解得k＝4，
故答案为：4．
【变式4】抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0
在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n的取值范围为（ ）
A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6
【分析】x＝﹣4比x＝1离对称轴远，故关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，
则n在y＝﹣11和顶点之间，进而求解．
【解答】解：由题意得 ，解得 ，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x﹣3，则抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
函数的大致图象如下：
当x＝﹣4时，y＝﹣x2﹣2x﹣3＝﹣11，
∵x＝﹣4比x＝1离对称轴远，故关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，
则n在y＝﹣11和顶点之间，
即﹣11＜n≤﹣2，
故选：C．
题型03 根据图象求方程的根或近似根
【典例1】若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的两个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方
程ax2+bx+c＝0的解．
【解答】解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是（3，0）对称轴为直线x＝1，
∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0），
∴令y＝0，即ax2+bx+c＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
即方程的另一解为﹣1．
故选：B．
【变式1】已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元
二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 x ＝ 1 ， x ＝ 2 ．
1 2
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根就是二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图
象与x轴的两个交点的横坐标．【解答】解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x＝ ．
又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x ＝1，x ＝2．
1 2
故答案为：x ＝1，x ＝2．
1 2
【变式2】如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次
方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出
右侧交点横坐标的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
【变式3】如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，
则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所
给的自变量两个值之间．
【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，
∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：D．
【变式4】下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（ ）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 1 2 1 ﹣2 ﹣7
A．1与2之间 B．﹣2与﹣1之间
C．﹣1与0之间 D．0与1之间
【分析】观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在0～1之间由正到负，故可判断一元二次
方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在0～1之间．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝1，x＝1时，y＝﹣2，
∴函数在0～1之间由正到负，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在0与1之间，
故选：D．
题型04 根据图象求一元二次不等式的解集
【典例1】抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是
（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1
【分析】则根据函数的对称性，另外一个交点坐标为（﹣3，0），进而求解．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），函数的对称轴为x＝﹣1，
则根据函数的对称性，函数与x轴另外一个交点坐标为（﹣3，0），
故当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1，
故选：C．
【变式1】函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（
）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而利用抛物线的对称性得到抛物线与 x轴的另一个交点坐标
为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线：
x＝﹣
＝﹣1．
抛物线与x轴的一个交点坐标为：（2，0），
由二次函数图象性质可知，x轴的另一个交点与（2，0）关于x＝﹣1对称，
所以另外一个交点的坐标为：（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．
故选：A．
【变式2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1或x＞2
【分析】根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以写出当y＞0时，x的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：由图象可知，
当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2，
故选：D．
【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称
轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是 ﹣ 1 ＜ x ＜ 3 ．
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交
