4.5讲一次函数的应用(6类热点题型讲练)（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_05习题试卷_帮课堂2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第 05 讲 一次函数的应用(6 类热点题型讲练) 1、掌握一次函数与一元一次方程之间的关系； 2、掌握单个一次函数图象的应用； 3、掌握两个一次函数图象的应用； 4、能利用函数图象解决数学问题. 知识点01 一元一次方程与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于 考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确 定两条直线交点的坐标. 知识点02 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既 合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后 根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等， 寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型01 已知直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 【典例1】（2023春·八年级课时练习）直线 过点 ， ，则关于x的方程 的解为 ． 【答案】 【分析】所求方程的解，即函数 图像与 轴的交点横坐标，确定出解即可． 【详解】解：关于x的方程 的解，即为函数 图像与 轴的交点横坐标， 直线 过点 ， 方程 的解为 ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，掌握任何一元一次方程都可以转化为 ( ， 为常 数， )的形式，所以解一元一次方程可以转化为，当某个一次函数的值为 时，求相应的自变量的值. 从图像上看，相当于已知直线 确定它与 轴的交点的横坐标的值，是解答本题的关键． 【变式1】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，直线 与x轴交于点 ，则关于x 的方程 的解为 ．【答案】 【分析】先根据一次函数 的图象交x轴交于点 可知，当x＝1时函数图象在x轴上，故可得 出结论． 【详解】解：∵直线 与x轴交于点 ， 由函数图象可知，当 时函数图象在x轴上，即 ， ∴ 的解是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键． 【变式2】（2023秋·广东惠州·九年级校考开学考试）一次函数 中， 与 的部分对应值， 如下表：那么，一元一次方程 的解是 ． 0 1 2 0 2 【答案】1 【分析】此题实际上是求当 时，所对应的 的值，根据表格求解即可． 【详解】解：根据表格可得： 当 时， ，即一元一次方程 的解是 ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点与一元一次方程的解的 关系是解题的关键． 题型02 利用图象法解一元一次方程 【典例2】（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 与直线 相交于点 ．根据图像可知，关于 的方程 的解是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线 与直线 相交于点 即可得出方程 的解． 【详解】解： 直线 与直线 相交于点 ， 关于 的方程 的解是 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用图象法解一元一次方程，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 【变式1】（2023春·山东烟台·七年级统考期末）如图，直线 和直线 相交于点 ， 则方程 的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线的交点的横坐标即为两直线解析式所组成的方程的解． 【详解】解： 和直线 相交于点 ， 方程 的解是 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象 上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 【变式2】（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，直线 和直线 相交于点 ，根据 图像可知，关于 的方程 的解是（ ）A． 或 B． C． D． 【答案】C 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】∵直线 和直线 相交于点 ， ∴ 的解是： ， 故选： ． 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图 象上看，一元一次方程的解就是已知两条直线交点的横坐标的值． 题型03 一次函数的应用——分配方案问题 【典例3】（2023春·云南临沧·八年级统考期末）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策 该 省的A市有 吨物资， 市有 吨物资 经过调研发现该省的甲乡需要 吨物资，乙乡需要 吨物资 于是决定由A、 两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为 元 吨、 元 吨，从 市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为 元 吨、 元 吨． (1)设从A市往甲乡运送 吨物资，从A、 两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为 元，求 与 的函数解 析式． (2)请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费． 【答案】(1) ； (2)见解析 【分析】（1）根据 市的 吨物资运往甲乡 吨，运往乙乡 吨， 市的 吨物资运往甲乡 吨，运往乙乡 吨的费用求和，即可确定 与 的函数关系式； （2）根据一次函数的性质即可确定运费最低的运送方案和最低运费． