文档内容
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模块一 数与代数基础
第 03 讲 函数与实际问题
（思维导图+3考点+10题型18考向）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 一次函数与实际问题
►题型01 方程组、不等式组与实际问题
►题型02 含参数的最值与方案问题
考点二 反比例函数与实际问题
►题型01 反比例函数与实际问题-新考法
►题型02 反比例函数与实际问题-跨学科
考点三 二次函数与实际问题
►题型01 利润问题
考向一 求利润的最大值
1）顶点处取最值
2）端点处取最值
考向二 利润最值分析
考向三 涉及关联变量的计算问题
►题型02 面积问题
考向一 求面积的最大值
1）图形面积类
2) 围墙类
考向二 加权面积最值计算
考向三 涉及关联变量的计算问题
►题型03 分段函数
考向一 区间最值的比较
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考向二 区间计算最值
►题型04 二次函数路径建模
考向一 落点高度分析
考向二 落点的距离分析
考向三 分析落点求高度范围
考向四 落点分析求参数值
考向五 结合一次函数建模
考向六 双二次函数建模
►题型05 抛物线建筑建模
考向一 距离计算
考向二 面积计算
►题型06 二次函数运动建模
考向一 竖直高度计算
考向二 水平距离计算
01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
函数是初中数学的关键内容，尤其在实际问题中的应用，一直是中考数学的重点。
以下是对此的简要分析：
一、命题趋势
1. 基础概念：中考依然重视函数的基本定义和表达方式，学生需熟练掌握。
2. 函数与方程、不等式：这些内容的内在联系是考试热点，需灵活运用函数思想解决
相关问题。
3. 开放性与灵活性：近年试题更加开放和灵活，函数与实际问题的结合更多样化。
4. 数形结合：利用函数图像解决实际问题，特别是“动点问题”，是常见考查形式。
二、常见题型
函数与实际问题 1. 销售问题：用二次函数解决利润最大化问题，建立模型求解。
2. 行程问题：通过一次或二次函数模型，解决速度、时间和距离问题。
3. 拱桥/隧道/拱门问题：涉及抛物线模型，建立坐标系，求解析式和用图像信息解题。
4. 面积最值问题：建立二次函数模型求解图形面积的最大或最小值。
三、解题策略
1. 仔细审题：理解题意，理清变量和常量及其关系。
2. 建立模型：选择合适函数模型，建立解析式。
3. 利用函数性质：掌握二次函数的图像和性质，快速解题。
4. 检验结果：确保结果符合实际意义。
四、备考建议
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1. 扎实基础：熟练掌握函数基本概念和性质，理解与方程、不等式的关系。
2. 多做练习：通过练习熟悉题型和方法，提高解题速度。
3. 注重应用：加强函数在实际中的应用训练，培养解决问题的能力。
4. 强化数形结合：提高利用函数图像解题的能力，尤其是动点问题。
总之，函数与实际问题的结合是中考数学的重要考点，考生需掌握基础，注重解题
策略和应用能力，才能取得好成绩。
02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 一次函数与实际问题
►题型01 方程组、不等式组与实际问题
1．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，
用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．
问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是48元
(2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，
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找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是(x+8)元，根据用1000元购买的五子棋数量和用
1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可；
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋(30−m)副，根据购买五子棋数量不超过
象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的
性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是(x+8)元，根据题意得：
1000 1200
=
x x+8
解得：x=40，
经检验x=40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+8=48．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是48元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋(30−m)副，根据题意得：
m≤3(30−m)，
1
解得：m≤22 ，
2
w=40m+48(30−m)=−8m+1440，
∵−8<0，
∴w随m的增大而减小，
1
∴在m≤22 中，
2
∵m为正整数，
∴当m=22时，w有最小值，最小值为−8×22+1440=1264（元），
则30−22=8（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
2．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递
分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
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3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，
能使每天分拣快递的件数最多?
【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不
等式的应用是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结
果即可；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人(10−a)台，先求出a的取值范围，再得出每天
分拣快递的件数=22a+18(10−a)=4a+180,当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
¿
解得¿，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人(10−a)台，
∴80a+60(10−a)≤700，
∴a≤5，
∵每天分拣快递的件数=22a+18(10−a)=4a+180，
∴当a=5时，每天分拣快递的件数最多为4×5+180=200万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高
10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过
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11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是30元和20元
(2)A种纪念品购进267件，B种纪念品购进133件，两种纪念品使总费用最少
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
（1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是(x−10)元，利用数量=总价÷单价，结合“用
600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可；
（2）设购买a件A种纪念品，总费用为y元，利用总价=单价×数量，可得出关于a的一次函数，求出a的
取值范围，根据函数的增减性解题即可．
【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为x元，则B种纪念品的单价为(x−10)元，
600 400
= ，
x x−10
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解，
∴B种纪念品的单价为x−10=20元，
答：纪念品A、B的单价分别是30元和20元．
（2）解：设A种纪念品购进a件，总费用为y元，
则y=30a+20(400−a)=10a+8000，
又∵¿，
800
解得 ≤a≤300，
3
∵10>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=267时，购买这两种纪念品使总费用最少，
这时A种纪念品购进267件，B种纪念品购进400−267=133件，两种纪念品使总费用最少．
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两
种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 a 22
乙 b 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705
元．
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(1)求a,b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不
大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销
售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的
取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
【答案】(1)a=14，b=19
(2)y=¿，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶
（1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克
需705元”列方程求解即可；
（2）分50≤x≤80，800，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=80时，y有最大值，最大值为2×80+900=1060，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当800)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的
最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润−日支出费用）
【答案】(1)n=−30x+1500
(2)这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大
(3)2
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系
是解题的关键．
（1）先判断n与x成一次函数关系，设n与x之间的函数表达式为n=kx+b(k≠0)，运用待定系数法即可求
解；
（2）设日销售利润为w元，由题意得：w=n(x−30)，根据一次函数图象的性质即可求解；
（3）设日获利为w元，由题意得：W =n(x−30−a)，结合二次函数图象的性质，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少150kg，
∴n与x成一次函数关系，设n与x之间的函数表达式为n=kx+b(k≠0)，
将(30,600)，(40,300)代入，得：
¿，
解得：¿，
∴n=−30x+1500；
（2）解：设日销售利润为w元，由题意得：
w=n(x−30)
=(−30x+1500)(x−30)
=−30x2+2400x−45000
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=−30(x−40) 2+3000，
∵a=−30<0，抛物线开口向下，
∴当x=40时，w有最大值3000．
∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）解：设日获利为W元，由题意得：
W =n(x−30−a)
=(−30x+1500)(x−30−a)
=−30x2+(2400+30a)x−(1500a+45000)，
2400+30a 1
对称轴为x=− =40+ a，
2×(−30) 2
1 1 1
当010，40+ a>45，则当x=40时，W有最大值，将x=40代入，得：
2
W =−30×402+(2400+30a)×40−(1500a+45000)
=−48000+96000+1200a−1500a−45000
=−300a+3000
当W =2430时，
2430=−300a+3000，
解得：a =1.9<10（舍去）；
1
综上所述，a的值为2．
3．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号
任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的
进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
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(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的
售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过
1
“天宫”模型数量的 ，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多
4
少？
【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元
(2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用，
对于（1），先设设“天宫”模型进价为每个x元，可表示“神舟”模型进价，再根据200元购进的模型的
个数之差为2列出分式方程，求出解并检验即可；
对于（2），先设购进“神舟”模型a个，表示购进“天宫”模型的个数，用含有a的关系式表示总利润
1
w，然后根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 得出不等式，求出a的取值范围，最
4
后根据一次函数的性质得出最大值．
【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个(x+5)元，
200 200
依题意得 = +2，
x x+5
解得x=20．
经检验，x=20是原分式方程的解.x+5=25．
答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．
（2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型(100−a)个，
∴w=(35−25)a+(28−20)(100−a)=2a+800．
1
∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 ．
4
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1
∴a≤ (100−a)，
4
解得：a≤20．
∵w=2a+800，k=2>0．
∴当a=20时，w =2×20+800=840（元），
max
即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．
4．（2024·河北沧州·模拟预测）某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行
器所在海拔高度y（单位：m）与上升时间x（单位：min）满足一次函数关系，部分数值如表：
上升时间x(单位：min
… 5 15 …
）
海拔高度y（单位：m） … 10 20 …
乙飞行器从海拔15m的高度，以0.5m/min的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态．
(1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度y（单位：m）与上升时间x(单位：min）之间的函数关
系式；
(2)①求甲飞行器的初始高度；
②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明
理由；
(3)若甲飞行器因为电量不足，上升40min后，减速为0.3m/min继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，
设两个飞行器的高度差为h（单位：m）．请直接写出：当40≤x≤80，h最多为多少米？
【答案】(1)甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为y=x+5，乙飞行器所在位
置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为y=0.5x+15
(2)① 25m；②能，25m
(3)h最多为10m
【分析】（1）利用待定系数法求出甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式，根
据”路程=速度×时间“求出乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式；
①将x=0代入甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式，求出对应y的值即可；
②令两函数值相等并解方程求出x的值，再将x的值代入任一函数求出y的值即可；
求出当40≤x≤80时，甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式，用绝对值将h
表示出来，利用一次函数的增减性和x的取值范围求出h的最大值即可．
本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的关系及待定系数法求函数表达式、一次函数的增
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减性是解题的关键．
【详解】（1）解：设甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)
将x=5，y=10和x=15，y=20分别代入y=kx+b(k≠0)，得¿
解得¿，
∴y =x+5；
甲
根据题意，得乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为y=0.5x+15；
∴甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为y=x+5，乙飞行器所在位置的海拔高
度y与上升时间x之间的函数关系式为y=0.5x+15
（2）解：①在y=x+5中，当x=0时，y=5，
∴甲飞行器的初始高度是5m；
②在某时刻甲、乙两个飞行器能位于同一高度．
当甲、乙两个飞行器位于同一高度时，得x+5=0.5x+15，解得x=20，
20+5=25m，
∴此时两个飞行器的高度为25m；
（3）解：当x=40时，甲飞行器所在位置的海拔高度y=40+5=45，
∴当40≤x≤80时，甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为
y=0.3(x−40)+45=0.3x+33，
