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5.3 二元一次方程组的应用 导学案
第3课时 借助线段图表示等量关系
1.理解二元一次方程组解决实际问题的基本思路，能从行程问题、几何拼接问题中找出等量关系。
2.学会借助线段图、表格等工具梳理数量关系，能准确列出二元一次方程组并求解.
学习重点：借助线段图梳理复杂问题中的等量关系；列二元一次方程组解决行程问题和几何拼接问题.
学习难点：准确分析火车过隧道等复杂行程问题中的等量关系，掌握线段图的绘制与应用技巧.
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P123-P125页的内容，思考：
【学法指导】
温故知新
思考：学习一元一次方程时，我们用什么方法分析《追赶小明》中的行程问题？
情境导入
下图中 8 块小长方形墙砖拼成大长方形的图片，思考：大长方形的长和宽与小长方形的长和宽有什么关
系？能否用二元一次方程组解决这个问题？线段图还能发挥作用吗？
●探究一：用二元一次方程组解决图表问题
上图中的墙砖问题如何解决呢：
◆1.这个问题涉及哪些量?
◆2.本题涉及的等量关系是什么？
◆3.你能列方程组解决这个问题吗？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1【解答】设小长方形墙砖的长是x cm，宽是y cm.，
根据题意，得
解方程组， 得
答：小长方形墙砖的长是 cm，宽是 cm.
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例 1（火车过隧道问题）：
火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30s，其中火车全身都在隧
道里的时间是20s，求隧道和火车的长度.
【分析】可以通过画图来说明火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间的数量关系.
【解答】解：设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m.
借线段图可以很直观的表示数量之间的等量关系.
根据题意，得
解方程组， 得
∴隧道和火车的长度分别是 和 .
例 2 由甲地到乙地的公路全程为200km，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路.已知汽车在普通
公路和高速公路上的行驶速度分别是60 km/h和100 km/h，从甲地到乙地用时3h，汽车在普通公路和高速
公路上分别行驶了多少千米?
【分析】设 汽车在普通公路和高速公路上行驶的时间分别为 x h和 y h，完成下表.
路段 速度/（km/h） 时间/h 路程/km
普通公路 60
高速公路 100
【解答】设汽车在普通公路和高速公路上行驶的时间分别为 x h和 y h，
根据题意， 得
解方程组， 得
普通公路行程：
高速公路行程：
答：汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了 和 .
例 3 小明骑自行车去某景区，出发时，他先以8km/h 的速度走平路，而后又以4 km/h 的速度上坡到达景
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2区，共用了1.5h; 返回时，他先以12 km/h的速度下坡，而后以9km/h 的速度走过平路，回到原出发点，
共用了55min,求从出发点到景区的路程.
【分析】等量关系： + =1.5h；
55
+ = h．
60
【解答】解：设平路为xkm, 坡路为ykm.
根据题意，得 ,
解得：
从出发点到景区的路程.为： ,
答：从出发点到景区的路程是 .
◆总结归纳：
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
（1）[审]审题明确题中涉及的量，找到 ；
（2）[设]用字母表示题目中的 未知量在（x、y ）；
（3）[列]根据两个等量关系分别列出两个方程并组成 ；
（4）[解]解方程组，求出 的值；
（5）[验]根据应用题的 ，检查求得的结果是否合理；
（6）[答]写出符合题意的答案并做答.
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨如何利用画线段图解决行程问题；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 31.如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为
2.4m，则每一块长方形墙砖的面积为（ ）
A. 0.36 m² B. 0.9 m² C. 0.4 m² D. 2.4 m²
2.已知某一铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用60s，整列火
车完全在桥上的时间为40s，则火车长度为 ,速度为 。
3.甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走
2h，那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？
4.如图，A,B两地由公路和铁路相连.在这条路上有一家食品厂，它到B 地的路程是到A 地路程的2倍.现
在该食品厂从A 地收购一批食材运回食品厂，全部加工成食品 (制作过程中有损耗)运到B 地销售，两次运
输(第一次：A 地→食品厂，第二次：食品厂 →B地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元. 已知
公路运费为1.5元/(t.km),铁路运费为1元/(t.km).