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ，120x0，140x0，110120x0， x的取值范围是10x120， y与x的函数解析式为y50x4500010x120 ； （2） 500，y随着x增大而增大， 当x10时，y取得最小值，最小值为50104500045500(元)， 此时从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B 市往乙乡运送0吨物资， 答：运费最低的运送方案是：从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡 运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意建立一次函数关系式是解题的关键． 【变式1】（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在 这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择： 方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠； 方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5 折的优惠． 设小明当天购书标价总额为x(x50)元，方案一应付y 元，方案二应付y 元． 1 2 (1)当x150时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算； (2)直接写出y ,y 与x的函数关系式； 1 2 (3)小明如何选择购书方案才更划算？ 【答案】(1)小明用方案一购书更划算；计算见解析； (2) y 0.5x,y 0.6x50； 1 2 (3)见解析． 【分析】（1）当x150时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可； （2）根据题意给出的等量关系即可求出答案； （3）根据y关于x的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱． 【详解】（1）解：当x150时， 方案一：1500.8120（元）， 方案二：501500.80.755090140（元）， ∵120140， ∴小明用方案一购书更划算； （2）解：由题意得：方案一：y 0.8x； 1 方案二：y 500.80.75x0.6x50； 2 ∴y 与x的函数关系式为y 0.8x；y 与x的函数关系式为y 0.6x50； 1 1 2 2 （3）解：当y  y 时，即0.8x0.6x50， 1 2 解得x250；当y  y 时，即0.8x0.6x50， 1 2 解得x250； 当y  y 时，即0.8x0.6x50， 1 2 解得x250． ∴当x250时，方案一更划算，当x250时，方案二更划算，当x250时，方案一和方案二一样划算． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 【变式2】（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动， 活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y （元），且y k xb；按照方案二所需费用为y 1 1 1 2 （元），且y k x．其函数图象如图所示． 2 2 (1)求k 和b的值，并说明它们的实际意义； 1 (2)求打折前的每次健身费用和k 的值； 2 (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由． 【答案】(1)k 的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的 1 价格为30元 (2)打折前的每次健身费用为25（元），k 20 2 (3)选择方案一所需费用更少．理由见解析 【分析】(1)直接根据函数的图象结合实际意义进行解答； (2)根据方案一打折后每次健身费用是15元，因为是打六折，故可求打折前的费用；然后根据方案二再打 八折即可求得k ； 2 (3)根据（1）（2）即可得到y k xb，y k x，当y  y 时，解得：x6．即可得到答案． 1 1 2 2 1 2 【详解】（1）解：y k x＋b的图象过点 0，30 和点 10，180 ， 1 1  30b, k 15, ∴ ∴ 1 ． 18010k 1 b. b30. k 的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元． 1b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元． （2）打折前的每次健身费用为150.625（元） k 250.820． 2 （3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由（1）知k 15，b30， 1 ∴y 15x30． 1 由（2）知k 20， 2 ∴y 20x． 2 当y  y 时，15x3020x，解得：x6． 1 2 结合函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身7次，选择方案一所需费用更少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，看懂图象，理解题意，理解两种优惠方案之间的关键是解题的关键． 题型04 一次函数的应用——最大利润问题 【典例4】（2023春·贵州黔南·八年级统考期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺 外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价 商品，两种商品的进价与售价如表所示： 甲商品 乙商品 进价（元/件） 40 10 售价（元/件） 50 15 小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后 获得的利润为y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种 商品全部销售完后获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) y5x500 (2)当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元 【分析】(1)设购进甲商品x件，则购进乙商品 100x 件，根据题意即可列出y与x之间的函数关系式； (2)根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，可得当x=20时，y取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：y50－40x1510100x5x500， ∴y与x之间的函数关系式为y5x500；（2）解：由题意，得100x4x，解得x20． ∵y5x500， ∴k 50， ∴y随x增大而增大， ∴当x=20时，y的值最大，y520500600， 此时1002070， 答：当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键． 