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九年级数学
▶中考全部内容◀
说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出 四个选
项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 3 D. -3
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可解答．
【详解】解： 的相反数为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键．
2. 据国家统计局数据显示，2024年中国新能源汽车产量约为 万辆，约占全球总量的70%．数据
万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 的形式，其中 ，n为整数，
正确确定a、n的值是解题的关键．
将 万写成 其中 ，n为整数的形式即可．
【详解】解： 万 ．
故选B．3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体．根据三视图逐项判定即可．
【详解】解：由题意知，该几何体分上下两层，上层为圆柱，下层为长方体，故选项 A，B，D均不符合
题意，则该几何体如下；
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、分式乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的
关键．根据运算法则逐一计算判断即可．
【详解】解：A. ，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B符合题意；
C. 与 ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D不符合题意．
故选：B．5. 不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是关键．求出不等
式组的解集，表示在数轴上即可得到答案．
【详解】解：解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式的解集是 ，
在数轴上表示如下：
故选：C
6. 已知 ， ，则 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，根据完全平方公式
变形，计算即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：B ．
7. 在半径为1的 中， 的圆心角所对的弧长是（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了弧长公式，若弧所在圆的半径为r，所对圆心角为 ，则弧长 ，熟知弧
长公式是解题的关键．根据弧长公式计算即可求解．
【详解】解： ．
故选：D．
8. 如图，点A，B在反比例函数 的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接 ，
则 的面积是（ ）
A. B. 4 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数系数 的几何意义，关键是掌握 图象中任取一点，过这一个
点向 轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ．
根据图象上点的坐标特征求得 、 的坐标，将三角形 的面积转化为梯形 的面积，根据坐
标可求出梯形的面积即可，
【详解】解： 点A，B在反比例函数 的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6， ，，
作 轴于 ， 轴于 ，
，
，
，
故选C．
9. 如图，在正六边形 中， 分别是边 的中点，连接 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接 ，过点B作 ，设正六边形的边长为a，求出 ，由等腰三角形的性
质得到 ，由 分别是边 的中点得到 ，即可得到答案．【详解】解：如图，连接 ，过点B作 ，设正六边形的边长为a，
∵六边形 是正六边形，
∴ ，
∴ ， ,
在正六边形中， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 分别是边 的中点，
∴
∴
故选：A
【点睛】此题考查了正多边形的性质、含 角的直角三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，求出 的长度是关键．
10. 如图，在正方形 中，E为边 延长线上一点，连接 ，分别交 于 两点．
若 ，则 的长度为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次
方程的应用等知识，正确作出辅助线，并运用相似三角形的性质求解是解题关键．
连接 ，首先证明 ，由全等三角形的性质可得 ， ，进
而证明 ，由相似三角形的性质可得 ，进而可得 ，设
，则 ，可得关于 的一元二次方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：连接 ，如下图，
∵四边形 为正方形， 为该正方形的对角线，
∴ ， ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. －64的立方根是_______．
【答案】-4
【解析】
【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解．
【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数，
可知-64的立方根为-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数．12. 在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积V改变时，气体的密度 也随之改变，
