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第 08 讲 二次函数的实际应用（六大类型）
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数
学的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个
有效的数学模型．
知识点1 ：运动类
（1）落地模型
（2）最值模型
知识点2 ：经济类
销售问题常用等量关系 ：
利润=收入-成本； 利润=单件利润×销量 ；
知识点13 ：面积类
知识点4：拱桥类
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设
出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【题型1 运动类（1）落地模型】
【典例1】（2023•原平市一模）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实
心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑
空气阻力，实心球的飞行高度 y（单位：米）与飞行的水平距离 x（单位：
米）之间具有函数关系y＝﹣ x2+ x+ ，则小康这次实心球训练的成绩为
（ ）
A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
【变式1-1】（2022秋•罗山县期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行高度
y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣ ．问：此
运动员能把铅球推出多远？（ ）
A．12m B．10m C．3m D．4m
【变式1-2】（2022秋•西岗区校级期末）小强在一次训练中，掷出的实心球飞
行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系大致满足二次函数
，则小强此次成绩为（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
【题型2 运动类（2）最值模型】
【典例2】（2022秋•任城区校级期末）飞机着陆后滑行的距离 s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机着陆后滑行到停止下
来，滑行的距离为（ ）
A．500米 B．700米 C．600米 D．800米
【变式2-1】（2023•郸城县一模）某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中
垂直于地面安装一个柱子OP，安置在柱子顶端P处的喷头向外喷水，水流
在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过 OP的任一平面上，建立
平面直角坐标系（如图所示），水平距离 x（m）与水流喷出的高度y（m）
之间的关系式为 ，则水流喷出的最大高度是（ ）
A．5.5m B．5m C．4.5m D．4m
【变式 2-2】（2023•泰兴市二模）某学校航模组设计制作的火箭升空高度 h
（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+12t+1．如果火箭在点火
升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面 m处打开．
【变式2-3】（2023春•二道区校级月考）向空中发射一枚信号弹，经x秒后的
高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此信号弹在第
8秒与第14秒时的高度相等，则在 秒时信号弹所在高度最高的．
【题型3 经济类-二次函数与一次函数初步综合】
【典例 3】（2023•宝应县二模）某商家经营某种商品，该商品的进价为 30
元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量 y（单位：件）与销售价 x
（单位：元/件）（x为正整数）之间的关系绘制成函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）若某周该商品的销售量不少于800件，求这周该商家销售这种商品获得
的最大利润；
（3）规定这种商品的销售价不超过进价的 2倍，若商品的进价每件提高 m
元（m＞0）时，该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请
求出m的取值范围．【变式3-1】（2023•长阳县一模）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，
销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八
折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的销售量 y（箱）与当天的售
价x（元/箱）满足一次函数关系，如表是其中的两组对应值．
售价x … 35 38 …
（元/箱）
销售量y … 130 124 …
（箱）
（1）若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为 11 6
箱；
（2）该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利 1320元？若能，请求出当天的
销售价；若不能，请说明理由．
（3）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种
蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？【变式 3-2】（2023•太康县一模）五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进
A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A
商品和3件B商品，需1300元．
（1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设 A 商品的销售单价为 x（单位：元/件），在销售过程中发现：当
220≤x≤380时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一
次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
销售单价x（元/件） 220 380
日销售量y（件） 180 20
请写出当220≤x≤380时，y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单
价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【变式3-3】（2023•岳麓区校级二模）从2020年开始，越来越多的商家向线上
转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直
播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售
量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利
润为W（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为
多少元？
（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．
【题型4 经济类-二次函数中的“每每问题”】【典例4】（2023•黄石一模）某商品的进价为每件 40元，当售价为每件50元
时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖
10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元，每个月的销
售量为y件．
（1）则y与x的函数关系式为： ，自变量x的取值范围是：
；
（2）每件商品的售价定为多少元时（x为正整数），每个月可获得最大利润？
最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品都有 a（a＞0）元的其它费用，商家发现当
售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请直接写出a
的取值范围： ．
【变式4-1】（2023•南海区校级模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先
行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一．深圳
着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本
价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销
售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售 30杯．店家计划在
2023年春节期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售
y杯．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？【变式4-2】（2023•阳信县二模）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界
瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．
某商家以每套32元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售
价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之
间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润 W最大，最大利润
是多少元？
（3）如果每天的利润要达到6080元，并且尽可能的让利于顾客，则每套的
售价应该定为多少元？
【变式4-3】（2023•建昌县二模）某纪念品的进价为每件 40元，售价为每件
50元，每星期可卖出200个．经市场调查发现：以不低于现售价的价格销售
该商品，售价每上涨1元，则每星期少卖4个（每件售价不高于68元），设
每件商品销售单价为x（元），每星期销售量为y（个）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）将该纪念品的销售单价定为多少元时，每星期销售这种产品获得的利
润最大？最大利润是多少元？
【变式4-4】（2023•东莞市校级三模）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增
加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每
天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是多少？
（2）房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？
【题型5 面积类】
【典例5】（2023•越秀区校级一模）如图，有长为12m的篱笆，现一面利用墙
（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为9m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
【变式5-1】（2023•锦江区校级模拟）用长为12米的铝合金型材做一个形状如
图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为 x米，窗框的透光面积为S平方米．
（铝合金型材宽度不计）
（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）求S的最大值．
【变式5-2】（2023•东莞市校级二模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充
分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长
度为24m．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求BD长度；
（2）求矩形养殖场的总面积最大值为多少．
【变式5-3】（2023•凉山州模拟）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动
课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价
值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃 ABCD，苗圃的一面靠墙
（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏
隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不
用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．
（1）矩形ABCD的另一边BC长 米（用含的代数式表示）；
（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；
（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？
【题型6 拱桥类】
【典例6】（2023•武功县模拟）在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛
物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为 4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳
子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，
小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．
【变式6-1】（2023•会昌县模拟）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球
员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，
射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门 14米时，足球达到