【变式1】（2023春·广西南宁·八年级校考期末）小冬在某网店选中A，B两款玩偶，决定从该网店进货并 销售．两款玩偶的进货价和销售价如表： A款玩 B款玩偶 偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 28 20 (1)第一次小冬用550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个； (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款 玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个 (2)按照A款玩偶购进15个、B款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出利润与购进A款玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定A款玩偶进货数量不 得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得到A款玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的增减性分析， 即可得到答案． 【详解】（1）解：设 A 款玩偶购进x个， B 款玩偶购进 30x 个， 由题意得：20x1530x550，解得：x=20， 30x 302010（个）， 答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个； （2）解：设 A 款玩偶购进a个， B 款玩偶购进 45a 个，获利y元， 由题意得：y2820a201545a3a225， A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．  1 a 45a ，解得 ， 2 a15 y3a225， 由k 30，可知 y 随a的增大而增大， 当a15时，y 最大 315225270（元）， B款玩偶为：451530（个）， 答：按照A款玩偶购进15个、B款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函 数关系式，利用一次函数的性质求最值． 【变式2】（2023·河南洛阳·统考二模）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦 克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购 进A种模型4件，B种模型3件，需要550元． (1)求购进A，B两种模型每件分别需多少元？ (2)若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A 种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数 关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值． 【答案】(1)A、B两种模型每件分别需要25元，150元 (2)w800090b，购进A模型226件，B模型29件利润最大为5390元 【分析】（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，列方程组求解即可． （2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，由题意列出方程组，求出b的范围，再列出W与b的函数 关系式，求最值即可． 【详解】（1）设购进A、B两种模型每件分别需要x元，y元，由题意得： 10x5y1000  4x3y550 x25 解得 y150 答：A、B两种模型每件分别需要25元，150元． （2）设购买A种模型a件，B种模型b件， 25a150b10000  ， a8b 200 解得b 7 10000150b 则购买A种模型为 件，即 件， 25 (4006b) 则w20(4006b)30b，即w800090b ∵900， 200 ∴当b取最小值时总利润最大，由（2）得b ，b为整数， 7∴当b29时，w800090295390， ∴购进A模型226件，B模型29件利润最大为5390元 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，找准数量关系， 正确列出方程组，函数关系式，不等式组是解题的关键． 题型05 一次函数的应用——行程问题 【典例5】（2023春·山东淄博·七年级统考期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲 地出发开往乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系；折线 BCD表示轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： (1)求线段CD对应的函数解析式． (2)货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？ (3)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米． 【答案】(1)线段CD对应的函数解析式为y110x195 (2)货车从甲地出发后3.9小时被轿车追上，此时离甲地的距离是234千米 (3)轿车到达乙地后，货车距乙地30千米 【分析】（1）设线段CD对应的函数解析式为ykxb，由待定系数法求出其解即可； （2）设OA的解析式为y 货 k 1 x，由待定系数法求出解析式，由一次函数与一元一次方程的关系建立方程 求出其解即可． （3）先由函数图象求出货车在轿车到达乙地是时需要的时间，由路程速度时间就可以求出结论． 