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第 03 讲 实际问题与反比例函数
课程标准 学习目标
①李用反比例函数解决实际问题
1. 掌握利用反比例函数解决实际问题的具体步骤，结
②利用反比例函数解决与几何图形有关的
合反比例函数的图象和性质，能熟练解决与反比例函
问题
数相关的问题。
③利用反比例函数解决与物理相关的问题
知识点01 利用反比例函数解决实际问题
1. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。
②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。
③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。
④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。
⑤解：用反比例函数的图象和性质解决实际问题。
【即学即练1】1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（m3）的
反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．
（1）求出这个函数的解析式；
（2）当气球体积为0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于多少m3．
【即学即练2】
2．码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度 y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间
是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）由于紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
（3）若码头原有工人10名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时间，在（2）的
条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？
知识点02 利用反比例函数解决几何图形问题
1. 利用反比例函数解决几何图形问题：①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。
②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。
③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。
【即学即练1】
3．图中有一面墙（可利用的最大长度为100m），现打算沿墙围成一个面积为120m2的长方形花圃．设花
圃与墙平行的一边长AB＝x（m），与墙垂直的一边长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式，并指出自变量的取值范围．
（2）若想使花圃长是宽的7.5倍，则花圃至少需要围栏多少米？
知识点03 利用反比例函数解决物理问题
1. 利用反比例函数解决物理问题：
①做功型问题：当功 W 一定时，力 F 与物体在力的方向上移动的距离 s 成反比例。即
W W
F= 或s=
S F
。
F F
p= 或S=
S s
②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即 。
U U
I= 或R=
R I
③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即 。
④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即
k k
F= 或l=
l F
【即学即练1】
4．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位： ）满足反比例函数
关系，其图象如图2所示．
Ω
（1）求I关于R的函数解析式；
（2）当R＝1375 时，求I的值；
（3）若该台灯工作的最小电流为0.1A，最大电流为0.25A，求该台灯的电阻R的取值范围．
Ω
题型01 反比例函数的实际应用——工程、行程问题【典例1】某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）
是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点（30，40），如图．
（1）求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；
（2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程？
【变式1】已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定
为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若汽车从上午8：00从A市出发，如果汽车在当天12：48到14：00之间到达B市，求汽车行驶
速度的范围．
【变式2】某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y（单位：天）是每天完成的工程量 x（单位：
m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）（如图）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，若要求该工程队
恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？【变式3】元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为 100km/h时，
行驶时间为1.5h；设小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若小汽车匀速行驶的速度为60km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？
【变式4】设每名工人一天能做某种型号的工艺品x个．若某工艺品厂每天要生产这种工艺品60个，则需
工人y名．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品
的工人多少人．题型02 反比例函数与几何图形问题
【典例1】已知一个矩形的面积为12，长为x，宽为y．
（1）y与x之间的函数关系式为 ；
（2）在图中画出该函数的图象；
①填表；
x … 1 2 3 4 5 6 …
y … 12 2 …
②描点；
③连线．
【变式1】如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为60m2，设与墙垂直
的边长为x m，与墙平行的边长为y m．
（1）直接写出y与x的函数关系式为 ；
（2）现有两种方案x＝5或x＝6，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．【变式2】市煤气公司要在地下挖一个容积为1000立方米的圆柱形煤气储存室，若储存室的底面积为S平
方米，深度为d米．
（1）求S与d之间的函数表达式；
（2）据勘探，储存室深度的最大值为16米，求储存室的底面积至少为多少平方米？
【变式3】某学校准备修建一个面积为100m2的矩形花圃，设矩形花圃的一边长为 x m，相邻的另一边长
为y m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若矩形的一边长x满足x＞50，求另一边长y的取值范围；
（3）杭杭在实践后得到如下结论：在面积为100m2的情况下，不存在周长为30m的矩形．请判断他的
说法是否正确，并说明理由．
【变式4】如图，三角形ABC底边BC上的高为AD，设BC的长为x（cm），AD的长为y（cm），三角形
的面积为S（cm2）．
（1）如果三角形的高AD不变，即y＝6cm，求S与线段BC的长x之间的关系式；
（2）如果三角形的底边BC不变，即x＝8cm，当高从3cm增加到10cm时，三角
形的面积将增加多少cm2；
（3）如果三角形的底边BC和高AD都发生变化，但BC与AD的和为4cm保持不
