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5.3 二元一次方程组的应用
10大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（4道）
一、行程问题
1．（24-25七年级下·北京丰台·期末）自行车一般是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．
1
设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为 ．现有某品牌自行车
a
的前轮胎行驶达到5000公里时报废，后轮胎行驶达到3000公里时报废．如果该自行车行驶若干公里后，
将前后轮胎进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（ ）
A．3250公里 B．3500公里 C．3750公里 D．4000公里
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，
设总行驶距离为S公里，在行驶s公里后交换轮胎．每个轮胎在前后位置上的磨损总和为1．建立方程组求
解．
【详解】设总行驶距离为S公里，交换轮胎前行驶s公里．
s S−s
{ + =1)
3000 5000
根据题意得， ，
s S−s
+ =1
5000 3000
{S=3750)
解得 ，
s=1875
∴这对轮胎最多可以行驶3750公里．
故选：C．
2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台
A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．
在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接
着B型机器人走20步，共需要27秒．
(1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
(2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次
接力任务的时间可能是多少秒？
【答案】(1)A型机器人走一步需要0.8秒，B型机器人走一步需要0.75秒；
(2)完成接力任务的时间可能为32.85秒，33.7秒，34.55秒．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．
（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可；
（2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情
况即可．
【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
{10a+8b=14
)
由题意可得
15a+20b=27
{a=0.8
)
解得
b=0.75
答：A型机器人走一步需要0.8秒，B型机器人走一步需要0.75秒；
（2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步
由题意可得75m+65n=3000
13
m=40− n
15
因为m、n为正整数，n为15的整数倍，
{m=27) {m=14) {m=1)
， ，
n=15 n=30 n=45
{m=27)
当 时，完成接力任务的时间为27×0.8+15×0.75=32.85（秒）
n=15
{m=14)
当 时，完成接力任务的时间为14×0.8+30×0.75=33.7（秒）
n=30
{m=1)
当 时，完成接力任务的时间为1×0.8+45×0.75=34.55（秒）
n=45
答：完成接力任务的时间可能为32.85秒，33.7秒，34.55秒．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个户外运动俱乐部的成员完成了两天的徒步运动．两天的徒步时
间分别为8h和10h，共走了98km，且第一天比第二天少走2km，这个俱乐部的成员两天徒步的平均速度
各是多少？
【答案】这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度为6km/h，第二天徒步的平均速度为5km/h
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意找出等量关系．根据题意找出等量关系，列方程组，求解即可．
【详解】解：设这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度为xkm/h，第二天徒步的平均速度为ykm/h，
则
{8x+10 y=98)
根据题意可得， ，
10 y−8x=2
{x=6)
解得， ，
y=5
答：这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度为6km/h，第二天徒步的平均速度为5km/h．
4．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）小红和姐姐相距1.6km．如果她们同时出发且相向而行，那么
经过10min两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发10min，那么在小红出发后15min姐姐追
上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？
【答案】60m/min，100m/min
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题的关键．设小红的平均速度是xm/min，姐姐的平均速度是ym/min，根据如果她们同时出发且相向而
行，那么经过10min两人相遇，可列出方程10x+10 y=1600；根据如果她们同向而行，且姐姐比小红先
出发10min，那么在小红出发后15min姐姐追上小红，可列出方程(10+15)y−15x=1600；组成二元一
次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设小红的平均速度是xm/min，姐姐的平均速度是ym/min，
{ 10x+10 y=1600， )
由题意，得
(10+15)y−15x=1600，
{ x=60，)
解得
y=100．
答：小红的平均速度是60m/min，姐姐的平均速度是100m/min．
二、工程问题
1．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90
2
人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的 ，则甲、乙两队分别分到的人数为（ ）
3
A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70
【答案】A
【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，解题关键是利用等量关系列出方程组．
分别设出甲、乙两队分配人数，利用等量关系列出二元一次方程组，并解出答案．【详解】设甲队分到x人，乙队分到y人．依题意得，
{
x+ y=90
)
2
80+x= (y+100)
3
{x=28)
解得： ．
y=62
即甲队分到28人，乙队分到62人．
故选A．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）某地为打造运河风光带，雇用A，B两个工程队共同完成一段长为
180m的河道的清理任务．已知A工程队每天清理12m，B工程队每天清理8m，两个工程队工作天数之和
为20天，A，B工程队分别清理了多长的河道？
【答案】A工程队清理了60m河道，B工程队清理了120m河道
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确列出方程组．
先设A工程队清理了x天河道，B工程队清理了y天河道，根据题意列出方程组求解，再求A，B工程队分
别清理了的河道长度．
【详解】解：设A工程队清理了x天河道，B工程队清理了y天河道，
{ x+ y=20 ) { x=5 )
则 ，解得： ，
12x+8 y=180 y=15
∴A工程队清理了12×5=60（m）河道，
B工程队清理了8×15=120（m）河道，
答：A工程队清理了60m河道，B工程队清理了120m河道．
3．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，
乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了20%，乙工厂
每天的加工效率比原来降低了30%，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工
鲜奶多少千克．
【答案】原计划甲工厂每天加工180kg，乙工厂每天加工120kg．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题目已知条件将二元一次方程列出并求解是解决本题的
关键．
先设出甲乙加工的千克数，根据甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成可列第一个方程，再由已知条件
可列第二个方程，根据二元一次方程组的求法求解即可．
【详解】解：设甲工厂原计划每天加工xkg，乙工厂原计划每天施工ykg，
因为甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，所以5(x+ y)=1500，
又因为甲工厂每天的加工效率比原来提高了20%，乙工厂每天的加工效率比原来降低了30%，
所以5[(1+20%)x+(1−30%)y]=1500，
{ 5(x+ y)=1500 ) {x=180)
即 ，解得： ，
5[(1+20%)x+(1−30%)y]=1500 y=120
答：原计划甲工厂每天加工180kg180kg，乙工厂每天加工120kg．
4．（24-25九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，
吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长1.8千米的穿山隧道．为缩短
工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过20天施
工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？
【答案】甲组平均每天开凿46米，乙组平均每天开凿44米
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确出方程组求解．
设甲组平均每天开凿x米，乙组平均每天开凿y米，根据题意列出方程组求解．
【详解】解：设甲组平均每天开凿x米，乙组平均每天开凿y米．
{ x= y+2 )
根据题意，得 ，
20(x+ y)=1800
{x=46)
解得 ，
y=44
答：甲组平均每天开凿46米，乙组平均每天开凿44米．
5．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）阅读理解：
为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务，由A，B两个工程队先后接力完成，A工
程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天．
(1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲：¿
{
x+ y=___
)
乙： x y
+ =___
24 16
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请分别指出未知数x，y表示的意义．
甲：x表示______， y表示：______．乙：x表示______， y表示______．
(2)补全乙方程组，求出乙方程组的解，并回答A，B两个工程队分别整治河道多少米．
【答案】(1)甲：A工程队整治天数；B工程队整治天数；乙：A工程队整治长度；B工程队整治长度{
x+ y=360
) {x=120)
(2)乙： x y ； ，A工程队整治120米，B工程队整治240米
