文档内容
第 04 讲 二次函数y=ax2 +bx+c的图象和性质
课程标准 学习目标
①二次函数的三种形式
1. 掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形式之间的
y=ax2 +bx+c
转化。
②二次函数 的
2. 根据顶点式从而推导掌握二次函数一般式的性质与图象。
图象与性质
知识点01 二次函数的三种形式
1. 二次函数的三种形式：
（1）一般式：
由定义可知，二次函数的一般式为 。
（2）顶点式：能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。
即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。
（3）两点式（交点式）：
能直接得到二次函数与x轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的
交点式。即 。此时二次函数与x轴的两个交点坐标分别为 与 。
二次函数的对称轴为 。函数值相等的两个点一定关于 对称。
（4）二次函数的一般式转化为顶点式：
利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下：
y=ax2 +bx+c
b
=a ( x2 + x ) +c
a
( b b2 b2 )
¿a x2 + x+ − +c
a 4a2 4a2
b 2 b2
( )
¿a x+ − +c
2a 4a
(
b
)
2 4ac−b2
¿a x+ +
2a 4a
【即学即练1】
1．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3 ） D．（﹣2，3）
【即学即练2】
2．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【即学即练3】
3．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
知识点02 二次函数的图象与性质（一般式）
1. 二次函数的一般式的图象与性质：
把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下：
y=ax2 +bx+c(a≠0) a＞0 a＜0开口方向
a的绝对值越大，开口越
开口大小
a的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴
离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
对称轴右边y随x的增大而
增减性 对称轴右边y随x的增大而 。 。
对称轴左边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而
。
最值 函数轴最 值 函数轴最 值
这个值是 。 这个值是 。
与y轴交点坐标
【即学即练1】
4．用配方法求出抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向、顶点坐标、对称轴．
【即学即练2】
5．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
B．顶点坐标是（1，﹣3）
C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【即学即练3】
6．已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y ）、B（1，y ）、C（2，y ），则y ，
1 2 3 1y ，y 的大小关系为（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 3 2 3 1 2 1 2 3 2 1 3
知识点03 二次函数的图象与系数的关系
1. 二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由 决定，
a＞0
，开口向 ，
a＜0
，开口向 。
2. 二次函数的对称轴：
y=ax2 +bx+c(a≠0)
a，b
由二次函数的性质可知，二次函数 的对称轴为 。若 同号，则
b b
x=− x=−
2a 0，二次函数的对称轴在y轴的 ；若 a，b 异号，则 2a 0，二次
函数的对称轴在y轴的 。简称左同右异。
b
x=−
①若二次函数的对称轴
2a
=1，则
2a+b=
。
b
x=−
②若二次函数的对称轴
2a
=﹣1，则
2a−b=
。
3.
二次函数与y轴的交点：
二次函数
y=ax2 +bx+c(a≠0)
与y轴的交点坐标为 。
4. 二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴有两个交点⇔ 有2个 的实数根⇔根
Δ=b2 −4ac
的判别式 0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴有 个交点⇔ 有2个相等的实数根⇔
Δ=b2 −4ac
根的判别式 0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴没有交点⇔ 实数根⇔根的判别⇔
Δ=b2 −4ac
0。
y=ax2 +bx+c
拓展：在二次函数 中：
a+b+c
是自变量为 的函数值，
a−b+c
是自变量为 的函数值。
4a+2b+c
是自变量为 的函数值，
4a−2b+c
是自变量为 的函数值。
9a+3b+c
是自变量为 的函数值，
9a−3b+c
是自变量为 的函数值。
【即学即练1】
7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），如下结论：①abc＞0；②b＝2a；③a+b+c＜0；④若（﹣4，y ），（3，y ）是抛物线上的两点，则y ＜y ；⑤
1 2 1 2
a﹣b＞m（am+b）；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点04 待定系数法求二次函数解析式
1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤：
（1）设二次函数解析式；
①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为 。
②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为 。
③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为 。
（2）带点：将已知点带入函数解析式建立方程。
（3）解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。
（4）反带：将未知系数反带入函数解析式。
【即学即练1】
8．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）其图象经过（0，2），（﹣1，0），（2，0）三点；
（2）其图象顶点为（﹣1，4），且经过（2，﹣5）．
题型01
y=ax2 +bx+c
的基本性质
【典例1】对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与y轴的交点为（0，2）
【变式1】对二次函数y＝ x2+2x+3的性质描述正确的是（ ）
A．函数图象开口朝下
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．该函数图象的对称轴在y轴左侧
D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
【变式2】已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．抛物线的顶点坐标为（1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣5 0 3 n 3 …
则下列判断错误的是（ ）
A．该抛物线的开口向下
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．a﹣b+c＞0
D．该抛物线与x轴只有一个交点
【变式4】对于二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a≠0），下列说法错误的是（ ）
A．对称轴为直线x＝1
B．一定经过点（2，3）
C．x＜1时，y随x增大而增大
D．当a＞0，m≠1时，am2﹣2am+3＞﹣a+3
题型02
y=ax2 +bx+c
的图象问题
【典例1】二次函数y＝ax2+4x+a与一次函数y＝ax+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【变式1】二次函数y＝ax2+ax+c2+1（a，c为常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】一次函数y＝cx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可
能是（ ）
A． B．C． D．
【变式4】二次函数y＝ax2+2ax+b与一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中
的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型03
y=ax2 +bx+c
的点的坐标特征
【典例1】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为A（3，y ），
1
，C ，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 1 2 2 1 3 1 3 2 1 2 3
【变式1】已知抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）经过A（﹣1，y ），B（2，y ），C（3，y ）三点，则下
1 2 3
列说法正确的是（ ）
A．若a＜0，则y ＞y ＞y B．若a＞0，则y ＞y ＞y
3 2 1 1 3 2
C．若a＜0，则y ＞y ＞y D．若a＞0，则y ＞y ＞y
1 3 2 2 1 3
【变式2】已知点M（x ，y ），点N（x ，y ）是二次函数y＝x2﹣2x图象上的两点，其中x ＜x ，则下列