与V在一定范围内满足关系式 （m是常数，且 ），它的图象如图所示，当 为 时，
V的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出 ，再求出当 时，
V的值即可得到答案．
【详解】解：把 代入 中得 ，
∴ ，
在 中，当 时， ，解得 ，
故答案为：2．
13. 如图，在 中， ， ， 为 外一点， ， ．连接
交 于点 ，且 ，则 的长为________．【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，平行四边形的判定与性质，
相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
由勾股定理和等腰直角三角形的性质得 ， ，得到
，推出 ，得到 ，推出四边形 是平行四边形，得到
， 可 证 明 ， 得 到 ， 求 出 ， 得 到
，即可得到答案．
【详解】解： ，
， ，
，
垂直平分 ，
，
，
，
，
，
，
， ，，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
14. 抛物线 经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为 ．
（1）a的值为________．
（2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作 轴，且点Q在一次函数 的图象上．当
时， 的最大值是________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键。
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求联立两函数解析式，求出两函数的交点坐标，设 ， ，由函数图象可得，当 时， 在 的上方，则 ，据此求解即可．
【详解】解：（1）把 代入 中，得 ，解得 ．
故答案为：1．
（2）由（1）得抛物线的表达式为 ，
联立 ，解得 ， ，
抛物线 与直线 的交点坐标为 ， ．
设 ， ，由函数图象可得，当 时， 在 的上方，
当 时， ，
当 时，PQ的最大值是 ．
故答案 为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，先将原式约分化简后，再把x的值代入求值即可．【详解】解：
，
当 时， ．
16. 某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，其成本和售价如下表，
成 售
型号
本/（元/件） 价/（元/件）
A 40 70
B 30 50
该手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．分别求这批陶器摆件中A，B两种型号的数量．
【答案】50件，30件
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设这批陶器摆件中A型号的数量为x，B型号的数量为y．某
手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润
2100元．据此列出方程组，接方程组即可得到答案．
【详解】解：设这批陶器摆件中A型号的数量为x，B型号的数量为y．
由题意可得 ，
解得 ．
答：这批陶器摆件中A型号的数量为50件，B型号的数量为30件
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，同格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点， 的每个顶点都在格
点上．（1）将 向左平移6个单位长度，得到 ，画出 ．
（2）在平面直角坐标系中， 与 关于原点O成中心对称，请画出 ．
（3）请在x轴上找一点P，使 的长度最短．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移变换，中心对称变换，轴对称的性质，准确作图是
解题的关键．
（1）根据点的平移即可得到图形；
（2）画出A、B、C关于原点的对称点连接即可；
（3）作C点关于x轴的对称点 ，连接 交 轴于点P即可．
【小问1详解】
解：由图可知 ， ， ，
根据向左平移6个单位可得 ， ， ，
连接起来即可，如图所示；【小问2详解】
解：A，B，C关于原点的对称点为 ， ， ，把三点连接起来即可，如图
所示；
【小问3详解】
解：作C关于x轴的对称点 ，连接 ，与x轴交于点P，即为所求，如图所示：
则 ，
∴ ，
∵ 三点共线，
∴此时， 最短．18. 【观察思考】
【规律发现】
的
请用含n 式子填空：
（1）第n个图案中“□”的个数为________．
（2）第1个图案中“▲”的个数可表示为 ，第2个图案中“▲”的个数可表示为 ，第3
个图案中“▲”的个数可表示为 ，……，第n个图案中“▲”的个数可表示为________．
【规律应用】
（3）若第n个图案中“□”比“▲”多33个，求正整数n的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“□”的个数为 ，即可作答．
（2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“▲”的个数可表示为 ；
（3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列方程，即可作答．【详解】解：（1）观察图形，得出
第1个图案中，“□”的个数为 ；
第2个图案中，“□”的个数为 ；
第3个图案中，“□”的个数为 ；
……，
以此类推，得出第n个图案中，“□”的个数为 ；
（2）观察图形，得出
第1个图案中，“▲”的个数为 ；
第2个图案中，“▲”的个数为 ；
第3个图案中，“▲”的个数为 ；
……，
以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为 ；
（3）∵第n个图案中“□”比“▲”多33个，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （不符合题意舍去），
∴正整数 .
