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第 01 讲 二次函数
课程标准 学习目标
1. 掌握二次函数的定义，能准确判断二次函数以及根据二次
①二次函数的定义 函数的定义求未知字母。
②建立二次函数模型 2. 掌握建立二次函数模型的方法步骤，能够熟练的对各种应
用建立二次函数模型解决问题。
知识点01 二次函数的定义
1. 二次函数的定义：
一般地，形如 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形
式。
其中： 是自变量， 是函数解析式的 二次项系数 ； 是函数解析式 一次项系数 ； 是函数
解析式的 常数项 。 又是二次函数的 一般形式 。
判断二次函数时，把二次函数化为 一般形式 ，右边一定要是 整式 ，最高次数是 2
且二次项系数 不等于 0 。
【即学即练1】
1．下列函数中，是二次函数的为（ ）A．y＝x（x+1）+ （1﹣2x2） B．y＝x2
C．y＝2x3+x2+1 D．y＝33x﹣1
【分析】首先把二次函数整理成一般形式，再利用定义解答．
【解答】解：A、y＝x（x+1）+ （1﹣2x2）＝x+ ，是一次函数，错误：
B、y＝x2是二次函数，正确；
C、y＝2x3+x2+1，含x的三次方，不是二次函数，错误；
D、y＝33x﹣1，是一次函数，错误．故选B．
【即学即练2】
2．若y＝（n2+n）x 是二次函数，则n＝ 2 ．
【分析】根据二次函数定义可得n2﹣n＝2，且n2+n≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：n2﹣n＝2，且n2+n≠0，
解得：n＝2，
故答案为：2．
【即学即练3】
3．二次函数y＝x2﹣6x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1
【分析】根据二次函数的一般形式找出a，b，c的值即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣6x﹣1，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣6，﹣1．
故选：A．
知识点02 建立二次函数模型
1．从实际问题中抽象出二次函数的一般步骤：
（1）审清题意，找出实际问题中的常量与变量，并分析他们之间的关系；
（2）建立二次函数模型：列出函数表达式，一般化为 的形式。
【即学即练1】
4．边长为2的正方形，如果边长增加x，则面积S与x之间的函数关系式是S＝ x 2 + 4 x + 4 ．
【分析】依据新正方形的面积＝新边长2，即可求解．
【解答】解：新正方形的边长是x+2，则面积S＝（x+2）2＝x2+4x+4．题型01 判断二次函数
【典例1】下列函数中，y关于x的二次函数是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1）
C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：A、当a＝0时，y＝bx+c不是二次函数；
B、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x是二次函数；
C、y＝ 不是二次函数；
D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1为一次函数．
故选：B．
【变式1】下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2 B．y＝ax2+bx+c
C．y＝x（2x﹣3） D．y＝2x+5
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：A、该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意；
B、a＝0时，该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式2】下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝（a+2）x2+1 B．
C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x
【分析】根据二次函数的一般形式：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答．
【解答】解：A、y＝（a+2）x2+1（a≠﹣2），是二次函数，故A不符合题意；
B、y＝ +1，不是二次函数，故B不符合题意；
C、y＝（x+2）（x+1）﹣x2＝3x+2，是一次函数，故C不符合题意；
D、y＝2x2+3x，是二次函数，故D符合题意；
故选：D．【变式3】下列函数：①y＝3﹣ ；②y＝ ；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是
二次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用二次函数定义进行分析即可．
【解答】解：①y＝3﹣ ；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个，
故选：C．
题型02 根据二次函数定义求未知系数
【典例1】若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【解答】解：∵y＝mx（x﹣1）﹣x2＝mx2﹣mx﹣x2＝（m﹣1）x2﹣mx是关于x的二次函数，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选：C．
【变式1】若y＝（m﹣4）x2﹣5x+3表示y是x的二次函数，则m的取值范围为（ ）
A．m≠0 B．m＞4 C．m＜4 D．m≠4
【分析】根据二次函数的定义得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵y＝（m﹣4）x2﹣5x+3表示y是x的二次函数，
∴m﹣4≠0，
解得m≠4．
故选：D．
【变式2】若函数 为关于x的二次函数，则m的值为 2 ．
【分析】首先根据二次函数的定义得m2﹣1≠0且m2﹣m＝2，由此解出m即可．
【解答】解：∵函数 为关于x的二次函数，
∴m2﹣1≠0且m2﹣m＝2，
由m2﹣1≠0，解得：m≠±1，
由m2﹣m＝2，解得：m＝﹣1或m＝2，
综上所述：m的值为2．
故答案为：2．
【变式3】如果函数 是二次函数，那么m的值是 3 ．
【分析】根据二次函数的定义求出m的值即可．【解答】解：∵函数 是二次函数，
∴m+1≠0，m2﹣2m﹣1＝2，
解得m＝3．
故答案为：3．
【变式4】若函数y＝（2﹣m）x|m|+1（m是常数）是二次函数，则m的值是 ﹣ 2 ．
【分析】利用二次函数定义可得：|m|＝2，且2﹣m≠0，再计算出m的值即可．
【解答】解：由题意得：|m|＝2且2﹣m≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
题型03 根据二次函数各项系数求值
【典例1】二次函数y＝x2﹣4x+5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，5 B．﹣1，4，5 C．1，﹣4，5 D．﹣1，﹣4，5