1 1 2 2 1 2
说法不正确的是（ ）
A．若x ＜x ＜0，则y ＞y
1 2 1 2
B．若x +x ＝2，则y ＝y
1 2 1 2
C．若|x +1|＜|x ﹣1|，则y ＞y
1 2 1 2
D．若0＜x ＜x ＜2，则y •y ＞0
1 2 1 2
【变式3】已知点A（x ，y ）在直线y＝﹣x﹣6上，点B（x ，y ），C（x ，y ）在抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣
1 1 2 2 3 3
2上，若y ＝y ＝y ，x ＜x ＜x ，则x +x +x 的取值范围是（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A．﹣8＜x +x +x ＜﹣4 B．﹣10＜x +x +x ＜﹣6
1 2 3 1 2 3
C．﹣4＜x +x +x ＜0 D．﹣12＜x +x +x ＜﹣8
1 2 3 1 2 3【变式4】若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，
n+1）、D（4，y ）、E（ ，y ）、F（2，y ），则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
题型04 二次函数的最值问题
【典例1】已知抛物线y＝2x2﹣4x+3在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最大值为
9，则m的值为（ ）
A．﹣1或5 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1或4
【变式1】当a﹣2≤x≤a时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为15，则a的值为（ ）
A．﹣2或8 B．8 C．6 D．﹣2或6
【变式2】若当﹣4≤x≤2时，二次函数 的最小值为0，则m＝（ ）
A． B． C． D． 或
【变式3】已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）在自变量﹣1≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为
1，则m的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【变式4】已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应
的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．1或﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1或﹣1 D．1或﹣5
题型05 二次函数的图象与系数的关系
【典例1】如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②
2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；
③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc
＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对
称轴是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④b2＜4ac；⑤3b＜
2c；⑥若两点（﹣2，y ）（3，y ）在二次函数图象上，则y ＞y ，其中正确的有（ ）
1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 5个结论：①abc＜0；
②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（
）
A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤
题型06 待定系数法求二次函数解析式【典例1】已知一条抛物线分别过点（3，﹣2）和（0，1），且它的对称轴为直线x＝2，试求这条抛物线
的解析式．
【变式1】已知抛物线的顶点坐标为M（2，﹣5），与y轴交于点A（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0≤x≤5时，求y的取值范围．
【变式2】已知x与y之间的函数关系式为y＝ax2+bx+1（其中a、b是常数），且有下列对应关系：
x 1 ﹣2
y ﹣1 17
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）若点（3，n），点（m，n+10）均在抛物线y＝ax2+bx+1上，求m的值．
【变式3】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．
【变式4】如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求
出此时点P的坐标．
1．将抛物线y＝x2+4x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）A．（﹣2，3） B．（﹣4，﹣2） C．（0，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
2．抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值一定为（ ）
A．0 B．6 C．﹣6 D．±6
3．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b，c的值分别是（ ）
A．2，4 B．2，﹣4 C．﹣2，4 D．﹣2，﹣4
4．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2
5．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2ax+a的图象与y轴交于正半轴，其图象上有三点A（﹣3，
y ），B（﹣1，y ），C（3，y ），则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 2 1 2 3 1
8．若要平移二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需
要平移的最短距离为（ ）
A． B． C．1 D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0）对称轴为直线x＝2，下列结论：
①abc＞0；
②4a+c＞2b；
③4a+2b≤m（am+b）（m为常数）；
④3b﹣2c＞0．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，
在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．二次函数y＝（x﹣2）2﹣1图象与y轴交点坐标为 ．
12．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的坐标为（﹣2，0），则二次函数y＝
ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点的坐标是 ．
13．已知A（x ，n），B（x ，n）是抛物线y＝x2+bx+3上不同的两点，若点（x +x ，m）也在抛物线上，
1 2 1 2
则m的值为 ．
14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（3﹣m，y ），B（m+1，y ），C（2﹣n，1），D（n，
1 2
1），且y ＞y ，则m的取值范围是 ．
1 2
15．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴
上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均
为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G
点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 ．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 2 …
y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 …
求该二次函数的表达式．17．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y ），（2，y ），（4，y ）在该抛物线上，若mn＜0，比较y ，y ，y 的大小，并
1 2 3 1 2 3
说明理由．
18．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子去表示）；
（2）若点（m﹣2，y ），（m，y ），（m+3，y ）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y 、y 、y 的
1 2 3 1 2 3
大小关系为 ；
（3）直线y＝﹣x+b与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线
y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为 P，当△OAP为钝角三角形时，求m的
取值范围．20．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．
（1）求c的值，并用含a的代数式表示b．
（2）当a＝1时，
①求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
②当﹣4≤x≤2时，求y的最大值和最小值．
（3）若线段CD的端点C、D的坐标分别为（﹣5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段CD只
有一个公共点，直接写出a的取值范围．