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在港口A处的正东方向有两个相距 的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东 方
向航行至D处， 在B、C处分别测得 ， 求轮船航行的距离AD (参考数据：
， ， ， ， ， ）【答案】20km
【解析】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，通过解 和 得 和
，根据 求得DH，再解 求得AD即可．
【详解】解：如图，过点 作 ，垂足为
在 中，
在 中，在 中，
（km）
因此，轮船航行的距离 约为
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三
角形是解题的关键．
20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D
作DG⊥AC，垂足为点G，连接DE，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若AE＝4， ，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得∠ODB=∠OBD=∠ACB，从而得OD AC，进而得
DG⊥OD，即可得到结论；
的
（2）首先根据相似三角形 性质求出OD的长度，进而得出直径的长度，最后根据勾股定理即可求出
BE的长度．
【详解】解：（1）连接OD，∵OB=OD，
∴△ODB是等腰三角形，∠OBD=∠ODB，
∵在△ABC中， AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠OBD=∠ACB，
∴OD AC，
∵DG⊥AC，
∴DG⊥OD，
∴DG是⊙O的切线；
（2）由（1）可知： ，
∴ ，
又∵ ，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵AB是⊙O的直径，
∴ ， ，
∴在 中， ．
【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，
熟练掌握圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质是解题的关键．六、（本题满分12分）
21. 为了激发学生对科技的兴趣，培养创新精神，学校举办了校园科技节．期间，从全校1600名学生中抽
取部分学生组织了一场科技知识竞赛（满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将知识竞赛成绩
分为合格（ ）、一般（ ）、良好（ ）、优秀（ ）四个等级，
并将结果制作成如下统计图（部分信息未给出）．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）扇形统计图中“一般”等级所对应的扇形的圆心角度数为________．
（3）这次知识竞赛成绩的中位数落在________等级．（填写“合格”“一般”“良好”或“优秀”）
（4）若全校学生都参加知识竞赛，请根据抽样成绩的结果，试估计该校知识竞赛成绩为80分及以上的学
生人数．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）良好 （4）880人
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数
形结合的思想解答．
（1）根据“优秀”的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出成绩为“一
般”的学生人数，并补全频数分布直方图；
（2）根据直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中“一般”部分所对圆心角度数；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）根据直方图中的数据，可以根据该学校的成绩估计该市在这次测试中成绩为80分及以上的人数．
【小问1详解】
解：参加知识竞赛的总人数为 人，
成绩为“一般”的学生人数为 人，补全图形如下：
【小问2详解】
解：扇形统计图中“一般”等级所对应的扇形的圆心角度数为 ；
故答案为： ；
【小问3详解】
解：这组数据的中位数是第100，101个数据的平均数，而 ，
故这2个数据均落在良好等级，所以这次测试成绩的中位数是良好．
故答案为：良好．
【小问4详解】
解： （人）．
的
答：该校知识竞赛成绩为80分及以上 学生约880人．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在凸五边形 中， ， ， 与 相交于点F， ．
（1）求证： ．
（2）如图2，当 时，求证： ．（3）如图3，若 ，且 时，请直接写出 的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明 ，得出 ，即可证明；
（2）证明 ．再证明 ，得出 ，从而证明 ，证出四边
形 是平行四边形．结合 ，即可证明平行四边形 是菱形，从而得出 ．
（3）如图，作 于点H，作 ，作 的平分线 交 于点T，过点T作
于点P．证明 ，得出 ，根据角平分线的性质定理得出 ，
即可得 ．根据 ， ，得出 ．设
，则 ， ，根据 ，求出 ，在
中，求出 ．根据 ，得出 ．证明 ，
即可求出 ．
【小问1详解】
解：证明： ， ， ，
，，
，
即 ．
【小问2详解】
证明： ， ，
，
．
， ， ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
，
平行四边形 是菱形，
．
【小问3详解】
解：如图，作 于点H，作 ，作 的平分线 交 于点T，过点T作
于点P．
则 ，
∴ ，
．平分 ，
，
．
， ，
．
设 ，则 ， ，
∵ ，
，
，
在 中， ．
，
．
∵ ，
∴ ，
，
．
∵ ，，
， ，
．
又 ，
，
．
【点睛】该题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等
腰三角形的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识点，涉及知
识点较多，属于中考压轴题，解题的关键是正确做出辅助线．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 相交于点 ，与 轴相
交于点 ，抛物线与 轴 的两个交点分别为点 ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）当 时， 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围；
（3）若 为线段 的中点，且点 在第二象限内， 为抛物线的顶点，当 的面积最小时，求
的值．
【答案】（1） ；（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，二次函数最值问题等
知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ）由抛物线 ，则当 时， ；当 时， ，从
而可求出 的取值范围；
（ ）联立得 ，求出点 的坐标为 ，则点
，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，
通过面积公式得 ，然后由二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：将点 ， 分别代入 ，
得 ，
解得 ；
【小问2详解】
解：由（ ）知 ，∴抛物线 ，
当 时， ；当 时， ，
∵点 的坐标是 ，
∴ 的取值范围是 ；
【小问3详解】
解：由（ ）知，点 的坐标为 ，
联立得 ，
∴ ，
解得 ， ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
∵点 ，
∴点 ，
如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，则 ， ， ， ， ，
∴
，
∴当 时， 最小，
∴ 的值为 ．