+ =20 y=240
24 16
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中
的相等关系，列方程组求解．
（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，A工程队整治天数；B工程队整治天数；乙：A工程队整治
长度；B工程队整治长度，补全方程组即可；
（2）根据二元一次方程组的解法求解乙方程组即可．
{ x+ y=20 )
【详解】（1）解：甲： ，
24x+16 y=360
{
x+ y=360
)
乙： x y ；
+ =20
24 16
甲：A工程队整治天数；B工程队整治天数；乙：A工程队整治长度；B工程队整治长度
故答案为：A工程队整治天数；B工程队整治天数；乙：A工程队整治长度；B工程队整治长度
{
x+ y=360
)
（2）解：乙： x y ；
+ =20
24 16
{ x+ y=360① )
整理乙方程组，得
2x+3 y=960②
①×2−②得：−y=−240，
解得：y=240，
把y=240代入①得：x+240=360，
解得：x=120，
{x=120)
∴乙方程组的解为： ，
y=240
答：A队整治河道120米，B队整治河道240米．
三、和差倍分问题
1．（2024·浙江·二模）2023年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华
发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人．则1
艘大船可以满载游客的人数为（ ）A．10 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人．
列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
{2x+3 y=60)
依题意得： ，
x+ y=26
{x=18)
解得： ，
y=8
即1艘大船可以满载游客的人数为18人，
故选：C
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地
上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多
少只鸽子？
【答案】树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子，根据“如果
地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上
鸽子数的2倍”列出方程组，求解即可．
【详解】解：设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子．根据题意，得
{x+4=3(y−4))
，
x−4=2(y+4)
{x=68)
解得 ．
y=28
答：树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子．
3．（2025九年级下·海南海口·专题练习）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B
两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．求今年每套A型、B型一体机的价格各是
多少万元？
【答案】每套A型一体机价格是1.2万元，每套B型一体机价格是1.8万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据“A、B一体机价格关系”和“采购
金额与数量关系”列出方程组求解．
设每套A型—体机价格为x万元，每套B型—体机价格为y万元，根据B型比A型价格多0.6万元、960万
元买500套A型和200套B型这两个条件列方程组，求解得出价格．
【详解】设今年每套A型一体机的价格是x万元，每套B型一体机的价格是y万元，
{ y=x+0.6 )
根据题意，可得 ，
500x+200 y=960
解得x=1.2，
把x=1.2代入y=x+0.6，得y=1.2+0.6=1.8，
答：每套A型一体机价格是1.2万元，每套B型一体机价格是1.8万元．
四、几何问题
1．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，将一块长12米宽6米的长方形苗圃划出五个大小相同的小长
方形来种植五种不同的植物，则剩余阴影部分的面积为（ ）平方米．
A．32 B．40 C．44 D．48
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为a米，宽为b米，根据题意列出二元一次方
程组，解方程组得出小长方形的长和宽，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：设小长方形的长为a米，宽为b米，
{a+4b=12)
由题意可得： ，
2a−b=6
{a=4)
解得： ，
b=2
∴剩余阴影部分的面积为12×6−5×4×2=32（平方米），故选：A．
2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图1是由8个边长分别为x，y的小长方形拼成的大长方形．
(1)请直接写出x与y之间满足的关系式（用x的代数式表示y）．
(2)将图1中的8个小长方形放入一个大长方形中，按如图2摆放．
①用x，y的代数式表示大长方形的宽AD；
②若三块阴影部分的面积之和为189，求小长方形的面积．
【答案】(1)y=3x
(2)①AD=2x+ y；②27
【分析】本题主要考查对几何图形的整体分析、二元一次方程组的熟练运用，熟练掌握二元一次方程组与
图形的关系是解题的关键．
（1）根据图片中所给出的长与宽的关系分析即可．
（2）①根据图中给出的AD与x，y的关系分析即可．②先利用平移的知识将图中阴影部分进行合并，再
根据图中的等量关系列方程组求解即可．
【详解】（1）解：根据图中可知：y=3x．
（2）①根据图中给出的AD与x，y的关系可知：AD=2x+ y．
②平移得：
解得：S = y2 ，
①
∵AD=2x+ y，DE=2x，
∴AE= y，∴S = y2+xy，
②+③
∴S =2y2+xy，
①+②+③
∵三块阴影部分的面积之和为189，
∴189=2y2+xy，
{ y=3x )
∵ ，
189=2y2+xy
{y=9)
∴ ，
x=3
∴S =xy=27．
小长方形
3．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，一个大矩形中有5个形状大小完全相同的小矩形，每个小矩
形的宽都为1．若图中阴影部分的面积为42，求小矩形的长．
【答案】2❑√5．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小矩形的长为x，根据阴影部分的面积等于大矩形
面积减去5个小矩形的面积建立方程求解即可．
【详解】解：设小矩形的长为x，
根据题意得：(2x+1)(x+2)−5x=42，
整理得：x2−20=0，
解得：x =2❑√5，x =−2❑√5(不符合题意，舍去)．
1 2
答：小矩形的长为2❑√5．
4．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）小亮在拼图时，发现8个大小一样的长方形恰好可以拼成图1所示
的一个大长方形．小莹又用这8个长方形拼成了图2所示的正方形，正方形中间的空白处是一个边长为
2mm的小正方形．(1)求这8个大小一样的长方形的长和宽；
(2)用不超过40个上述大小一样的长方形，按照图1这种拼图方式（上边的长方形竖放，下边的长方形横
放）拼长方形，共有多少种拼法？写出每种拼法中竖放和横放的长方形的个数．
【答案】(1)10,6
(2)
5种，方法1：上边竖放5个长方形，下边横放3个长方形；方法2：上边竖放10个长方形，下边横放6个
长方形；方法3：上边竖放15个长方形，下边横放9个长方形；方法4：上边竖放20个长方形，下边横放
12个长方形；方法5：上边竖放25个长方形，下边横放15个长方形．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键；
对于（1），根据图形中的数量关系列出方程组，求出解；
对于（2），依据长方形对边相等列出方程，再结合条件确定满足要求的拼法即可．
【详解】（1）解：设这8个大小一样的长方形的长为xmm，宽为ymm，根据题意，得
{ 3x=5 y )
，
2y−x=2
{x=10)
解得 ，
y=6
所以这8个大小一样的长方形的长为10mm，宽为6mm；
（2）解：设上边竖直放m个长方形，下边横放n个长方形，根据题意，得
6m=10n，
3
∴n= m．
5
∵m,n都是正整数，且m+n≤40，
{m=5) {m=10) {m=15) {m=20) {m=25)
∴ 或 或 或 或 ，
n=3 n=6 n=9 n=12 n=15
∴一共有5种拼法，
方法1：上边竖放5个长方形，下边横放3个长方形；
方法2：上边竖放10个长方形，下边横放6个长方形；
方法3：上边竖放15个长方形，下边横放9个长方形；方法4：上边竖放20个长方形，下边横放12个长方形；
方法5：上边竖放25个长方形，下边横放15个长方形．
五、数字问题
1．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驱“洛书”，献给
大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格
中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图，是一个不完整的幻方，根据幻
方的规则，由已知数求出x−y的值应为 ．
y 7
3 x
6
【答案】3
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．设第1行第3列上的数字为a，
第2行第1列上的数字为b，根据题意建立方程组，解方程组求出x,y的值，代入计算即可得．
【详解】解：如表格，设第1行第3列上的数字为a，第2行第1列上的数字为b，
y 7 a
b 3 x
6
{y+7+a=6+3+a)
由题意得： ，
y+6+b=x+3+b
{y+7=6+3)
整理得： ，
y+6=x+3
{x=5)
解得 ，
y=2
则x−y=5−2=3，
故答案为：3．
2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）有一个两位数，其数字之和是8，个位上的数字与十位上的数字互换
后所得新数比原数小36，求原数．分析：设个位上和十位上的数字分别为x、y，则原数表示为 ，新
数表示为 ；故列方程组为 ．{ x+ y=8 )
【答案】 x+10 y 10x+ y
(x+10 y)−(10x+ y)=36
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．设个位上
和十位上的数字分别为x、y，根据题意表示出原数、新数，再由“所得新数比原数小36”，即可列出方程
组．
【详解】解：设个位上和十位上的数字分别为x、y，
则原数表示为x+10 y，新数表示为10x+ y，
{ x+ y=8 )
由题意得，列方程组为 ，
(x+10 y)−(10x+ y)=36
{ x+ y=8 )
故答案为：①x+10 y；②10x+ y；③ ．
(x+10 y)−(10x+ y)=36
3．（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为a，个位数字为b，已知十位数字
与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的
两位数小18．
(1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含a，b的代数式表示）
(2)根据题意，求原来的两位数．
【答案】(1)10a+b；10b+a
(2)53
【分析】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可；
（1）根据数字的表示方法即可求解；
（2）由题意，得¿即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：原来的两位数为10a+b；新的两位数为10b+a；
故答案为：10a+b；10b+a
（2）解：由题意，得¿
{a=5,)
解得
b=3.