∴h=|0.3x+33−(0.5x+15)|=|0.2x−18|
∵当40≤x≤80时，0.2x−18<0，
∴h=−0.2x+18，
∵−0.2<0，
∴h随x的减小而增大，
∵40≤x≤80，
∴当x=40时，h最大，h最大=−0.2×40+18=10，
∴h最多为10m．
5．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1是嘉嘉做“探究拉力F与斜面高度h的关系”的实验装置，一个高
度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为0.1m，两个相同弹簧测力计分别拉着质量不同的木块，图2是
电脑软件显示的拉力F与斜面高度h的关系图象．
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(1)分别求AC和BC段的函数关系式；
(2)当两个弹簧测力计的拉力相差0.4N时，求斜面h的高度．
【答案】(1)AC段的函数关系式为F =10h;BC段的函数关系式为F =5h+1.5
1 2
(2)斜面h为的高度为0.22m或0.38m
【分析】本题主要考查的是一次函数的应用正确掌握图象信息是解题的关键．
（1）先设AC和BC段的函数关系式，然后用待定系数法求出即可；
（2）根据题意进行列式|5h+1.5−10h|=0.4解得斜面h的高度即可．
【详解】（1）解：由图可知，点A(0.1,1),C(0.3,3)，
设AC段的函数关系式为F =kh+d(k≠0)，
1
式¿，解得¿，
∴AC段的函数关系式为F =10h；
1
由图可知B(0.1,2)和C(0.3,3)，设BC段的函数关系式为F =ah+b(a≠0)，
2
则¿，解得¿，
∴BC段的函数关系式为F =5h+1.5；
2
（2）解：∵当两个弹簧测力计的拉力相差0.4N，
∴|5h+1.5−10h|=0.4，
即5h+1.5−10h=0.4或10h−5h−1.5=0.4，
解得：h=0.22或h=0.38，
∴当两个弹簧测力计的拉力相差0.4N时，斜面h为的高度为0.22m或0.38m．
6．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号手机，若购进2部甲
型号手机和1部乙型号手机，共需要资金8400元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金
13800元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元？
(2)该店计划购进甲乙两种型号的手机销售，预计用不多于5.52万元且不少于5.28万元的资金购进这两种
手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)若甲型号手机的售价为4500元，乙型号手机的售价为4200元，为了促销，无论采取哪种进货方案，公
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司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客相同现金a元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获
利相同，求a的值．
【答案】(1)甲型号手机的每部进价为3000元，乙型号手机的每部进价为2400元；
(2)进货方案有5种；
(3)a=300
【分析】此题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用及一次函数的应用，能根据题意列出不等
式组及利润表达式是解题的关键．
（1）先设甲型号手机每台售价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，根据题意列出方程组，解出x及y
的值；
（2）设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机(20−m)部，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，
即可得出进货方案．
（3）设总获利W元，购进甲型号手机m部，列出关系式，再求利润相同时，W与m的取值无关，据此解
答即可．
【详解】（1）解：设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，
根据题意，得：¿，
解得：¿，
答：甲型号手机的每部进价为3000元，乙型号手机的每部进价为2400元；
（2）解：设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机(20−m)部，
根据题意，得： ¿，
解得：8≤m≤12，
∵m为整数，
∴m取8或9或10或11或13，
则进货方案有5种；
（3）解：设总获利W元，购进甲型号手机m部，则：
W =(4500−3000)m+(4200−2400−a)(20−m)
=(a−300)m−20a+36000；
当a=300时，W的值与m的取值无关，故（2）中的所有方案获利相同．
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考点二 反比例函数与实际问题
►题型01 反比例函数与实际问题-新考法
1．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一
行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b
（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视
1
力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n= (0.5≤θ≤10)．
θ
探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b 的I号“E”测得的视力与在B处用边长为b 的Ⅱ号“E”测得
1 2
的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究1:检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的
“E”形图边长为6mm；
探究2: 0.5≤θ≤1.0；
18
探究3：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为 mm．
5
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7.2
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，由待定系数法可得n= ，将n=1.2
b
7.2
代入n= 得：b=6；
b
1
探究2：由n= ，知在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，故当n≥1.0时，0<θ≤1.0，即可得
θ
0.5≤θ≤1.0；
6 b
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得 = 2，即可解得答案．
5 3
【详解】探究1:
由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
k k
设n= (k≠0)，将其中一点(9,0.8)代入得：0.8= ，
b 9
解得：k=7.2，
7.2
∴ n= ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
b
7.2
将n=1.2 代入n= 得：b=6；
b
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的“E”形图
边长为6mm；
探究2:
1
∵ n= ，
θ
∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，
∴当n≥1.0时，0<θ≤1.0，
∵0.5≤θ≤10，
∴0.5≤θ≤1.0；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得
b b
1 = 2 ，
检测距离 检测距离
1 2
由探究1知b =6，
1
6 b
∴ = 2，
5 3
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18
解得b = ，
2 5
18
答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为 mm．
5
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性
质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
2．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．
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（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）(4,2)；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，a=8；（4）8≤a≤17
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据a=6得出，y=−2x+6，在图中画出y=−2x+6的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，
若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点(2,4)作l 的平行线，即可作出直线y=−2x+a的图象，将点(2,4)代入y=−2x+a，即可求出a
1
的值；
8
（4）根据存在交点，得出方程−2x+a= (a>0)有实数根，根据根的判别式得出a≥8，再得出反比例函
x
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8
数图象经过点(1,8)，(8,1)，则当y=−2x+a与y= 图象在点(1,8)左边，点(8,1)右边存在交点时，满足题
x
意；根据图象，即可写出取值范围．
8
【详解】解：（1）∵反比例函数y= (x>0)，直线l ：y=−2x+10，
x 1
∴联立得：¿，
解得：¿，¿，
∴反比例函与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和(4,2)，
1
当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=4m，BC=2m．
故答案为：(4,2)4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为6m，
∴2x+ y=6，则y=−2x+6，
画出直线y=−2x+6的图象，如图中l 所示：
1
8
∵l 与函数y= 图象没有交点，
1 x
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l 所示，l 即为y=−2x+a图象，
1 3
将点(2,4)代入y=−2x+a，得：4=−2×2+a，
解得a=8；
8
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交点的存在
x
问题，
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8
即方程−2x+a= (a>0)有实数根，
x
整理得：2x2−ax+8=0，
∴Δ=(−a) 2−4×2×8≥0，
解得：a≥8，
8 8
把x=1代入y= 得：y= =8，
x 1
∴反比例函数图象经过点(1,8)，
8 8
把y=1代入y= 得：1= ，解得：x=8，
x x
∴反比例函数图象经过点(8,1)，
令A(1,8)，B(8,1)，过点A(1,8)，B(8,1)分别作直线l 的平行线，
3
8
由图可知，当y=−2x+a与y= 图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；
x
把(8,1)代入y=−2x+a得：1=−16+a，
解得：a=17，
∴8≤a≤17．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关
系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
3．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：
所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，
在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化
规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，
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所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
13.5
(2)y＝ （x≥3）；
x
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可；
k
（2）设函数的表达式为：y= ，把C点坐标代入，求出k的值即可；
x
（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．
【详解】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b
把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得¿ ，
解得：k=﹣2.5，b=12
∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
k
（2）解：当x≥3时，设y= ，
x
k
把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5= ，
3
解得k=13.5，
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13.5
∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
x
（3）解：能，理由如下：
13.5
当x=15时，y= =0.9，
15
因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关
键．
利用反比例函数与一次函数或二次函数相结合解决实际问题是近年中考的热点题型.
两种函数图像的交点的实际意义往往是分析问题的切点，要注意自变量的取值范围，特别要考虑实际情况.
►题型02 反比例函数与实际问题-跨学科
4．（2022·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），
小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点
O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的
质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；
若00，
∴y随x的增大而增大，
∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12，
∴03000，
0.04
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为10cm这一面置于玻璃桌面时，
200 10000
此时S=0.6×0.1=0.06(m2 )，则P= = >3000
0.06 3
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为40cm这一面置于玻璃桌面时，
200 2500
此时S=0.4×0.6=0.24(m2 )，则P= = <3000
0.24 3
∴这种摆放方式是安全的．
3．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(°C)与时间x(h)
之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)当10≤x≤24时，求y与x的关系式；
(2)大棚里栽培的蔬菜在温度为14°C到20∘C的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10°C，
那么这种蔬菜一天最适合生长的时间有多长？
200
【答案】(1)y= (10≤x≤24)；
x
86
(2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有 小时．
7
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是注意临界点的应用．
（1）应用待定系数法求函数解析式即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有y≥14的点，而且BC段是恒温阶段，y=20，所以计算AB和CD两段
当y=14时对应的x值，相减就是结论．
k
【详解】（1）解：设双曲线CD解析式为：y= (k≠0)，
x
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∵C(10,20)，
∴k=200，
200
∴y与x的关系式为：y= (10≤x≤24)；
x
（2）解：设AB的解析式为：y=mx+n(0≤x≤5)，
把(0,10)，(5,20)代入y=mx+n中得：
¿，
解得：¿，
∴AB的解析式为：y=2x+10，
当y=14时，14=2x+10，
解得：x=2，
200
把y=14代入y= ，
x
200
得：14= ，
x
100
解得：x= ，
7
100 86
∴ −2= ．
7 7
86
答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有 小时．
7
4．（23-24九年级下·广西梧州·阶段练习）如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B
（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托
盘B中的砝码质量，得到如表：
托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30
托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10
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(1)把表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑
曲线连接起来；
(2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式；
(3)当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离；
(4)当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加砝码还是减少砝码？为什么？
【答案】(1)见解析
300
(2)猜测y是关于x的反比例函数，y=
x
(3)当砝码质量为24g时，托盘B与点O的距离为12.5cm
(4)应往托盘B中添加砝码，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图象，正确得出反比例函数解析式是解此题的关键．
（1）根据表格中的数据，描点，连线即可；
（2）根据图象可得y是关于x的反比例函数，利用待定系数法求解即可；
300
（3）当y=24时， =24，求解即可；
x
（4）利用反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：画出图象如图所示：
