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专题 23.1 旋转中的最值问题
【例题精讲】
【例1】 是边长为4的等边三角形，其中点 为高 上的一个动点，连接 ，将
绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 、 、 ，则 周长的最小值是
A． B． C． D．
【解答】解： 是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
是等边三角形， 是高，
， ，
过 点作 ，交 的延长线于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，
， 与 交于点 ，连接 ， ，则 ， ，
，
为等边三角形，
，
垂直平分 ，
， ，
，
，
当 与 重 合 时 ， 即 、 、 三 点 共 线 时 ， 的 值 最 小 为 ：
，
的周长的最小值为 ．
故选： ．
【例2】在 中， ， ， ， 为 内一点，连接
、 、 ，则 的最小值为A． B． C． D．
【解答】解：在 中， ， ， ，
， ，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．
由旋转的性质可知： ， ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
当 ， 在直线 上时， 的值最小，
，
，
的最小值为 ，
故选： ．【题组训练】
1．如图，在等边 中， 是边 上一动点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转
得到 ，连接 ，若 ，则 的周长的最小值是
A．10 B． C． D．20
【解答】解： 将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ， ，
是等边三角形，
，
的周长 ，
的值最小时， 的周长有最小值，
当 时， 的值最小．
，
，
的周长的最小值是 ．
故选： ．
2．如图， 是边长为2的正方形 内一动点， 为边 上一动点，连接 、 、
，则 的最小值为
A．4 B．3 C． D．
【解答】解：如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，， ， ，
是等边三角形， 是等边三角形，
，
作 于 ，交 于 ．
，
，
，
当点 ，点 ，点 ，点 四点共线且垂直 时， 有最小值为 ，
，
，
的最小值 ，
故选： ．
3．如图，将面积为8的正方形 绕顶点 顺时针旋转得到正方形 ， 是
的中点， 是对角线 的中点，则在旋转过程中 的最大值为A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，如图，
四边形 是面积为8的正方形，
，
是对角线 的中点，
，
正方形 绕顶点 顺时针旋转得到正方形 ，
，
是 的中点，
，
（当且仅当 、 、 共线时取等号），
的最大值为 ，即 的最大值为 ．
故选： ．
4．如图，已知正方形 的边长为3，点 是 边上一动点，连接 ，将 绕点
顺时针旋转 到 ，连接 ， ，则当 之和取最小值时， 的周长
为A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，过点 作 交 延长线于点 ，
将 绕点 顺时针旋转 到 ，
， ，
，
，
又 ，
，
， ，
，
即 ，
，
即点 在 的角平分线上运动，
作点 关于 的对称点 ，
点在 的延长线上，
当点 ， ， 三点共线时， 最小．
在 中， ， ，
，的最小值为 ，
此时 的周长为 ．
故选： ．
5．如图，在 中， ， ， ， 是 边上一动点，连
接 ，把线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 长度的最小
值为
A．1 B． C． D．
【解答】解：如图，在 上取一点 ，使 ，连接 ，过点 作
于 ，
由旋转知， ， ，
，
，
，
，
，
，
要使 最小，则有 最小，而点 是定点，点 是 上的动点，当 （点 和点 重合）时， 最小，
即：点 与点 重合， 最小，最小值为 ，
在 中， ， ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
故线段 长度最小值是 ，
故选： ．
7．如图，四边形 是菱形， ，且 ， 为对角线
（不含 点）上任意一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，当
取最小值时 的长A． B．3 C．1 D．2
【解答】解：如图， 将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ， ，
是等边三角形．
，
．
根据“两点之间线段最短”，
当 点位于 与 的交点处时， 的值最小，即等于 的长，
过 点作 交 的延长线于 ，
，
，
， ，
．
，
，
，
，
，
故选： ．
8．在平面直角坐标系中，点 、 在 轴上，点 在 轴上， 是等边三角形， 是
边上动点，连接 ，以 为边在 的右侧作等边三角形 ，连接 ，
的面积为 ， 的中点为 ，当点 在 边上运动时，线段 的最小值为A． B． C． D．4
【解答】解： 和 都是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
点 的运动轨迹为过点 平行于 轴的线段，
时， 最小， ，
， 为线段 的中点，
，
设 ，则 ， ，
由勾股定理可得 ，
，
解得 ，即 ，
线段 的最小值为 ．
故选： ．
9．如图，矩形 的边 ， ，点 在边 上，且 ， 为 边上
的一个动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，则 的
最小值为
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：将 绕点 顺时针旋转 得到 ，延长 交 于点 ，
， ， ，
，
则点 在平行于 ，且与 的距离为1的直线上运动，
当 时， 有最小值，
，
四边形 是矩形，
， ，
， ，
，
故选 ．
10．已知等边 的边长为8，点 是边 上的动点，将 绕点 逆时针旋转得到 ，点 是 边的中点，连接 ，则 的最小值是
A． B．3 C． D．4
【解答】解： 绕点 逆时针旋转 得到 ，
，
是边长为8的等边三角形，
，
，
点 是 边的中点，
，
当 时， 的长最小，此时， ，
，
，
的最小值时 ，
故选： ．
11．在等边 中， ，点 是 边的中点，点 是 边上一个动点，连接
，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，则 的最小值是
A．1 B． C． D．
【解答】解：如图，将 绕点 旋转 得到△ ，点 是 边上一个动点，
点 是 边上一个动点，
当 时， 最小，
如图， ，
，
在等边 中，
，点 为 中点，
， ，
，
，
，
故选： ．
12．如图，正方形 的边长为5， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个