答：原来的两位数为53
4．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将
不重复的9个数依次填入3×3方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便
构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”．(1)写出图2中a和b之间的数量关系；
(2)求出图3中x和y的值．
【答案】(1)b=a+1
{x=16)
(2)
y=5
【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键．
（1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可；
（2）令第一行第二列为a，第三行第三列为b，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列
二元一次方程组，整理后求解即可
【详解】（1）解：由题意可知，b+7+2=2+a+8，
即b=a+1；
（2）解：如图，令第一行第二列为a，第三行第三列为b，
{x+a+2=a+ y+13) {x−y=11)
则 ，即 ，
x+ y+b=2+19+b x+ y=21
{x=16)
解得： ；
y=5
六、方案问题
1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”，经历是最好的学习，研学是最
美的相遇．某中学组织七年级420名师生开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是林
老师和小辰同学有关租车问题的对话：
林老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．”
小辰：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金
共计5100元．”
根据以上师生两人对话，解答下列问题：
(1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问共有几种租车方案？
【答案】(1)客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元
(2)共有3种租车方案
【分析】本题主要考查列方程或方程组解决实际问题，以及最优方案的问题，解题的关键是列方程需要找
到等量关系式．
（1）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每
辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出
关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好
坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方
案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，
{ x−y=150 )
根据题意得： ，
4x+2y=5100
{x=900)
解得： ．
y=750
答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元；
（2）解：设租用60座客车m辆，45座客车n辆，
根据题意得：60m+45n=420，
3
∴ m=7− n．
4
又∵m，n均为自然数，
{m=7) {m=4) {m=1)
∴ 或 或 ，
n=0 n=4 n=8
∴共有3种租车方案，方案1：租用60座客车7辆；方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆；方案
3：租用60座客车1辆，45座客车8辆．
2．（24-25七年级下·河北承德·期末）【项目主题】绿色校园，资源再生【项目背景】某校七年级为响应“低碳生活”号召，开展“废品重生计划”实践活动，号召学生将可回收
物分类收集，兑换学习用品和环保工具，培养节约习惯．某班45人全部参与，活动持续三周．
【活动步骤】
第一步：每周收集易拉罐和旧报纸；
第二步：每周五根据兑换表将回收物兑换为笔记本或大环保袋；
第三步：生活委员记录每周收集和兑换数据．
【统计数据】
数量 第一周 第二周 第三周
易拉罐/个 80
旧报纸/张 120
总数 200 188
兑换表
5个易拉罐或4张旧报纸换1本笔记本；
25个易拉罐或20张旧报纸换1个大环保袋
【解决问题】
(1)若该班第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本，则可兑换多少本？
(2)若该班第二周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本（易拉罐和报纸总数可整除且无剩余），
共兑换了41本．求第二周收集的易拉罐和旧报纸的数量．
(3)在（1）和（2）的基础上，若该班第三周先用部分易拉罐兑换笔记本，剩余回收物（两种回收物都有）
恰好兑换了5个大环保袋，三周兑换的笔记本平均分给全班的同学，每人恰好分2本，求第三周收集的易
拉罐和旧报纸的可能数量（分析并列举出所有整数解）
【答案】(1)46本
(2)第二周收集的易拉罐为120个，旧报纸为68张
(3)见解析
【分析】本题考查有理数的混合运算，二元一次方程（组）的应用，根据题意列出方程组是解题的关键；
（1）根据题意列式计算，即可求解；
（2）设第二周收集的易拉罐为x个，旧报纸为y张，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（3）设剩余易拉罐为25a个、旧报纸为20b张，根据a+b=5且a≥1，b≥1，取整数解即可求解．
80 120
【详解】（1）解： + =46（本）．
5 4答：第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本，可兑换46本；
（2）设第二周收集的易拉罐为x个，旧报纸为y张，
{x+ y=188
)
由题得， x y
+ =41
5 4
{x=120)
解得
y=68
答：第二周收集的易拉罐为120个，旧报纸为68张；
（3）45人×2本/人=90本．前两周已兑换46+41=87本，第三周需兑换3本．
该班第三周先用部分易拉罐兑换笔记本，则需要3×5=15个易拉罐，
剩余回收物需兑换5个大环保袋，设剩余易拉罐为25a个、旧报纸为20b张（a+b=5且a≥1，b≥1）．
第一种：当a=4,b=1时，第三周收集易拉罐115个，旧报纸20张．
第二种：当a=3,b=2时，第三周收集易拉罐90个，旧报纸40张．
第三种：当a=2,b=3时，第三周收集易拉罐65个，旧报纸60张．
第四种：当a=1,b=4时，第三周收集易拉罐40个，旧报纸80张．
3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下信息，探索完成任务：
如何设计租车方案？
13度的甜，14度的鲜，兰溪杨梅以其独特的魅力，吸引着无数食客杨梅种植户欲将一批杨
素材1 梅运往外地销售，若用3辆A型车和2辆B型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆A型车和
3辆B型车载满杨梅一次可运走18吨．
杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆
素材2
车都载满杨梅．
素材3 A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次．
问题解决
任务一：分
1辆A型车和1辆B型车都载满杨梅，一次可分别运杨梅多少吨？
析数量关系
任务二：确
请你帮杨梅种植户设计35吨杨梅运输的租车方案．
定可行方案
任务三：选
请你选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费．
取最优方案
【答案】任务一：1辆A型车载满杨梅一次可运货3吨，1辆B型车载满杨梅，一次可运货4吨，任务二：
共有3中租车方案．分别是：方案1：租用A型车1辆，B型车8辆；方案2：租用A型车5辆，B型车5辆；方案3：租用A型车9辆，B型车2辆．任务三：租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少租车费为
2860元．
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，准确列出方程是解题的关键．
任务一：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物，一次可运货y吨，用3辆A型车和2
辆B型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆A型车和3辆B型车载满杨梅一次可运走18吨．据此列出方程
组并解方程组即可得到；
任务二：依题意租用A型车a辆，B型车b辆得：根据杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用A型车a辆
和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满杨梅，据此列方程，求出租车方案的解即可；
任务三：求出方案1、方案2、方案3的费用，比较后即可得到答案．
【详解】任务一：
解：设1辆A型车载满杨梅一次可运货x吨，1辆B型车载满杨梅，一次可运货y吨，
{3x+2y=17)
依题意得：
2x+3 y=18
{x=3,)
解得：
y=4,
答：1辆A型车载满杨梅一次可运货3吨，1辆B型车载满杨梅，一次可运货4吨．
任务二：
解：依题意租用A型车a辆，B型车b辆得：
3a+4b=35，
3a=35−4b，
35−4b
a= ，
3
∵a、b都是正整数，
{a=1,) {a=5,) {a=9,)
∴当 或 或
b=8, b=5. b=2.