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（2）解：根据图象，猜测y是关于x的反比例函数，
k
设y= ，
x
k
将(10,30)代入函数解析式得： =30，
10
解得：k=300，
300
∴y= ；
x
验证：当x=15时y=20；
当x=30时，y=10，故猜想成立；
300
（3）解：当y=24时， =24，
x
解得x=12.5，
∴当砝码质量为24g时，托盘B与点O的距离为12.5cm；
（4）解：应往托盘B中添加砝码，
理由如下：∵y是关于x的反比例函数，
∴当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，相当于B与点O的距离在逐渐变小，
∴应往托盘B中添加砝码．
5．（2024·河南商丘·模拟预测）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成
为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间2分钟后
校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y(%)与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，2~12分
k
钟函数图象为抛物线，且在第12分钟达到该函数最大值100，12分钟之后为函数y= (x>0)的图象的一
x
部分．
(1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确取值范围）；
(2)若“拥挤指数”y≥36，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每
天至少需要执勤的时间．
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1200
【答案】(1)y=−(x−12) 2+100(2≤x<12)；y= (x≥12)
x
88
(2)每天至少需要执勤的时间为 分钟．
3
【分析】本题考查了函数图象，待定系数法求函数解析式，求自变量值，利用数形结合的思想解决问题是
关键．
（1）根据二次函数的顶点坐标设顶点式y=a(x−12) 2+100，再将点(2,0)代入二次函数的表达式求出a的
值即可；将点(12,100)代入反比例函数函数表达式，求出k的值即可；
（2）求出当函数值为36时，两段函数的自变量取值，再结合图象作差即可．
【详解】（1）解：由图象可知，二次函数图象的顶点坐标为(12,100)，
∴设二次函数表达式为y=a(x−12) 2+100，
将点(2,0)代入二次函数的表达式得：100a+100=0，
解得：a=−1，
∴二次函数表达式为y=−(x−12) 2+100(2≤x<12)；
k
将点(12,100)代入反比例函数函数表达式得：100= ，
12
解得：k=1200，
1200
∴反比例函数的表达式为y= (x≥12)；
x
（2）解：由y=−(x−12) 2+100=36，
解得：x=4或x=20（舍），
1200
由y= =36，
x
100
解得：x= ，
3
100 88
∵ −4= ，
3 3
88
∴每天至少需要执勤的时间为 分钟．
3
6．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（CO）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾
气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，
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气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻R(Ω)的阻值随着
尾气中一氧化碳的含量β(g/km)变化的关系图象如图2所示，R (Ω)为定值电阻，电源电压恒定不变．
0
(1)请根据图2，判断气敏电阻R(Ω)与尾气中一氧化碳的含量之间成 函数，并求出它的函数解析式；
(2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于1.0g/km．若某辆小轿车的尾
气检测阻值为0.5Ω，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由．
1
【答案】(1)反比例函数，R=
β
(2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键．
（1）根据图像上点的坐标可判断函数类型，从而得到解析式；
（2）将R=0.5代入函数解析式求得β=2.0，比较即可得出结论即可；
【详解】（1）解：由图2可知，图象上的点有(0.2,5),(0.5,2)，
1
∴R⋅β=1，即R= ，
β
1
∴R与β之间成反比例函数，解析式为：R= ．
β
1
故答案为：反比例函数，R= ．
β
1
（2）将R=0.5代入函数解析式得：0.5= ，解得β=2.0，
β
∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是2.0g/km，
∵2.0>1.0，
∴该小较车尾气中一氧，化碳的含量没有达到标准．
7．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴
材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1
为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线EG，FH（反比例函数图象的一部
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分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形ABDC与四边形GMNH均为矩形，AB=2m，BE=2m，
AC=20m，GM=10m，MN=4m，以AC的中点O为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图2，求EG所在图象的函数表达式．
(2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架EG，并加装了始终垂直于EG的伸缩机械臂PQ
用来雕刻EG所在曲面的花纹，请问点P在EG上滑动过程中，PQ最长为多少米？
16
【答案】(1)y=
x
(2)√2米
【分析】（1）根据题意可得E(−8,−2)，再利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先求出EG所在直线解析式为y=−x−10，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线EG关于
直线y=x轴对称，然后联立，即可求解．
【详解】（1）解：∵AC=20m，AB=2m，BE=2m，O为AC中点，AO=10m，
∴E(−8,−2)，
k
设EG所在双曲线的表达式为y= ，
x
k
将点E坐标(−8,−2)代入表达式中，得：−2=
−8
解得：k=16，
16
∴抛物线表达式为y= ；
x
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（2）解：根据题意得：点E与点G坐标分别为(−8,−2)，(−2,−8)，
设EG所在直线解析式为y=k x+b ，
1 1
将E、G两点坐标代入得：¿，
解得k =−1，b =−10，
1 1
∴EG所在直线解析式为y=−x−10，
根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线EG关于直线y=x轴对称，
联立¿，
解得¿，
∴P(−5,−5)，
联立¿，
解得：¿，
∴Q(−4,−4)，
∴PQ =√(−4+5) 2+(−4+5) 2=√2(m)．
max
【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，一次函数与反
比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
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考点三 二次函数与实际问题
►题型01 利润问题
考向一 求利润的最大值
1）顶点处取最值
1．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价
不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
1
销售单价x/元 … 12 14 16 20 …
8
4
销售量y/盒 … 56 52 48 40 …
4
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日
销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【答案】(1)y=−2x+80
(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元
(3)2
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数
的性质求解即可；
（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用
二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为y=kx+b，
把x=12，y=56；x=20，y=40代入，得¿，
解得¿，
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∴y与x的函数表达式为y=−2x+80；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得w=(x−10)⋅y
=(x−10)(−2x+80)
=−2x2+100x−800
=−2(x−25) 2+450，
∴当x=25时，w有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得w=(x−10−m)⋅y
=(x−10−m)(−2x+80)
=−2x2+(100+2m)x−800−80m，
∴当x=−
100+2m
=
50+m
时，w有最大值为−2
(50+m) 2
+(100+2m)
(50+m)
−800−80m，
2×(−2) 2 2 2
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
(50+m) 2 (50+m)
∴−2 +(100+2m) −800−80m=392，
2 2
化简得m2−60m+116=0
解得m =2，m =58
1 2
b
当m=58时，x=− =54,
2a
则每盒的利润为：54−10−58<0,舍去，
∴m的值为2．
2．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，
销售额y （万元）与销售量x（吨）的函数解析式为y =5x；成本y （万元）与销售量x（吨）的函数图
1 1 2
(1 7)
象是如图所示的抛物线的一部分，其中 , 是其顶点．
2 4
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(1)求出成本y 关于销售量x的函数解析式；
2
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额−成本）
( 1) 2 7
【答案】(1)y = x− +
2 2 4
(2)销售产品所获利润是0.75万元；
(3)当销售量x=3吨时，获得最大利润，最大利润为：7万元；
( 1) 2 7
【分析】（1）设抛物线为：y =a x− + ，再利用待定系数法求解即可；
2 2 4
1 7
（2）先求解当x= 时，成本的最小值为 ，再计算销售额，从而可得答案；
2 4
（3）设销售利润为W万元，可得W = y −y ，再利用二次函数的性质解题即可；
1 2
【详解】（1）解：∵成本y （万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中
2
(1 7)
, 是其顶点．
2 4
( 1) 2 7
∴设抛物线为：y =a x− + ，
2 2 4
9 7
把(2,4)代入可得： a+ =4，
4 4
解得：a=1，
( 1) 2 7
∴抛物线为y = x− + ；
2 2 4
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( 1) 2 7
（2）解：∵y = x− + ，
2 2 4
1 7
∴当x= 时，成本最小值为 ，
2 4
1
∴y =5x=5× =2.5，
1 2
5 7 3
∴销售产品所获利润是 − = =0.75（万元）；
2 4 4
（3）解：设销售利润为W万元，
∴W = y −y
1 2
( 1) 2 7
=5x− x− −
2 4
=−x2+6x−2，
6
当x=− =3时，获得最大利润，
2×(−1)
最大利润为：−32+6×3−2=7（万元）；
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟
练的建立二次函数的关系式是解本题的关键．
2）端点处取最值
3．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单
位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多
少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为y=−5x+800
(2)当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7920元
【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为y=kx+b，函数经过(100,300)，(120,200)，可以
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利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；
（2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售
单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为z，写出z关于x的二次函数解析式，根据二次函数的
增减性和x的取值范围，即可求出获得利润的最大值
【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
∵由图象可知，函数经过(100,300)，(120,200)，
∴可得¿，解得¿，
∴这段时间内y与x之间的函数解析式为y=−5x+800；
（2）解：∵销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，
∴x≥100，y≥220，
即¿，解得100≤x≤116，
设获得利润为z，即z=(−5x+800)x−(−5x+800)×80=−5x2+1200x−64000，
b 1200
∴对称轴x=− =− =120，
2a 2×(−5)
∵−5<0，即二次函数开口向下，x的取值范围是100≤x≤116，
∴在100≤x≤120范围内，z随着x的增大而增大，
即当销售单价x=116时，获得利润z有最大值，
∴最大利润z=−5×1162+1200×116−64000=7920元．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，
解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
4．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价
为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天
售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米
的数量y(kg)与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)y=−50x+1200
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，y与x的函数关系式为y=kx+b，将
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(5,950),(6,900)代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质，
即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，
设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(5,950),(6,900)代入得：
¿，解得：¿，
∴y与x的函数关系式为y=−50x+1200，
（2）解；根据题意可得：(x−4)y=1800，
∴(x−4)(−50x+1200)=1800，
整理得：x2−28x+132=0，
解得：x =6,x =22，
1 2
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
w=(x−4)(−50x+1200)
=−50x2+1400x−4800
=−50(x−14) 2+5000，
∵−50<0，函数开口向下，
∴当x<14时，w随x的增大而增大，
∵4≤x≤7，
∴当x=7时，w有最大值，此时w =−50(7−14) 2+5000=2550，
max
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关
键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出
方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
考向二 利润最值分析
5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价
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为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y
件，售价为x元/件.
(1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?
(2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式；
(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.
【答案】(1)每月的总利润最多是 1200 元
(2)y=−2x+160(50≤x≤70)
(3)m的最小值是30，售价为70元时，她每月获利最大
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键．
（1）根据题意得出总利润w=60x−1800，再由一次函数的性质即可求解；
（2）当售价在50≤x≤70元时，设每月销售量y=kx+b，利用待定系数法进行计算即可；
（3）求出二次函数解析式，再根据二次函数的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：当售价在40≤x≤50元时， 每月的总利润为w元.
则总利润w=60(x−30)=60x−1800，
∵60>0，
∴当x=50时，总利润最多，为60×50−1800=1200(元)，
∴每月的总利润最多是1200元；
（2）解：当售价在50≤x≤70元时，设每月销售量y=kx+b，
∴¿，
解得¿，
∴每月销售量y=−2x+160(50≤x≤70)．
（3）解：当售价在50≤x≤70元时，设每月的总利润为z元.