变，即始终满足BC+AD＝4：①请求出此时S与x的关系式；
②根据①中的关系式完成表格，并分析当0＜x＜4时，S随x变化的情况为： ．
BC的长 … 1 2 3 …
x
（cm）
三角形 … 2 …
面积S
（cm2）
题型03 反比例函数与物理问题
【典例1】在某一电路中，保持电压不变，电流I（A）与电阻R（ ）成反比例，当电阻R＝5 时，电流I
＝2A．
Ω Ω
（1）求I与R之间的函数关系式；
（2）当电流I＝0.5A时，求电阻R的值．【变式1】为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气
体的压强p（kPa）是气体体积V（mL）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围）
（2）若气球内气体的压强不能超过800kPa，为安全起见，则其体积V要控制在什么范围？
【变式2】如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600N，阻力臂长为0.5m．设动力为y
（N），动力臂长为x（m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力
略去不计．）
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？
（3）小明若想使动力不超过300N，在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理
由．【变式3】如图，是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人
和“木海马”对滩涂的压力F（单位：N），“木海马”底面面积S（单位：m2）与人和木板对滩涂的
压强p（单位：Pa）满足关系：F＝pS，若人和木板对滩涂的压力F合计为700N．
（1）用含S的代数式表示p；
（2）当“木海马”底面面积为1.4m2时，人和木板对滩涂的压强是多少Pa；
（3）若要人和木板对滩涂的压强不超过2500Pa，则“木海马”底面面积至少需要多少m2．
题型04 反比例函数与一次函数的综合应用
【典例1】某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化
如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请
根据图中数据解答下列问题：
（1）该企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？【变式1】某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物
在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根
据图象所示信息，解答下列问题：
（1）求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在
多少分钟内，师生不能待在教室？
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝﹣x+2的图象与反比例函数 在第
二象限的图象交于点A（n，3），与x轴交于点B，连结AO并延长交这个反比例函数第四象限的图象
于点C．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）求△ABC的面积．
（3）当直线AC对应的函数值大于反比例函数 的函数值时，直接写
出x的取值范围．【变式3】某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中
发现销售单价x（单位：元）与年销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数
图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年
利润最大值；
（3）在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况
（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若
上一年亏损，则亏损记作下一年的成本，决定第二年
将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（x＞
8）．当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，直接写出x的取值范围 ．
【变式4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣ 的图象交于A（﹣1，
m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≤﹣ 的解集；
（3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标．【变式5】如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数 的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交
于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）求△DOC的面积．
（3）双曲线上存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等，请直接写出点P的坐标．1．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间具有如图所示的反比例函数
关系．小明原来佩戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，复查
验光时，所配镜片焦距调整为0.4米，则小明的眼镜度数（ ）
A．下降了150度 B．下降了250度
C．下降了350度 D．不变
2．当作用于一个物体的压力F（N）一定时，这个物体所受的压强p（Pa）与它的受力面积S（m2）的函
数表达式为 ，则下列描述不正确的是（ ）
A．当压力F＝5N，受力面积S为1m2时，物体所受压强为5Pa
B．图象位于第一、三象限
C．压强p（Pa）随受力面积S（m2）的增大而减小D．图象不可能与坐标轴相交
3．长春市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室．储存室的底面积 S（m2）与其深度H（m）成反
比例，S关于H的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积S定为400m2，当施工队按计划掘
进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度减少10m，相应地，储存室的底面积应（ ）
A．减少100m2 B．增加100m2 C．减少200m2 D．增加200m2
4．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此
时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在
20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于
38℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
5．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率
（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，
其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四
所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．若一个矩形的面积为10，长为x，宽为y，则y与x的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
7．某学校采用药薰消毒法对教室进行消毒．现测得不同时刻的含药量y（毫克）与时间x（分钟）的数据
如下表所示，则最可能表示y与x的函数关系的是（ ）
x 0 2 4 6 8 10 12 16 20
