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5.3 分式方程
题型一 判断是否是分式方程
1．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：① ；② ；③ ；
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学科网（北京）股份有限公司④ ．其中是分式方程的是（ ）
A．③④ B．①② C．①③ D．②④
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：① ；② ；③ ；④
．其中是分式方程的是（ ）
A．①和③ B．①和④ C．③和④ D．②和③
5．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ ，其中是分式方程的是 ．（填序
号）
7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号）
① ；② ；③ ；④ ．
题型二 解分式方程
1．（25-26八年级上·河北唐山·月考）解分式方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·山东德州·期末）分式方程 的解是（ ）
A． B． = C． = D．
3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）分式方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司4．（25-26八年级上·河北唐山·月考）关于x的方程 ，下列说法正确的是（ ）
A．方程的解为 B．方程的解不能为0
C．当 时，方程的解为负数 D．当 时，方程的解为正数
5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）解方程：
(1)
(2)
6．（23-24八年级上·云南昭通·期末）解分式方程．
(1) ；
(2) ．
7．（25-26九年级上·陕西西安·期末）计算： ．
8．（25-26八年级上·吉林松原·期末）解分式方程： ．
9．（25-26八年级上·全国·假期作业）解方程：
(1)
(2)
10．（25-26八年级上·河南许昌·月考）解分式方程
(1)
(2)
题型三 根据分式方程解的情况求值
1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若关于x的分式方程 有解，则k需满足
的条件是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
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学科网（北京）股份有限公司2．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）若关于 的分式方程 的解为正数，则自然数 的所
有值的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义运算：对于任意实数a、b、c，有 ．若
关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于 的方程 的解为负数，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x的分式方程 的解是正数，则m的取值
范围是 ．
6．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分
式方程 的解为负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
7．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题：
(1)若关于 的方程 的解是正数，求 的取值范围；
(2)关于 的方程 解是负数，求 的取值范围；
(3)已知关于 的方程 有增根，求 的值；
(4)若关于 的分式方程 无解，求 的值．
题型四 分式方程无解问题
1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）关于 的方程 无解，则 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．5或 B．1或5 C． 或 D． 或1
2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若关于 的方程 无解，则 的值为（ ）
A．0或1 B． 或3 C．2或 D． 或3
3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）若关于x的分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）若关于x的分式方程 无解，则实数m的值是
（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．4
5．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）关于x的分式方程 无解，则 ；
6．（25-26八年级上·上海·期中）当 ， 方程 会产生增根．
7．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的分式方程 无解，则m的值是 ．
8．（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于 的方程 ．
(1)当此方程的解为 时，求 的值；
(2)当此方程会产生增根时，求 的值．
题型五 列分式方程
1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，
直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，
15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为
（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校组织部分学生步行2千米
到遵义纪念馆参加以“听党话，感党恩”为主题的活动，因紧急情况，要求学生队伍比原计划提前5分钟
到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快 ，问学生队伍原计划的行进速度为多少？
设学生队伍原计划的行进速度为x米/分，则所列方程为（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
3．（25-26八年级上·全国·期末）《九章算术》记载了中国古代的“运粟之法”，其大意是：今有一批公
粮，需运往距出发地 的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行 ，则提前1日到达储粮站．
设运输这批公粮原计划每日行 ，则根据题意列出方程（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）花江峡谷大桥是贵州交通的重要枢纽，全长约2890米．甲、乙两支