∴每月的总利润z=(x−30−m)y=(x−30−m)(−2x+160)=−2x2+220x−4800+2mx
220+2m m
−160m=−2x2+(220+2m)x−4800−160m，∴二次函数的对称轴为直线 x=− =55+ ，
2×(−2) 2
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∵−2<0，且要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
m
∴55+ ≥70，解得m≥30，
2
∴m的最小值是30，
此时 z=−2x2+280x−9600=−2(x−70) 2+200，
∴当x=70时，z取得最大值，最大值为200元，
∴m的最小值是30，此时售价为70元时，她每月获利最大．
6．（2024·内蒙古包头·一模）某生态农业有限公司帮助和指导当地车厘子种植基地种植和销售车厘子，已
知该车厘子的成本是12元/千克，规定销售价格不高于成本的2倍．经市场调查发现，该车厘子的销售量y
（千克）与销售价格x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
(1)直接写出y与x之间的函数解析式；
(2)求这一天销售车厘子获得的利润W的最大值；
(3)该公司响应精准扶贫的号召决定每销售一千克提取a元用于捐资扶贫，根据市场情况计划销售价格不低
于15元且不高于19元．若公司要求每天的销售利润不低于2520元，求出a的值．
【答案】(1)当12≤x≤20时，y与x之间的函数解析式为y=−200x+4400；当2017，结合二次函数的性质知当x=15时，日销售利润W应不低于2520元，
−2×(−200)
即(15−12−a)(−200×15+4400)≥2520，解不等式即可．
【详解】（1）解：当12≤x≤20时，设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
把x=12,y=2000；x=20,y=400分别代入y=kx+b，
得¿，
解得¿，
∴当12≤x≤20时，y与x之间的函数解析式为y=−200x+4400；
当2017，
−2×(−200) 2
∴当x=15时，日销售利润W应不低于2520元，即(15−12−a)(−200×15+4400)≥2520，
解得a≤1.2，
∴a的最大值是1.2．
考向三 涉及关联变量的计算问题
7．（2024·湖北十堰·一模）超市销售一种水果，进价为20元/件，经过市场调查发现，该水果的日销售量
y（件）与当天的销售单价x（元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表：
销售单件（元/件） 20 30 40
日销售量（件） 400 300 200
(1)求y与x的关系式；
(2)求该水果每天获得的利润w（元）的最大值；
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(3)春节前夕，批发商调整进货价格，该水果的进价变为m元，该超市每天的销量与当天的销售单价的关系
不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过41元/件，在实际销
售过程中，发现该水果每天获得的利润随x的增大而增大，求m的最小值．
【答案】(1)y=−10x+600
(2)4000元
(3)22元
【分析】本题考查一次函数解析式的应用、二次函数的应用等知识，理解题意，正确找出等量关系是解题
的关键．
（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值即可；
（3）根据“日销售利润=日销售量×（销售单价−成本单价）”列出函数解析式，求出函数对称轴为
m
x= +30，再根据在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随x的增大而增大，且25≤x≤41，得
2
m
出 +30≥41，求解，从而得出结论．
2
【详解】（1）解：设y与x的关系式为y=kx+b(k≠0)，
根据题意，将点(20,400)、(30,300)代入，
可得¿，解得¿，
∴y与x的关系式为y=−10x+600；
（2）根据题意，该水果每天获得的利润
w=(x−20)y=(x−20)(−10x+600)=−10(x−40) 2+4000，
∵a=−10<0
∴当x=40时，该水果每天获得的利润w取最大值，最大值为4000元；
（3）由题意，可得w=(x−m)(−10x+600)=−10x2+(600+10m)x−600m，
∵a=−10<0，
600+10m m
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=− = +30，
2×(−10) 2
∵在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，且25≤x≤41，
m
∴ +30≥41，解得m≥22，
2
∴m最小值为22．
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故答案为：22．
8．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知A型号消毒水每瓶进价是20元，B型号消毒水每瓶进价是
30元．某经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售（销量都是整数），当A型号消毒水每瓶
定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶；B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的
A，B两种型号消毒水都卖完．
(1)设A型号消毒水每瓶定价为x元（x为大于30的整数），用含x的代数式填空：
①A型号消毒水的销量为______瓶；
②B型号消毒水的总进价为______元；
③B型号消毒水的销量为______瓶．
(2)求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值；
(3)若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出A型号消毒水每瓶有几种定价．
10
【答案】(1)①250−5x；②100x−3000；③ x−100
3
(2)销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值为2125元
(3)A型号消毒水每瓶有4种定价
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）设销售A，B两种型号消毒水的总利润为w元，根据题意列出w与x的函数关系式，然后求出x的范
围，根据x的范围求出w的最大值即可；
（3）根据w≥1945，得出−5(x−45) 2+2125≥1945，求出x的范围，结合x为3的整数倍求出x的值，
即可得出答案．
【详解】（1）解：①A型号消毒水的销量为100−5(x−30)=(250−5x)瓶；
②B型号消毒水的总进价为2000−20(250−5x)=(100x−3000)元；
100x−3000 (10 )
③B型号消毒水的销量为 = x−100 瓶．
30 3
(10 )
故答案为：①(250−5x)；②(100x−3000)；③ x−100 ．
3
（2）解：设销售A，B两种型号消毒水的总利润为w元，依题意得：
(10 )
w=(250−5x)(x−20)+ x−100 (60−30)
3
=−5x2+450x−8000
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=−5(x−45) 2+2125，
∵¿，
∴3060，得此时x<80，
( 3 )
则S=x 180− x ，
2
3
上式可化为S=− (x−60) 2+5400，
2
故当x=60时，S有最大值，即S=5400，
答：DF为60时，展览馆DBEF的面积最大，最大面积为5400平方米．
考向二 加权面积最值计算
14．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，为美化小区环境，某小区计划在一块长为36米，宽为24米的长
方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
(1)花圃的面积为______（用含a的式子表示）；
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2
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；
3
(3)已知某园林公司修建通道和花圃的造价分别为每平方米80元和每平方米100元，如果小区决定由该公
3
司承建此项目，并要求修理的通道的宽度不少于2米且不超过6米，且通道面积不低于花圃面积的 ，那
5
么通道宽为多少时，修建的通道和花园的总造价最高，最高总造价为多少元？
【答案】(1)(4a2−120a+864)平方米
(2)6
(3)79920
【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可；
2
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，列出方程进行计算即可；
3
（3）列出总费用的关系式，根据修理的通道的宽度不少于2米且不超过6米，且通道面积不低于花圃面积
3
的 ，确定最大值即可．
5
【详解】（1）解：由图可知，花圃的面积为(36−2a)(24−2a)=(4a2−120a+864)平方米；
故答案为：(4a2−120a+864)平方米
2
（2）解：根据题意，36×24−(36−2a)(24−2a)= ×36×24，
3
解得：a =6，a =24（舍去），
1 2
所以通道的宽为6米；
（3）解：通道宽为a米，修建的通道和花园的总造价为：
w=80(864−4a2+120a−864)+100(4a2−120a+864)，
化简得，w=80(a−15) 2+68400，
抛物线开口向上，当a<15，w随a增大而减小，
3
∵通道的宽度不少于2米且不超过6米，且通道面积不低于花圃面积的 ，
5
3
∴864−4a2+120a−864≥ (4a2−120a+864)，，
5
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解得，3≤a≤27，
又因为2≤a≤6，
所以3≤a≤6，
当a=3时，函数值最大，最大值为79920．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题关键是根据题意列出一元二次方程和二
次函数解析式．
考向三 涉及关联变量的计算问题
15．（2024·湖北武汉·三模）问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形ABCD花坛内种植
红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形IJKL内种植蓝色花
卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．AB的长为8m，AE=LI．红、蓝、黄三种花卉的单价分别为
40元/m2，100元/m2，60元/m2．
建立模型：
设AE的长为xm，购买花卉的总费用为W元．
（1）用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积；
（2）求W与x之间的函数表达式；
方案决策：
（3）当购买花卉的总费用最少时，求EI的长．
【答案】（1）红色花卉的种植面积为(−2x2+16x)m2，蓝色花卉的种植面积为xm2，
黄色花卉的种植面积为(x2−16x+64)m2；（2）W =80x2−320x+3840；（3）(√19−1)m．
【分析】（1）先利用直角三角形的面积公式求出红色花卉的种植面积，再由正方形的面积公式求出蓝色
花卉的种植面积，再用大正方形的面积−小正方形的面积−红色花卉的种植面积=黄色花卉的种植面积；
（2）根据总费用=各种花卉的费用之和列出函数解析式即可；
（3）根据(2)的解析式，由函数的性质求出W取最小值时x的值，然后设EI=am，由全等三角形的性质和
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勾股定理得出a2+(a+2) 2=(2√10) 2 ，解方程求出a的值即可；
本题考查了二次函数的应用，根据图形求出各种花卉的种植面积是解题的关键．
【详解】解：（1）∵AE=xm，AB=8m，
∴BE=(8−x)m，
∵四个阴影部分的三角形全等，
∴AH=BE=(8−x)m，
1
∴红色花卉的种植面积为
x·(8−x)×4=(−2x2+16x)m2
，
2
∵AE=LI，
∴LI=xm，
∴蓝色花卉的种植面积为xm2，
∴黄色花卉的种植面积为82−(−2x2+16x)−x2=(x2−16x+64)m2；
（2）由题意可得，
W =40(−2x2+16x)+100x2+60(x2−16x+64)=80x2−320x+3840，
即W =80x2−320x+3840；
（3）∵W =80x2−320x+3840=80(x−2) 2+3520，
∴当x=2时，W取最小值，
∴AE=LI=2m，AH=6m，
∴EH=√AE2+AH2=√22+62=2√10，
∵四个白色部分的三角形全等，
∴EI=HL，
设EI=HL=am，则HL=(a+2)m，
在Rt△EIH中，EI2+H I2=EH2，
∴a2+(a+2) 2=(2√10) 2 ，
∴a2+2a=18，
解得a=√19−1或a=−√19−1（不合，舍去），
∴EI的长为(√19−1)m．
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16．（2023·湖北武汉·模拟预测）学校计划建造一块边长为40m的正方形花坛ABCD，分别取四边的中点
E，F，G，H构成四边形EFGH，四边形EFGH部分种植甲种花，在正方形ABCD四个角落构造4个全
等的矩形区域种植乙种花，剩余部分种草坪．设小矩形的AM边长为xm(AM≤AN)，面积为y m2，已知
种植甲种花50元/m2，乙种花80元/m2，草坪10元/m2，种植总费用为w元．
(1)直接写出y关于x的函数关系式以及w与y的函数解析式；
(2)当种植总费用为74880元时，求x的值；
1
(3)为了花坛的美观，设计小矩形的宽AM不小于长AN的 ，求总费用的最小值．
3
【答案】(1)y=−x2+20x ，w=280 y+48000
(2)8
(3)69000元
【分析】（1）由题意可知，△AEF是等腰直角三角形，所以确定AN的长，再求矩形面积即可，草坪面积
等于总面积减去甲种花面积和乙种花面积，总费用是各个种植费用相加即可；
（2）利用种植总费函数解析式，代入求值即可；
（3）根据小矩形宽的关系求出自变量x取值范围，然后转化为二次函数的最值问题即可求解．
【详解】解：（1）∵点E、F、G、H分别为正方形ABCD中点，
∴AE=ED=DH=CH=CG=GB=BF=FA，
∴∠DEH=∠AEF=45°，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH为正方形，
∴EF=EH，∠FEH=90°，
∴AN=20−AM=20−x，则y=x(20−x)=−x2+20x，
1
根据题意可知：种植甲种花面积为 ×40×40=800(m2 )，种植乙种花面积为4 y，种草坪为800−4 y，
2
∴w=50×800+80×4 y+10(800−4 y)=280 y+48000，
故关系式分别为：y=−x2+20x ，w=280 y+48000；
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（2）令w=74880 ，则y=96；即280(−x2+20x)+48000=74880，
整理得：−x2+20x=96，
解得x =12，x =8，
1 2
∵AM≤AN ，即有：x≤20−x，解得：x≤10，
∴x=8，
故：x的值为8．
1 1
（3）由题意得：AM≥ AN，即有：x≥ (20−x)，
3 3
又∵x≤10，∴5≤x≤10，
当x=5时，y取最小值为75，
∵w随y的增大而增大，
∴当y=75时，总费用w有最小值为69000元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．首先要弄清楚题意，确定变量，建立函数模型，
然后结合实际选择最优方案．
17．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，为美化小区环境，某小区计划在一块长为36米，宽为24米的长
方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
(1)花圃的面积为______（用含a的式子表示）；
2
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；