答：共有3中租车方案．分别是：
方案1：租用A型车1辆，B型车8辆；
方案2：租用A型车5辆，B型车5辆；
方案3：租用A型车9辆，B型车2辆．
任务三：
解：方案1费用为：1×300+8×320=2860（元）；
方案2费用为：5×300+5×320=3100（元）：方案3费用为：9×300+2×320=3340（元）；
∵3340>3100>2860
∴选择方案1．
答：租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少租车费为2860元．
4．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计门票购买方案？
乒乓球比赛的门票分为A, B, C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票
素材1 需要700元；购买2张A档门票和3张B档门票需要1200元；购买1张C档门
票需要80元．
素材2 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票．
素材3 某公司计划组织30名员工观看比赛．
问题解决
任务1 求A档和B档门票的单价．
任务2 购买门票中，A档9张，B档11张，求公司购买门票至少需要多少元．
该公司购买门票共花了4040元，且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符
任务3
合条件的购买方案，并写出解答过程．
【答案】任务1：A档门票每张的价格为300元，B档门票每张的价格为200元；任务2：公司购买门票至
少需要4980元；任务3：符合条件的购买方案有两种：方案一：购买A档门票4张，B档门票9张，C档
门票13张；方案二：购买A档门票10张，B档门票2张，C档门票8张；见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用；
任务1：设A档门票每张的价格为x元，B档门票每张的价格为y元，根据“购买1张A档门票和2张B档
门票需要700元；购买2张A档门票和3张B档门票需要1200元”，列方程组求解即可；
任务2：赠送的C档门票全部用完时，公司花费最少，据此列式计算即可；
任务3：设购买A档门票a张，B档门票b张，则C档门票(30−a−b−a)张，根据“购买门票共花了4040
元”列出二元一次方程，求出方程的整数解即可得出答案．
【详解】解：任务1：设A档门票每张的价格为x元，B档门票每张的价格为y元，
{ x+2y=700 )
由题意得： ，
2x+3 y=1200
{x=300)
解得： ，
y=200
答：A档门票每张的价格为300元，B档门票每张的价格为200元；
任务2：
因为每购买1张A档门票就赠送1张C档门票，且共有30名员工，
所以公司购买门票至少需要300×9+200×11+(30−9−11−9)×80=4980（元）；
任务3：
设购买A档门票a张，B档门票b张，则C档门票(30−a−b−a)张，
由题意得：300a+200b+80(30−a−b−a)=4040，
整理得：7a+6b=82，
∵a，b均为非负整数，
∴当a=4时，b=9，此时30−a−b−a=13，
当a=10时，b=2，此时30−a−b−a=8，
∴符合条件的购买方案有两种：方案一：购买A档门票4张，B档门票9张，C档门票13张；方案二：购
买A档门票10张，B档门票2张，C档门票8张．
七、分配问题
1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）某车间有49名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且一个
螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工
人生产螺母？
【答案】21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．设应安排
x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，
{ x+ y=49 )
根据题意，得 ，
2×12x=18 y
{x=21)
解得： ，
y=28
答：应安排21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母．2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方
桌的桌面50个或做桌腿200条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌
腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
【答案】用5m3木料做桌面，5m3木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设用xm3木料做桌面，ym3木料做桌腿，根据题意，列
出方程组，即可求解．
【详解】解：设用xm3木料做桌面，ym3木料做桌腿，由题意，得：
{ x+ y=10 )
4×(50x)=200 y
{x=5)
解得 ．
y=5
5×50=250（张）．
答：用5m3木料做桌面，5m3木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌．
3．（24-25七年级下·陕西延安·期中）某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形
的边长相等）可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．两种长方体
容器与所需铁片的数量关系如下表：
1个竖式无盖容 1个横式无盖容
器 器
长方形铁片的数
4张 3张
量
正方形铁片的数
1张 2张
量(1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图②的竖式容器和横式容器，两种铁片刚好全
部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？
(2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板
计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？
【答案】(1)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器
(2)共有2种方案可供选择，方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购4个竖式容器，10
个横式容器
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．
（1）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据题意列二元一次方程组求解即可；
6
（2）设采购m个竖式容器，n个横式容器，由题意可知m=16− n，列出所有情况即可．
5
【详解】（1）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，
{4x+3 y=170)
根据题意得 ，
x+2y=80
{x=20)
解得 ．
y=30
答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器；
（2）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器，
根据题意得50m+60n=800，
6
∴m=16− n．
5
又∵m，n均为正整数，
{m=10) {m=4)
∴ 或 ．
n=5 n=10
∴共有2种方案可供选择，
方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器；
方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器．
八、销售问题
1．（24-25七年级下·山东聊城·期末）某县有着丰富的非物质文化遗产，其中草编技艺和糖画制作极具特
色，在该县文化旅游节期间，某文创店铺专门售卖草编摆件和糖画，已知购买2个草编摆件和3幅糖画，
共需花费110元；购买3个草编摆件和2幅糖画，共需花费140元．求每个草编摆件和每幅糖画的价格分别是多少？
【答案】每个草编摆件40元，每幅糖画的价格是10元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
基本关系：金额=价格×数量，总金额=草编摆件的金额+糖画的金额，据此列方程组求解．
【详解】设每个草编摆件x元，每幅糖画y元，根据题意，得
{2x+3 y=110)
，
3x+2y=140
{x=40)
解得： ，
y=10
答：每个草编摆件40元，每幅糖画的价格是10元．
2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）商店购入篮球和足球若干个．篮球进价80元/个，足球进价50元/个，
(1)若商店购入篮球10个，足球15个，则需要元；
(2)若商店购入篮球和足球共25个，总共花了1700元，求篮球和足球各多少个？
【答案】(1)1550；
(2)篮球15个，足球10个．
【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，解题的关键是根据题目中的数量关系准确列出
方程组并求解．
（1）根据“总价=单价×数量”，分别算出篮球和足球的花费，再求和得到总花费；
（1）设购入篮球x个，足球y个，，利用篮球和足球的总数以及总花费这两个等量关系列出二元一次方程
组，然后求解方程组得出篮球和足球的个数．
【详解】（1）解：根据题意得：80×10+50×15=1550（元），
∴若商店购入篮球10个，足球15个，则需要1550元．
故答案为：1550；
（2）解：设购入篮球x个，足球y个，
{ x+ y=25 )
根据题意得： ，
80x+50 y=1700
{x=15)
解得： ．
y=10
答：购入篮球15个，足球10个．
3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）某校七年级收到社区捐款共计9000元，准备将这些捐款全部用于购
买记号笔和盲盒作为纪念品分发给学生．已知买3支记号笔和2个盲盒需花费29元，买6支记号笔和1个
盲盒需花费28元．若该年级共有600个学生，每个学生都希望分到2支记号笔和1个盲盒，请通过计算分析该希望能够实现吗？
【答案】该希望不能实现
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设记号笔的单价为x元，盲盒的单价为y元，根据“买3支记号笔和2个盲盒需花费29元，买6支记号笔
和1个盲盒需花费28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，将其代入
600(2x+ y)中，可求出所需总费用，再与9000元比较后，即可得出结论．
【详解】解：该希望不能实现，理由如下：
设记号笔的单价为x元，盲盒的单价为y元，
{3x+2y=29)
根据题意得： ，
6x+ y=28
{ x=3 )
解得： ，
y=10
∴600(2x+ y)=600×(2×3+10)=9600（元），
∵9600＞9000，
∴该希望不能实现．
4．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）2025年2月7日，第九届亚冬会在冰城—哈尔滨盛大开
幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人
群购买．已知购买1个A种吉祥物和2个B种吉祥物共需290元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物
