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第 01 讲 二次函数
课程标准 学习目标
1. 掌握二次函数的定义，能准确判断二次函数以及根据二次
①二次函数的定义 函数的定义求未知字母。
②建立二次函数模型 2. 掌握建立二次函数模型的方法步骤，能够熟练的对各种应
用建立二次函数模型解决问题。
知识点01 二次函数的定义
1. 二次函数的定义：
一般地，形如 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。
其中： 是自变量， 是函数解析式的 ； 是函数解析式 ； 是函数
解析式的 。 又是二次函数的 。
判断二次函数时，把二次函数化为 ，右边一定要是 ，最高次数是 且二
次项系数 。
【即学即练1】
1．下列函数中，是二次函数的为（ ）
A．y＝x（x+1）+ （1﹣2x2） B．y＝x2C．y＝2x3+x2+1 D．y＝33x﹣1
【即学即练2】
2．若y＝（n2+n）x 是二次函数，则n＝ ．
【即学即练3】
3．二次函数y＝x2﹣6x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1
知识点02 建立二次函数模型
1．从实际问题中抽象出二次函数的一般步骤：
（1）审清题意，找出实际问题中的常量与变量，并分析他们之间的关系；
（2）建立二次函数模型：列出函数表达式，一般化为 的形式。
【即学即练1】
4．边长为2的正方形，如果边长增加x，则面积S与x之间的函数关系式是S＝ ．
题型01 判断二次函数
【典例1】下列函数中，y关于x的二次函数是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1）
C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【变式1】下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2 B．y＝ax2+bx+c
C．y＝x（2x﹣3） D．y＝2x+5
【变式2】下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝（a+2）x2+1 B．
C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x
【变式3】下列函数：①y＝3﹣ ；②y＝ ；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是
二次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型02 根据二次函数定义求未知系数【典例1】若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1
【变式1】若y＝（m﹣4）x2﹣5x+3表示y是x的二次函数，则m的取值范围为（ ）
A．m≠0 B．m＞4 C．m＜4 D．m≠4
【变式2】若函数 为关于x的二次函数，则m的值为 ．
【变式3】如果函数 是二次函数，那么m的值是 ．
【变式4】若函数y＝（2﹣m）x|m|+1（m是常数）是二次函数，则m的值是 ．
题型03 根据二次函数各项系数求值
【典例1】二次函数y＝x2﹣4x+5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，5 B．﹣1，4，5 C．1，﹣4，5 D．﹣1，﹣4，5
【变式1】二次函数y＝2x2﹣3x﹣1的二次项系数与常数项的和是 ．
【变式2】二次函数y＝（x﹣2）（5﹣2x）的二次项系数是 ．
【变式3】若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac
0（填写“＞”或“＜”或“＝”）
【变式4】已知关于x的函数y＝（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（
）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1
题型04 建立二次函数模型，列函数表达式
【典例1】下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系；
②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每
件进价x（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
【变式1】某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都
是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝9（1+x）3 B．y＝9+9x+9x2
C．y＝9+9（1+x）+9（1+x）2 D．y＝9（1+x）2
【变式2】如图，将一根长30cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形
的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（ ）A．y＝﹣x2+30x B．y＝﹣x2+15x C．y＝x2﹣30x D．y＝﹣2x2+15
【变式3】在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过
两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2
【变式4】某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，
这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天的销售利润为y元，
则y与x的函数关系式为 ．
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2C． D．y＝x2﹣x（x﹣1）
2．已知 是二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
3．下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2
B．
C．S＝﹣3t2+t+2
D．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）
4．若y＝（m+1）xm2﹣4m﹣5是二次函数，则m＝（ ）
A．7 B．﹣1
C．﹣1或7 D．以上都不对
5．下列每组变量之间的关系为二次函数的是（ ）
A．正方形周长y与边长x的关系
B．菱形面积s一定时，两条对角线的长a与b的关系
C．速度v一定时，路程s与时间t的关系
D．等边三角形的面积s与边长x的关系
6．如图，正方形ABCD和 O的周长之和为20cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分
的面积为S cm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关
⊙
系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
7．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏
的总长为20m，设长方形靠墙的一边长为x m，面积为y m2，当x在一定范围内变化时，y随x的变化
而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）A．y＝20x B．y＝20﹣2x
C． D．y＝x（20﹣2x）
8．某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y
万个，那么y与x满足的函数关系式是（ ）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
9．如图，等边三角形ABC边长为20cm，点D在边AB上（不与A，B重合），过点D作DE∥BC交AC于
点E．当BD＝x cm时，△ADE的周长比△ABC的周长减少了y cm面积减少了y cm2，当x在一定范围
1 2
内变化时，y 和y 都随x的变化而变化，则y 与x，y 与x满足的函数关系分别是（ ）
1 2 1 2
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
10．下列说法正确的是（ ）
A．若a2＝b2，则a＝b
B．|a|＝|b|，则a＝b
C．﹣a一定是负数
D．函数y＝（a2+1）x2+1是关于x的二次函数
11．在函数①y＝ax2+bx+c，②y＝（x﹣1）2﹣x2，③y＝5x2﹣ ，④y＝﹣x2+2中，y关于x的二次函
数是 ．（填写序号）
12．若 是关于x的二次函数，则m的值为 ．
13．对于二次函数y＝x2+3x﹣2，当x＝﹣1时，y的值为 ．
14．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为 ．
15．如图、利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃ABCD（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙
平行的边BC上预留出宽为2m的出口EF．设AB边的长为x m，花圃的面积为y m2，则y与x之间的函
数关系式是 ．16．已知函数y＝（m+3） +（m+2）x+3（其中x≠0）．
（1）当m为何值时，y是x的二次函数？
（2）当m为何值时，y是x的一次函数？
17．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．
18．一个二次函数y＝（k﹣1） +2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？
19．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总
长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为xm．
（1）求场地的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围．20．【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问
题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图
形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐舍条件，所以
我们在做题时，要注意发现题目中的隐舍条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐舍条件并回答下面的问题．
化简：（ ）2﹣|1﹣x|．
解：隐含条件为1﹣3x≥0，解得x≤ ，∴1﹣x＞0，
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ﹣（ ）2；
（2）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简： + + ．