【分析】可根据二次函数的一般形式“形如y＝ax2+bx+c，且a≠0”进行求解即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，﹣4，5；
故选：C．
【变式1】二次函数y＝2x2﹣3x﹣1的二次项系数与常数项的和是 1 ．
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次
函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，可得二次项
系数是2，常数项是﹣1，再求和即可．
【解答】解：二次函数y＝2x2﹣3x﹣1的二次项系数是2，常数项是﹣1，
﹣1+2＝1，
故答案为：1．
【变式2】二次函数y＝（x﹣2）（5﹣2x）的二次项系数是 ﹣ 2 ．
【分析】化成二次函数的一般形式，即可得出二次项系数．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）（5﹣2x）变形为y＝﹣2x2+9x﹣10，
∴二次项系数为﹣2．
故答案为：﹣2．
【变式3】若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac ＜
0（填写“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】根据二次函数的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac计算，判断与0的大小即可．
【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，
∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，
∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，
故答案为＜．【变式4】已知关于x的函数y＝（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（
）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1
【分析】根据二次函数定义可得m＝2，再代入3m+2即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的函数y＝（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，
∴m＝2，
则3m+2＝8，
故此解析式的一次项系数是：8．
故选：B．
题型04 建立二次函数模型，列函数表达式
【典例1】下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系；
②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每
件进价x（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
【分析】①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
③根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可．
【解答】解：① ，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意；
②y＝2 ×5x＝10 x，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意；
③y＝（
π
x﹣80）（
π
100﹣2x）＝100x﹣2x2﹣8000+160x＝﹣2x2+260x﹣8000，y是x的二次函数，故此选
项符合题意；
故选：C．
【变式1】某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都
是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝9（1+x）3 B．y＝9+9x+9x2
C．y＝9+9（1+x）+9（1+x）2 D．y＝9（1+x）2
【分析】根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可
得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，
即可得出y关于x的函数关系式．
【解答】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增
长率都是x，∴该厂今年二月份新产品的研发资金为9（1+x）万元，三月份新产品的研发资金为9（1+x）2万元．
根据题意得：y＝9+9（1+x）+9（1+x）2．
故选：C．
【变式2】如图，将一根长30cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形
的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+30x B．y＝﹣x2+15x C．y＝x2﹣30x D．y＝﹣2x2+15
【分析】根据铁丝的长度及弯成的长方形的一边长，可得出与该边相邻的一边长为（15﹣x）cm，利用
长方形的面积公式，即可找出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：∵铁丝的长度为30cm，且弯成的长方形的一边长为x cm，
∴与该边相邻的一边长为 ＝（15﹣x）cm．
根据题意得：y＝x（15﹣x），
即y＝﹣x2+15x．
故选：B．
【变式3】在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过
两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有y人患了这种传染病，即可得
出y与x的函数关系式．
【解答】解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y＝2+2x+（2+2x）x＝2（1+x）2．
故选：A．
【变式4】某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，
这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天的销售利润为y元，
则y与x的函数关系式为 y ＝﹣ 5 x 2 +17 5 x ﹣ 125 0 ．
【分析】当销售单价为x元时，每件学具的销售利润为（x﹣10）元，每天可销售（125﹣5x）件，利用
每天的销售利润＝每件学具的销售利润×日销售量，即可找出y与x的函数关系式．
【解答】解：当销售单价为x元时，每件学具的销售利润为（x﹣10）元，每天可销售50﹣（x﹣15）×5
＝（125﹣5x）件，
根据题意得：y＝（x﹣10）（125﹣5x），
即y＝﹣5x2+175x﹣1250．
故答案为：y＝﹣5x2+175x﹣1250．1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2
C． D．y＝x2﹣x（x﹣1）
【分析】直接利用二次函数解析式的一般形式y＝ax2+bx+c（a≠0）进行分析得出答案．
【解答】解：A、y＝3x，是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝x2，是二次函数，故此选项符合题意；
