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第 01 讲 一元二次方程
课程标准 学习目标
①一元二次方程的定义及一般形式 1. 掌握一元二次方程的定义、一般形式及其相关系数，并能
②一元二次方程的根 够熟练解决相关题目。
③根据实际问题列出简单的一元二 2. 掌握一元二次方程的根的定义并能够熟练应用。
次方程 3. 能够从实际问题中抽象出一元二次方程。
知识点01 一元二次方程的定义及其一般形式
1. 一元二次方程的定义：
只含有 个未知数且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是 。其中 是二次项， 是二次项
系数。 是一次项， 一次项系数。 是常数项。
【即学即练1】1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝x+1 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D．
【即学即练2】
2．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
【即学即练3】
3．方程2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6
知识点02 一元二次方程的根
1．一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边的 成立 的 未知数 的值是一元二次方程的解。
【即学即练1】
4．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．3 B．﹣1 C．0 D．﹣3
知识点03 根据实际问题列出一元二次方程
1．根据实际问题列出一元二次方程的简单步骤：
①正确理解题目的含义；
②找出题目中的数量关系和等量关系；
③列出一元二次方程。
【即学即练1】
5．两个连续奇数的积为 323，求这两个数．若设较小的奇数为 x，则根据题意列出的方程正确的是
（ ）
A．x（x+1）＝323 B．x（x+2）＝323
C．x（x﹣2）＝323 D．（2x+1）（2x﹣1）＝323
题型01 判断一元二次方程及其根据定义求值
【典例1】下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣ ＝2021 B．x（x+6）＝0C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2
【变式1】下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+ ﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
【典例2】若方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≥0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意正实数
【变式1】已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定
【变式2】若关于x的方程（m﹣2） +x+1＝0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．m＝3 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m＝±2
【变式3】关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0，
（1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
题型02 画一元二次方程的标准形式及其系数的确定
【典例1】方程3x2﹣6x﹣9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．﹣6；3；﹣9 B．3；﹣6；﹣9 C．3；﹣6；9 D．﹣3；﹣6；9
【变式1】把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0
【变式2】将一元二次方程2x2＝3x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2，3 B．3，1 C．2x2，﹣3x D．2，﹣3
【变式3】将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【变式4】若将一元二次方程3x2﹣1＝﹣x化成一般式为3x2+bx+c＝0，则b﹣c的值为（ ）A．2 B．﹣3 C．1 D．﹣1
题型03 根据一元二次方程的解求未知系数
【典例1】若x＝2是方程x2﹣5x+m＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【变式1】若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（ ）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b﹣c＝0 D．﹣a+b+c＝0
【变式2】若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则3a+6b＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6
【变式3】若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是x＝﹣1，则2024﹣a+b的值是 ．
【变式4】如果关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+3x+m2﹣16＝0有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．0或﹣4
【变式5】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）
2+bx﹣b+2＝0必有一根为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
题型04 列简单的一元二次方程
【典例1】如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空
地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【变式1】三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，
四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得
到的方程是（ ）
A．x（x+2）＝35 B．x（x+2）＝35+4
C．x（x+2）＝4×35 D．x（x+2）＝4×35+4
【变式2】如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠
成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．
设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为（ ）A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D．x+ ＝12．把一元二次方程1＝2x﹣3x2化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、
常数项分别为（ ）
A．3，﹣2，1 B．﹣3，2，﹣1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1
3．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
4．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．
5．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2024﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2024 B．2023 C．2024 D．2025
6．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
7．已知m是方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式 的值应（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则 ＝（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
9．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则 的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
10．“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长 80cm，宽50cm的刺绣风
景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设
金色纸边的宽度为x cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ）
A．（50+x）（80+x）＝5400
B．（50﹣x）（80﹣x）＝5400
C．（50+2x）（80+2x）＝5400
D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400
11．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
12．已知一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是
．
13．如果一元二次方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0有一个根为0，则m的值为 ．
14．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式3m2﹣6m+2024的值为 ．
15．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 ．
16．已知关于x的方程 ，试问：
（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
17．已知x＝1，x＝﹣3都是方程ax2+bx﹣3＝0的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式．
18．已知x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣20＝0的一个解，且a≠b，求 的值．19．求下列各式中的x的值：
（1）5x2﹣10＝0； （2）3（x﹣4）2＝375．
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
