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5.3 二元一次方程组的应用
10大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（4道）
一、行程问题
1．（24-25七年级下·北京丰台·期末）自行车一般是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．
1
设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为 ．现有某品牌自行车
a
的前轮胎行驶达到5000公里时报废，后轮胎行驶达到3000公里时报废．如果该自行车行驶若干公里后，
将前后轮胎进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（ ）
A．3250公里 B．3500公里 C．3750公里 D．4000公里
2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台
A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．
在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接
着B型机器人走20步，共需要27秒．
(1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
(2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A
型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次
接力任务的时间可能是多少秒？
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个户外运动俱乐部的成员完成了两天的徒步运动．两天的徒步时
间分别为8h和10h，共走了98km，且第一天比第二天少走2km，这个俱乐部的成员两天徒步的平均速度
各是多少？
4．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）小红和姐姐相距1.6km．如果她们同时出发且相向而行，那么
经过10min两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发10min，那么在小红出发后15min姐姐追
上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？
二、工程问题
1．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调902
人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的 ，则甲、乙两队分别分到的人数为（ ）
3
A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）某地为打造运河风光带，雇用A，B两个工程队共同完成一段长为
180m的河道的清理任务．已知A工程队每天清理12m，B工程队每天清理8m，两个工程队工作天数之和
为20天，A，B工程队分别清理了多长的河道？
3．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，
乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了20%，乙工厂
每天的加工效率比原来降低了30%，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工
鲜奶多少千克．
4．（24-25九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，
吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长1.8千米的穿山隧道．为缩短
工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过20天施
工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？
5．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）阅读理解：
为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务，由A，B两个工程队先后接力完成，A工
程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天．
(1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲：¿
乙：¿
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请分别指出未知数x，y表示的意义．
甲：x表示______， y表示：______．乙：x表示______， y表示______．
(2)补全乙方程组，求出乙方程组的解，并回答A，B两个工程队分别整治河道多少米．
三、和差倍分问题
1．（2024·浙江·二模）2023年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华
发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人．则1
艘大船可以满载游客的人数为（ ）A．10 B．16 C．18 D．20
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地
上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多
少只鸽子？
3．（2025九年级下·海南海口·专题练习）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B
两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，
且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．求今年每套A型、B型一体机的价格各是
多少万元？
四、几何问题
1．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，将一块长12米宽6米的长方形苗圃划出五个大小相同的小长
方形来种植五种不同的植物，则剩余阴影部分的面积为（ ）平方米．
A．32 B．40 C．44 D．48
2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图1是由8个边长分别为x，y的小长方形拼成的大长方形．
(1)请直接写出x与y之间满足的关系式（用x的代数式表示y）．
(2)将图1中的8个小长方形放入一个大长方形中，按如图2摆放．①用x，y的代数式表示大长方形的宽AD；
②若三块阴影部分的面积之和为189，求小长方形的面积．
3．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，一个大矩形中有5个形状大小完全相同的小矩形，每个小矩
形的宽都为1．若图中阴影部分的面积为42，求小矩形的长．
4．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）小亮在拼图时，发现8个大小一样的长方形恰好可以拼成图1所示
的一个大长方形．小莹又用这8个长方形拼成了图2所示的正方形，正方形中间的空白处是一个边长为
2mm的小正方形．
(1)求这8个大小一样的长方形的长和宽；
(2)用不超过40个上述大小一样的长方形，按照图1这种拼图方式（上边的长方形竖放，下边的长方形横
放）拼长方形，共有多少种拼法？写出每种拼法中竖放和横放的长方形的个数．
五、数字问题
1．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驱“洛书”，献给
大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格
中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图，是一个不完整的幻方，根据幻