C、 ，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x2﹣x（x﹣1）＝x，不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．已知 是二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【解答】解：由 是二次函数，得
，
解得m＝1，
故选：B．
3．下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2
B．
C．S＝﹣3t2+t+2
D．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【解答】解：A．y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1是一次函数，不是二次函数，故此选项错误；
B． ，不是二次函数，故此选项错误；
C．S＝﹣3t2+t+2是二次函数，故此选项正确；
D．当a＝0时是一次函数，不是二次函数，故此选项错误．故选：C．
4．若y＝（m+1）xm2﹣4m﹣5是二次函数，则m＝（ ）
A．7 B．﹣1
C．﹣1或7 D．以上都不对
【分析】根据二次函数的定义得出关于m的不等式和方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵y＝（m+1）xm2﹣4m﹣5是二次函数，
∴m+1≠0且m2﹣4m﹣5＝2，
解得m＝2 ．
故选：D．
5．下列每组变量之间的关系为二次函数的是（ ）
A．正方形周长y与边长x的关系
B．菱形面积s一定时，两条对角线的长a与b的关系
C．速度v一定时，路程s与时间t的关系
D．等边三角形的面积s与边长x的关系
【分析】本题考查了二次函数的定义．分别列出关系式，根据二次函数的定义，进行选择即可．
【解答】解：A．正方形周长y与边长x的关系，y＝4x是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
B．菱形面积s一定时，两条对角线的长a与b的关系， 是反比例函数，故该选项不正确，不符合
题意；
C．速度v一定时，路程s与时间t的关系，s＝vt是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
D．等边三角形的面积s与边长x的关系， 是二次函数关系，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
6．如图，正方形ABCD和 O的周长之和为20cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分
的面积为S cm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关
⊙
系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系【分析】根据题意列出关系式辨别函数为几次即可．
【解答】解：由题意得，
4y+2 x＝20，
∴2y+ x＝10，
π
π
∴y＝ ，
即y与x是一次函数关系，
∵S＝y2﹣ x2，
π
把y＝ 代入S＝y2﹣ x2，
π
则S＝﹣ ﹣ x2+25，
π
∴S＝﹣ +25，
即满足二次函数关系，
故选：B．
7．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏
的总长为20m，设长方形靠墙的一边长为x m，面积为y m2，当x在一定范围内变化时，y随x的变化
而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．y＝20x B．y＝20﹣2x
C． D．y＝x（20﹣2x）
【分析】利用长方形面积等于长乘宽计算即可．
【解答】解：由题意得：长方形靠墙的一边长为x m，则平行墙的边长为（20﹣2x）m，
∴面积y＝x（20﹣2x），
故选：D．
8．某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y
万个，那么y与x满足的函数关系式是（ ）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
【分析】设该厂第二季度平均每月的增长率为 x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，根据第二季度共生产零件y万个，即可找出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为 x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产
零件60（1+x）2万个，
依题意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2．
故选：B．
9．如图，等边三角形ABC边长为20cm，点D在边AB上（不与A，B重合），过点D作DE∥BC交AC于
点E．当BD＝x cm时，△ADE的周长比△ABC的周长减少了y cm面积减少了y cm2，当x在一定范围
1 2
内变化时，y 和y 都随x的变化而变化，则y 与x，y 与x满足的函数关系分别是（ ）
1 2 1 2
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【分析】求出y 与x，y 与x满足的函数关系式，由一次函数定义，二次函数定义，即可判断．
1 2
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵DB＝x，
∴AD＝AB﹣BD＝（20﹣x）cm，
∴△ADE周长＝3AD＝3（20﹣x）cm，
∵△ABC的周长＝3AB＝60cm，
∴y ＝60﹣3（20﹣x）﹣60＝3x，
1
∵△ADE的面积＝ AD2＝ （20﹣x）2，△ABC的面积＝ AB2＝ ×202，
∴y ＝ ×202﹣ （20﹣x）2＝﹣ x2+10 x，
2
∴y 与x，y 与x满足的函数关系分一次函数关系，二次函数关系．
1 2
故选：D．10．下列说法正确的是（ ）
A．若a2＝b2，则a＝b
B．|a|＝|b|，则a＝b
C．﹣a一定是负数
D．函数y＝（a2+1）x2+1是关于x的二次函数
【分析】根据平方的定义、绝对值的定义、正负数的含义、二次函数的定义求解即可．
【解答】解：A、（﹣2）2＝22，但﹣2≠2，故该选项错误，不符合题意；
B、|﹣2|＝|2|，但﹣2≠2，故该选项错误，不符合题意；
C、当a＜0时，﹣a＞0，∴﹣a不一定是负数，故该选项错误，不符合题意；
D、∵a2+1≠0，∴函数y＝（a2+1）x2+1是关于x的二次函数，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
11．在函数①y＝ax2+bx+c，②y＝（x﹣1）2﹣x2，③y＝5x2﹣ ，④y＝﹣x2+2中，y关于x的二次函
数是 ④ ．（填写序号）
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．
【解答】解：①a＝0时y＝ax2+bx+c是一次函数，
②y＝（x﹣1）2﹣x2是一次函数；
③y＝5x2﹣ 不是整式，不是二次函数；
④y＝﹣x2+2是二次函数，
故答案为：④．
