文档内容
第 04 讲 二次函数 的图像和性质
1. 会用描点法画出二次函数 y=a(x-h)2（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物
线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
2. 掌握二次函数 y=a(x-h)2（a≠0）性质，掌握 y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h)2
（a≠0）之间联系。
知识点 1 y=a（x-h)²的图像性质：
1．二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象.
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象:根据所画图象，填写下表：
顶点坐
抛物线 开口方向 对称轴 增减性
标
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而
开口向上 y轴 （0,0） 减小；当 x＞0 时，y 随 x 的
增大而增大。
当x＜2时，y随x的增大而
开口向上 x=2 （2,0） 减小；当x＞2时，y随x的
增大而增大。
【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数 、 与
的图象．
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象:
根据所画图象，填写下表：
开口方
抛物线 对称轴 顶点坐标 增减性
向当x＜0时，y随x的增大而
减大；
开口向
y轴 （0,0）
下
当x＞0时，y随x的增大而
增小。
当x＜－1时，y随x的增大
而减大；
开口向
x=－1 （－1,0）
下
当x＞－1时，y随x的增大
而增小。
当x＜1时，y随x的增大而
减大；
开口向
x=1 （1,0）
下
当x＞1时，y随x的增大而
增小。
总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
当x＜h时，y随x的增大 当x＜h时，y随x的增大
增减性 而减小；当x＞h时，y随 而增大；当x＞h时，y随
x的增大而增大。 x的减小而减小。
知识点2： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变
【题型1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】【典例1】（2022秋•承德县期末）抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）
【答案】B
【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线 y＝（x﹣1）2的顶点坐标是
（1，0）．
故选：B．
【变式1-1】（2023•丰顺县校级开学）二次函数y＝（x﹣1）2的顶点坐标为
．
【答案】（1，0）．
【解答】解：因为y＝（x﹣1）2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）
【变式1-2】抛物线 的开口_________，对称轴是____，顶点坐标是
______，对称轴左侧，y随x的增大而_____，对称轴右侧，y随x的增大而
____．
【答案】 向下直线 增大 减小
【解答】∵抛物线 中a=-1＜0，
∴开口向下，对称轴是为直线 ，顶点坐标是 ，对称轴左侧，y随x的
增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小．
故答案为：向下；直线 ； ；增大；减小．
【题型2 二次函数y=a(x-h)²图像变换问题】
【典例2】（2023•东莞市一模）将抛物线 y＝4x2向右平移2个单位，可得到抛
物线 y ＝ 4 （ x ﹣ 2 ） 2 ．
【答案】y＝4（x﹣2）2．
【解答】解：将抛物线 y＝4x2向右平移2个单位，可得到抛物线 y＝4（x﹣
2）2，
故答案为：y＝4（x﹣2）2．【变式2-1】（2022秋•盘龙区期末）二次函数 y＝x2的图象平移或翻折后经过
点（2，0），则下列4种方法中错误的是（ ）
A．向右平移2个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向下平移4个单位长度
D．沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
【答案】B
【解答】解：A、向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为 y＝（x﹣2）
2，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故A正确，不符
合题意；
B、向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的解析式为
y＝（x﹣1）2﹣2，当x＝2时，y＝﹣1，所以平移后的抛物线不过点（2，
0），故B错误，符合题意；
C、向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为 y＝x2﹣4，当x＝2时，y＝
0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故C正确，不符合题意；
D、沿 x 轴翻折，再向上平移 4 个单位长度，则平移后的解析式为 y＝﹣
x2+4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故D正确，不
符合题意；
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•津南区期末）抛物线 y＝（x﹣2）2是由抛物线y＝x2平
移得到的，下列平移正确的是（ ）
A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度
【答案】D
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2平移得到抛物线y＝x2，则这个平移过程
正确的是向右平移了2个单位，
故选：D．
【变式2-3】（2022秋•大连期末）把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，
再向上平移3个单位，则平移后抛物线为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝﹣x2﹣3C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣（x+2）2+3
【答案】D
【解答】解：把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，然后向上平移3个
单位，则平移后抛物线为：y＝﹣（x+1+1）2+3，即y＝﹣（x+2）2+3．
故选：D
【题型3 二次函数y=a(x-h)²的性质】
【典例3】（2023•常州模拟）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象的特征，下
列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
【答案】D
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2，
∴抛物线开口向下，顶点为（1，0），对称轴为直线x＝1，
故选：D．
【变式3-1】（2022•兴化市模拟）关于二次函数 的图象，下列说法
正确的是（ ）
A．开口向下
B．经过原点
C．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标是（﹣1，0）
【答案】D
【解答】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，0），
∴x＞﹣1时，y随x增大而增大，
把x＝0代入 得y＝ ，
∴抛物线经过（0， ），
故选：D．【变式3-2】（2022·绵阳市·九年级专题练习）关于x的二次函数
与 的性质中，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点坐标相同
D．当 时， 随x的增大而减小； 随x的增大而增大
【答案】A
【解答】 的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当