点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
1．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从表可知，下列说法中，错误的是（ ）
A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）
C．抛物线的对称轴是直线
D．抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大而减小
【分析】依据题意，抛物线过（﹣2，0），（0，6），从而可得抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣
2，0），与y轴交于点（0，6），故可判断A、B；根又据表格数据可得抛物线对称轴是直线x＝
＝ ，故可判断C；又a＝﹣1＜0，从而当x＜ 时，y随x的增大而增大，故可判断D．
【解答】解：由题意，抛物线过（﹣2，0），（0，6），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点（0，6），故A、B正确．
根据表格数据可得抛物线对称轴是直线x＝ ＝ ，故C正确．
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜ 时，y随x的增大而增大，故D错误．
综上，错误的是D．
故选：D．
2．如图，二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），那么关于x的一元二次方程
﹣x2+mx﹣n＝0的解为（ ）A．x ＝5，x ＝1 B．x ＝5，x ＝﹣1
1 2 1 2
C．x ＝5，x ＝﹣5 D．x＝5
1 2
【分析】依据题意，根据函数的图象可得，二次函数 y＝﹣x2+mx+n的对称轴是直线x＝2，又图象与x
轴的一个交点坐标为（5，0），结合对称性可得图象与x轴的另一个交点坐标为（2﹣3，0），即（﹣
1，0），进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，根据函数的图象可得，二次函数y＝﹣x2+mx+n的对称轴是直线x＝2，
又图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（2﹣3，0），即（﹣1，0）．
∴关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣n＝0的解为x ＝5，x ＝﹣1．
1 2
故选：B．
3．二次函数 y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程 ax2+bx+m＝0有实数根，则 m的最大值为
（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程 ax2+bx+m＝0有实数
根，从而可以求得m的取值范围，从而可以得到m的最大值．
【解答】解：由图象可得，
二次函数y＝ax2+bx的最小值是y＝﹣3，
∵一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，
即一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，
也就是y＝ax2+bx与y＝﹣m有交点，
∴﹣m≥﹣3，解得：m≤3，
∴m的最大值是3，
故选：A．
4．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个同号不等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个相等实数根
【分析】由图象可知a，b，c的取值范围，利用根的判别式和根与系数的关系可得根的情况．
【解答】解：由图象可知a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的判别式为：Δ＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a，
∵a＜0，∴﹣8a＞0，
∵b2﹣4ac＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
又∵两根之和为 ＞0，两根之积为 ＜0，
∴两根异号，
故选：C．
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②﹣ ＞0；③当﹣1＜x
＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】依据题意，由函数图象与y轴交于负半轴，则当x＝0时，y＝c＜0，故可判断①；又根据函数
的图象可得，a﹣b+c＝0，且9a+3b+c＝0，进而8a+4b＝0，则b＝﹣2a，从而对称轴是直线x＝﹣ ＝﹣ ＝1＞0，故可判断②；依据题意，当x＝﹣1或x＝3时，y＝0，且抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，
进而可以判断③．
【解答】解：由题意，∵函数图象与y轴交于负半轴，
∴当x＝0时，y＝c＜0，故①正确．
又根据函数的图象可得，a﹣b+c＝0，且9a+3b+c＝0，
∴8a+4b＝0．
∴b＝﹣2a．
∴对称轴是直线x＝﹣ ＝﹣ ＝1＞0，故②正确．
由题意，∵x＝﹣1或x＝3时，y＝0，且抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，
∴当﹣1＜x＜3时，y＜0，故③正确．
故选：D．
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 …
y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 …
则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）
A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19
C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17
【分析】依据题意，可得抛物线随x的增大而增大，又当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19
时，y＝0.01＞0，进而在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0，故可得判断得解．
【解答】解：由题意，抛物线随x的增大而增大，
又∵当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0，
∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0．
∴该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是﹣7.20＜x＜﹣7.19．
故选：B．
7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），则
方程ax2+bx+c＝0的一个解有可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所
给的自变量两个值之间．