【详解】（1）解：设线段CD对应的函数解析式为ykxb，由题意，得 802.5kb  ， 3004.5kb k 110 解得： ． b195 则y110x195．答：线段CD对应的函数解析式为y110x195； （2）设OA的解析式为y 货 k 1 x，由题意，得 3005k ， 1 解得：k 60， 1 y 60x． 货 当y y 货 时， 110x19560x， 解得：x3.9． 离甲地的距离是：3.960234千米． 答：货车从甲地出发后3.9小时被轿车追上，此时离甲地的距离是234千米； （3）由题意，得6054.530千米． 答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米． 【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与 一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 【变式1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）航模兴趣小组在操场上进行航模试验，甲型航模从距离地面20 米处出发，以a米/分的速度匀速上升，乙型航模从距离地面50米处同时出发，以15米/分的速度匀速上 升，经过6分钟，两架航模距离地面高度都是b米，两架航模距离地面的高度y米与时间x分钟的关系如 图．两架航模都飞行了20分钟． (1)直接写出a、b的值； (2)求出两架航模距离地面高度y 、y （米）与飞行时间x（分钟）的函数关系式； 甲 乙 (3)直接写出飞行多长时间，两架航模飞行高度相差25米？ 【答案】(1)a20，b140； (2)y 甲 20x20，y 乙 15x50； (3)飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米 【分析】（1）利用速度、路程、时间的关系直接计算即可． （2）根据一次函数中一次项系数和常数项的实际意义直接列函数关系式即可．（3）令 y 甲 y 乙 25，解方程得到x的值，即可得到答案． 【详解】（1）6分钟时，乙型航模距离地面高度为：50156140（米)， b140． 14020 a 20． 6 a20，b140． （2）由题意可得：y 15x50， 乙 设y 甲 kx20，把(6,140)代入得，6k20140，解得k 20， y 20x20． 甲 （3）y y 20x2015x505x30， 甲 乙 令 y y 25， 甲 乙 则5x3025，或5x3025， 解得x11，或x1． 答：飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解函数图象表示的意义是解题的关键． 【变式2】（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向 而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事立刻按原路原速返回 y A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程 （千米）与甲车出发 所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图像信息解答下列问题： (1)乙车的速度是 千米/时，乙车行驶 小时到达A地； (2)求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程 y 与它出发的时间x的函数关系式； (3)求甲车出发多长时间两车相距60千米？ 【答案】(1)80，6 (2)y120x600 (3)甲车出发经过1.7h，2.3h，3.5h，两车相距60千米． 【分析】（1）结合题意，利用速度=路程÷时间，可得乙的速度、行驶时间； （2）找到甲车到达C地和返回A地时x与 y 的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式；（3）分三种情况，甲和乙相距前，甲和乙相距后，甲返回A地时，根据甲、乙两车相距60千米分情况讨 论即可求解． 【详解】（1）∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米， ∴乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间t 480806（小时）； 故答案为：80，6； （2）根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时， ∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地， 5 ∴结合函数图象可知，当x 时， ；当 时， ； 2 y300 x5 y=0 5 设甲车从 地按原路原速返回 地时，即 x5， C A 2 甲车距它出发地的路程 y 与它出发的时间x的函数关系式为：ykxb， 5  k+b=300 将 5 函数关系式得：2 ， ( 2 ,300),(5,0)   5k+b=0 k 120 解得： ，  b600 故甲车从C地按原路原速返回A地时， 甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y120x600； 600 （3）由题意可知甲车的速度为： 120（千米/时）， 5 设甲出发经过m小时两车相距60千米，有以下三种情况： ①120m80m160480，解得m1.7 ②120m80m148060，解得m2.3 ③120m2.560m2.5100，解得m3.5 综上，甲车出发经过1.7h，2.3h，3.5h，两车相距60千米， 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要理解分段函数图象所表示的实际意义， 准确找到等量关系． 题型06 一次函数的应用——几何问题 【典例6】（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形 的边长为4，P为正方形边上一 动点，运动路线是 ，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y， 则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据动点从点 出发，首先向点 运动，此时 随 的增加而增大，当点 在 上运动时， 不变，当点 在 上运动时， 随着 的增大而减小，据此作出选择即可． 【详解】解：当点 由点 向点 运动，即 时， ； 当点 在 上运动，即 时， ，是一个定值； 当点 在 上运动，即 时， 随 的增大而减小． 