(1)这家食品厂到A,B两地的路程分别是多少千米?
(2)若这家食品厂此次收购的食材每吨花费5000元，要想该批食品销售完后 .工厂共获利863800元，
则这批食品每吨的售价应为多少元? (利润=总售价 - 总成本 - 总运费)
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4题型一 几何图形问题
1．在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示
意图如图所示．则花圃的面积为（ ）
A．16 B．8 C．32 D．24
2．如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，
首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（
）
A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm
3．（2024•永春县校级开学）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大
长方形，则每个小长方形的周长是 ．
4．小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图 1所示．小林看见了
说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图 2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是
边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 55．如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做
箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和
一个短侧面．设甲木板有x块，乙木板有y块．
已知丙木板有12块．
（1）根据题意填写下表：
木板种类 长侧面 短侧面 箱底
甲 ______ / x
乙 / ______ y
丙 12 12 /
合计 ______ ______ x+ y
（2）将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求x，y的值．
题型二 行程问题
6．从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是20km/h，平路的速度是
15km/h，上坡速度是8km/h，从甲地到达乙地时共用了55min，从乙地回到甲地时共用了1.5h，求
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6甲、乙两地相距多少千米？
7．一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往
中国．已知这趟国际飞机往返于A，B两城，顺风飞行需要2小时20分钟，逆风飞行需要2小时40分钟，
当天天气状况一般，风速为每小时42千米．试求A，B两城之间的距离．
8．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走1h，那么甲用40min就能
追上乙；如果乙先走10km，那么甲只用20min就能追上乙．求甲、乙两人的速度．
9．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知
甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300
米，若两车上坡、下坡的速度分别相同．
(1)求坡道的长度；
(2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 710．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果1名熟练分拣员和2
名新手分拣员一天能分拣80件包裹；2名熟练分拣员和3名新手分拣员一天能分拣140件包裹．
(1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？
(2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在5小时内送完所有包裹；若将速度
提高15千米/小时，行驶3小时后，还剩85千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？
题型三 商品销售问题
11．某商场按定价销售某种商品时，每件可获利 45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35
元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（ ）
A．95元，180元 B．155元，200元
C．100元，120元 D．150元，125元
12．直播带货已经成为年轻人购物的新时尚．某网红为回馈粉丝，在直播间为某品牌带货促销：凡购买
该品牌产品均享受13%的补贴（凭付款截屏到线上客服处返现）．某粉丝购买该品牌电视和空调各一
台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元．
（1）该粉丝可以到线上客服处返多少元现金？
（2）该粉丝所买的空调与电视的单价各是多少元？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 813．某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，
买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元．
（1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？
（2）某人购买甲种商品80件，乙种商品100件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？
14．某文具店购进24色与48色两种型号的马克笔共50盒，这两种马克笔的进价与售价如下表：
型号 进价（元/盒） 售价（元/盒）
24色 25 35
48色 45 65
（1）如果进货款为1650元，那么24色和48色的马克笔分别进货多少盒？
（2）销售完这批马克笔共获利多少元？
15．某商场第1次用390000元购进A、B两种商品，销售完后获得利润60000元，它们的进价和售价如下
表：（总利润＝单件利润×销售量）
商品价格 进价（元/件） 售价（元/件）
A 1000 1200
B 1200 1350
（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进A、B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次
的2倍，B商品按原售价销售，而A商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利
润等于18000元，则A种商品是打几折销售的？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9▲1．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
（1）[审]审题明确题中涉及的量，找到 ；
（2）[设]用字母表示题目中的 未知量在（x、y ）；
（3）[列]根据两个等量关系分别列出两个方程并组成 ；
（4）[解]解方程组，求出 的值；
（5）[验]根据应用题的 ，检查求得的结果是否合理；
（6）[答]写出符合题意的答案并做答.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10