3
(3)已知某园林公司修建通道和花圃的造价分别为每平方米80元和每平方米100元，如果小区决定由该公
3
司承建此项目，并要求修理的通道的宽度不少于2米且不超过6米，且通道面积不低于花圃面积的 ，那
5
么通道宽为多少时，修建的通道和花园的总造价最高，最高总造价为多少元？
【答案】(1)(4a2−120a+864)平方米
(2)6
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(3)79920
【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可；
2
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，列出方程进行计算即可；
3
（3）列出总费用的关系式，根据修理的通道的宽度不少于2米且不超过6米，且通道面积不低于花圃面积
3
的 ，确定最大值即可．
5
【详解】（1）解：由图可知，花圃的面积为(36−2a)(24−2a)=(4a2−120a+864)平方米；
故答案为：(4a2−120a+864)平方米
2
（2）解：根据题意，36×24−(36−2a)(24−2a)= ×36×24，
3
解得：a =6，a =24（舍去），
1 2
所以通道的宽为6米；
（3）解：通道宽为a米，修建的通道和花园的总造价为：
w=80(864−4a2+120a−864)+100(4a2−120a+864)，
化简得，w=80(a−15) 2+68400，
抛物线开口向上，当a<15，w随a增大而减小，
3
∵通道的宽度不少于2米且不超过6米，且通道面积不低于花圃面积的 ，
5
3
∴864−4a2+120a−864≥ (4a2−120a+864)，，
5
解得，3≤a≤27，
又因为2≤a≤6，
所以3≤a≤6，
当a=3时，函数值最大，最大值为79920．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题关键是根据题意列出一元二次方程和二
次函数解析式．
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►题型03 分段函数
考向一 区间最值的比较
18．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，
该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是
z=¿，其中x是正整数．当x=16时，z=14；当x=20时，z=13．
(1)求m，n的值；
(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y=5x+20．
①当120，
∴当x=10时，w取最大值为：1000×10+20000=30000，
当10＜x≤30时，
w= y(2x+40)=(−10x+600)(2x+40)=−20(x−20) 2+32000，
∵−20<0，
∴当x=20时，w取最大值为32000，
综上所述，当x=20时，w取最大值为32000，
答：当x为第20天时日销售额w最大，最大为32000元；
（3）当1≤x≤10时，
w=500(2x+40)=1000x+20000，
当x=10时，w取最大值为：1000×10+20000=30000，
∵31680>30000，
∴1≤x≤10时不可能获得较大利润．
当100)．为此，公司又紧急从外地调运了5kg此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第8
周的销售价格比第7周仅上涨0.8n%．若在这一举措下，此种蔬菜在第8周的总销售额与第7周刚好持平，
请通过计算估算出n的整数值．
【答案】(1)4，0.7
(2)①m=−25 y+250；②第2周或第3周销售额最大，最大销售额是624元
(3)17
【分析】本题考查了一次函数、二次函数的实际应用以及一元二次方程的应用，
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（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①利用待定系数法即可求解；
②分1≤x≤4和5≤x≤6两种情况讨论，利用销售额=销售量×销售价格，再运用二次函数的性质求解即可；
（3）由题意列一元二次方程计算出n的值，再利用估算法即可求解．
2 2
【详解】（1）把(1,4.4)代入y= x+a得：4.4= +a，
5 5
解得：a=4，
1 1
把(5,6)代入y=− x2+bx+5得：6=− ×52+5b+5，
10 10
7
解得：b= ，
10
7
故答案为：4， ；
10
（2）①设函数关系式为：m=ky+b ,
把(4.4,140)，(6,100)代入得：¿，
解得：¿，
∴m与y的函数表达式为：m=−25 y+250；
②当1≤x≤4时，
2
∵ m=−25 y+250，y= x+4，
5
∴ m=−10x+150，
∴ w=(−10x+150) (2 x+4 ) =−4x2+20x+600=−4 ( x− 5) 2 +625，
5 2
∵x是正整数，
∴当x=2或3时，w有最大值624；
1 7
当x=5时，y=− x2+ x+5，m=−25 y+250=100，
10 10
1 7
当5≤x≤6时，∵ m=100，y=− x2+ x+5，
10 10
∴ w=100 ( − 1 x2+ 7 x+5 ) =−10x2+70x+500=−10 ( x− 7) 2 + 1245 ，
10 10 2 2
∵x是正整数，5≤x≤6，
∴当x=5时，w有最大值600；
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综上所得：第2周或第3周销售额最大，最大销售额是624元；
（3）由题意得：[100(1−n%)+5]×5(1+0.8n%)=5×100 ，
解得：n=−10+5√29或n=−10+5√29(舍去)，
∵√29≈5.4，
∴n≈−10+5×5.4=17．
考向二 区间计算最值
21．（2019·湖北·中考真题）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的
销售价格为y（元/kg），销售量为m(kg)．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当
1⩽x⩽30时，y=40；当31⩽x⩽50时，y与x满足一次函数关系，且当x=36时，y=37；x=44时，
y=33．②m与x的关系为m=5x+50．
（1）当31⩽x⩽50时，y与x的关系式为 ；
（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基
础上涨a元/kg，求a的最小值．
1
【答案】（1）y= x+55；（2）x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元；（3）3
2
1
【分析】（1）依据题意利用待定系数法，易得出当31⩽x⩽50时，y与x的关系式为：y= x+55，
2
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的
函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
b
（3）要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则对称轴= ⩾35，求得a即可
2a
【详解】（1）依题意，当x=36时，y=37;x=44时，y=33，
当31⩽x⩽50时，设y=kx+b，
1
37=36k+b k=−
则有{ ，解得{ 2
33=44k+b
b=55
1
∴y与x的关系式为：y= x+55
2
（2）依题意，
∵W =(y−18)⋅m
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(40−18)⋅(5x+50), (1⩽x⩽30)
∴W ={ 1
(− x+55)(5x+50), (31⩽x⩽50)
2
110x+1100, (1⩽x⩽30)
整理得， W ={ 5
− x2+160x+1850, (31⩽x⩽50)
2
当1⩽x⩽30时，
∵W随x增大而增大
∴x=30时，取最大值W =30×110+1100=4400
当31⩽x⩽50时，
5 5
W = x2+160x+1850= (x−32) 2+4410
2 2
5
∵− <0
2
∴x=32时，W取得最大值，此时W=4410
综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元
（3）依题意，
5
W =(y+a−18)⋅m= x2+(160+5a)x+1850+50z
2
∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大
b 160+5a
x= = ⩾35
∴对称轴 2a 5 ，得a≥3
2×(− )
2
故a的最小值为3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，
我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量
的取值范围内求最大值（或最小值）．
22．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为
10元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）
销售量m（千克） 销售单价n（元/千克）
1 300
m=40−x 当1≤x≤15时，n=20+ x 当16≤x≤30时，n=10+
2 x
设第x天的利润w元．
(1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克；
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(2)这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润=（售价−成本）×销售量】
(3)在实际销售的前15天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给
1
a(a≥2)元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，
2
试求a的取值范围．
【答案】(1)第10天或第20天该品种草莓的销售单价为25元/千克
(2)第10天或第16天获得的利润最大，最大利润均为450元
(3)2≤a<5
1 300
【分析】(1)分别在当1≤x≤15时，把n=25代入n=20+ x和当16≤x≤30时，把n=25代入n=10+
2 x
可得到所求；
(2)分别根据二次函数性质和反比例函数性质，计算当1≤x≤15时和当16≤x≤30时的最值即可；
(3)列出表示利润的二次函数，根据二次项系数小于0，前8天每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而
增大，据此求得a的取值范围．
1
【详解】（1）解：当1≤x≤15时，把n=25代入n=20+ x，
2
1
得20+ x=25，
2
解得x=10，
300
当16≤x≤30时，把n=25代入n=10+ ，
x
300
得10+ =25，
x
解得x=20，
经检验x=20是原方程的解，且符合题意，
答：第10天或第20天该品种草莓的销售单价为25元/千克；
（2）解：当1≤x≤15时，w= ( 20+ 1 x−10 ) (40−x)=− 1 (x−10) 2+450，
2 2
1
∵− <0，
2
∴当x=10时，w有最大值为450元；
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( 300 ) 12000
当16≤x≤30时，w= 10+ −10 (40−x)= −300，
x x
∵12000>0，当16≤x≤30时，w随x的增大而减小，
∴当x=16时，w有最大值为450元，
答：第10天或第16天获得的利润最大，最大利润均为450元；
1 1
（3）解：w=− (x−10) 2+450+ a(40−x)
2 2
=− 1 x2+ ( 10− 1 a ) x+400+20a，
2 2
1
∵前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，− <0，
2
1
10− a
2 1
∴该抛物线的对称轴为直线x=− =10− a>7.5，
1 2
− ×2
2
解得a<5，
又∵a≥2，
∴a的取值范围为2≤a<5．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，最值和实际应用，同时也考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运
用二次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键．
►题型04 二次函数路径建模
考向一 落点高度分析
23．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是
某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同
学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水
火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的水
平距离x(m)的几组关系数据如下：
水平距离x(m) 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度y(m) 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
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(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度．
1 6
【答案】(1)抛物线的表达式y=− x2+ x
25 5
(2)水火箭距离地面的竖直高度5米
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
(1)根据题意可设抛物线的表达式y=ax2+bx(a≠0)，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为(15,9)，代入求
解即可；
(2)由题意知x=5，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式y=ax2+bx(a≠0)，
由表格得抛物线的顶点坐标为(15,9)，则¿，解得¿，
1 6
则抛物线的表达式y=− x2+ x，
25 5
1 6
（2）解：由题意知x=5，则y=− ×52+ ×5=5，
25 5
那么，水火箭距离地面的竖直高度5米．
24．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落
( 3)
到点A 3, 处．小球在空中所经过的路线是抛物线y=−x2+bx的一部分．
2
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(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线最高点的坐标；
(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
7
【答案】(1)y=−x2+ x
2
(7 49)
(2) ,
4 16
(3)这棵树的高为2
【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的
求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；
1
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明△OBD∽△OAE，利用相似三角形的性质求得BD= ，OD=1，
2
据此求解即可．
( 3)
【详解】（1）解：∵点A 3, 是抛物线y=−x2+bx上的一点，
2
把点A ( 3, 3) 代入y=−x2+bx中，得：−32+3b= 3 ，
2 2
7
解得b= ，
2
7
∴抛物线的解析式为y=−x2+ x；
2
（2）解：由（1）得：y=−x2+ 7 x=− ( x− 7) 2 + 49 ，
2 4 16
(7 49)
∴抛物线最高点对坐标为 , ；
4 16
（3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，
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∵∠BOD=∠AOE，∠BDO=∠AEO=90°，