方的规则，由已知数求出x- y的值应为 ．
y 7
3 x
6
2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）有一个两位数，其数字之和是8，个位上的数字与十位上的数字互换后所得新数比原数小36，求原数．分析：设个位上和十位上的数字分别为x、y，则原数表示为 ，新
数表示为 ；故列方程组为 ．
3．（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为a，个位数字为b，已知十位数字
与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的
两位数小18．
(1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含a，b的代数式表示）
(2)根据题意，求原来的两位数．
4．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将
不重复的9个数依次填入3×3方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便
构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”．
(1)写出图2中a和b之间的数量关系；
(2)求出图3中x和y的值．
六、方案问题
1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”，经历是最好的学习，研学是最
美的相遇．某中学组织七年级420名师生开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是林
老师和小辰同学有关租车问题的对话：
林老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150
元．”
小辰：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金
共计5100元．”
根据以上师生两人对话，解答下列问题：
(1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问共有几种租车方案？
2．（24-25七年级下·河北承德·期末）【项目主题】绿色校园，资源再生【项目背景】某校七年级为响应“低碳生活”号召，开展“废品重生计划”实践活动，号召学生将可回收
物分类收集，兑换学习用品和环保工具，培养节约习惯．某班45人全部参与，活动持续三周．
【活动步骤】
第一步：每周收集易拉罐和旧报纸；
第二步：每周五根据兑换表将回收物兑换为笔记本或大环保袋；
第三步：生活委员记录每周收集和兑换数据．
【统计数据】
数量 第一周 第二周 第三周
易拉罐/个 80
旧报纸/张 120
总数 200 188
兑换表
5个易拉罐或4张旧报纸换1本笔记本；
25个易拉罐或20张旧报纸换1个大环保袋
【解决问题】
(1)若该班第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本，则可兑换多少本？
(2)若该班第二周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本（易拉罐和报纸总数可整除且无剩余），
共兑换了41本．求第二周收集的易拉罐和旧报纸的数量．
(3)在（1）和（2）的基础上，若该班第三周先用部分易拉罐兑换笔记本，剩余回收物（两种回收物都有）
恰好兑换了5个大环保袋，三周兑换的笔记本平均分给全班的同学，每人恰好分2本，求第三周收集的易
拉罐和旧报纸的可能数量（分析并列举出所有整数解）
3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下信息，探索完成任务：
如何设计租车方案？
13度的甜，14度的鲜，兰溪杨梅以其独特的魅力，吸引着无数食客杨梅种植户欲将一批杨
素材1 梅运往外地销售，若用3辆A型车和2辆B型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆A型车和
3辆B型车载满杨梅一次可运走18吨．
杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆
素材2
车都载满杨梅．
素材3 A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次．
问题解决任务一：分
1辆A型车和1辆B型车都载满杨梅，一次可分别运杨梅多少吨？
析数量关系
任务二：确
请你帮杨梅种植户设计35吨杨梅运输的租车方案．
定可行方案
任务三：选
请你选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费．
取最优方案
4．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计门票购买方案？
乒乓球比赛的门票分为A, B, C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票
素材1 需要700元；购买2张A档门票和3张B档门票需要1200元；购买1张C档门
票需要80元．
素材2 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票．
素材3 某公司计划组织30名员工观看比赛．
问题解决
任务1 求A档和B档门票的单价．
任务2 购买门票中，A档9张，B档11张，求公司购买门票至少需要多少元．
该公司购买门票共花了4040元，且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符
任务3
合条件的购买方案，并写出解答过程．
七、分配问题
1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）某车间有49名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且一个
螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工
人生产螺母？
2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方
桌的桌面50个或做桌腿200条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
3．（24-25七年级下·陕西延安·期中）某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形
的边长相等）可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．两种长方体
容器与所需铁片的数量关系如下表：
1个竖式无盖容 1个横式无盖容
器 器
长方形铁片的数
4张 3张
量
正方形铁片的数
1张 2张
量
(1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图②的竖式容器和横式容器，两种铁片刚好全
部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？
(2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板
计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？
八、销售问题
1．（24-25七年级下·山东聊城·期末）某县有着丰富的非物质文化遗产，其中草编技艺和糖画制作极具特
色，在该县文化旅游节期间，某文创店铺专门售卖草编摆件和糖画，已知购买2个草编摆件和3幅糖画，
共需花费110元；购买3个草编摆件和2幅糖画，共需花费140元．求每个草编摆件和每幅糖画的价格分
别是多少？
2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）商店购入篮球和足球若干个．篮球进价80元/个，足球进价50元/个，
(1)若商店购入篮球10个，足球15个，则需要元；(2)若商店购入篮球和足球共25个，总共花了1700元，求篮球和足球各多少个？
3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）某校七年级收到社区捐款共计9000元，准备将这些捐款全部用于购
买记号笔和盲盒作为纪念品分发给学生．已知买3支记号笔和2个盲盒需花费29元，买6支记号笔和1个
