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专题 22.8 实际问题与二次函数
1. 掌握利用二次函数解决实际问题的基本步骤并能够在解决题目时熟练应用。
教学目标
2. 掌握二次函数解决实际问题中的基本类型，利用各类型的解决方法解决问题。
1. 重点
（1）二次函数解决实际问题的基本步骤；
（2）二次函数解决面积最值问题；
（3）二次函数解决商品销售问题；
教学重难点 （4）二次函数解决抛物线形问题。
2. 难点
（1）二次函数解决面积最值问题；
（2）二次函数解决商品销售问题；
（3）二次函数解决抛物线形问题。知识点01 二次函数解决实际问题的步骤
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确 、 以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式．
④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题．
⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论．
⑥答：写出答案。
知识点02 二次函数解决面积问题
1. 二次函数与图形面积问题：
解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为
二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。
【即学即练1】
1．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用 15米长的铁栅栏围成三个相连
的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为 y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了 1米宽的缺口作
通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（
）
A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x）
C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x12﹣2x
【即学即练2】
2．形如x2±2xy+y2的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成
完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用．
例如：x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2，可得：当x＝﹣1时，代数式x2+2x+3有最小值，最小值为
2．请回答下列问题：
（1）当x取何值时，代数式x2﹣8x+10有最小值，最小值为多少．
（2）某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆．如图，围墙MN的
长为25m，篱笆的长为40m，当AB为多少米时，围成的长方形花园ABCD
面积最大，求出最大面积．
知识点03 二次函数解决销售利润问题1. 二次函数解决销售利润问题：
计算公式：
总利润＝
现单利＝
现数量＝
【即学即练1】
3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价
1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（ ）
A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x）
C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）
【即学即练2】
4．每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批耳背
式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每天可售出50个；单价每降低2
元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于40元，设
每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
（2）全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器．
知识点04 二次函数解决抛物线形问题
1. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题：
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。（2）从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。
（3）利用待定系数法求函数表达式。
（4）运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。
【即学即练1】
5．如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线ACB）的薄壳屋顶．已知它的拱宽AB为4米，
拱高CO为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是
以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式
为（ ）
A．y＝﹣0.2x2+0.8
B．y＝﹣0.2x2﹣0.8
C．y＝0.2x2+0.8
D．y＝﹣0.2x+0.4
【即学即练2】
6．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形
如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直
线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y＝﹣x+b．其中，当火箭运行的水平
距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火情在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离；
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离在12km到15km之间．
题型01 二次函数解决面积最值问题
【典例1】如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为y
平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设 AB＝x米，则y关于x的函数关系式为
（ ）A．y＝x（15﹣2x） B．y＝x（16﹣2x）
C．y＝x（14﹣2x） D．y＝x（16﹣x）
【变式1】如图是一面足够长的墙，用18m长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园ABCD，若设AB
的长度为x m，则矩形花园ABCD的面积S（m2）与x（m）的函数解析式为 ．
【变式2】如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知
篱笆总长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为x m．
（1）求场地的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围．
【变式3】如图，某学校计划在一块足够大的场地上，利用已有的直角墙角建造一个矩形花圃，已知墙AE
＝6m，AF＝10m．
（1）如图1，若矩形花圃使用的篱笆总长为12m，花圃两边靠墙，其余两边用篱笆围成，围成的花圃面
积为35m2，求这个花圃较短边的长度；
（2）如图2，若矩形花圃使用的篱笆总长为
32m，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构
成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其余两边BC，CD由剩下的篱笆围成．当篱笆BE的长为多少时，围成的花圃面积最大？求出最大面积，
并说明理由．
【变式4】甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方
形养鸡场ABCD，已知木栏总长为50米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，
设AB长为x米．
（1）如图1，当AD≤MN时，
①AD＝ 米（用含x的代数式表示）．
②若围成的养鸡场面积为138平方米，求AB的长．
（2）如图2，当AD＞MN时，求养鸡场可达到的最大面积．
题型02 二次函数解决商品销售问题
【典例1】某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价
