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第 05 讲 一次函数的应用(6 类热点题型讲练)
1、掌握一次函数与一元一次方程之间的关系；
2、掌握单个一次函数图象的应用；
3、掌握两个一次函数图象的应用；
4、能利用函数图象解决数学问题.
知识点01 一元一次方程与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于
考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确
定两条直线交点的坐标.
知识点02 一次函数的实际应用
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既
合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后
根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，
寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
题型01 已知直线与坐标轴交点求一元一次方程的解
【典例1】（2023春·八年级课时练习）直线 过点 ， ，则关于x的方程
的解为 ．
【变式1】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，直线 与x轴交于点 ，则关于x
的方程 的解为 ．
【变式2】（2023秋·广东惠州·九年级校考开学考试）一次函数 中， 与 的部分对应值，
如下表：那么，一元一次方程 的解是 ．
0 1 2
0 2
题型02 利用图象法解一元一次方程
【典例2】（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线 相交于点 ．根据图像可知，关于 的方程 的解是（
）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·山东烟台·七年级统考期末）如图，直线 和直线 相交于点 ，
则方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，直线 和直线 相交于点 ，根据
图像可知，关于 的方程 的解是（ ）
A． 或 B． C． D．
题型03 一次函数的应用——分配方案问题
【典例3】（2023春·云南临沧·八年级统考期末）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策 该
省的A市有 吨物资， 市有 吨物资 经过调研发现该省的甲乡需要 吨物资，乙乡需要 吨物资
于是决定由A、 两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为 元 吨、
元 吨，从 市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为 元 吨、 元 吨．(1)设从A市往甲乡运送 吨物资，从A、 两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为 元，求 与 的函数解
析式．
(2)请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．
【变式1】（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在
这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：
方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；
方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5
折的优惠．
设小明当天购书标价总额为x(x50)元，方案一应付y 元，方案二应付y 元．
1 2
(1)当x150时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；
(2)直接写出y ,y 与x的函数关系式；
1 2
(3)小明如何选择购书方案才更划算？
【变式2】（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，
活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y （元），且y k xb；按照方案二所需费用为y
1 1 1 2
（元），且y k x．其函数图象如图所示．
2 2
(1)求k 和b的值，并说明它们的实际意义；
1
(2)求打折前的每次健身费用和k 的值；
2
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．题型04 一次函数的应用——最大利润问题
【典例4】（2023春·贵州黔南·八年级统考期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺
外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价
商品，两种商品的进价与售价如表所示：
甲商品 乙商品
进价（元/件） 40 10
售价（元/件） 50 15
小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后
获得的利润为y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种
商品全部销售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
【变式1】（2023春·广西南宁·八年级校考期末）小冬在某网店选中A，B两款玩偶，决定从该网店进货并
销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
A款玩
B款玩偶
偶
进货价（元/个） 20 15
销售价（元/个） 28 20
(1)第一次小冬用550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；
(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款
玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【变式2】（2023·河南洛阳·统考二模）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦
克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购
进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．(1)求购进A，B两种模型每件分别需多少元？
(2)若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A
种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数
关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．
题型05 一次函数的应用——行程问题
【典例5】（2023春·山东淄博·七年级统考期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲
地出发开往乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系；折线
BCD表示轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
(1)求线段CD对应的函数解析式．
(2)货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？
(3)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．
【变式1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）航模兴趣小组在操场上进行航模试验，甲型航模从距离地面20
米处出发，以a米/分的速度匀速上升，乙型航模从距离地面50米处同时出发，以15米/分的速度匀速上
升，经过6分钟，两架航模距离地面高度都是b米，两架航模距离地面的高度y米与时间x分钟的关系如
图．两架航模都飞行了20分钟．(1)直接写出a、b的值；
(2)求出两架航模距离地面高度y 、y （米）与飞行时间x（分钟）的函数关系式；
甲 乙
(3)直接写出飞行多长时间，两架航模飞行高度相差25米？
【变式2】（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向
而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事立刻按原路原速返回
y
A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程 （千米）与甲车出发
所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图像信息解答下列问题：