∴△OBD∽△OAE，
OD BD OB
∴ = = ，
OE AE OA
又∵点B是OA的三等分点，
OB 1
∴ = ，
OA 3
( 3)
∵A 3, ，
2
3
∴AE= ，OE=3，
2
BD OB 1
∴ = = ，
AE OA 3
1
解得BD= ，
2
OD OB 1
∴ = = ，
OE OA 3
解得OD=1，
∴点C的横坐标为1，
7 7 5
将x=1代入y=−x2+ x中，y=−12+ ×1= ，
2 2 2
( 5)
∴点C的坐标为 1, ，
2
5
∴CD= ，
2
5 1
∴CB=CD−BD= − =2，
2 2
答：这棵树的高为2．
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考向二 落点的距离分析
25．（2023·河南·中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛
进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P
在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=−0.4x+2.8；
若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x−1) 2+3.2．
(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断
应选择哪种击球方式．
【答案】(1)P(0,2.8)，a=−0.4，
(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上y=−0.4x+2.8，令x=0，可求得P(0,2.8)，再代入y=a(x−1) 2+3.2即可求
得a的值；
（2）由题意可知OC=5m，令y=0，分别求得−0.4x+2.8=0，−0.4(x−1) 2+3.2=0，即可求得落地点
到O点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：在一次函数y=−0.4x+2.8，
令x=0时，y=2.8，
∴P(0,2.8)，
将P(0,2.8)代入y=a(x−1) 2+3.2中，可得：a+3.2=2.8，
解得：a=−0.4；
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（2）∵OA=3m，CA=2m，
∴OC=5m，
选择扣球，则令y=0，即：−0.4x+2.8=0，解得：x=7，
即：落地点距离点O距离为7m，
∴落地点到C点的距离为7−5=2m，
选择吊球，则令y=0，即：−0.4(x−1) 2+3.2=0，解得：x=±2√2+1（负值舍去），
即：落地点距离点O距离为(2√2+1)m，
∴落地点到C点的距离为5−(2√2+1)=(4−2√2)m，
∵4−2√2<2，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
26．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的
始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级
沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直
1
于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=− x+b．其中，当火
2
箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
1
【答案】(1)①a=− ，b=8.1；②8.4km
15
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2
(2)− 2.4
∴当y=2.4km时，
1
则− x+8.1=2.4
2
解得x=11.4
11.4−3=8.4(km)
∴这两个位置之间的距离8.4km．
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（2）解：当水平距离超过15km时，
火箭第二级的引发点为(9,81a+9)，
1
将(9,81a+9)，(15,0)代入y=− x+b，得
2
1 1
81a+9=− ×9+b，0=− ×15+b
2 2
2
解得b=7.5，a=−
27
2
∴− 1.76时x的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，然后设出直线l的解析式，联立直
线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线l的解析式，从而得到直线与x轴交点，最后利
用锐角三角函数求出直线l与直线BP之间的距离．
【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为(1,2.25)，A(0,1.25)，
设第一象限内的抛物线解析式为y=a(x−1) 2+2.25，
将点A(0,1.25)代入物线解析式，
1.25=a(0−1) 2+2.25，
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解得α=−1，
∴第一象限内的抛物线解析式为y=−(x−1) 2+2.25；
（2）解：根据题意，令y=1.76，
即−(x−1) 2+2.25=1.76，
解得x =0.3，x =1.7，
1 2
∵−1<0，抛物线开口向下，
∴当0.31.76，
∴d的取值范围为0.30，抛物线开口向上，
2
∴当a=6时，支架长度最短，最短为27米，
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此时，CM=6米，DN=12米，AM=8.1米，BM=0.9米，
∴8000×27=216000（元），
故当OA=AB=6米时，即CM=6米，DN=12米，AM=8.1米，BM=0.9米时，使造价最低，最低造价
为216000元．
►题型05 抛物线建筑建模
考向一 距离计算
35．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们
可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这
样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中
AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点
为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线AED的顶点E(0,4)，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若
FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
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(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
1
【答案】(1)y=− x2+4
4
(2)0.5m
97
(3) m
12
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为y=ax2+4，求出A点坐标，待定系数法求出函数解析式即
可；
（2）求出y=3.75时对应的自变量的值，得到FN的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
3
（3）求出直线AC的解析式，进而设出过点K的光线解析式为y=− x+m，利用光线与抛物线相切，求
4
出m的值，进而求出K点坐标，即可得出BK的长．
【详解】（1）解：∵抛物线AED的顶点E(0,4)，
设抛物线的解析式为y=ax2+4，
∵四边形ABCD为矩形，OE为BC的中垂线，
∴AD=BC=4m，OB=2m，
∵AB=3m，
∴点A(−2,3)，代入y=ax2+4，得：
3=4a+4，
1
∴a=− ，
4
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+4；
4
（2）∵四边形LFGT，四边形SMNR均为正方形，FL=NR=0.75m，
∴MG=FN=FL=NR=0.75m，
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延长LF交BC于点H，延长RN交BC于点J，则四边形FHJN，四边形ABFH均为矩形，
∴FH=AB=3m,FN=HJ，
∴HL=HF+FL=3.75m，
1 1
∵y=− x2+4，当y=3.75时，3.75=− x2+4，解得：x=±1，
4 4
∴H(−1,0)，J(1,0)，
∴FN=HJ=2m，
∴GM=FN−FG−MN=0.5m；
（3）∵BC=4m，OE垂直平分BC，
∴OB=OC=2m，
∴B(−2,0),C(2,0)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则：¿，解得：¿，
3 3
∴y=− x+ ，
4 2
∵太阳光为平行光，
3
设过点K平行于AC的光线的解析式为y=− x+m，
4
3
由题意，得：y=− x+m与抛物线相切，
4
联立¿，整理得：x2−3x+4m−16=0，
73
则：Δ=(−3) 2−4(4m−16)=0，解得：m= ；
16
3 73 73
∴y=− x+ ，当y=0时，x= ，
4 16 12
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(73 )
∴K ,0 ，
12
∵B(−2,0)，
73 97
∴BK=2+ = m．
12 12
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，
进行求解，是解题的关键．
36．（2024·浙江金华·二模）
草莓种植大棚的设计
草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一
层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
生
活
背
景
（1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，
大棚高PE=4m，宽ON=12m．现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON
的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．
建
立
模
型
（2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB=BE=EC=CD．
解
求门高AB的值．
决
问
（3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横
题
截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长．
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1 75
【答案】（1）y=− (x−6) 2+4；（2）门高AB为3m；（3）此时OQ的长为 m．
9 4
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意得，抛物线的顶点为(6,4)，从而可设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+4，又抛物线过
(0,0)，求出a即可得解；
1
（2）依据题意，设AB=BE=EC=CD=x，又A(6−m,m)在抛物线y=− (x−6) 2+4，求出m后即可
9
得解；
1
（3）依据题意，由A(3,3)，N(12,0)，可得直线AN为y=− x+4，再结合PQ∥AN，可设PQ为
3
1 1 1
y=− x+b，进而可得− (x−6) 2+4=− x+b，根据直线与抛物线相切△=225−36b=0，求出b后
3 9 3
即可得直线PQ，最后可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为(6,4)，
∴可设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+4．
又抛物线过(0,0)，
∴0=36a+4．
1
∴a=− ．
9
1
∴抛物线的解析式为y=− (x−6) 2+4；
9
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（2）由题意，设AB=BE=EC=CD=x，
∴A(6−m,m)．
1
又A在抛物线y=− (x−6) 2+4，
9
1
∴m=− m2+4．
9
∴m=3或m=−12（舍去）．
∴AB=3；
答：门高AB为3m；
（3）由题意，∵A(3,3)，N(12,0)，
1
∴直线AN为y=− x+4．
3
又∵PQ∥AN，
1
∴可设PQ为y=− x+b．
3
1 1
∴− (x−6) 2+4=− x+b．
9 3
∴x2−15x+9b=0．
∴△=225−36b=0．
25
∴b= ．
4
1 25
∴直线PQ为y=− x+ ．
3 4
令y=0，
75 75
∴x= ．即OQ= m，
4 4
75
答：此时OQ的长为 m．
4
考向二 面积计算
37．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的
跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，
现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m其中，点N'在x轴上，
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P'E'⊥O'N'，O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架
ABCD的面积记为S ，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为
1
S ，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上，现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，
2
S =12√2m2 ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
2
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S 并比较S ，S 的大小．
1 1 2
1 4
【答案】(1)y=− x2+ x
9 3
(2)S =18m2，S >S
1 1 2
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
（1）由题意知抛物线的顶点P(6,4)，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式；
（2）令y=3可得x=3或x=9，故BC=6m，S =AB⋅BC=18m2；再比较S ，S 的大小即可．
1 1 2
1 1
【详解】（1）解：由题意知，PE=4m，OE= ON= ×12=6m，
2 2
∴方案一中抛物线的顶点P(6,4)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−6) 2+4，
把O(0,0)代入得，0=a(0−6) 2+4，
1
解得：a=− ，
9
1 1 4
∴y=− (x−6) 2+4=− x2+ x，
9 9 3
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1 4
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=− x2+ x；
9 3
1 4
（2）解：在y=− x2+ x中，
9 3
1 4
令y=3得：3=− x2+ x；
9 3
解得x=3或x=9，
∴BC=9−3=6m，
∴S =AB·BC=3×6=18m2 ，
1
∵18>12√2，
∴S >S ．
1 2
38．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分ACB连接，为确保安全，
在抛物线一部分ACB内修建了一个菱形支架ODCE，抛物线的最高点C到AB的距离OC=4米，
∠ODC=60°，点D，E在抛物线一部分ACB上，以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立