共需700元．求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元？
【答案】A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，
设A种吉祥物每件的售价是x元，B种吉祥物每件的售价是y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设A种吉祥物每件的售价是x元，B种吉祥物每件的售价是y元，
{ x+2y=290 )
由题意可知 ，
2x+5 y=700
{ x=50 )
解得： ，
y=120答：A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元．
九、古典问题
1．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十
斗，酯酒一斗直粟三斗，今持粟三解，得酒五斗，问清、酯酒各几何? ”意思是：现在一斗清酒价值10斗
谷子，一斗酯酒价值3斗谷 子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、酯酒各几斗．设清酒x 斗，酯酒
y 斗，则可列方程组为（ ）
{x+ y=30
) { x+ y=5 ) { x+ y=5 ) {
x+ y=5
)
A． x y B． C． D． x y
+ =5 10x+3 y=30 3x+10 y=30 + =30
3 10 3 10
【答案】B
【分析】本题考查列二元一次方程组解决古代问题，设清酒为x斗，酯酒为y斗，根据题意，清酒和酯酒的
总量为5斗，消耗的谷子总量为30斗，由等量关系建立方程组即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列
出方程组是解决问题的关键．
【详解】解：设清酒为x斗，酯酒为y斗，
{ x+ y=5 )
则由题意可得方程组 ，
10x+3 y=30
故选：B．
2．（24-25七年级下·四川广元·期末）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1、图2中
各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图表示的方程组
{3x+2y=19)
形式为 ，类似地，若图2所示的算筹图列出的方程组的解为x=3，则图2中的“？”所表
x+4 y=23
示的算筹为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设“？”所表示的算筹为m
{ 2x+ y=11 )
根据题意得， ，
4x+my=27
∵图2所示的算筹图列出的方程组的解为x=3，
∴将x=3代入2x+ y=11，得到y=5，
将x=3,y=5代入4x+my=27中，得12+5 y=27，
解得m=3，
∴图②中的“？”所表示的算筹为 ．故选：C．
3．（24-25七年级下·河北唐山·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，记载了利用算筹表示方程组的
{ x+ y=9 )
方法，算筹图 表示的方程组是 2x+3 y=23 ，那么算筹图 表示的方程组是
．
{2x+4 y=12)
【答案】
3x+ y=8
【分析】本题考查了对古代算筹表示方程组方法的理解，观察已知算筹表示方程组与所求算筹之间的关系
是解决本题的关键．
先分析题目已知的算筹图，得到横向和竖向算筹所表示的含义求解即可．
{ x+ y=9 )
【详解】解：由已知算筹图 表示的方程组是 2x+3 y=23 ，
可分析出第一列表示x的系数，第二列表示y的系数，第三列表示等式右边的结果，
第一行有两个竖向的算筹，表示x和y的系数为1，
同理第二行有两个竖向和三个竖向的算筹，表示x和y的系数分别为2和3，
第一行第三列在竖向算筹上方的一个横向算筹表示5，下方的算筹表示1，
第二行第三列在竖向算筹左方的一个横向算筹表示10，右方的算筹表示1，
{2x+4 y=12)
据此可知，算筹图 表示的方程组是 3x+ y=8 ．{2x+4 y=12)
故答案为： ．
3x+ y=8
4．（24-25七年级下·山东德州·期末）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三
瓶醉一人，共同饮了一十六，三十八客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多薄？”这首诗是说：“好
酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今38位客人醉倒了，他们总共饮16瓶酒．
试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为 ．
{
x+ y=16
)
【答案】 1
3x+ y=38
3
【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据他们总共饮16瓶酒．得x+ y=16，根据好酒一瓶，可以醉倒3位
1
客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今38位客人醉倒了，得3x+ y=38，即可得到方程组．
3
本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，得
{
x+ y=16
)
1 ．
3x+ y=38
3
{
x+ y=16
)
故答案为： 1 ．
3x+ y=38
3
十、其他问题
1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后
（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入 个大
铁球和 个小铁球．（写出一组符合要求的值即可）
【答案】 3（答案不唯一） 2（答案不唯一）
【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求
解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的
答案．【详解】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y，
依题意可列方程组 ¿
{x=3)
解得
y=1
另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21，
则依题意有3a+b=11
{a=1) {a=2) {a=3)
这个二元一次方程的整数解有¿， ， ，
b=8 b=5 b=2
故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） ．
2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每
户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；超过12m3时，超过部分按二级单价收，五月份张华家用
水14m3，缴费37.6元；李明家用水17m3，缴费47.2元．若陈智家用水11m3，则应缴费 元．
【答案】28.6
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键．设一级水费单
价为x元，二级水费单价为y元，根据五月份张华家用水14m3，缴费37.6元；李明家用水17m3，缴费
47.2元，列出方程组，解方程组即可求出一级水费单价为2.6元，二级水费单价为3.2元．再计算陈智家用
水应缴费数额即可．
【详解】解：设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元，
{12x+(14−12)y=37.6)
根据题意列方程组： ，
12x+(17−12)y=47.2
{x=2.6)
解得： ，
y=3.2
即一级水费单价为2.6元，二级水费单价为3.2元．
∴2.6×11=28.6（元）
即陈智家用水11m3，则应缴费28.6元，
故答案为：28.6
3．（24-25七年级下·山东聊城·期末）麦收季节到了，某农场计划租用收割机来进行收割．据了解1台大
型收割机和2台小型收割机1小时可以完成22亩麦田的收割，2台大型收割机和3台小型收割机1小时可
以完成38亩麦田的收割．
(1)大、小型收割机每小时各收割麦田多少亩？
(2)该农场共有100亩麦田，若计划1小时完成收割，，请通过计算说明有多少种不同的租赁方式（两种收割机都租用）？
【答案】(1)大型收割机每小时收割麦田10亩，小型收割机每小时收割麦田6亩
(2)共有3种租赁方式，即7台大型收割机，5台小型收割机，或者4台大型收割机，10台小型收割机，或
者1台大型收割机，15台小型收割机
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设大型收割机每小时收割x亩，小型收割机每小时收割y亩，根据题意列出关于x，y的二元一次方程
组，解之即可得出结论．
（2）设租赁大型收割机a台，小型收割机b台，根据题意列二元一次方程，求出方程的正数解即可．
【详解】（1）解：设大型收割机每小时收割x亩，小型收割机每小时收割y亩，则
{ x+2y=22 )
2x+3 y=38
{x=10)
解得
y=6
∴大型收割机每小时收割麦田10亩，小型收割机每小时收割麦田6亩．
（2）解：设租赁大型收割机a台，小型收割机b台，
则10a+6b=100
3
整理得a=10− b
5
∵a,b为整数
{a=7 { a=4 {a=1 )))
∴
b=5, b=10, b=15
∴共有3种租赁方式，即7台大型收割机，5台小型收割机，或者4台大型收割机，10台小型收割机，或
者1台大型收割机，15台小型收割机．
4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出
现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位ℎ(cm)随着时
间t(min)的改变而改变．它的水位可用公式ℎ =pt+q计算．已测得当t=1(min)时，水位ℎ =1.1(cm)；当
t=5(min)时，水位ℎ =2.7(cm)．(1)求p，q的值；
(2)当水位ℎ =4.7(cm)时，求时间t(min)的值．
【答案】(1)p=0.4，q=0.7
(2)10min
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，准确列式是关键．
（1）将数据代入得出二元一次方程组求解即可；
（2）求出当ℎ =4.7时的t的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：¿，
②−①得：1.6=4 p ，
解得：p=0.4，
把p=0.4代入①得：q=0.7，
所以¿，
∴ℎ =0.4t+0.7，
答：p=0.4，q=0.7．
（2）解：当ℎ =4.7时，4.7=0.4t+0.7，
解得t=10．
答：当水位ℎ =4.7时，时间t为10min．
1．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一
块长200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，
才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的
相等关系，可列出方程组求解．方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和长方形EBCF，求
AE，BE的长度是多少?
方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形DMNC和长方形MABN土地中种植甲、乙两种作物，
求AM，DM的长度是多少?