施工队分别从大桥两端同时相向施工，甲队的施工效率是乙队的2倍，两队合作100天可完成大桥主体工
程．设乙队每天施工 米，下列分式方程中能正确表示题意的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：
“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几
何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均
能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有
尺，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均
每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品
所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天生产 箱药品，则下面所列方程
正确的是（ ）．
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）小雅同学在学校阅览室借了一本 昆虫记 ，共 页，管理员要求
在两周内归还，当她读了这本书的 时，发现每天要多读 页才能在借期内读完，问：已经读完的部分她
每天读多少页？如果设已经读完的部分每天读 页，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（25-26八年级上·河北邢台·期末）魅力新保定，跑向新未来4月20日上午 ，君乐宝2025保定马
拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比
乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时 千米，根据题意可列方程为 ．
9．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增
加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周 件提高到每周 件，
平均每人每周比原来多投递 件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？
设原来平均每人每周投递快件 件，则可列方程为 ．
10．（25-26八年级上·山东德州·期末）某校组织八年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千
米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结
果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为 ．
题型一 分式方程的行程问题
1．（25-26八年级上·山西朔州·期末）高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方
式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为 ．高铁开通后，路程缩短了 ，且高铁的
平均速度是动车的平均速度的 ，时间缩短了 ．求高铁的平均速度．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2026九年级·吉林·专题练习）小王从A地开车去B地，两地相距 ，实际平均速度比原计划平
均速度提高了 ，结果提前 到达，求小王原计划的平均速度．
3．（25-26九年级上·云南昆明·月考）我国推进科技自立自强，牢筑钢铁长城．近期，我国自主研制的核
动力航母“福建舰”正式下水试航．现“福建舰”在距离A港正东方向50海里的海面以试航速度航行，此
时一架监测直升机从A港出发，以比“福建舰”试航的速度多50海里/时的速度沿正东方向追赶“福建
舰”，当“福建舰”试航了25海里后，监测直升机刚好追上“福建舰”，求“福建舰”的试航速度．
4．（25-26八年级上·吉林·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 周年，甲、乙两校
分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆 ，乙校距纪念馆 ．两校学生同时
从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的
平均速度比大巴车的平均速度快 ．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整．
(1)解法一：设大巴车的平均速度为 ，则中巴车的平均速度为 ．根据题意可列方程：
；
(2)解法二：设大巴车行驶的时间为 ．根据题意可列方程，得： ．
5．（25-26七年级上·上海·月考）甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后
乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙
骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
(1)求乙骑自行车的速度；
(2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？
6．（25-26八年级上·全国·假期作业）在田径铁饼赛场上，使用机器狗送铁饼．某次运铁饼过程中，甲机
器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次
运铁饼的速度是多少？
(1)小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是 ，可列方程为 ．小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所
用时间是 ，可列方程为 ．
(2)请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程．
7．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）某校八年一班学生去距学校 的爱国主义教育基地参观，一部分
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学科网（北京）股份有限公司学生乘甲客车先出发，过了 ，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度
是甲客车的平均速度的 倍．
(1)求甲客车的平均速度；
(2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为 ，在后半
段路程的平均速度是 ；乙客车返回全程的平均速度为 ．如果 ，哪辆客车用时少先
返回学校？请说明理由．
题型二 分式方程的工程问题
1．（25-26八年级上·全国·期末）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为 的道路．为了尽量
减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了 ，结果提前 完成任务，则
原计划每小时修路 .