平面直角坐标系xOy，确定一个单位长度为1米．
(1)求此抛物线对应的函数表达式．
(2)如图2，现在将菱形ODCE做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形MNPQ广告牌，设边EP长度为
m米，试求内接矩形MNPQ的面积S．（用含m的式子表示）；
(3)若已知矩形MNPQ广告牌的价格为80元/米2，广告牌其余部分的价格为160元/米2，试求完成菱形广告
牌所需的最低费用．
1
【答案】(1)y=− x2+4
6
(2)S=−√3m2+4√3m
(3)960√3元
【分析】（1）过点D作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，在Rt△ODN中，DN⊥y轴，
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，勾股定理得出 的长，进而得出 ，根据 得出点C的坐标，进而利用待
∠ODN=30° ND D(2√3,2) OC=4
定系数法求出函数解析式；
（2）待定系数法求出直线OD的解析式，直线CD的解析式， 设矩形MNPQ中，QM=PN=x米，则
x √3 √3 (x √3x) (x √3x)
x =x = ，代入y= x和y=− x+4，得M , ,N ,4− ，由轴对称得
M N 2 3 3 2 6 2 6
√3
DN=EP=m，得出MN=DN=m，根据MN的长度列得4− x=m，求出x=4√3−√3m，得到
3
PN=4√3−√3m，再根据S=MN⋅PN求出函数解析式；
√3
（3）根据（1）可得S = OC2=4√3，求出菱形ODCE的面积，再求出总费用W与m的函数关系
△OCD 4
式，利用函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：如图，过点D作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，
∵四边形ODCE是菱形，
∴CD=OD，
∵∠ODC=60°，
∴△OCD是等边三角形，
1
∴OD=OC=4,∠ODN= ∠ODC=30°，
2
在Rt△ODN中，DN⊥y轴，∠ODN=30°，
1
∴ON= OD=2，DN=√OD2−ON2=√42−22=2√3，
2
∴D(2√3,2)，
∵OC=4，
∴C(0,4)，
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设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+c(a≠0)，
将C(0,4)，D(2√3,2)代入得
¿，解得¿，
1
∴抛物线的函数表达式为y=− x2+4；
6
（2）设直线OD的解析式为y=kx，将D(2√3,2)代入，
√3
得2√3k=2，解得k= ，
3
√3
∴直线OD的解析式为y= x；
3
设直线CD的解析式为y=mx+n，将点C(0,4)，D(2√3,2)代入得
¿，解得¿，
√3
∴直线CD的解析式为y=− x+4；
3
x
设矩形MNPQ中，QM=PN=x米，则x =x = ，
M N 2
√3 √3
代入y= x和y=− x+4，
3 3
(x √3x) (x √3x)
得M , ,N ,4− ，
2 6 2 6
√3x √3x √3
∴MN=4− − =4− x，
6 6 3
由轴对称得DN=EP=m，
∵MN∥y轴，
∴∠MND=∠OCD=60°,∠NMD=∠COD=60°，
∴△MND是等边三角形，
∴MN=DN=m，
√3
∴4− x=m，
3
解得x=4√3−√3m，
∴PN=4√3−√3m，
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∴内接矩形MNPQ的面积S=MN⋅PN=m(4√3−√3m)=−√3m2+4√3m；
（3）由（2）得，内接矩形MNPQ的面积S=−√3m2+4√3m，
√3
由（1）可得S = OC2=4√3，
△OCD 4
∴菱形ODCE的面积=2S =2×4√3=8√3，
△OCD
∴总费用W =80(−√3m2+4√3m)+160[8√3−(−√3m2+4√3m)]=80√3(m−2) 2+960√3，
∴当m=2时，W最小，最小值为960√3，
∴完成菱形广告牌所需的最低费用为960√3元．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的
关键．
►题型06 二次函数运动建模
考向一 竖直高度计算
39．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数
1
y=ax2+bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y= x刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高
4
度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
7 15 15 7
y 0 6 8 n …
2 2 2 2
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(1)①m=______，n=______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系y=−5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
(15 15)
【答案】(1) 3，6； , ；
2 8
① ②
(2) 8， v=4√10
【分①析】②本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，
（1）①由抛物线的顶点坐标为(4，8)可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立
两函数解析式求解，可求出交点A的坐标；
（2）①根据第一问可知最大高度为8米；
②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．
【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛
物线顶点坐标为(4,8)，
∴¿，
解得：¿，
1
∴二次函数解析式为y=− x2+4x，
2
15 1 15
当y= 时，− x2+4x= ，
2 2 2
解得：x=3或x=5（舍去），
∴m=3，
1
当x=6时，n= y=− ×62+4×6=6，
2
故答案为：3，6．
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②联立得：¿，
解得：¿或¿ ，
(15 15)
∴点A的坐标是 , ，
2 8
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8；
②y=−5t2+vt=−5 ( t− v ) 2 + v2 ，
10 20
v2
则 =8，
20
解得v=4√10（负值舍去）．
40．（2023·湖北武汉·模拟预测）从地面以初速度vm/s竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）
和小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=vt−5t2，已知当t=2时，h=40．
(1)求小球的初速度v；
(2)①求小球运动的最大高度h；
1
②当t=4时，求小球运动的路径长；
(3)假设小球为弹性小球，经过时间t 达到最大高度h ：小球落地后立刻以速度v m/s竖直向上弹起，经过
1 1 2
时间t 达到最大高度h ，若t =2t ，直接写出h 的值．
2 2 1 2 2
【答案】(1)30m/s
(2)①45m；②50m
45
(3)
4
【分析】（1）将t=2,h=40代入h=vt−5t2，即可解得小球的初速度；
（2）①根据h=30t−5t2=−5(t−3) 2+45≤45，可得小球运动的最大高度；②由当t=4时，
h=30×4−5×42=120−80=40；即当t=4时，小球在下降过程中距地面的高度为40m，即可求出小球
运动的路径长；
（3）根据t =2t ，可得t ,v ，即可求得h 的值．
1 2 2 2 2
【详解】（1）解：将t=2,h=40代入h=vt−5t2得：
2v−5×22=40，
解得v=30，
∴小球的初速度v为30m/s；
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（2）解：①∵h=30t−5t2=−5(t−3) 2+45≤45，
∴小球运动的最大高度h 为45m；
1
②由①知，当t=3时，小球向上运动到最高点，距地面45m；
当t=4时，h=30×4−5×42=120−80=40；
∴当t=4时，小球在下降过程中距地面的高度为40m，
∴当t=4时，小球运动的路径长为45×2−40=50m；
（3）解：由（1）（2）知v =30m/s,t =3s,h =45m，
1 1 1
当h=0时，0=v t−5t2 ，0=v t−5t2 ，
1 2
v v
∴t = 1，t = 2，
1 5 2 5
∵t =2t ，
1 2
3
∴t = s，v =2v ，
2 2 1 2
∴30=2v ，
2
∴v =15m/s，
2
3 (3) 2 45
∴h =15× −5× = ，
2 2 2 4
45
∴h 的值为 ．
2 4
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解h，v，t之间的关系．
考向二 水平距离计算
41．（2024·湖北襄阳·一模）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全
车距是预防交通事故的关键．某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速每秒减少a（m/s），该
型号汽车刹车时速度为v （m ⁄ s），刹车后速度v（m ⁄ s）、行驶的距离为s（m）与时间t（s）之间的
0
关系如下表：
t … 1 1.5 2 2.5 …
v … 15 12.5 10 7.5 …
s … 17.5 24.375 30 34.375 …
(1)求v与t的函数关系式；
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(2)s与t满足函数关系式s=pt2+qt，求该汽车刹车后行驶的最大距离；
(3)普通司机在遇到紧急情况时，从发现情况到刹车的反应时间是b（s），0.5≤b≤0.8，一个普通司机驾
驶该型汽车以v （m/s）的速度行驶，突然发现导航提示前面60m处路面变窄，需要将车速降低到5m/s
0
以下安全通过，司机紧急刹车，能否在到达窄路时将车速降低到5m/s以下？请通过计算说明．
【答案】(1)v=−5t+20
(2)40
(3)不能在到达窄路时将车速降低到5m/s以下
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用；
（1）根据表格数据，v随着t的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为v=kt+b，进而待定系数法求解
析式，即可求解；
（2）先待定系数法求出解析式，进而根据二次函数的性质，即可求解；
（3）根据（1）（2）的结论得出s,v的函数关系式，当v=5时，求得汽车刹车后行驶的最大距离，进而结
合题意求得刹车后行驶的距离，比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：根据表格数据，v随着t的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为v=kt+b，
将(1,15)，(2,10)代入得，
¿
解得：¿
∴v与t的函数关系式为v=−5t+20
（2）解：将(1,17.5),(2,30)代入s=pt2+qt，
∴¿
解得：¿
∴s=−2.5t2+20t
=−2.5(t2−8t)
=−2.5(t2−8t+16)+40
=−2.5(t−4) 2+40
∴当t=4时，s取得最大值，即该汽车刹车后行驶的最大距离为40米；
（3）解：依题意，v=−5t+20，
当t=0时，v=20，
从发现情况到刹车的反应时间是b（s），0.5≤b≤0.8，
接到提示到紧急刹车所行驶的路程范围是10≤s≤16，
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v=5时，t=3，
刹车后行驶的距离为s=−2.5×32+20×3=37.5（米），
到达窄路前行驶的距离范围是47.5≤s≤53.5，
∵53.5<60，
∴能在到达窄路时将车速降低到5m/s以下．
42．（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度OH
为1.5m．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把
绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y 是由外边
2
缘抛物线y 向左平移得到，外边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．
1 1
(1)求外边缘抛物线y 的函数表达式；
1
(2)求内边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
1
【答案】(1)y =− (x−2) 2+2
1 8
(2)点B的坐标为(2,0)
(3)OD的取值范围是2≤OD≤2√3−1
【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结合的思
想是解题的关键．
（1）根据题意可得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点(0,1.5)，用顶点式即可求解函数解析式；
（2）根据y 对称轴为直线x=2可得点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，则y 是由y 向左平移4m得到的，即可求
1 2 1
出点B的坐标；
（3）如图：当EF=0.5时，可得点F的纵坐标为0.5；令则y =0.5结合x>0可得x=2+2√3；由当x>2时，
1
则y 随x的增大而减小，然后分2≤x≤6、0≤x≤2、0≤x≤6三种情况确定x的取值范围，进而确定OD的
1
最大值和最小值即可解答．
【详解】（1）解：由题意得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，
设y =a(x−2) 2+2(a≠0)．
1
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又∵ 抛物线过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
1
∴a=− ，
8
1
∴ 外边缘抛物线的函数表达式为y =− (x−2) 2+2．
1 8
（2）解：∵y 的对称轴为直线x=2，
1
∴ 点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，
∴y 是由y 向左平移4m得到的，
2 1
∴BC=4．
1
令y =0，即− (x−2) 2+2=0，解得x=6或x=−2（舍去），
1 8
∴点C的坐标为(6,0)，
∴点B的坐标为(2,0)．
（3）解：∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
1
令y =0.5，即0.5=− (x−2) 2+2，解得：x=2±2√3．
1 8
∵x>0，
∴x=2+2√3．
当x>2时，y 随x的增大而减小，
1
∴ 当2≤x≤6时，要使y ≥0.5，则x≤2+2√3．
1
当0≤x≤2时，y 随x的增大而增大，且x=0时，y =1.5>0.5，
1 1
当0≤x≤6时，要使y ≥0.5，则0≤x≤2+2√3．
1
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD的最大值为2+2√3−3=2√3−1．
∵ 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OD≥OB，
∴OD的最小值为2．
综上所述，OD的取值范围是2≤OD≤2√3−1．
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模
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型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，
然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.