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现 随 的变化而变化 的趋势． 【变式1】（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点P从B点出发，以每 秒 的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按 的路线移动，相应的 的面积 与点P的运动时间 的图象如图②所示，且 ．当 时， ． 【答案】 或 【分析】从图象上分析可知，由于速度是 ，图中 的过程为 点在线段 上，故 ， 为 ， 为 ， 为 ，10到 为 ， ， ， 根据 的面积为 ，底边 可知高为 ，也就是 点距离 的距离是 ，从数据上可知， 在线段 上有一个符合条件的点，在线段 上有一个符合条件的点，求出对应的 值． 【详解】解：由图可知， 点的运动速度为 ， ， ， ， ， ， ， ， 点 到 的距离为 ， 故可知 在线段 上和线段 上各有一个 点满足条件， 当 在线段 上时： ， ， ， 当 在线段 上时： ， ， ， 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查了动点问题的图象，一次函数和动点问题的应用，三角形的面积公式． 【变式2】（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）如图，在长方形 中， ， ，点E为边 上一动点，连接 ，随着点E的运动， 的面积也发生变化． (1)写出 的面积y与 的长 之间的关系式； (2)当 时，求y的值．【答案】(1) (2) 【分析】（1）可求 ，由 即可求解； （2）将 代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ． 答： 的面积y与 的长 之间的关系式为 ． （2）解：当 时， ， 答：当 时， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数在动点问题中的应用，掌握“化动为静”的方法解决动点问题的方法是 解题的关键．一、单选题 1．（2023春·河北廊坊·八年级校考阶段练习）一次函数 和 的图象相交于点 ，则关 于 的方程 的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象的交点坐标进行判断即可求解． 【详解】解：∵一次函数 和 的图象相交于点 ， ∴关于 的方程 的解为 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程．理解方程的解就是两个相应的一次函数图象的交点的横坐 标是解决问题的关键． 2．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）一次函数 的图象如图所示，则关于x的方程 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象得出一次函数 的图象与x轴的交点坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：∵直线与x轴交点坐标为 ， ∴ 的解为 ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用 解答． 3．（2023春·八年级课时练习）如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的方程 的解是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用函数解析式 求出 的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于 的方程 的解可得答案． 【详解】解：∵直线 与 相交于点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴关于 的方程 的解是 ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标． 4．（2023·安徽合肥·统考一模）如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位： cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为 ，其图象如图2所示，其中 为湖水 面大气压强，k为常数且 ，点M的坐标为 ．根据图中信息分析，下列结论正确的是（ ） A．湖水面大气压强为76.0cmHg B．湖水深23m处的压强为230cmHg C．函数解析式 中自变量h的取值范围是 D．P与h的函数解析式为 【答案】B 【分析】将 ， 代入 求得解析式即可进行判断． 【详解】解：A：由图可知：当 时， cmHg，故A错误；将 ， 代入 得： 解得： ∴ 故D错误； B：当 时， ，故B正确； C：由图1 可知： ，故C错误 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的图象与实际问题的联系．求出解析式是解题关键． 二、填空题 5．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点 和点 ，则关于x的一元一次方程 的解为 ． 【答案】 【分析】求得函数值 时的自变量值即为对应方程 的解即可． 【详解】解：∵一次函数 的图象与x轴交于点 ， ∴当 时， ， ∴关于x的一元一次方程 的解为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，利用一次函数的图象解一元一次方程时，关键是找准 方程的解是相应的一次函数y为何值时对应的x的值． 6．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，直线 与直线 交于点 ，则关于 的方程 的解为 ；【答案】 【分析】根据直线 与直线 交于点 得到 ，再根据一次函数与一元一次方程的关系 即可解答． 【详解】解：∵直线 与直线 交于点 ， ∴ ， ∴ ， ∴关于 的方程 的解 ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查了求一次函数的自变量或函数值，一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一 元一次方程的关系是解题的关键． 7．