促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价 2元，每星期可多卖出20本．设每本降价x元后，每星
期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y＝（20﹣x）（300+10x） B．y＝（20﹣x）（300+20x）
C．y＝（20﹣2x）（300+10x） D．y＝（20﹣2x）（300+20x）【变式1】某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售
价每降低1元，每周销量增加20件．设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（
）
A．y＝（x﹣20）[160+20（28﹣x）]
B．y＝（x﹣20）[160﹣20（28﹣x）]
C．y＝（28﹣x﹣20）（160+20x）
D．y＝（28﹣x﹣20）（160﹣20x）
【变式2】某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元
但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，
则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
【变式3】抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平
台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可
售出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加
每日利润，设涨价后的售价为x元，每日获得的利润为w元．
（1）涨价后每日销量将减少 件（用含x的代数式表示）；
（2）当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？
【变式4】某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到 2025年种植了121
亩．
（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
（2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量 y（件）与销
售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价x（元） 22 24 27
销售量y（件） 200 180 150①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？
题型03 二次函数解决抛物线形问题
【典例1】如图，在加工太阳镜时为了美观会将眼镜下半部分轮廓制作成抛物线的形状，对应的两条抛物
线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝2cm，BD＝4cm，则右轮廓DFE所
在抛物线的解析式为（ ）
1 1
A．y= (x+4) 2 B．y= (x−4) 2
2 2
1 1
C．y=− (x−4) 2 D．y=− (x+4) 2
2 2
【变式1】中条山隧道进口位于山西省运城市盐湖区，这一隧道开创了全省普通公路特长隧道工程建设的
先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图①是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图②为
其截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，过点O且垂直于x
轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量OA＝10m，抛物线的顶点P到OA的距离为5m，则抛
物线的解析式为（ ）1 1
A．y=− (x+5) 2 B．y=− (x−5) 2
5 5
1 1
C．y=− (x+5) 2+5 D．y=− (x−5) 2+5
5 5
【变式2】如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面AB的宽度为20m．这时．拱高（点O到
AB的距离）为4m．
（1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？
（2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？
【变式3】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离
路面AA 的距离为8m．
1
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一大型货运汽车装载某大型设备后高为7m，宽为4m，如
果该隧道内设双向行车道，在两车道之间设置宽度为1m的隔离带，且要求货车与隧道内壁AB（A，B）及隔离带水平方向都至少保持0.5m安全距离，那么这辆货车能
否安全通过？请说明理由．
【变式4】某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试飞机性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底
面中心A处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线，以发射台的下底面中心O为坐标原点，过原点的水平线为
x轴，OA所在直线为y轴，建立如图①所示的平面直角坐标系，若发射台的高度OA为1m，测得当飞
行的水平距离为 4m时，飞机的飞行高度为 7.4m；当飞行的水平距离为 8m时，飞机的飞行高度为
10.6m．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求飞机飞行的最大高度；
（3）如图②，由于发射台可以上下升降，保证
其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点
A的上下平移而上下平移．在水平线x轴上设置
回收区域PQ，OP＝20m，PQ＝1m，要使飞机恰
好降落到PQ内（包括端点P，Q），求发射台
的高度OA的取值范围．
1．黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第
一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达 y万元，若把增长率
记作x，则y关于x的函数关系式为（ ）A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2
C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2
2．小明用一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长
为x cm的正方形，则盒子的容积V（单位：cm3）与x的函数关系式为（ ）
A．V＝（20﹣2x）（15﹣2x） B．V＝x（20﹣x）（15﹣x）
C．V＝4x2（20﹣2x） D．V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x
3．“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免
费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价 99元时，
日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，
该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），
则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+2（x﹣50）]
B．w＝（x﹣99）[200+2（x﹣50）]
C．w＝（x﹣50）[200+2（99﹣x）]
D．w＝（x﹣50）[200﹣2（99﹣x）]
4．我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，
小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化
而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（ ）
3
A．y= B．y＝﹣x+3
x
C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝﹣（x﹣3）2+3
5．如果把小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，则小球离地面的高度h（单位：m）与经过的时间x（单位：
s）的关系式为h＝10x﹣4.9x2.根据该物理规律，下列对方程10x﹣4.9x2＝5的两根x ≈0.88，x ≈1.16的
1 2
解释正确的是（ ）
