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2024－2025 学年度第二学期九年级数学专项作业暨中考模拟
考试时间：120分钟；考试分数：150分
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，掌握无理数的概念是解题的关键．根据
无理数的概念即可求解．
【详解】解：0、 、 都是有理数， 是无理数，
故选：D．
2. 年 月，中国北京 的一家芯片设计公司宣布推出两款 芯片，这标志着中国首款商用
（ ）记忆计算 芯片的问世．将数据“ ”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定 和 的值是解题的关键．
根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所
使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定，即可求解．
【详解】解： ，
故选：C．
3. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了三视图的知识，根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
【详解】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
故选：B．
4. 如果 是 的一个因式，则 的值是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查因式分解，根据题意可知 是方程 的一个根，然后代入解题即可．
【详解】解：∵ 是 的一个因式，
∴当 时， ，
解得： ，
故选：B．
5. 若函数 和函数 的图像如图所示，其交点为 ，则关于 的不等式
的解集是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数与不等式，先求出 ，再结合函数图象即可得解，
采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：将 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
由图象可得，关于 的不等式 的解集是 ，
故选：B．
6. 根据下列条件，不能画出唯一确定的 的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据全等三角形的几种判定定理，根据选项中所给的条件，逐
条判断是否满足全等三角形的判定定理即可．
【详解】A． ， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能画出唯一的 ，故
本选项不符合题意；
B． ， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能画出唯一的 ，故本选项不符合题意；
C． ， ， ，符合全等直角三角形的判定定理 ，能画出唯一的 ，故本
选项不符合题意；
D． ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的 ，故本选项
符合题意；
故选：D．
7. 美术课上，周老师将如图所示的多边形分成了 三个区域，现需要用“红色”“黄色”“蓝色”
三种颜色给这三个区域染色制作图案．染色需同时满足以下要求：①同一区域用同一种颜色染色；②相邻
区域不能用同一种颜色染色；③每一个区域都需要染色．则A区被染色成“蓝色”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，掌握概率 所求情况数与总情况数之比是解题关键．直接利用概率公式求
解即可．
【详解】解： A区共有“红色”“黄色”“蓝色”三种颜色可选，
A区被染色成“蓝色”的概率是 ，
故选：A．
8. 已知点 在反比例函数 图像上， ．若 ，则
的值为（ ）
A. 0 B. 负数 C. 正数 D. 非负数
【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数 可知反比例函数图象的两个分支分
别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数图象 的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵
∴ 或 ，
假设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
同理：当 ，则 ， ．
故选：B．
9. 如图，将正五边形沿 折叠，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 本 题 考 查 了 正 多 边 形 的 内 角 和 以 及 折 叠 的 性 质 ， 根 据 多 边 形 内 角 和 可 得
，根据折叠的性质得出 ，进而根据四边形内角和为 ，即
可求解．
【详解】解：∵五边形 是正五边形，∴
由折叠的性质得，
∵ ，
∴
在四边形 中，
故选：D．
10. 已知抛物线 上有三点 ，其中 ，有
下列结论：① ；②抛物线的顶点坐标为 ；③当 时， 的值随 值的增大而增大；④此
抛物线向上平移5个单位长度后与坐标轴有2个交点．其中，正确的结论有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后用函数的性质逐项判断即可．本题考查抛物线与 轴
交点、平移的性质和二次函数的性质，掌握待定系数法求二次函数的表达式是解题关键．
【详解】解： 点 在二次函数 的图象上，
，
解得 ，
二次函数 ，
二次函数图象与 轴的交点坐标为 ， ，
，
， ，
，故①不正确，不符合题意；
，
抛物线的顶点坐标为 ，当 ， 的值随 值的增大而增大，
故②不正确，③正确；
将抛物线向上平移5个单位，所得抛物线解析式为 ，
当 时，则 ，
解得： 或
平移后的抛物线与坐标轴有2个交点，
故④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式：8－2x2＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式2后再利用平方差公式因式分解即可
【详解】
故答案为：
考点：分解因式.