【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，
∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：D．
8．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣3和﹣1，则二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1
【分析】根据连根之和公式可以求出对称轴公式．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣3和﹣1，
∴x +x ＝﹣ ＝﹣4．
1 2
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝ ×（﹣ ）＝ ×（﹣4）＝﹣2．
故选：A．
9．已知二次函数 的图象l ，现将l 向下平移k个单位长度得到图象l ．若l ，l 都
1 1 2 1 2
与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则k的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】二次函数与x轴的交点问题，当y＝0时，求得抛物线与x轴的两个交点坐标为：（m，0），
（m+9，0），则抛物线与x轴的交点之间的距离为9，根据题意四个交点间的距离都相等，即每相邻两
点间的距离为3，于是得到平移后的抛物线与x轴的交点坐标为（m+3，0），（m+6，0），利用交点式
写出平移后的抛物线解析式为 ，即 ，
接着用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为 ，从而得到k的
值．
【解答】解：当y＝0时， ，
解得：x ＝m，x ＝m+9，
1 2
∴抛物线 与x轴的两个交点坐标为：（m，0），（m+9，0），
∴抛物线与x轴的交点之间的距离为：m+9﹣m＝9，
∵二次函数 的图象l 与其向下平移k个单位长度得到图象l 也与x轴有两个交点，
1 2
且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴每相邻两点间的距离都为3，∴平移后的抛物线与x轴的交点坐标为：（m+3，0），（m+6，0），
∴平移后的抛物线l 解析式为： ，
2
即 ，
∵抛物线 向下平移k个单位所得的抛物线解析式为：
，
∴k＝6，
故选：A．
10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学
画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数
是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可
以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和
性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最
低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从
图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个
判断之后，可得出答案．
【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是
正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④
也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正
确的；
故选：A．
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），线段AB的长
为8，则抛物线的对称轴为直线 x ＝ 2 或 x ＝﹣ 6 ．
【分析】由点A的坐标及AB的长度可得出点B的坐标，由抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣2，0），线段AB的长为8，
∴点B的坐标为（6，0）或（﹣10，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝2或x＝ ＝﹣6．
故答案为：x＝2或x＝﹣6．
12．关于x的二次函数y＝2mx2+（8m+1）x+8m的图象与x轴有交点，则m的范围是 且 m ≠ 0
．
【分析】二次函数图象与x轴有交点，则Δ＝b2﹣4ac≥0，且m≠0，列出不等式则可．
【解答】解：由题意知： ，解得m 且m≠0．
13．根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．
x 1.63 1.64 1.65 1.66 …
x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 …
根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 1.6 5 .（精确到0.01）
【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解．
【解答】解：根据题意得：
6﹣5.9696＝0.0304，
6.0225﹣6＝0.0225，
0.0304＞0.0225，可见6.0225比5.9696更逼近6，
当精确度为0.01时，方程x2+2x＝6的一个解约是1.65；
故答案为：1.65．
14．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，
则PA+PC取最小值时，点P坐标是 （ ， ） ．
【分析】首先连接BC交抛物线的对称轴l于P点，此时PA+PC的值最小时，然后利用待定系数法求得
直线BC的解析式，继而求得答案．
【解答】解：连接BC，交抛物线的对称轴于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点P，
∵抛抛物线 与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
令y＝0，则﹣ x2+ x+2＝0，
解得x ＝ ，x ＝﹣ ，
1 2
∵A（﹣ ，0），B（ ，0），
设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，
把B（ ，0）和C（0，2）代入，
得： ，解得： ，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣ x+2．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，
∴当x＝ 时，y＝﹣ × +2＝ ，
∴点P的坐标为（ ， ），
即当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（ ， ），
故答案为：（ ， ）．
15．若关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+6＝0的两根x ，x 满足1＜x ≤2＜x ，则二次函数y＝x2﹣（m+3）
1 2 1 2
x+m+6的顶点纵坐标的最大值是 ．
【分析】首先推导出二次函数的对称轴为直线 x＝ ，顶点为（ ，﹣ ），图象开口
向上，进而得到x 在对称轴的左侧，1＜x ≤2，当x ＝2时，点（x ，0）距对称轴最近，顶点最高，此