请你从以上两种方案中任选一种完成解答．
【答案】方案一：AE，BE的长度分别为120m、80m．方案二：AM，DM的长度分别为40m、60m．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
方案一：设AE=xm，EB= ym，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2．现要把一块长200m、
宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、
乙两种作物的总产量的比是3:4，列出二元一次方程组，解方程组即可；
方案二：设AM=xm，DM= ym，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2．现要把一块长
200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能
使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：方案一：根据题意可列方程组为：
¿，
{x=120)
解得： ，
y=80
答：AE，BE的长度分别为120m、80m．
方案二：根据题意可列方程组为：
¿，
{x=40)
解得： ，
y=60
答：AM，DM的长度分别为40m、60m．
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某物流公司用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货18吨；
用3辆A型车和4辆B型车装满货物一次可运货25吨．现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车
b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货多少吨？(2)若A型车每辆每次需租金100元，B型车每辆每次需租金150元．请选出最省钱的租车方案，并求出此
时的租车费用．
【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货3吨，4吨
(2)最省钱的方案是租用A型车9辆，B型车1辆，租车费用为1050元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
（1）设1辆A型车装满货物一次运x吨，1辆B型车装满货物一次运y吨，根据题意列出关于x,y的二元一
次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据题意的得到3a+4b=31，结合a,b均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金=每辆车
的租金×租车辆数求解即可．
【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次运x吨，1辆B型车装满货物一次运y吨，
{2x+3 y=18)
由题意得 ，
3x+4 y=25
{x=3)
解得 ，
y=4
所以1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货3吨，4吨；
（2）解：由题意得：3a+4b=31，
{a=1) {a=5) {a=9)
∴满足方程的整数解为 ， ， ，
b=7 b=4 b=1
∵租车费用=100a+150b，
∴三种费用分别为1150元，1100元，1050元．
所以最省钱的方案是租用A型车9辆，B型车1辆，租车费用为1050元．
3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与
物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B
两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
A型机器人台 B型机器人台 总费用（单位：万
数 数 元）
2 1 200
3 2 340
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业用了520万元购进以上型号智能机器人（两种型号智能机器人均有购买），请你求出所有购买
方案
【答案】(1)A型智能机器人的单价为60万元，B型智能机器人的单价为80万元(2)方案一：购进A型智能机器人2台，B型智能机器人5台；方案二：购进A型智能机器人6台，B型智能机
器人2台
【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组
即可求解；
（2）设购进A型智能机器人a台，B型智能机器人b台，根据题意列出二元一次方程，求出二元一次方程
的解即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
{2x+ y=200
)
由题意得， ，
3x+2y=340
{x=60)
解得 ，
y=80
答：A型智能机器人的单价为60万元，B型智能机器人的单价为80万元；
（2）解：设购进A型智能机器人a台，B型智能机器人b台，
由题意得，60a+80b=520，
化简得，3a+4b=26，
∵a、b为正整数，
{a=2) {a=6)
∴ 或 ，
b=5 b=2
∴共有2种购买方案：
方案一：购进A型智能机器人2台，B型智能机器人5台；
方案二：购进A型智能机器人6台，B型智能机器人2台．
4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购
买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2
个乒乓球拍共需230元．
(1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价．
(2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下：
设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个，①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）．
②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系．
【答案】(1)羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个
(2)①甲商场付款金额为(48a+20b)元，乙商场付款金额为(36a+15b+510)元 ②12a+5b=510
【分析】题目主要考查二元一次方程组的实际应用−销售问题，理解题意，列出方程是解题关键．
（1）这里根据题意设两个未知数，建立相应的二元一次方程组模型，求解即可；
（2）①这一问考查学生的文字理解能力，对于打折销售类问题，不仅要知道售价=标价×折扣，还要
充分考虑到两个商场不同的促销方式，列出符合题意的代数式，然后能准确化简结果；②在第①问的基础
上做这一问就很简单了，直接建立起关于a、b的一个等式，化简就得到它们之间应满足的关系．
【详解】（1）解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个，
由题意得：¿，
解得：¿，
答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个；
（2）解：①甲：0.8×60a+0.8×25b=(48a+20b)元，
乙：15×60+15×25+60×0.6(a−15)+25×0.6(b−15)
=(36a+15b+510)元，
答：甲商场付款金额为(48a+20b)元，乙商场付款金额为(36a+15b+510)元；
②由题意得：48a+20b=36a+15b+510，
整理得：12a+5b=510．
5．（24-25七年级下·福建福州·期末）某班级开展综合实践活动，用如图1所示的正方形和长方形卡纸
（正方形的边长与长方形的宽相等），制作成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体收纳盒，用于收
纳班级文具（制作时的接缝材料不计）．
(1)若该班级准备了正方形卡纸1100张，长方形卡纸2400张，求竖式与横式两种收纳盒各制作多少个，恰
好能将准备的卡纸全部用完；
(2)该班级某一天共使用了正方形卡纸60张，长方形卡纸a张，全部制作成上述两种收纳盒，且
110<a<126，求这一天制作两种收纳盒时a的所有可能值．【答案】(1)制作竖式收纳盒300个，横式收纳盒400个，恰能将准备的卡纸全部用完
(2)在这一天制作两种收纳盒时，a的所有可能值为115，120，125
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组，推出二元一次方程．
（1）设制作竖式收纳盒x个，横式收纳盒y个，根据竖式与横式两种无盖的长方体收纳盒各用正方形和长
方形卡纸的数量，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设制作竖式收纳盒m个，横式收纳盒n个，根据竖式与横式两种无盖的长方体收纳盒各用正方形和
长方形卡纸的数量，列出二元一次方程组，解方程组得出二元一次方程，再由n、a均为正整数，
110<a<126，即可得出结果．
【详解】（1）解：设制作竖式收纳盒x个，横式收纳盒y个，
{ x+2y=1100 ) {x=300)
依题意得： ，解得： ．
4x+3 y=2400 y=400
答：制作竖式收纳盒300个，横式收纳盒400个，恰能将准备的卡纸全部用完．
（2）解：设制作竖式收纳盒m个，横式收纳盒n个，
{m+2n=60)
依题意得： ，
4m+3n=a
a
∴n=48− ，
5
∵n，a为正整数，
∴a为5的倍数，
又∵110<a<126，
∴满足条件的a为：115，120，125．
答：在这一天制作两种收纳盒时，a的所有可能值为115，120，125．
6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）运动会开幕式需要各代表队按正方形方阵（行数和列数相等）入场
展示．如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是正方形形状）两种形式．
(1)7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人．（用含x的代数式表示，其中x为大于4的正整数）(2)某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多1，求m，n的值．
(3)某代表队共有72人，请设计一个正方形方阵，要求全体成员都能参加．（写出一种方案即可）
【答案】(1)40；(8x−16)
{m=8)
(2)
n=7
(3)11列2层空心方阵（答案不唯一）
【分析】（1）根据图形列式计算即可；
（2）根据“排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多1”列方程组求解即可；
（3）设正方形方阵为a列2层空心方阵，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，7列2层空心方阵有：72−32=49−9=40；
x列2层空心方阵有：x2−(x−4) 2=8x−16，
故答案为：40；(8x−16)．
（2）解：由题意可得：m列2层空心方阵人数：8m−16；
n列3层空心方阵人数：n2−(n−6) 2=12n−36，
{ m=n+1 )