时，y随x的增大而减小；
的开口向下，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，当 时，y
随x的增大而增大．选A．
12.关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当x<1时，y值随x值的增大而增大 B．当x<1时，y值随x值的增大而减小
C．当 时，y值随x值的增大而增大D．当 时，y值随x值的增大而减小
【答案】D
【解答】解；如图，由图像可得：当x<1时，y值随x值的增大先减少后增大，
故A错误；
当x<1时，y值随x值的增大先减少后增大，故B错误；当 时，y值随x值
的增大而减少，故C错误；
当 时，y值随x值的增大而减小，故D正确；故选D．【题型4 二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】
【典例4】（2022秋•大兴区校级期末）已知函数 y＝（x﹣2）2的图象上有A
（﹣1，y ），B（1，y ），C（4，y ）三点，则 y 、y 、y 的大小关系
1 2 3 1 2 3
（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
【答案】B
【解答】解：函数y＝（x﹣2）2的对称轴为直线x＝2，开口向上，距离对称
轴越近，函数值越小，
点A到对称轴的距离为|﹣1﹣2|＝3，
点B到对称轴的距离为|1﹣2|＝1，
点C到对称轴的距离为|4﹣2|＝2，
∵3＞2＞1，
∴y ＜y ＜y ，
2 3 1
故选：B．
【变式4-1】（2022秋•丹徒区期末）点A（2，y）、B（3，y）在二次函数y
1 2
＝2（x﹣1）2的图象上，则（ ）
A．y＜0＜y B．y＜0＜y C．0＜y＜y D．0＜y＜y
1 2 2 1 1 2 2 1
【答案】C
【解答】解：∵点A（2，y）是二次函数y＝2（x﹣1）2图象上的点，
1
∴y＝2（2﹣1）2＝2×1＝2；
1
∵点B（3，y）是二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1图象上的点，
2
∴y＝2（3﹣1）2＝2×4＝8．
2
∴0＜y＜y．
1 2
故选：C．
【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）在抛物线 经过（m，
n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解答】解：将点m，n）和（m+3，n）代入 得到：
整理得： 解得： 把点 代入 可得：
解得： 故选：A．
【题型5 二次函数y=a(x-h)²图像与一次函数综合】
【典例5】（2022秋•武清区校级月考）如图，二次函数 y＝（x+a）2与一次函
数y＝ax﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、由抛物线可知，x＝﹣a＞0，由直线可知，a＜0，﹣a＜0，
故本选项错误；
B、由抛物线可知，x＝﹣a＞0，由直线可知，a＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，x＝﹣a＜0，由直线可知，a＜0，﹣a＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，x＝﹣a＜0，由直线可知，a＞0，﹣a＜0，故本选项正确．
故选：D
【变式5】（2022秋•武清区校级月考）如图，二次函数y＝（x+a）2与一次函
数y＝ax﹣a的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、由抛物线可知，x＝﹣a＞0，由直线可知，a＜0，﹣a＜0，
故本选项错误；
B、由抛物线可知，x＝﹣a＞0，由直线可知，a＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，x＝﹣a＜0，由直线可知，a＜0，﹣a＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，x＝﹣a＜0，由直线可知，a＞0，﹣a＜0，故本选项正确．
故选：D．
1.下列二次函数中，对称轴是直线 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】A.y=x2+1的对称轴为直线x=0，所以选项A错误；
B.y=2(x+1) 2的对称轴为直线x=-1，所以选项B错误；
C.y=-(x+1) 2的对称轴为直线x=-1，所以选项C错误；
D. 的对称轴为直线x=1，所以选项D正确．故选：D．2.知二次函数 的图象经过点 ，且 ，则m的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵二次函数 ，∴它的图象开口向上，对称轴为直
线 ．
∵图象经过点 ，且 ，∴ 或 ，解得 ．故选：
B．
3.在抛物线 经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：将点m，n）和（m+3，n）代入 得到：
整理得： 解得： 把点 代入 可得：
解得： 故选：A．
4.若抛物线 的对称轴是直线x=-1，且它与函数 的形状相同，开
口方向相同，则a和h的值分别为（ ）
A．3和 -1 B．-3和1 C．3和1 D．-1和3
【答案】A
【解答】解：∵抛物线 的对称轴是直线x=-1，且它与函数 的形
状相同，开口方向相同，∴ ，故选A．
5．（2023•三明模拟）将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度得到的抛物线表达
式是 ．
【答案】y＝（x+3）2．
【解答】解：将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表
达式为y＝（x+3）2．
故答案是：y＝（x+3）2．
6.已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范
围是__________．
【答案】
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2，中，a＝1＞0，∴此函数开口向上，
∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小，∴二次函数的对称轴x＝m≥1．故
答案为：m≥1．
7.在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线
与线段PQ有交点，则a 的取值范围是______．
【答案】
【解答】解：由 可得抛物线的对称轴直线为 ，顶点坐标为( ，
0)，
当对称轴在点P左侧时， ，把P（3，1）代入 得 ，解得
或 (舍去)，
当对称轴在点P右侧时， ，把Q（9，1），代入 得 ，解
得 或 (舍去)，
∴当 时，抛物线 与线段PQ有交点，故答案为：1．（2022秋•天河区期末）抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】C
【解答】解：∵y＝2（x+1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线经过第一、二象限，
∴不经过第三、四象限，
故选：C．
2．（2022秋•密云区期末）将抛物线 y＝x2向右平移一个单位，得到的新抛物
线的表达式是（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
【答案】B
【解答】解：将抛物线 y＝x2向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式
是y＝（x﹣1）2．
故选：B．
3．（2023•增城区一模）已知 A（0，y ），B（3，y ）为抛物线y＝（x﹣2）2
1 2
上的两点，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＝y C．y ＜y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：将A（0，y ），B（3，y ）代入y＝（x﹣2）2，
1 2
得： ， ，
∴y ＞y ．
1 2
故选：A．
4.关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线 B．开口向下C．最大值是3 D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】D
【解答】解：由二次函数 ，A.对称轴为 ，故A不正确，B.