1 1 1 1
时顶点纵坐标取得最大值，代入求解即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+6＝0的两根x ，x 满足1＜x ≤2＜x ，
1 2 1 2
∴Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+6）＝m2+2m﹣15＝（m+5）（m﹣3）＞0，
∴m＞3或m＜﹣5，
∵x +x ＝m+3＞1+2＝3，
1 2
∴m＞0，
∴m＞3，
∵二次函数y＝x2﹣（m+3）x+m+6＝ ﹣ +4，
∴对称轴为直线x＝ ，顶点为（ ，﹣ ），图象开口向上，
∴当x＜ 时，y随x的增大而减小，
∴x 在对称轴的左侧，1＜x ≤2，
1 1
∴当x ＝2时，点（x ，0）距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值，
1 1∴22﹣2（m+3）+m+6＝0，
∴m＝4，
∴顶点纵坐标的最大值是 +4＝﹣ ，
故答案为： ．
16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）画出函数的图象．
①把如表补充完整：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 …
②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象．
（2）根据所画的图象直接写出当y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）将x＝1、﹣1、﹣2、﹣3分别代入二次函数y＝x2+2x﹣3即可求解，
（2）由函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）①将x＝1、﹣1、﹣2、﹣3分别代入二次函数y＝x2+2x﹣3，
解得y＝0、﹣4、﹣3、0，
表格补充如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
画出图象如下图：（2）由图象可知：
当y＜0时，则﹣3＜x＜1，
故答案为：﹣3＜x＜1．
17．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）．
（1）求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与x轴总有两个公共点；
（2）若点A（m，y ），B（8，y ），C（m+6，y ）都在抛物线上，且y ＜y ＜y ，求m的取值范围．
1 2 3 3 2 1
【分析】（1）依据题意，由a＜0，从而﹣12a＞0，又b2≥0，故b2﹣12a＞0，则△＞0，进而可以判断
得解；
（2）依据题意，由点 A（m，y ）C（m+6，y ）都在抛物线上，从而抛物线的对称轴为
1 1
，进而分m+3＜0与m+3＞0进行分类讨论，即可判断得解．
【解答】（1）证明：由题意，Δ＝b2﹣12a．
∵a＜0，
∴﹣12a＞0．
∵b2≥0，
∴b2﹣12a＞0，即△＞0．
∴该抛物线与x轴总有两个公共点．
（2）解：由题意，∵点A（m，y ）C（m+6，y ）都在抛物线上，
1 1
∴抛物线的对称轴为 ．
当m+3＜0，即m＜﹣3时，
∵3＜y ＜y ，
2 1
∴可作抛物线草图如图1、2，由图可知，此时点B的横坐标小于0，与题目矛盾，
∴舍去．
当m+3＞0，即m＞﹣3时，
∵3＜y ＜y ，∴可作抛物线草图如图3：
2 1
由图可得，
，
∴m＞8．
作抛物线草图如图4：
由图可得，
，
∴1＜m＜2．
综上所述，m的取值范围是m＞8或1＜m＜2．
18．如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限的一个动点，点Q在线段BC上，且点Q始终在点P正下方，求线段PQ的
最大值．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）设经过点B、C的直线解析式为y＝mx+n，求出经过点B、C的直线解析式为y＝﹣x+4，设点
， 点 Q （ x ， ﹣ x+4 ） ， 求 出
，然后求出最大值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点C（0，4），
∴可设抛物线解析式为y＝ax2+bx+4，
将点A（﹣2，0），B（4，0）代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为： ．
（2）设经过点B、C的直线解析式为y＝mx+n，
将点B（4，0），C（0，4）代入，得 ，
解得 ，
∴经过点B、C的直线解析式为y＝﹣x+4，
设点 ，点Q（x，﹣x+4），
∴ ，
∴当x＝2时，PQ有最大值2．19．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象的顶点D的坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点
A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P（m，n）是该二次函数的图象上一动点，求2m+3n的最小值．
【分析】（1）根据顶点式设出二次函数解析式为y＝a（x﹣4）2﹣3，再把点A（1，0）代入解析式，
求出 ，从而可得出二次函数关系式为 ；
（2）由P（m，n）是该二次函数的图象上一点求出 ，代入2m+3n可求解．
【解答】解：（1）∵图象与x轴相交于点A，且点A的横坐标为1，
∴A（1，0），
∵二次函数的图象的顶点D的坐标为（4，﹣3），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣4）2﹣3，
把点A（1，0）代入，得：a（1﹣4）2﹣3＝0
∴ ，
∴二次函数的解析工为： ；
（2） ，
∵P（m，n）是该二次函数的图象上一点，
∴ ，∴
＝2m+m2﹣8m+7
＝m2﹣6m+7
＝（m﹣3）2﹣2，
∵（m﹣3）2≥0，
∴（m﹣3）2﹣2≥﹣2，即2m+3n的最小值为﹣2．
20．已知关于x的二次函数y＝x2﹣bx+c
（1）若该函数的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（2，0），求b﹣2c的值；
（2）若该函数的图象的顶点纵坐标为3，
①用含b的代数式表示c；
②当1＜x＜m时，y的取值范围是3≤y＜4，求c的取值范围．
【分析】（1）依据题意得， ，可得①+②得，5﹣b+2c＝0，进而可以得解；
（2）①依据题意，由函数的图象的顶点纵坐标为3，可得 ＝3，进而计算可以得解；
②依据题意得，y＝x2﹣bx+c＝（x﹣ ）2﹣ +c＝（x﹣ ）2+3，从而可得抛物线的对称轴是直线x
＝ ，再分 时和 时，进行讨论即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意得， ，
∴①+②得，5﹣b+2c＝0．
∴b﹣2c＝5．
（2）①由题意，∵函数的图象的顶点纵坐标为3，
∴ ＝3．
∴c＝ +3．
②由题意得，y＝x2﹣bx+c＝（x﹣ ）2﹣ +c＝（x﹣ ）2+3，
∴抛物线的对称轴是直线x＝ ．
当 时，
∴4＝（m﹣ ）2+3．∴m﹣ ＝±1．
∴ 或 （舍去）．
∴1＜ ≤ ．
∴2＜b≤4．
当 时，
∴4＝（1﹣ ）2+3．
∴b＝4或b＝0（舍去）．
综上：2＜b≤4．
∴4＜ +3≤7．
∴4＜c≤7．