∴ ，
8m−16=12n−36
{m=8)
解得： ．
n=7
（3）解：设正方形方阵为a列2层空心方阵
根据题意得，8a−16=72
解得a=11
∴可以为11列2层空心方阵．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了列代数式、二元一次方程组，完全平方公式，一元一次方程的应用等知识点，找
到相等关系列出方程组是解题的关键．
7．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）岳阳特产长乐甜酒和黄茶备受大家喜爱，为了迎接暑假旅游购物高
峰，某特产店欲加购岳阳长乐甜酒和岳阳黄茶礼盒若干．该专柜负责人欲查询两种商品的进货价格，发现
进货单已被墨水污染．
进货单
商品 进价/（元/件） 数量/件 金额/元长乐甜
60
酒
5700
岳阳黄
40
茶
商品采购员李经理对采购情况回忆如下：两种商品共采购了100件，采购费共5700元，且岳阳黄茶礼盒的
进价比长乐甜酒礼盒的进价多30元．
(1)请问长乐甜酒礼盒和岳阳黄茶礼盒的进价分别为多少元？
(2)若长乐甜酒每件的售价为80元，岳阳黄茶每件的售价为120元，考虑到市场需求，特产店计划再次采购
这两种特产共200件，且长乐甜酒的数量不少于60件．设购买长乐甜酒m件，总利润为w元．
①请写出总利润w（元）与m（件）之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②根据函数关系式说明应怎样进货才能使特产店在销售完这批特产时获利最多？最大利润为多少元？
【答案】(1)长乐甜酒礼盒和岳阳黄茶礼盒的进价分别为45元和75元
(2)①w= −10m+9000 (60≤m<200)；②当购买长乐甜酒礼盒件60件，岳阳黄茶礼盒140件时，获得的
利润最大，最大利润为8400元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；
（1）设长乐甜酒礼盒和岳阳黄茶礼盒的进价分别为x元和y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组
即可求解；
（2）①设购买长乐甜酒礼盒m件，则岳阳黄茶礼盒(200−m)件，根据题意列出一次函数关系式；
②根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设长乐甜酒礼盒和岳阳黄茶礼盒的进价分别为x元和y元，
根据题意，得¿，
{x=45)
解得 ；
y=75
答：长乐甜酒礼盒和岳阳黄茶礼盒的进价分别为45元和75元；
（2）解：①设购买长乐甜酒礼盒m件，则岳阳黄茶礼盒(200−m)件，
根据题意，得：
w=(120−75)(200−m)+(80−45)m
=45(200−m)+35m
=−10m+9000，(60≤m<200)
②∵w= −10m+9000，k=−10<0，
∴w随着m的增大而减小，
∵60≤m<200，∴m=60，w有最大值，w=−10×60+9000=8400；
答：当购买长乐甜酒礼盒件60件，岳阳黄茶礼盒140件时，获得的利润最大，最大利润为8400元．
8．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）乡村振兴，科技先行．砀山某果园要将一批梨运往合肥的一家水果
加工厂进行精加工，分两次租用了某物流公司A，B两种型号的货车，具体信息如表（每辆车均满载）：
A型货车/辆 B型货车/辆 累计运货量/吨
第一次 3 2 16
第二次 2 3 19
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求每辆A型货车和每辆B型货车都满载一次可分别运货多少吨；
(2)该果园现有42吨砀山梨，计划同时租用A型货车a辆，B型货车b辆，要求一次运完这批梨，且恰好每
辆车都满载．
①请你帮该果园设计租车方案；
②若A型货车每辆需租金120元/次，B型货车每辆需租金150元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最
少的租车费用．
【答案】(1)2，5；
(2)①共有5种租车方案，分别为：（方案1）租用A型货车1辆、B型货车8辆，（方案2）租用A型货车
6辆、B型货车6辆，（方案3）租用A型货车11辆、B型货车4辆，（方案4）租用A型货车16辆、B型
货车2辆，（方案5）租用A型货车21辆、B型货车0辆．②租用A型货车1辆、B型货车8辆最省钱，
最少的租车费用为1320元．
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，求二元一次方程的非
负整数解、掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）分别设每辆A型货车和每辆B型货车都满载一次的运货量为未知数，根据题意列二元一次方程组并
求解即可；
（2）①根据题意，写出关于a和b的二元一次方程并求其非负整数解即可；
②分别计算各个租车方案的租车费用并比较大小即可．
【详解】（1）解：设每辆A型货车满载一次可运货x吨，每辆B型货车满载一次可运货y吨．
{3x+2y=16)
根据题意，得 ，
2x+3 y=19
{x=2)
解得 ，
y=5
答：每辆A型货车满载一次可运货2吨，每辆B型货车满载一次可运货5吨；（2）解：①根据题意，得2a+5b=42，
{a=1) {a=6) {a=11) {a=16) {a=21)
该方程的非负整数解为 ， ， ， ， ，
b=8 b=6 b=4 b=2 b=0
∴共有5种租车方案，分别为：
（方案1）租用A型货车1辆、B型货车8辆，
（方案2）租用A型货车6辆、B型货车6辆，
（方案3）租用A型货车11辆、B型货车4辆，
（方案4）租用A型货车16辆、B型货车2辆，
（方案5）租用A型货车21辆、B型货车0辆；
②方案1的租车费用为120×1+150×8=1320（元），
方案2的租车费用为120×6+150×6=1620（元），
方案3的租车费用为120×11+150×4=1920（元），
方案4的租车费用为120×16+150×2=2220（元），
方案5的租车费用为120×21+150×0=2520（元），
∵1320<1620<1920<2220<2520，
∴方案1租用A型货车1辆、B型货车8辆最省钱，最少的租车费用为1320元．
9．（24-25八年级下·河南信阳·期末）某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价
如下表所示：
甲 乙
进价（元/部） 4000 2500
售价（元/部） 4300 3000
该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后获毛利润共2.1万元[毛利润=（售价−进
价）×销售量]．
(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？
(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，
已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，设甲种手机减少x部(0<x≤5)，全部销售后毛利润
为y元，求y关于x的关系式．
(3)该商场怎样进货，可使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
【答案】(1)计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；
(2)y=700x+21000(0<x≤5)；
(3)商场进甲种手机15部，乙种手机40部，毛利润最大，最大毛利润为24500元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键．
{ 4000a+2500b=155000 )
（1）设商场购进甲种手机a部，乙种手机b部，依题意有 ，
(4300−4000)a+(3000−2500)b=21000
然后解方程组即可；
（2）设甲种手机减少x部，乙种手机增加2x部，全部销售后毛利润为y元，然后函数解析式
y=(4300−4000)(20−x)+(3000−2500)(2x+30)即可；
（3）由（2）得y=700x+21000，然后根据一次函数性质即可求解．
【详解】（1）解：设商场购进甲种手机a部，乙种手机b部，依题意有
{ 4000a+2500b=155000 )
，
(4300−4000)a+(3000−2500)b=21000
{a=20)
解得 ，
b=30
答：计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；
（2）答：设甲种手机减少x部，乙种手机增加2x部，全部销售后毛利润为y元，则
y=(4300−4000)(20−x)+(3000−2500)(2x+30)
∴y=700x+21000(0<x≤5)；
（3）解：由（2）得，y=700x+21000(0<x≤5)，
∵y是x的一次函数，k=700>0，
∴y随x的增大而增大，
∵0<x≤5，
∴当x=5时，y最大，
此时甲种手机减少5部，乙种手机增加10部，
∴商场进甲种手机15部，乙种手机40部，毛利润最大，y=700×5+21000=24500（元），
答：商场进甲种手机15部，乙种手机40部，毛利润最大，最大毛利润为24500元．
1．（24-25七年级下·天津河西·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻
方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都
相等．例如图①就是一个幻方．
（I）图②是一个未完成的幻方，则x+ y的结果为 ；（II）图③中的x为 （用含a的式子表示）【答案】 12 a−1
【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组应用．
根据每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．可知有公共单元格的横竖斜行的其他两个数
和相等，据此求出未知第三格的数值（或用代数式表示），最后列出方程（组）求解即可．
【详解】解：∵每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等．
由图②中，m=20+6−22=4，
∴y=20+4−22=2，
{x+n=20+4)
∴
2+n=x+6
{x=10)
解得：
n=14
∴x+ y=12，
由图③中，设每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等．
∵K+(a+2)=x+a，∴K=x+a−(a+2)=x−2，∵x+P=(a+2)+(a−5)，∴P=(a+2)+(a−5)−x=2a−x−3，
∵R+P=K+(a−5)，∴R=(x−2)+(a−5)−(2a−x−3)−x=2x−a−4，
∵L+R=a+(a−5)，∴L=a+(a−5)−(2x−a−4)=3a−2x−1，
又∵L+P=x+a，∴L=x+a−(2a−x−3)=2x−a+3，
∴2x−a+3=3a−2x−1，
∴∴x=a−1
故答案为：12；a−1．
2．（24-25七年级下·山西大同·期末）综合与实践
青少年正处于生长发育的黄金阶段．某校食堂为保证学生科学饮食，计划结合青少年每日摄入营养比例设
计一个健康饮食餐盒．
材料搜集：材料1，青少年每餐摄入食物比例整理如下表．
食物 主食 肉蛋类 蔬菜 水果
占比 35% 15% 30% 20%
材料2，学生每餐最少摄入3种颜色的非淀粉类蔬菜．