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）某菜农想围成一个如图所示的长方形 菜园，菜园的一边利 用足够长的墙，已知长方形菜园 的另外三边总长度恰好为48米，设 边的长为x米， 边的长 为y米，则y与x之间关系表达式是 ． 【答案】 【分析】根据周长与边长的关系列关系式即可． 【详解】解：设 边的长为x米， 边的长为y米， ∵三边总长度恰好为48米，即 ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解周长的意义是解题的关键． 8．（2023春·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）为运输一批医用物质，一辆货车先从甲地出发运送物资到 乙地，稍后一辆轿车从甲地急送专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 ，货车行驶时的速度是，两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图，则 ；轿车比货车早 小时到达乙地． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出a的值，然后再根据图象中的数据，可以计算出轿车和货 车用的时间，然后即可计算出轿车比货车早几小时到达乙地． 【详解】由题意可得， ， 货车到达乙地的所用的时间为： ， 轿车所用时间为： ， 轿车比货车早： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三、解答题 9．（2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）某健身体验中心为答谢新老会员举行春日大回馈活动，特推 出两种“春季唤醒计划活动方案． 方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费20元． 方案2：顾客购买会员卡，每张会员卡100元，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元． 设小宇一年来此健身体验中心健身的次数为x（次），使用方案1的费用为y（元），使用方案的费用为y 1 2 （元）． (1)请直接写出y，y 与x之间的函数表达式； 1 2 (2)请根据小宇一年内前往该健身房训练的次数确定哪种方案比较合算． 【答案】(1) , (2)次数大于 次,选择方案 比较合算；次数为 次,选择方案 和方案 一样；次数少于 次,选择方案 比 较合算 【分析】（1）根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解； ,选择方案 比较合算；（2）分三种情况： ， ， ,分别求得 的取值范围，然后选择合算的方案解题. 【详解】（1）解: 根据题意得: , , 即 , 与 之间的函数表达式分别为 , ； （2）解:当 时， ,解得 ,选择方案 比较合算； 当 时， ,解得 ,选择方案 和方案 一样； 当 时， ,解得 ,选择方案 比较合算； ∴次数大于 次,选择方案 比较合算； 次数为 次,选择方案 和方案 一样； 次数少于 次,选择方案 比较合算． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，解不等式，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键． 10．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）陕西周至，被誉为“猕猴桃之乡”，世界上最大的猕猴桃种植 基地．某水果经销商计划从种植专业户李大爷处购进甲，乙两种新品猕猴桃进行销售．已知李大爷处乙种 猕猴桃的进价为8元/千克：李大爷对甲种猕猴桃的价格根据进货量给予优惠，设该经销商购进甲种猕猴桃 x千克，购进甲种猕猴桃所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商计划从李大爷处一次性购进甲，乙两种猕猴桃共200千克，且甲种猕猴桃不少于45千克，但 又不超过80千克．如何分配甲，乙两种猕猴桃的购进量，才能使该经销商购进这两种猕猴桃付款总金额w （元）最少？ 【答案】(1) (2)购进甲种猕猴桃为80千克，乙种猕猴桃120千克，才能使该经销商付款总金额w（元）最少，最少是 1320元． 【分析】（1）由图可知函数关系式是分段函数，用待定系数法求解即可； （2）购进甲种猕猴桃 千克，则购进乙种猕猴桃 千克，根据实际意义可以确定函数解析式，再利 用函数性质即可求出答案．【详解】（1）解：当 时，设 ，根据题意得 ，解得 ．∴ ． 当 时，设 ， 根据题意得， 解得： ∴ ． ∴y与x之间的函数关系式为 （2）该经销商购进甲种猕猴桃x千克，则购进乙种猕猴桃 千克，经销商购进这两种猕猴桃付款总 金额w元， 由题意 ， ， ∵在 中， ，∴w随x的增大而减小， ∴当 时， ，此时乙种猕猴桃购进量为 （千克）． 答：购进甲种猕猴桃为80千克，乙种猕猴桃120千克，才能使该经销商付款总金额w（元）最少，最少是 1320元． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． 11．（2023春·河南漯河·八年级校考期末）为响应习近平总书记的号召，鼓励学生多读书，某图书馆针对 学生推出两种新的借阅优惠方案． 甲方案：凭学生证办理借阅卡，充值超过20元时，超过多少送多少； 乙方案：凭学生证办理会员卡，充值每满40元再送20元． 设借阅时间为x天，甲、乙两种方案每本书的借阅租金分别表示 （元）， （元） 关于x的所数 图象如图所示． (1)分别直接写出 与x之间的函数关系式； (2)请求出图中线段 的长并说明它的实际意义； (3)八年级小兰准备用40元钱在该图书馆借阅一本书，选择哪种方案办卡更划算？说明理由． 【答案】(1) ， ；(2) 的实际意义是当借阅50天时，两种方案相差10元； (3)选择方案乙更划算，理由见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解； （2）分别求出当 时，所对应的函数值，再求差； （3）先求出当 时的x的值，再比较求解． 【详解】（1）解：设 ， 则： ， 解得： ， ∴ ， ； （2）解：当 时， （元）， （元）， ∴ （元）， ∴ 的实际意义是当借阅50天时，两种方案相差10元； （3）解：选择方案乙更划算； 理由：若选择甲方案时： ， 解得： ， 若选择乙方案时： ， 解得： ， ∵ ， ∴选择方案乙更划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 12．