开口向上，故B不正确，
C.二次函数 当 时，有最小值为 ，没有最大值，故C不正确,
D.在对称轴的左侧，即 时， 随 的增大而减小，故D正确,故选D
5.关于x的二次函数 与 的性质中，下列说法错误的是
（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴相同
C．顶点坐标相同 D．当 时， 随x的增大而减小；
随x的增大而增大
【答案】A
【解答】 的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当
时，y随x的增大而减小；
的开口向下，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，当 时，y
随x的增大而增大．选A．
6．若点 、 都在二次函数 的图象上，则a与b的大小关系
（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解答】解：根据题意得：当 时， ，
当 时， ，∴ ．故选：B7.二次函数 的顶点坐标为_______．
【答案】
【解答】解：抛物线 的顶点坐标是 ，故答案为： ．
8.二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2的图象，平
移的方法是( )
A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右
平移1个单位
【答案】C
【解答】抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐
标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函
数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
9.抛物线 关于y轴对称的抛物线的表达式为______．
【答案】
【解答】写出顶点关于y轴对称的点，把它作为所求抛物线的顶点，这样就可
确定对称后抛物线的解析式．
解：抛物线y＝−（x＋2）2顶点坐标为（−2，0），其关于y轴对称的点的坐标
为（2，0），
∵两抛物线关于y轴对称时形状不变，
∴抛物线y＝−（x＋2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为y＝−（x−2）2．故
答案为：y＝−（x−2）2．
10.有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：
甲：与x轴只有一个交点；乙：对称轴是直线x＝4；丙：与y轴的交点到原点
的距离为3．
满足上述全部特点的二次函数的解析式为_____．
【答案】y＝ （x﹣4）2或y＝﹣ （x﹣4）2．
【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个交点且对称轴是直线x＝4，∴抛物线的顶点坐标为（4，0），
∵抛物线与y轴的交点到原点的距离为3．∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，
3）或（0，﹣3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2，
把（0，3）代入得3＝a（0﹣4）2，解得a＝ ，此时抛物线的解析式为y＝
（x﹣4）2；
把（0，﹣3）代入得﹣3＝a（0﹣4）2，解得a＝﹣ ，此时抛物线的解析式为
y＝﹣ （x﹣4）2；
综上，满足上述全部特点的二次函数的解析式为y＝ （x﹣4）2或y＝﹣ （x
﹣4）2．
故答案为y＝ （x﹣4）2或y＝﹣ （x﹣4）2．
11.二次函数y＝（x﹣1）2，当x＜1时，y随x的增大而___（填“增大”或“减
小”） ．
【答案】减小
【分析】利用二次函数的解析式画出示意图，根据图象解答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y=（x-1）2的示意图如下：
抛物线y=（x-1）2的对称轴为直线x=1，由图象可以看出：
当x＜1时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故答案为：减小．
12.已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平
移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 ．1
【答案】y= （x﹣4）2．
2
【解答】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2．利用待定系数法确定函数关系式；
然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．
设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2＝4a，解
1
得a= ．
2
1 1
故原来的抛物线解析式是：y= x2．设平移后的抛物线解析式为：y= （x﹣b）
2 2
2．
1
把P（2，2）代入，得2= （2﹣b）2．解得b＝0（舍去）或b＝4．
2
1
所以平移后抛物线的解析式是：y= （x﹣4）2．
2
13．（2023•龙川县校级开学）已知二次函数 y＝2（x﹣1）2的图象如图所示，
求△ABO的面积．
【答案】1．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2，
∴顶点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∴△ABO的面积为： ，
即△ABO的面积是1．