最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方球
门所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求满足条件的抛物线的函数表达式；
（2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88
米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？
【变式6-2】（2023•仁和区二模）掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育
考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物
线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 m，当水平距离为 3m 时，实心球行进至最高点 3m 处．
（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据攀枝花市高中阶段学校招生体育
考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大
于等于7.80m，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，
请说明理由．
【变式6-3】（2023•碑林区校级模拟）为培养学生劳动实践能力，某学校在校
园内开辟出一块劳动实践基地，搭建了一个横截面为抛物线型的大棚，如图
建立平面直角坐标系，使抛物线对称轴为y轴，AB＝6m，CO＝3m．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）大棚的门是一个矩形 EFGH，要求点E、F在抛物线上，门的高度 FG
与宽度EF的比为2：3，那么门的宽度EF应设计成多少米（不考虑材料厚
度）？（结果保留根号）
1．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2．
2．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的
精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从 2m高的跳台滑出后的运动路线是一
条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为 xm，与跳台底部所在水平面的竖直
高度为ym，y与x的函数关系式为 y＝ x2+ x+2（0≤x≤20.5），当她与
跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
3．（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛
物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度 y（单位：m）与水平
距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣ x2+ x+ ，则铅球推出的水平距离
OA的长是 m．
4．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为 8元，在销
售过程中，每天的销售量 y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，
当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品
的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．5．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 y＝﹣
0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为
3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
6．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用
木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的
出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．
7．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意
见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、
Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实
线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 AE
＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 BC应设
计为多长？此时最大面积为多少？8．（2023•南充）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日
产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，
每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，
售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与
每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2．
（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w 元，w 元，请分别写出w ，
1 2 1
w 与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
2
（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用
含m的代数式表示）
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．
【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】
9．（2022•无锡）某水果店出售一种水果，每箱定价 58元时，每周可卖出300
箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每
周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗
费为3元．
（1）若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？
（2）根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润
最多？10．（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件 8元，在销售过程
中发现，每天的销售量 y（件）与每件售价 x（元）之间存在一次函数关系
（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为 9元时，每天的销
售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的
售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利 w（元），当每件消毒用品的售价
为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
11．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了
6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的 1.1倍，且
第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的
挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降
价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件
售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
12．（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图 1 是一名学生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 y
（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为
m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准，投掷过程中，实心
球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．
该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》1．（2023•东莞市校级模拟）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时
间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时
间才能停下来（ ）
A．10s B．20s C．30s D．40s
2．（2022秋•潼南区期末）小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图
所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的表达式为 ，其
中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球过
程中，实心球的最大高度是（ ）
A．3m B． m C． m D． m
3．（2022秋•牡丹区校级期末）校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅
球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足 h＝﹣ x2+ x+ ，
则该运动员掷铅球的成绩是（ ）
A．6m B．10m C．8m D．12m
4．（2021秋•鄄城县期末）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建
立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝﹣ x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
5．（2022秋•红桥区期末）如图，计划用总长为43m的篱笆（图中虚线部分）
围成一个矩形鸡舍ABCD，其中一边AB是墙（可利用的墙的长度为21m），
中间共留两个1m的小门，设篱笆BC长为xm．
（1）AB的长为 （m）（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形鸡舍ABCD的面积为150m2，求篱笆BC的长；
（3）求矩形鸡舍ABCD面积的最大值及此时篱笆BC的长．
6．（2023•葫芦岛一模）某公司经销一种绿茶，每千克成本为 50元，市场调查
发现，在一段时间内，销售量 y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而
变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 w（元）．
解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式：
（2）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要
在这段时内获得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？7．（2023•金乡县三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对
一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可
卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加
2件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少
元？
（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
8．（2023•会昌县模拟）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离
对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球
门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高
度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方球门所在
直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求满足条件的抛物线的函数表达式；
（2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88
米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？9．（2023•攀枝花模拟）为应对近年冬季出现的寒冷天气，农科所在某蔬菜基
地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型，一端固定在距离地面 1m
的墙体A处．另一端固定在对面墙体上距离地面 2m的B处，现建立平面直角
坐标系（如图所示）．已知大棚上某处离地面的高度 y（单位：m）与其离墙体
OA的水平距离x（单位：m）之间的关系满足：y＝﹣ +bx+c，两墙体之间
的距离OC＝6m．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）现打算在大棚顶部最高处安装照明设备，试计算设备安装位置距离地
面的高度；
（3）为了避免大雪压垮顶棚，现打算加装一根长度为tm的支撑立柱（立柱
位于墙体OA和墙体BC之间），立柱距离两边墙体的水平距离不少于2m，
直接写出立柱长度t的范围．