（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）某天，小明来到体育馆看球赛，进场时， 发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票．同时，他父亲从家里出发骑自 行车以小明3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆．如图中 线段 ， 分别表示父子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程s（米）与所用时间t（分钟）之间的图 象，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）． (1)图中可知小明家离体育馆_____________米，父子俩在出发后_____________分钟相遇． (2)你能求出父亲与小明相遇时，距离体育馆还有多远？(3)小明能否在比赛开始之前赶回体育馆？ 【答案】(1) ， (2)父亲与小明相遇时，距离体育馆有 米； (3)小明可以在比赛开始之前赶回体育馆． 【分析】（1）根据函数图象求解即可； （2）设小明的速度为 米/分钟，则父亲的速度为 米/分钟，根据题意，列式求解即可； （3）根据距离体育馆的距离以及实际速度求出花费时间，进行比较即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 分钟时， 米，即小明家离体育馆 米； 分钟时，两人距离体育馆的距离相等，此时相遇； 故答案为： ， （2）设小明的速度为 米/分钟，则父亲的速度为 米/分钟， 由题意可得： 解得 ， （米）， 答：父亲与小明相遇时，距离体育馆有 米； （3）小明可以在比赛开始之前赶回体育馆， 由（2）可得，父亲的速度为： 米/分钟 到体育馆所用的时间为： （分钟） 则小明可以在比赛开始之前赶回体育馆． 【点睛】此题考查了函数图象的应用，解题的关键是理解函数图象，能够从函数图象中获取信息． 13．（2023春·河南商丘·八年级校联考期末）2022年河南省全民健身（线上）运动会最终各奖项于12月 20日公布，此次盛会充分展示疫情防控常态化下我省全民健身开展情况，某健身房于此推出“云健身”服 务，针对特殊人群开展活动．活动方案如下：方案一：不购买“云 ”，每次收费10元；方案二：购买 “云 ”，每次另行额外收费． 设王先生“云健身”次数为 （次 ，按照方案一所需费用为 （元 ，且 ；按照方案二所需 费用为 （元 ，且 ．其函数图象如图所示．(1) ；购买“云 ”需 元； (2)两种方案的函数图象交于点 ，请求出点 的坐标并解释点 的实际意义； (3)若王先生准备“云健身”25次，选择方案 （选填“一”或“二” 所需费用较少；若王先生准备 180元进行“云健身”，选择方案 （选填“一”或“二” 可以获得更多的次数． 【答案】(1) ， (2)点A的坐标为 ；点A的实际意义为：当“云健身”20次时，两种方案所需费用相同，均为 元 (3)二；一 【分析】（1）分别根据题意和函数的图象求解； （2）先根据待定系数法求出两个函数的解析式，再求出交点坐标，结合实际说出 点的意义； （3）根据图象可知，次数大于20次时，方案二的费用较少，费用小于200时，方案一次数较多，由此求 解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 由图象得：当 时， ，即购买“云 ”需 120元， 故答案为： ， ； （2）由题意得： ， ， 在 上， ， 解得： ， ， 令 ， 解得 ， ， 点 的坐标为 ； 点 的实际意义为：当“云健身”20次时，两种方案所需费用相同，均为200元； （3）由图象得：王先生准备“云健身”25次，选择方案二所需费用较少； 若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案 一可以获得更多的次数； 故答案为：二；一． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． 14．（2023春·河南漯河·八年级校考期末）开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就己闻名，民间多把开封刺 绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中A，B两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，己知两款汴绣的进货价和销售价如下表： 类别 A款汴绣 B款汴绣 价格 进货价（元/件） 800 1400 销售价（元/件） 980 1680 (1)第一次小杰用24400元购进了A，B两款汴绣共20件，求两款汴绣名购进多少件； (2)第二次小杰进货时，计划购进A款汴绣数量不少于B款汴绣数量的 ，且小杰计划购进两款汴绣共30件， 应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ (3)受疫情影响，社会消费需求收缩，小杰为快速实现资金回流，计划对A款汴绣打8折出售并赠送成本为 26元的某景区门票一张，对B款汴绣打n折出售，若以（2）中可获得最大利润的进货方案为基础，请计 算B款汴绣打几折出售时，A，B两款沐绣的销售总额恰好实现盈亏平衡？ 【答案】(1)A款汴绣购进6件，B款汴绣购进14件； (2)A款汴绣购进12件，B款汴绣购进18件，才能获得最大利润，最大利润是7200元； (3)B款汴绣打 折出售时，A，B两款汴绣的销售总额恰好实现盈亏平衡． 【分析】（1）设A款汴绣购进x件，可得： ，即可解得答案； （2）设B款汴绣购进m件，由购进A款汴绣数量不少于B款汴绣数量的 ，得 ， ，设 利润为w元，有 ，根据一次函数性质可得答案； （3）设B款汴绣打n折出售，根据实现盈亏平衡列方程可解得答案． 【详解】（1）解：设A款汴绣购进x件，则B款汴绣购进 件， 根据题意得： ， 解得 ， ∴ ， ∴A款汴绣购进6件，B款汴绣购进14件； （2）解：设B款汴绣购进m件， ∵购进A款汴绣数量不少于B款汴绣数量的 ， ∴ ， 解得 ， 设利润为w元， 根据题意得： ，∵ ， ∴w随m的增大而增大， ∴当 时，w取最大值 （元）， 此时 ， ∴A款汴绣购进12件，B款汴绣购进18件，才能获得最大利润，最大利润是7200元； （3）解：设B款汴绣打n折出售， 根据题意得： ， 解得 ， ∴B款汴绣打 折出售时，A，B两款汴绣的销售总额恰好实现盈亏平衡． 【点睛】本题考查一次函数，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程解决 问题．