方案设计：综合与实践小组设计了如图所示的长方形餐盒，其中主食格、菜格、水果格、肉蛋格参考材料
1中数据设计，另外增加了汤格和餐具格，其中，菜格平均分为三块区域．已知AB=25cm，AD=35cm，
DF=2.5cm．设AM=xcm，NF= ycm．
问题解决：请根据题意完成下列解答，
MN
(1)填空：AG=_________cm， =_________．
AM
(2)列方程就是“拉出一个量，将之算两次”，即对一个“量”讲“两个故事”，并把两个“故事”用“=
”号连接起来．请将下列各“量”分别用“两个故事”表示（用含x，y的式子表示）．
第二个“故
“量” 第一个“故事” 用“=”连接
事”AF x+________+ y 32.5 x+______+ y=32.5
ABHM的面积 25x （ ）×50% _____
．．．．．．
(3)请求出x，y的值．
3
【答案】(1)10，
4
(2)见解析
(3)15，6.25．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出二元一次方程组是解题的关键：
（1）根据表格中的比例关系，得到长方形中线段的比例关系进行求解即可；
（2）根据线段的和差关系和图形的面积的计算方法，列出代数式即可；
（3）列出方程组，进行求解即可．
MN 15% 3
【详解】（1）解：由图可表格可知，AG:BG=20%:30%=2:3， = = ，
AM 20% 4
2
∴AG= AB=10cm，
5
3
故答案为：10， ；
4
3 3
（2）由（1）知：MN= AM= x，
4 4
3
∴AF=AM+NM+NF=x+ x+ y，
4
1
由表格可知：ABHM的面积= （长方形ABCD的面积−餐具格的面积−汤格的面积）
2
1
= (25×35−2.5×25−10 y)
2
1
= (812.5−10 y)；
2
填表如下：
第一个“故
“量” 第二个“故事” 用“=”连接
事”
3 3
AF x+ x+ y 32.5 x+ x+ y=32.5
4 4ABHM的面积 25x (812.5−10 y)×50% 25x=(812.5−10 y)×50%
．．．．．．
（3）列方程组¿
解得¿
答：x，y的值分别为15，6.25．
3．（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小宏记录了他家连续两天购买A，B两种年货（两次购买年
货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共172元；第二天购买3个A种年货和2
个B种年货共84元．
(1)小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由；
(2)原来，小宏把第一天的费用152元写成了172元，修正后求出每个A种年货单价16元，每个B种年货单
价18元，小宏一家决定再次购买A，B两种年货共20个，设总费用y元，且总费用低于340元但不少于
330元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案．
【答案】(1)见解析
(2)有5种购买方案，当m=11时，y=338，花费最高
【分析】本题考查二元一次方程组的实际问题和一元一次不等式的实际问题，正确理解题意，找出数量关
系并列出方程组或不等式是解题的关键．
（1）根据题意，设A、B两种年货单价分别为x、y元，列出方程组求解，然后结合实际说明即可；
（2）设购买A种年货m个，列出不等式组求解，然后结合实际情况即可求解；
【详解】（1）解：设A、B两种年货单价分别为x、y元，
{5x+4 y=172)
即 ，
3x+2y=84
{x=−4)
解得： ，
y=48
∵A种年货单价不应为负，
∴小宏记录错误．
（2）解：设购买A种年货m个，则B种年货(20−m)个，
即：y=360−2m，
{16m+18(20−m)<340)
即 ，
16m+18(20−m)≥330
解得：10<m≤15，∵年货个数为正数，
∴m可以取11、12、13、14、15，
∴共有5种购买方案；
∵y=360−2m是y关于m的一次函数，
∴y随m的增大而减小，
即当m=11时，y取最大值，y=338，
∴当m=11时，花费最高；
4．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）根据素材，完成任务．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短
两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个
材
乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1:7与
一 1:9．
1．短管子售价：a元/根，长管
子售价：2a元/根
素
某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校 2．6月1日起，购买3根长管子
材 花费320元向该商店购得的长管子数量比花 赠送1根短管子．
200元购得的短管子数量少80根．
二 3．本店库存数量有限，长管子
仅剩267根，短管子仅剩2130
根，先到先得！
素
6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来
材
制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完．
三
问题解决
任
求制作一个甲、乙款雪花模型分
务 分析雪花模型结构
别需要长、短管子多少根？
一
任
试求a的值并求出假如6月只制
务 确定采购费用 作一个甲款雪花模型的材料采购
费．
二
任
求出所有满足条件的采购方案，
务 拟定采购方案 并指出哪种方案得到的雪花总数
最多．
三
【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：a=0.5；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：购买258根长管
子，2130根短管子；购买261根长管子，2125根短管子；购买264根长管子，2120根短管子；购买267根
长管子，2115根短管子；当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不
等关系列出方程或不等式．
任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子7x根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y
根，则短管子9 y根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程
组，解方程组即可；
任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需
要的费用即可；
任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据总费用1280元列出方程
1( m) 5
2×0.5m+ n− =1280，得出n=2560− m，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，
2 3 3
{ m≤267 )
列出不等式组 5 ，求出258≤m≤267，根据m必须能被3整除，得出m=258，261，
2560− m≤2130
3
264，267，从而得出购买方案，根据制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，
得出长管子数越多制作的雪花模型越多，当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多．
【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子7x根，制作一个乙款雪花模型
需要长管子y根，则短管子9 y根，根据题意得：
{ x+ y=6 )
，
7x+9 y=48
{x=3)
解得： ，
y=3
7x=21，9 y=27，
答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则
短管子27根；
任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根，
320 200
∴ +80= ，
2a a
解得：a=0.5，经检验a=0.5是原方程的根；
∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子，
∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为：
2×0.5×3+(21−1)×0.5=13（元）；
任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据题意得：
1( m)
2×0.5m+ n− =1280，
2 3
5
解得：n=2560− m，
3
∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，
{ m≤267 )
∴ 5 ，
2560− m≤2130
3
解得：258≤m≤267，
∵m必须能被3整除，
∴m=258，261，264，267，
5
当m=258时，n=2560− ×258=2130，
3
∵258÷3=86，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共86个，需要的短管子最少为86×21=1806（根），最多为：
86×27=2322（根），
∵1806<2130<2322，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买258根长管子，2130根短管子；
5
当m=261时，n=2560− ×261=2125，
3
∵261÷3=87，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共87个，需要的短管子最少为87×21=1827（根），最多为：
87×27=2349（根），
∵1827<2125<2349，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买261根长管子，2125根短管子；5
当m=264时，n=2560− ×264=2120，
3
∵264÷3=88，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共88个，需要的短管子最少为88×21=1848（根），最多为：
88×27=2376（根），
∵1848<2120<2376，
∴此时短管子可以用完，
∴购买264根长管子，2120根短管子；
5
当m=267时，n=2560− ×258=2115，
3
∵267÷3=89，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共89个，需要的短管子最少为89×21=1869（根），最多为：
89×27=2403（根），
∵1869<2115<2403，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买267根长管子，2115根短管子；
∵制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，
∴长管子数越多制作的雪花模型越多，
∴当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多．