12．若 是关于x的二次函数，则m的值为 ﹣ 1 ．
【分析】根据二次函数的定义求解．
【解答】解：∵y＝（m﹣3） +2x﹣1是关于x的二次函数，
∴m2﹣2m﹣1＝2且m﹣3≠0，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．对于二次函数y＝x2+3x﹣2，当x＝﹣1时，y的值为 ﹣ 4 ．
【分析】直接把x＝﹣1代入二次函数y＝x2+3x﹣2，求出y的值即可．【解答】解：当x＝﹣1时，y＝1﹣3﹣2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
14．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为 y ＝ x 2 + 6 x ．
【分析】增加的面积＝边长为3+x的新正方形的面积﹣边长为3的正方形的面积，把相关数值代入即可
求解．
【解答】解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），
则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．
故应填：y＝x2+6x．
15．如图、利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃ABCD（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙
平行的边BC上预留出宽为2m的出口EF．设AB边的长为x m，花圃的面积为y m2，则y与x之间的函
数关系式是 y ＝﹣ 2 x 2 +5 2 x ．
【分析】根据矩形的面积公式用含x的代数式表示y即可．
【解答】解：由题意可得：BC＝50﹣2x+2＝52﹣2x，
y＝AB⋅BC＝x（50﹣2x+2）＝﹣2x2+52x，
故答案为：y＝﹣2x2+52x．
16．已知函数y＝（m+3） +（m+2）x+3（其中x≠0）．
（1）当m为何值时，y是x的二次函数？
（2）当m为何值时，y是x的一次函数？
【分析】（1）根据二次函数的定义得到得m+3≠0且m2+m﹣4＝2，然后解不等式和方程即可得到满足
条件的m的值；
（2）根据一次函数的定义分类讨论：当m+3＝0时，y是x的一次函数；当m2+m﹣4＝0且m+2≠0时，
y是x的一次函数；当m2+m﹣4＝1且m+3+m+2≠0时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即
可．
【解答】解：（1）根据题意得m+3≠0且m2+m﹣4＝2，解得m＝2，
即当m为2时，y是x的二次函数；
（2）当m+3＝0时，即m＝﹣3时，y是x的一次函数；
当m2+m﹣4＝0且m+2≠0时，y是x的一次函数，解得m＝ ；
当m2+m﹣4＝1且m+3+m+2≠0时，y是x的一次函数，解得m＝ ；即当m为﹣3或 或 时，y是x的一次函数．
17．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．
【分析】作AE⊥BC，在Rt△ABE中，求出AE＝ AB＝ x，利用梯形的周长可得出AD+BC的值，代
入梯形面积公式即可得出y与x的函数表达式．
【解答】解：作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
则AE＝ AB＝ x，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD+BC＝60﹣AB﹣CD＝60﹣2x，
∴S＝ （AD+BC）×AE＝ （60﹣2x）× x＝﹣ x2+15x（0＜x＜30）．
18．一个二次函数y＝（k﹣1） +2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？
【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫
做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．
【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，
则k2﹣3k+2＝0，
（k﹣1）（k﹣2）＝0，
解得：k ＝1，k ＝2，
1 2
∵k﹣1≠0，
∴k＝2；
（2）把k＝2代入y＝（k﹣1） +2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，
当x＝0.5时，y＝（ ）2+2× ﹣1＝ ．
19．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总
长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为xm．（1）求场地的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）由篱笆总长为30m，门宽是2m，以及这块场地的宽为xm，得到这块场地的长为（32﹣
2x）m，再利用矩形的面积公式即可列出矩形面积y与x的关系式；
（2）由场地的长32﹣2x＞0，求出自变量x的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意得y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x；
（2）∵32﹣2x＞0，
∴x＜16，
又∵门宽是2m，
∴x≥2，
∴2≤x＜16．
20．【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问
题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图
形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐舍条件，所以
我们在做题时，要注意发现题目中的隐舍条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐舍条件并回答下面的问题．
化简：（ ）2﹣|1﹣x|．
解：隐含条件为1﹣3x≥0，解得x≤ ，∴1﹣x＞0，
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ﹣（ ）2；
（2）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简： + + ．
【分析】（1）要使 有意义，其被开方数 2﹣x应大于或等于 0， ＝﹣a（其中 a≤0），
中，a＝x﹣3；
（2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案．
【解答】解：（1）隐含条件为2﹣x≥0，得x≤2，
∴x﹣3＜0．
∴原式＝﹣（x﹣3）﹣2+x＝﹣x+3﹣2+x＝1；
（2）∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a﹣b＜c，a+c＞b，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴ + +
＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）
＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝a+b+c．