盲盒需花费28元．若该年级共有600个学生，每个学生都希望分到2支记号笔和1个盲盒，请通过计算分
析该希望能够实现吗？
4．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）2025年2月7日，第九届亚冬会在冰城—哈尔滨盛大开
幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人
群购买．已知购买1个A种吉祥物和2个B种吉祥物共需290元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物
共需700元．求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元？
九、古典问题
1．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十
斗，酯酒一斗直粟三斗，今持粟三解，得酒五斗，问清、酯酒各几何? ”意思是：现在一斗清酒价值10斗
谷子，一斗酯酒价值3斗谷 子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、酯酒各几斗．设清酒x 斗，酯酒
y 斗，则可列方程组为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
2．（24-25七年级下·四川广元·期末）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1、图2中
各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图表示的方程组
形式为¿，类似地，若图2所示的算筹图列出的方程组的解为x=3，则图2中的“？”所表示的算筹为
（ ）A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·河北唐山·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，记载了利用算筹表示方程组的
¿
方法，算筹图 表示的方程组是 ，那么算筹图 表示的方程组是 ．
4．（24-25七年级下·山东德州·期末）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三
瓶醉一人，共同饮了一十六，三十八客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多薄？”这首诗是说：“好
酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今38位客人醉倒了，他们总共饮16瓶酒．
试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为 ．
十、其他问题
1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后
（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入 个大
铁球和 个小铁球．（写出一组符合要求的值即可）
2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每
户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；超过12m3时，超过部分按二级单价收，五月份张华家用
水14m3，缴费37.6元；李明家用水17m3，缴费47.2元．若陈智家用水11m3，则应缴费 元．
3．（24-25七年级下·山东聊城·期末）麦收季节到了，某农场计划租用收割机来进行收割．据了解1台大
型收割机和2台小型收割机1小时可以完成22亩麦田的收割，2台大型收割机和3台小型收割机1小时可
以完成38亩麦田的收割．
(1)大、小型收割机每小时各收割麦田多少亩？
(2)该农场共有100亩麦田，若计划1小时完成收割，，请通过计算说明有多少种不同的租赁方式（两种收
割机都租用）？
4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出
现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h(cm)随着时
间t(min)的改变而改变．它的水位可用公式h=pt+q计算．已测得当t=1(min)时，水位h=1.1(cm)；当t=5(min)时，水位h=2.7(cm)．
(1)求p，q的值；
(2)当水位h=4.7(cm)时，求时间t(min)的值．
1．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一
块长200 m、宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，
才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的
相等关系，可列出方程组求解．
方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和长方形EBCF，求
AE，BE的长度是多少?
方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形DMNC和长方形MABN土地中种植甲、乙两种作物，
求AM，DM的长度是多少?
请你从以上两种方案中任选一种完成解答．
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某物流公司用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货18吨；
用3辆A型车和4辆B型车装满货物一次可运货25吨．现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车
b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货多少吨？
(2)若A型车每辆每次需租金100元，B型车每辆每次需租金150元．请选出最省钱的租车方案，并求出此时的租车费用．
3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与
物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B
两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
A型机器人台 B型机器人台 总费用（单位：万
数 数 元）
2 1 200
3 2 340
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业用了520万元购进以上型号智能机器人（两种型号智能机器人均有购买），请你求出所有购买
方案
4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购
买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2
个乒乓球拍共需230元．
(1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价．
(2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下：
设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个，
①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）．
②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系．
5．（24-25七年级下·福建福州·期末）某班级开展综合实践活动，用如图1所示的正方形和长方形卡纸
（正方形的边长与长方形的宽相等），制作成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体收纳盒，用于收
纳班级文具（制作时的接缝材料不计）．(1)若该班级准备了正方形卡纸1100张，长方形卡纸2400张，求竖式与横式两种收纳盒各制作多少个，恰
好能将准备的卡纸全部用完；
(2)该班级某一天共使用了正方形卡纸60张，长方形卡纸a张，全部制作成上述两种收纳盒，且
110