y 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4
A． B．C． D．
8．已知电功率P（W）与电压U（V）、电阻R（Q）的关系式是： ．当两个灯泡并联接在电压为
220V的电路中时，如果它们的电功率的比 ，那么它们的电阻的比 ＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
9．小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，
该图象经过点（150，10）．根据图象可知，下列说法不正确的是
（ ）
A．这篇文章一共1500字
B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟
C．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分
钟至少应录入90字
D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟
完成任务
10．如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．
小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间 AB段的平均行驶速度 v
（km/h） 与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高
车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时
间可能是（ ）
A．0.1h B．0.35h C．0.45h D．0.5h
11．京沪铁路全程为1463km，某列车的平均速度vkm/h与全程运行时间th之间的函数表达式为 ．
12．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m
（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载
重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v＝ m/s．13．如图，某药剂在空气中的浓度y（mg/m3）与时间x（min）之间先满足正比例函数的关系，再满足反比
例函数的关系，且当x＝12时，y有最大值，最大值为a．则当 时，x的值是 ．
14．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力x阻力臂＝动力x动
力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，关于动力F和动力臂L：
①F随L的增大而减小；②F关于L的函数图象位于第一、第三象限；③当L为1.5m时，抙动石头
至少需要400N的力；④当抙动石头需要400N的力，L至少为1.5m；上面四种说法正确的是
．（只填序号）
15．饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温 y℃与开机时间
x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温 y℃与
开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去
（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 ℃．
16．为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行5min的药物
喷洒，接着封闭教室10min，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量y（mg/m3）与药物在空气
中的持续时间x（min）之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在
通风后满足反比例函数关系．
（1）求药物喷洒后（x≥5）空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）的函数表达
式；
（2）如果室内空气中的含药量达到5mg/m3及以上且持续时间不低于20min，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？
17．山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条
文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面
条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，32），B（a，80）
两点（如图）．
（1）求y与S之间的函数关系式；
（2）求a的值，并解释它的实际意义；
（3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过0.8mm2，求这根面条的总长度至少有多长．18．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始
学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的
注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示
（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）求注意力指标数y与时间x（分钟）之间的函数表达式；
（2）开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流
总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节 10分钟；重点环节“自主探索，合作交
流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于 40，请问：
这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由．19．根据国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，如果
驾驶人员血液中每100毫升的酒精含量大于或等于20毫克且小于80毫克，则被认定为饮酒后驾车．如
果血液中每100毫升的酒精含量大于或等于80毫克，则被认定为醉酒后驾车．实验数据显示，一般成
人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用
正比例函数y＝100x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数 刻画
（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：当x＝5时，y＝45，求k的值．
（2）若依据甲的生理数据显示，当y≥80时肝部正被严重损伤，请问甲喝半斤低度白酒后，肝部被严
重损伤持续多少时间？
（3）假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请通过计
算说明理由．20．在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为 U＝12（V）的蓄电池，通过调节滑动变阻器R（ ）来
改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R ＝2 ）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度
1 Ω
Ω
的变化而变化），已知串联电路中，电流I与电阻R、R 之间关系为 ，通过得出如下数据（表
L
格数据不完整）：
R/ … 1 a 4 6 …
I/AΩ … 4 3 2 b …
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）根据以上实验，构建出函数 ，结合表格信息，探究函数 的图象与
性质．
①在直角坐标系中画出对应函数 的图象：
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ．
（3）请结合函数图象分析，当x≥0时， 的解集为 ．