动点，连接 ，以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【解答】解：由题意可知，点 是主动点，点 是从动点，点 在线段上运动，点 也
一定在直线轨迹上运动，
将 绕点 旋转 ，使 与 重合，得到 ，
， ， ，
为等边三角形，点 在垂直于 的直线 上，
作 ，则 即为 的最小值，
作 ，可知四边形 为矩形，
，
，
则 ，
故选： ．
13．如图，点 是等边三角形 边 的中点，点 是直线 上一动点，连接 ，并绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．若运动过程中 的最小值为 ，
则 的值为
A．2 B． C． D．4
【解答】解：如图，连接 ，延长 至 ，使 ，连接 ，
是等边三角形， 是 的中点，
， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
点 在与 成 的直线上运动，
当 时， 有最小值，，
，
，
，
故选： ．
16．如图，边长为5的等边三角形 中， 是高 所在直线上的一个动点，连接 ，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．则在点 运动过程中，线段
长度的最小值是
A． B．1 C．2 D．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ，
旋转角为 ，
，
又 ，
，
是等边 的对称轴，
，
，
又 旋转到 ，
，
在 和 中，，
，
，
根据垂线段最短， 时， 最短，即 最短，
此时 ， ，
，
，
故选： ．
17．如图，已知 ， ， ，点 为 内一动点，连接 、 、
，将 绕着点 逆时针方向旋转 得到 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ， ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，由旋转可得：
， ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
在 中， ，
的最小值为： ，
故选： ．
18．如图，在矩形 中， ， ，点 是 上的动点，连接 ，将
绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连结 ． 从点 向点 运动过程中， 的最小
值为A．1 B． C． D．2
【解答】解：过 作 于 ，如图：
四边形 是矩形，
，
绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
， ，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，
，
当 时， 取最小值，最小值为2，
最小值是 ，
故选： ．
19．如图，在 中， ， ， ， 是 边上一动点，连接 ，把线段 绕点 逆时针旋转 到线段 ，连接 ，则线段 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．
【解答】解：如图，在 上取一点 ，使 ，连接 ，过点 作
于 ，
由旋转知， ， ，
，
，
，
，
，
，
要使 最小，则有 最小，而点 是定点，点 是 上的动点，
当 （点 和点 重合）时， 最小，
即：点 与点 重合， 最小，最小值为 ，
在 中， ， ，
，
，，
在 中， ， ，
，
故线段 长度最小值是 ，
故选： ．
20．如图，已知直线 交 、 轴于 、 两点，以 为边作等边 、 、
三点逆时针排列）， 、 两点坐标分别为 、 ，连接 、 ，则
的最小值为
A．6 B． C．6.5 D．7
【解答】解： 点 在直线 上，
，
，
．，，
， ，
在 轴上方作等边 ，
，
，即 ，
又 ， ，
，
，
点 的轨迹为定直线 ，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ，
，
当点 、 、 在同一条直线上时， 的值最小，
， ， ，
， ， ，即 ， ，
的最小值
故选： ．21．如图，菱形 的边长为4， ， 是边 的中点， 是边 上的一个
动点将线段 绕着点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 ，则 的最小值
为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取 的中点 ．连接 ， ， ，作 交 的延长线
于 ．
四边形 是菱形
，
，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
， ，
，，
，
，
点 的运动轨迹是射线 ，
易知 ， 关于射线 对称，
，
，
在 中， ， ， ，
， ，
在 中， ，
，
的最小值为 ．
故选： ．
22．如图，在正方形 中， ，点 为 中点，点 绕着点 旋转，且 ，
在 的右侧作正方形 ，则线段 的最小值是
A． B． C． D．
【解答】解：延长 至 ，使 ，连接 、 、 ，如图：四边形 是正方形， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
，
，
，
的轨迹是以 为圆心，以 为半径的 ，
线段 最小时， 为 与线段 的交点，如图：此时 ， ，
，
故选： ．
二．填空题（共3小题）
23．如图，边长为9的等边三角形 中， 是高 所在直线上的一个动点，连接 ，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．则在点 运动过程中，线段
长度的最小值是 ．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ，
线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
，又 是等边三角形，
，
即 ，
，
是等边三角形的高，
，
，
又 旋转到 ，
，
在 和 中，
，
，
，
根据垂线段最短，当 时， 最短，即 最短，
此时 ，
，
，
．
线段 长度的最小值是 ．
故答案为： ．
24．如图，在三角形 （其中 是一个可以变化的角）中， ， ，以
为边在 的下方作等边三角形 ，则 的最大值是 6 ．【解答】解：以点 为旋转中心将 逆时针旋转 得到△ ，连接 ，
逆时针旋转 得到△ ，
， ， ，
△ 是等边三角形，
，
在△ 中， ，即 ，
则当点 、 、 三点共线时， ，
即 的最大值为6，
故答案为：6．
25．如图， 为等边三角形， ，且 ，点 为线段 的中点，把线段
绕点 逆时针旋转，连接 ，点 为线段 的中点，在旋转过程中 的最大值为
5 ．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ，，点 为线段 的中点，
，
点 为线段 的中点，
是 的中位线，
，
点 在以 为圆心，1为半径的圆上，
当 经过圆心 时， 最大，
为等边三角形， 是 的中点，
，
，
，
，
的最大值为5，
故答案为：5．