12. 若关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是
______________________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根 的情况，熟练使用根的判别式是解题的关键．根据题意，可知
，然后计算即可得出答案．
的
【详解】解： 一元二次方程 有两个实数根，故答案为： ．
13. 如图，在正 边形中， ，则 的值是______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，求出 的值即可．
【详解】解：如图，点 为正 边形的外接圆的圆心，连接 ，
则： ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：20．
14. 若关于 的不等式组 有解且至多有两个偶数解，且关于 的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是______．
【答案】20
【解析】
【分析】先计算出不等式组的解集，再根据解的情况判断出 ；然后计算分式方程的解，再结
合其解为非负整数即可求解．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴原不等式组的解集为 ，
∵该不等式组至多有两个偶数解，
∴ ，
解得 ，
，
解得 且 ，
∵该方程解为非负整数，
∴ ，13，
∴ ，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了含参不等式组和分式方程，熟练掌握不等式组的解和分式方程的解是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 计算： ．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了含特殊锐角三角函数值的实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别
利用零指数幂、二次根式、绝对值、负整数指数幂的性质，及特殊锐角三角函数值进行计算，再合并同类
项即可．
【详解】解：原式
．
16. 产于河南禹州的冬桃肉质细腻，甘甜多汁，因其成熟期较晚，正好填补了冬季无鲜果的空白，深受市
场青睐．果农小王采摘了320千克的冬桃进行线上和线下销售，其中线下以10元/千克的标价销售，线上
以线下标价的七折销售，全部售完后，销售额为2600元．
（1）求线下和线上销售的冬桃数量．
（2）小王又采摘了450千克的冬桃进行线上和线下销售且售价不变，若线下销售冬桃的数量不超过线上销
售冬桃数量的一半，且使售完这批冬桃后销售额最大，应如何对这批冬桃进行销售？
【答案】（1）线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克
（2）线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确列出方程组和一次函数解析式是解答
本题的关键．
（1）设线下和线上销售冬桃的数量分别为 千克和 千克，找出等量关系列出方程组求解即可；
（2）设线上销售冬桃的数量为 千克，先求出 ，再销售额=线上销售额+线下销售额列出函数解
析式求解即可．
【小问1详解】
解：设线下和线上销售冬桃的数量分别为 千克和 千克．
由题意，得解得
答：线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克．
【小问2详解】
解：设线上销售冬桃的数量为 千克，则线下销售冬桃的数量为 千克，销售额为 元．
由题意，得 ，解得 ．
由题意，得
，
随着 的增大而减小．
当 取最小值300时， 取最大值．
．
答：线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大．
17. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ．
（1）以O为位似中心，在第三象限内画出 的位似图形 ，且位似比为1；
（2）借助网格，利用无刻度直尺在图中找一格点E，使得 ，并写出E点坐标．
【答案】（1）图见解析（2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查坐标与位似，坐标与平移，熟练掌握位似的性质，平移的性质是解题的关键：
（1）根据位似的性质，得到 的位置，作图即可；
（2）利用平移思想，作 即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
【小问2详解】
如图，点E即为所求（不唯一）；
由图可知： ．
18. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其
中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原
子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子；
（1）按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；第 种化合物的分子
结构模型中氢原子的个数是________个；
（2）按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由．【答案】（1） ， ；
（2）不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可；
（2）根据（1）所求得到方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论．
【小问1详解】
解：第1种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第2种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第3种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第4种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
，
∴第 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为 个，
当 时，
（个），
∴第 种化合物的分子模型中，氢原子的个数为 个，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：不存在，理由如下：
令 ，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴不存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子．19. 如图， 、 分别是 的直径和弦， 于点 ．过点 作 的切线与 的延长线
交于点 ， 、 的延长线交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】
【分析】(1)连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到对应角相等，以及切线的性质定理得到∠PCO=90°，即
可得证；
（2）先证三角形OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，根据（1）中∠OCF=90°，结合半径OC即可得
到答案.
【详解】(1)连接 ，
∵ ， 经过圆心 ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴∵ 是 的切线，
∴ ．
∴ ，
即
∴ 是 的切线．
(2)∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由(1)知 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三
角形的综合应用.解决本题的关键是证切线转化成证垂直.
20. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形 ，
的长度为 ，两节可调节的拉杆长度相等，且与 在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时， 与地面夹角 ；如图2，当拉杆伸出两节（ ）时， 与地面夹角
，已知两种情况下拉杆把手 点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据： ， ， ）
【答案】每节拉杆长
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设每节拉杆长为 ，则图1中 ，
，图2中 ， ，在图1中，过点 作 于点 ，
利用三角函数可得 ；在图2中，过点 作 于点 ，利用三角函数可得
，结合两种情况下拉杆把手 点距离地面高度相同，可得关于 的方程并求解，即可获得
答案．
【详解】解：设每节拉杆长为 ，则图1中 ， ，
图2中 ， ，
在图1中，过点 作 于点 ，在 中， ，
，
，
在图2中，过点 作 于点 ，
在 中， ，
，
，
，
，
解得： ．
答：每节拉杆长 ．
21. 为了提高学生的安全意识，珍爱生命，某学校制作了8条安全出行警句，倡导全校1200名学生进
行背诵，并在活动之后举办安全知识大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之
初，随机抽取部分学生调查他们安全警句的背诵情况，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所
示．大赛结束一个月后，再次抽查这部分学生安全警句的背诵情况，并根据调查结果绘制成如下统计表．
3 4 5 6 7 8
数量
条 条 条 条 条 条
人数 10 m 15 40 25 20
请根据调查的信息，完成下列问题：
（1）补全条形统计图．
（2）活动启动之初学生安全警句的背诵情况的中位数为_______，表格中m的值为________．
（3）估计大赛结束一个月后该校学生背诵出安全警句至少7条的人数．
（4）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校安全警句背诵系列活动
的效果．
.
【答案】(1)画图见解析；(2)4 5，10；(3)450；(4)分析见解析，活动效果好．
【解析】
【分析】(1)根据题意可知背诵5条的学生占扇形统计图圆心角 ，结合条形统计图信息计算出抽查总人
数，总人数减去其他已知人数就是背诵4条安全警句的人数；画出条形统计图即可．
(2)根据上一小题可知抽查总人数为120人，活动启动之初第60名同学背诵4条，第61名同学背诵5条，
中位数为 ，表格中m的值为抽查总人数减去其他条数背诵人数，计算得出答案即可．
(3)用全校总人数乘活动后抽查背诵出安全警句至少7条的人数占抽查人数的比例，计算得出答案即可．
(4)可以从中位数、众数的角度计算、分析，从而得出结论．
【详解】解：(1)∵背诵5条安全警句的有20人，在扇形统计图中圆心角为 ，
∴抽查总人数为 （人），∴背诵4条安全警句的人数为： （人）．
补全条形统计图，如图．
(2)根据上一小题可知抽查总人数为120人，活动之初按背诵条数由少到多排列，第60名同学背诵4条，第
61名同学背诵5条，
∴活动启动之初学生安全警句的背诵情况的中位数为 ；
表格中m的值为： ．
(3) 抽查学生背诵出安全警句至少7条的人数为： （人），
估计大赛结束一个月后该校学生背诵出安全警句至少7条的人数，
（人）．
(4)大赛活动启动之初中位数为 ，众数为4条；
大赛活动启动之后中位数为6条，众数为6条．
从大赛活动前后抽查的中位数、众数来看，学生安全警句的背诵情况明显提高，活动效果好．
【点睛】本题考查了画条形统计图，求中位数、众数，由样本频数估计总体频数，从条形统计图和扇形统
计图中关联数据信息，根据所学知识进行数据获取、分析并计算是解题关键．
22. 如图，在菱形 中， ， ，点E是边 的中点，连接 ．（1）求 的长；（结果保留根号）
（2）点F为边 上的一点，连接 ，交 于点G，连接 ， ．求证： ．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键
是准确寻找相似三角形解决问题．
（1）只要证明 是等边 的高即可解决问题；
（2）由 ，可得 ，推出 ，又 ，即可推出
；
【小问1详解】
解： 四边形 是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
【小问2详解】证明： 四边形 是菱形，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
．
23. 在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 交于点 、 ，且
，点 是该抛物线上位于 ， 两点之间的动点．
（1）当 ， 时，求抛物线的解析式；
（2）在（ ）的条件下，当 面积最大时，求点 的坐标；
（3）设抛物线顶点的横坐标为 ，当 ， 且 时，求证： ．
【答案】（1）（2）
（3）详见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与图形的面积，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用
是解题的关键．
（ ）利用待定系数法求出解析式即可；
（ ）过点 作 轴交直线 于点 ，设点 ，则 ，则
，再通过二次函数的性质即可求解；
（ ）将 ， 代入 得 ， ，
故有 ，则 ，又 ，所以
，从而求证．
【
小问1详解】
解：当 时， ， 时， ，
∴将 ， 代入 得
，解得 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：过点 作 轴交直线 于点 ，设点 ，则 ，
∴ ，
∵
，
∴当 时， 有最大值，
∴ ；
【小问3详解】
解：当 ， ，且 ，
将 ， 代入 得：
， ，
得： ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