(1)乙车的速度是 千米/时，乙车行驶 小时到达A地；
(2)求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程 y 与它出发的时间x的函数关系式；
(3)求甲车出发多长时间两车相距60千米？
题型06 一次函数的应用——几何问题
【典例6】（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形 的边长为4，P为正方形边上一
动点，运动路线是 ，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，
则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）A． B． C． D．
【变式1】（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点P从B点出发，以每
秒 的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按 的路线移动，相应的
的面积 与点P的运动时间 的图象如图②所示，且 ．当 时，
．
【变式2】（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）如图，在长方形 中， ， ，点E为边
上一动点，连接 ，随着点E的运动， 的面积也发生变化．
(1)写出 的面积y与 的长 之间的关系式；
(2)当 时，求y的值．一、单选题
1．（2023春·河北廊坊·八年级校考阶段练习）一次函数 和 的图象相交于点 ，则关
于 的方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）一次函数 的图象如图所示，则关于x的方程
的解为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·八年级课时练习）如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的方程
的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽合肥·统考一模）如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：
cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为 ，其图象如图2所示，其中 为湖水
面大气压强，k为常数且 ，点M的坐标为 ．根据图中信息分析，下列结论正确的是（ ）
A．湖水面大气压强为76.0cmHg B．湖水深23m处的压强为230cmHgC．函数解析式 中自变量h的取值范围是 D．P与h的函数解析式为
二、填空题
5．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点
和点 ，则关于x的一元一次方程 的解为 ．
6．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，直线 与直线 交于点 ，则关于 的方程
的解为 ；
7．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）某菜农想围成一个如图所示的长方形 菜园，菜园的一边利
用足够长的墙，已知长方形菜园 的另外三边总长度恰好为48米，设 边的长为x米， 边的长
为y米，则y与x之间关系表达式是 ．
8．（2023春·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）为运输一批医用物质，一辆货车先从甲地出发运送物资到
乙地，稍后一辆轿车从甲地急送专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 ，货车行驶时的速度是
，两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图，则 ；轿车比货车早
小时到达乙地．
三、解答题
9．（2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）某健身体验中心为答谢新老会员举行春日大回馈活动，特推出两种“春季唤醒计划活动方案．
方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费20元．
方案2：顾客购买会员卡，每张会员卡100元，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元．
设小宇一年来此健身体验中心健身的次数为x（次），使用方案1的费用为y（元），使用方案的费用为y
1 2
（元）．
(1)请直接写出y，y 与x之间的函数表达式；
1 2
(2)请根据小宇一年内前往该健身房训练的次数确定哪种方案比较合算．
10．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）陕西周至，被誉为“猕猴桃之乡”，世界上最大的猕猴桃种植
基地．某水果经销商计划从种植专业户李大爷处购进甲，乙两种新品猕猴桃进行销售．已知李大爷处乙种
猕猴桃的进价为8元/千克：李大爷对甲种猕猴桃的价格根据进货量给予优惠，设该经销商购进甲种猕猴桃
x千克，购进甲种猕猴桃所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若该经销商计划从李大爷处一次性购进甲，乙两种猕猴桃共200千克，且甲种猕猴桃不少于45千克，但
又不超过80千克．如何分配甲，乙两种猕猴桃的购进量，才能使该经销商购进这两种猕猴桃付款总金额w
（元）最少？
11．（2023春·河南漯河·八年级校考期末）为响应习近平总书记的号召，鼓励学生多读书，某图书馆针对
学生推出两种新的借阅优惠方案．
甲方案：凭学生证办理借阅卡，充值超过20元时，超过多少送多少；乙方案：凭学生证办理会员卡，充值每满40元再送20元．
设借阅时间为x天，甲、乙两种方案每本书的借阅租金分别表示 （元）， （元） 关于x的所数
图象如图所示．
(1)分别直接写出 与x之间的函数关系式；
(2)请求出图中线段 的长并说明它的实际意义；
(3)八年级小兰准备用40元钱在该图书馆借阅一本书，选择哪种方案办卡更划算？说明理由．
12．（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，
发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票．同时，他父亲从家里出发骑自
行车以小明3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆．如图中
线段 ， 分别表示父子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程s（米）与所用时间t（分钟）之间的图
象，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）．
(1)图中可知小明家离体育馆_____________米，父子俩在出发后_____________分钟相遇．
(2)你能求出父亲与小明相遇时，距离体育馆还有多远？
(3)小明能否在比赛开始之前赶回体育馆？
13．（2023春·河南商丘·八年级校联考期末）2022年河南省全民健身（线上）运动会最终各奖项于12月20日公布，此次盛会充分展示疫情防控常态化下我省全民健身开展情况，某健身房于此推出“云健身”服
务，针对特殊人群开展活动．活动方案如下：方案一：不购买“云 ”，每次收费10元；方案二：购买
“云 ”，每次另行额外收费．
设王先生“云健身”次数为 （次 ，按照方案一所需费用为 （元 ，且 ；按照方案二所需
费用为 （元 ，且 ．其函数图象如图所示．
(1) ；购买“云 ”需 元；
(2)两种方案的函数图象交于点 ，请求出点 的坐标并解释点 的实际意义；
(3)若王先生准备“云健身”25次，选择方案 （选填“一”或“二” 所需费用较少；若王先生准备
180元进行“云健身”，选择方案 （选填“一”或“二” 可以获得更多的次数．
14．（2023春·河南漯河·八年级校考期末）开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就己闻名，民间多把开封刺
绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中A，B两款
高端汴绣，决定从该店进货并销售，己知两款汴绣的进货价和销售价如下表：
类别
A款汴绣 B款汴绣
价格
进货价（元/件） 800 1400
销售价（元/件） 980 1680
(1)第一次小杰用24400元购进了A，B两款汴绣共20件，求两款汴绣名购进多少件；
(2)第二次小杰进货时，计划购进A款汴绣数量不少于B款汴绣数量的 ，且小杰计划购进两款汴绣共30件，
应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
(3)受疫情影响，社会消费需求收缩，小杰为快速实现资金回流，计划对A款汴绣打8折出售并赠送成本为26元的某景区门票一张，对B款汴绣打n折出售，若以（2）中可获得最大利润的进货方案为基础，请计
算B款汴绣打几折出售时，A，B两款沐绣的销售总额恰好实现盈亏平衡？