A．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s
B．小球经过的时间约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升
C．小球离地面的高度为5m时，经过的时间约为0.88sD．小球经过的时间约1.02s离地面的高度为5m
6．如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹
簧的初始长度为15cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整
个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系
（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．若小球刚接触弹簧时的速度v＝3cm/s，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4cm/s
D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同
7．在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在
一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围
（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（
）
A．当x≥1000时，y随x的增大而减小
B．当x＝2000时，y有最大值
C．当y≥0.6时，x≥1000
D．当y＝0.4时，x＝600
8．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价
为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游
客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论：
①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；
②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元；
③宾馆每天的最大利润为12250元．
其中，正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置 l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m，水
面宽为2m．
①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角
坐标系，则抛物线解析式为y＝﹣2x2；
②若水面由位置l下降1m，水面宽度为4m；
③若水面由位置l下降2m，水面宽度增加(2❑√2−2)m．
以上结论正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速
度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同
时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（ ）
15 9 15 9
A．
cm2
B．
cm2
C．
cm2
D．
cm2
2 2 4 4
11．飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离s
（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝80t﹣2t2，那么飞机着陆后滑行 s
才能停下来．
12．某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市场调查发现，售
价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种玩具的售价为 元/件
时，该商场每个月的利润最大．
13．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度 h（单
位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最
高点所需的时间是 s．
4
14．某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为y=− x2+10，为了给行人提供安全保
25
障，在该拱桥上距水面AB高为6米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离 EF为 米．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA＝6cm，OC＝4cm，以
OA，OC为邻边作矩形OABC．点M从点A出发，以1cm/s的速度沿AO向点O运动，同时点N从点C
出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动．过点N作NP⊥BC交OB于点P，连接MP．设运动时间为t
秒，记△OMP的面积为S，求S与t的函数解析式 ．
16．某旅馆有客房100间，每间房的日租金为120元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的
日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高10x元，
（1）求每天租出的房间数y与x间的关系式；
（2）旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
17．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 我校生态实验园拟搭建大棚的横截
面如图所示，上部分的顶棚是抛物
线形状，下部分是由两根立柱AC
和BD组成，立柱高为1m，顶棚最
高点距离地面AB是4m，AB的长
为20m．
素材2 现打算在AB的中点F处安装一款
自动喷灌器EF，从喷水口E喷出
的水流可以看成抛物线，其形状与y＝﹣0.04x2的图象相同，EF＝
3m，此时水流刚好喷到立柱的端点
D处．
问题解决
任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直
角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表
达式．
任务2 探索喷水的高度 问EF处喷出的水流在距离F点水平
距离为多少米时达到最高，最高点距
离地面多少米？
18．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价
x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 40 60 80
日销售量y（件） 80 60 40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持
（1）中函数关系不变的情况下，若该商品的日销售利润不低于1500元，求销售单价的取值范围．19．季节交替容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病．某商场的一
款空气净化器（如图1）特备畅销．已知进价是每台20元，根据市场调查发现，每月的销售量y（台）
与售价x（元/台）是一次函数关系，如图2所示：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）某月该商场出售这种空气净化器获得了24000元的利润，该空气净化器的售价是多少？
（3）若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，该商场销售这种空气净化器获得的最大利
润是多少？
20．掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型
来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点A
（0，2）处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为（4，3.6），落在x轴
上的点C处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某市男子实心球的得分标准如表：
得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10掷远 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0
（米）
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
（3）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.3米的小朋友在玩耍，问该小朋
友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．