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）今年哈市入冬以来，为保障道路畅通及市民出行安全，及时开
展扫雪除冰工作．其中甲、乙两组共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两组合作则2小时可完成扫
雪工作；若甲组先单独扫雪4小时，再由乙组单独扫雪1小时可完成扫雪工作．
(1)求甲、乙两组单独完成此项工作各需要多少小时？
(2)如果甲、乙两组先合作若干小时后，甲组有事离开，剩下的工作全由乙单独完成，且要求完成扫雪工作
不超过 小时，问甲乙两组至少合作多少小时才能完成任务？
3．（25-26八年级上·全国·期末）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，
区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400
米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高 ，结果共用13天完成道路改造任
务．
(1)求原计划每天铺设路面多少米？
(2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了 ，完成
整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
4．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）某市需要铺设一段排水管道，甲施工队单独完成需要 天，乙施工
队单独完成需要 天．现安排两队合作完成此项工程．
(1)若两队合作施工，多少天可以完成？
(2)实际施工中，甲队先单独工作若干天后，乙队加入，两队再共同工作 天恰好完成任务．求甲队先单独
工作了多少天？
5．（25-26七年级上·上海宝山·月考）某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，
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学科网（北京）股份有限公司实际的工作效率比原计划提高了 ，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积．
6．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）某一工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天需
付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有
三种施工方案：
方案 ：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
方案 ：乙队单独完成这项工程，比规定工期多用5天；
方案 ：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
求规定的工期是多少天？
7．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）为提升农村饮水安全保障水平，陕西省某县启动农村供水主管道更
新工程，计划对辖区内一条老旧供水管道进行翻新．工程采用合作施工模式，由甲、乙两支工程队共同参
与．已知该供水管道全长96千米，甲工程队每天施工长度比乙工程队多1千米，且甲队单独完成工程的天
数是乙队单独完成天数的 ．
(1)求甲、乙两个工程队每天分别施工的长度；
(2)已知甲工程队每天施工费是乙工程队的 倍，施工结束后，甲队获得工程款18万元，乙队获得工程款
12万元，且甲队施工天数比乙队多3天，求甲、乙两个工程队每天的施工费．
8．（25-26八年级上·全国·期末）某工厂使用两台不同型号的注塑机(A型和 B型)合作生产一批零件．已
知：
1．如果两台机器同时工作，完成这批零件所需的时间比A型机单独工作少5小时；
2．B型机单独工作完成这批零件所需的时间是A型机单独工作所需时间的2倍；
问：A型机单独工作完成这批零件需要多少小时？
题型三 分式方程的经济问题
1．为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1
条甲类生产线比升级1条乙类生产线需多投入5万元，用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升
级乙类生产线的条数相同，求升级1条甲类、乙类生产线各需投入的资金．
2． 年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、
乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的 倍，用 元购买甲型玩
偶的数量比用 元购买乙型玩偶的数量多 个．
(1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？
(2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个
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学科网（北京）股份有限公司乙型玩偶？
3．为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元
购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙
两种型号机器人单价分别是多少万元？
4．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉
祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱．在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元，
用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍，求“喜洋洋”和
“乐融融”两种吉祥物的单价．
5．哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；
老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的 倍，但进价比第一批每件多了 元．
(1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？
(2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出 后，为了尽快售完，剩下的决定打八折促销，请
问第二批哈密瓜赚了多少钱？
6．菠菜是藜科一年生草本植物，味甘、性平，归肝、胃、大肠、小肠经，具有解热毒，通血脉，利肠胃
之功效．由于生物实验要求观察叶片表皮细胞结构，李老师上周花费30元购买了一批新鲜菠菜．本周实验
时发现材料不足需补购，因市场变化，本周菠菜单价上涨了 ，李老师本周又花费45元购买菠菜，购
得的菠菜比上周多2.5斤．问：李老师上周购买的菠菜每斤多少元？
7．为了提前准备六一活动，哪吒受陈塘关幼儿园园长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的
儿童服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多25元，已知哪吒用2000元购进
“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍．
(1)求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？
(2)“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进
“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总
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学科网（北京）股份有限公司的获利不少于2000元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？
题型四 分式方程和差倍分问题
1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某工厂现在平均每天比原计划多生产 台机器，现在生产 台机
器所需时间与原计划生产 台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产 台机器，则可列方程为
．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两地相距135km，A，B两辆车从甲地开往乙地，A车比B车
早出发5h，B车比A车晚到30min，B车和A车的速度之比为 ，则B车的速度为 km/h．
3．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前
每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同求改造后每天生产的产品件
数．
4．（25-26八年级上·重庆巴南·月考）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运
用甲、乙两种机器人搬运粮食共 ，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍
少 ．
(1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？
(2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的 倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机
器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？
5．（2025八年级上·全国·专题练习）某边防哨所运来一筐苹果，共有 个．计划每名战士分得数量相同
的若干个苹果，结果还剩 个苹果；改为每名战士再多分 个，结果还差 个苹果．那么，这个哨所共有多
少名战士？
6．（2025八年级上·全国·专题练习）有一个分数，分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所得分数的
值为 ．求这个分数．
7．（25-26八年级上·吉林长春·期中）随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来
越广泛．某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入A、B两种智能机器人执行
还书任务，A型机器人比B型机器人每小时多还书 本，A型机器人还 本书所用的时间与B 型机器人
还 本书所用的时间相等．求B种机器人每小时还多少本书？
8．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现
代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割
玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若
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学科网（北京）股份有限公司收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收
割机每台每天收割玉米的亩数．
题型五 分式方程的其他实际问题
1．（25-26九年级上·河南焦作·期中）一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色
外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（25-26九年级上·北京昌平·月考）如图是小云画的一个电路图，已知 ，移动滑动变阻器
至一位置，此时干路电流 ．若总电压 ，则 的值为 ．
3．（25-26八年级上·北京海淀·月考）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图．
设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？
4．（25-26八年级上·北京昌平·期末）京藏高速某高速收费站，人工收费通道和 通道同时开放．已知
通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的2.5倍，通过1200辆车时， 通道比人工收费通道少
用3小时，求人工收费通道和 通道每小时分别通过多少辆车．
5．（2025八年级上·江西赣州·专题练习）【调查活动】小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A
市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：
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学科网（北京）股份有限公司①甲、乙两校图书室各藏书18000册；
②甲校比乙校人均图书册数多2册；
③甲校的学生人数比乙校少10%．
【问题解决】请你根据上述信息，解答下列问题：
(1)甲、乙两校的学生人数各是多少？
(2)甲、乙两校的人均图书册数各是多少？
6．（25-26八年级上·广东广州·期末）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达
到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ，每次拧干后校服上都残留 水．
浓度关系式： ．其中 、 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度； 为单次漂洗所
加清水量（单位： ）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要多少清水？
(2)策略二：如果把 清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优．
7．（25-26八年级上·北京海淀·期末）柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征．近年来，
某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩．已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量
不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克．求该村成立合作社前柿子的种植面积．（列分式方
程解答）
8．（25-26八年级上·北京房山·期末）《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故
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学科网（北京）股份有限公司宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为 ，宽为 ，将其
四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是 ，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．
9．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 的正方形去
掉一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 的正方形，
两块试验田的小麦都收获了 ．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍，求 的值．
(3)利用（2）中所求得的 的值，分解因式： ________．
10．（25-26八年级上·吉林·期末）现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的
各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分
别为 ， 的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足 ．（注：电阻的单位是欧姆，
简称欧，符号为 ）
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，则 _______ ．
(2)若 ， 的电阻值比 的电阻值大 ，求 ， 的电阻值．
(3) _______．（用含 ， 的式子表示）．
题型一 分式方程的综合运用
1．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程：
．
2．（25-26八年级上·江苏南通·月考）形如 （ 不为零，且两个解分别为 ， （
）的方程称为“十字分式方程”．
例如 为十字分式方程，可化为 ， ， ．
再如 为十字分式方程，可化为 ， ， ．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若 为十字分式方程，则 ______， ______．
(2)若十字分式方程 的两个解分别为 ， ，求 的值．
(3)若关于 的十字分式方程 的两个解分别为 ， （其中 ， ），求
的最大值．
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学科网（北京）股份有限公司3．（22-23八年级下·广东广州·开学考试）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相
似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的
途径和方法．
阅读下面一道例题的解答过程：
观察下列计算过程：
因式分解：
解：我们可以将 拆成 和
即原式
这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把
在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一
每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计
项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行
算．
因式分解，像这样的方法称为拆项法．
请用类比的方法，解决以下问题：
(1) 已知 ，则依据此规律 ____；
①
②请你利用拆项法进行因式分解： _____；
(2)若 满足 ，求
的值；
(3)受此启发，解方程 ．
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