利用二次函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品
的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函
数解析式，从而解决问题.
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建
筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系
来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题.
利用二次函数解决面积最值的方法：求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答,也就是
把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式.
【注意】在求解几何图形的最大面积时,应注意自变量的取值范围,一定要注意题目中隐含的每一个几何量
的取值范围,一般有以下几种情况: 边长,周长,面积大于0,三角形中任意两边之和大于第三边.
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要知晓动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合
直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条
件进行计算．
利用二次函数解决运动型几何问题的方法：对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运
动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动
过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析
找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决.当图形(或某一事物)在运动的过程中某一量取到最
大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置,这是普遍规律.
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）有一种玩具叫“不倒翁”．有的“不倒翁”造型分为上下两个部分，如图，
其下半部分的纵截面边缘近似形成一条抛物线的一部分．将“不倒翁”立在矩形桌面上，如图（2），最
低点A距离矩形桌面左边缘10cm，此时，粘在玩具上的标签点B距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平
距离均为5cm．已知“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为20cm．
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(1)设“不倒翁”玩具下半部纵截面边缘上的点与桌面左边缘的水平距离为x，与桌面的铅直距离为y，建
立的平面直角坐标系，使A点的坐标为(10,0)，直接在图中画出平面直角坐标系，并求出y与x 的函数关
系式；
(2)通过计算说明“不倒翁”左右摇动时，是否有一部分会超出桌子左边缘？
(3)如图，现要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差
为4π，请直接写出最多可画出几条装饰带（不计装饰带的宽度）．
1
【答案】(1)作图见解析，y= (x−10) 2
5
(2)是有一部分会超出桌子左边缘
(3)5条
【分析】（1）如图建立直角坐标系，设y=a(x−10) 2，再将B(5,5)代入，求出a的值即可；
1
（2）令y=20，则 (x−10) 2=20，即可求解；
5
（3）设两条相邻装饰带的半径分别为r ，r ，则2πr −2πr =4π，即r −r =2，即可求解．
1 2 2 1 2 1
【详解】（1）解：如图建立平面直角坐标系，设y=a(x−10) 2，
∵点B距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为5，
∴B(5,5)，
∴a×(5−10) 2=5，
1
解得：a= ，
5
1
∴y= (x−10) 2 ，
5
1
∴y与x 的函数关系式为y= (x−10) 2 ；
5
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（2）∵“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为20，
1
当y=20时，则 (x−10) 2=20，
5
解得：x =0，x =20，
1 2
∴“不倒翁”的下半部分的最高点与桌子左边缘平齐，
∴“不倒翁”左右摇动时，是有一部分会超出桌子左边缘的部分；
（3）设两条相邻装饰带的半径分别为r ，r ，
1 2
∵要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为4π，
∴2πr −2πr =4π，
2 1
∴r −r =2，
2 1
由（2）知：0<2r≤2(10−0)，
∴00，
100
∴w随m的增大而增大，
3 41
∴当m=40时，w有最大值，w = ×40+7= (万元)；
最大值 100 5
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1 29 26 7 1 241
当400，对称轴为直线m=50，
600
1 241 143
∴当m=80时，w有最大值，w = ×(80−50) 2+ = (万元)；
最大值 600 30 15
41 143
∵ < ，
5 15
∴A 型电脑总共购进80台，B型电脑总共购进20台时，利润最大．
1
6．（2024·贵州·模拟预测）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，小红在枯
水期测得河道宽度OA=20米，河水水面截痕BC=10米，水面到河岸水平线OA的距离为7.5米，以点O为
坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决如下问题：
(1)求河道轮廓的函数表达式，并求此时最大水深为多少米？
(2)在丰水期，测得水面到OA的距离为3.6米，求此时水面截痕DE的长；
(3)在（2）的条件下，小红乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点E
处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小红抛球的力道和角度不改变，要想让小球飞到河岸上
（即点A右侧），求小红的小船至少要向右划行多少米？
1
【答案】(1)y= x2−2x，2.5m
10
(2)16m
( 2√55)
(3) 6− m
5
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题题意，建立函数模型是解题的关键．
（1）利用抛物线对称性求出B点坐标，在用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）由题意可以推出点D和点E的纵坐标为−3.6，代入y值求出D和E的横坐标，从而求出DE长度；
（3）先求出船在DE中间时小球的运动轨迹抛物线解析式，再设向右划行n米，然后将A点代入即可求出n
值．
OA−BC
【详解】（1）解：如解图，过点B作BG⊥x轴于点G，由二次函数图象的对称性可得OG= =5．
2
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∵BG=7.5，
∴B(5,−7.5)，
∵OA=20，
∴A(20,0)．
设二次函数表达式为y=ax(x−20)，
将B(5,−7.5)代入得
−7.5=a×5×(5−20)，
1
解得a= ，
10
1
∴ 二次函数表达式为y= x2−2x．
10
1 1
∵y= x2−2x= (x−10) 2−10，
10 10
∴ 二次函数图象的顶点纵坐标为−10，此时最大水深为10−7.5=2.5（米）．
（2）解：∵ 丰水期时水面到OA的距离是3.6米，
令y=−3.6，
1
即
x2−2x=−3.6，
10
解得x =2，x =18，
1 2
∴x −x =16，
2 1
∴ 此时水面截痕DE的长为16米．
（3）解：由题易知小球的轨迹是抛物线，如解图，设DE的中点为F，小球轨迹的顶点是点M，
∴F(10,−3.6)．
由（2）知E(18,−3.6)，
∵ 小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过E，F两点，
∴E，F两点关于对称轴对称，
∴M(14,4.4)．
设小球的轨迹抛物线的表达式为y=k(x−14) 2+4.4，
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将F(10,−3.6)代入得−3.6=k(10−14) 2+4.4，
1
解得k=− ，
2
1
∴y=− (x−14) 2+4.4．
2
1
设向右划行n米，小球落到A点，此时抛物线表达式为y=− (x−14−n) 2+4.4，
2
1
将A(20,0)代入可得− (6−n) 2+4.4=0，
2
2√55 2√55
解得n=6+ （舍去）或n=6− ．
5 5
2√55
答：小红的小船至少要向右划行(6− )米．
5
7．（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为
材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知
该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米．
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE为16米，露出水面的高DG为7米．
四边形DEFG为矩形，OD=BE．现以点O为原点，以OB所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角
坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)这艘货船能否安全过桥？
(3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
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1
【答案】(1)y=− x2+x
40
(2)该船能安全通过
(3)此时该货船能安全过桥
【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）先根据经过O(0，0)，设抛物线的解析式为y=ax2+bx，再把(40，0)，(20，10)代入进行计
算，即可作答．
1
（2）先求出点D的横坐标，再代入y=− x2+x，得出y=8.4>7，即可作答．
40
1 1 1 1
（3）依题意，得平移后抛物线的解析式为y=− x2+x− ，把x=12代入y=− x2+x− ，进行计
40 2 40 2
算7.9>7，即可作答．
【详解】（1）由题易知，O(0，0)，B(40，0)，抛物线的顶点为点(20，10)
设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
将(40，0)，(20，10)分别代入，
得¿
解得¿
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+x；
40
16
（2）由题易知，点D的横坐标为20− =12，
2
1
把x=12代入y=− x2+x，
40
1
得y=− ×122+12=8.4
40
∵8.4>7，
∴该船能安全通过．
1
（3）由题易知，水位上升0.5米，相当于将抛物线y=− x2+x向下平移0.5个单位长度，
40
1 1
∴平移后抛物线的解析式为y=− x2+x−
40 2
1 1
把x=12代入y=− x2+x− ，
40 2
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1 1
得y=− ×122+12− =7.9．
40 2
∵7.9>7，
∴此时该货船能安全过桥
8．（2024·山西·模拟预测）学科实践
问题情境：
某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在
校园科技节主题活动当天进行投石试验展示．
试验步骤：
第一步：如图，在操场上放置一块截面为△OCD的木板，该木板的水平宽度（OD=5米，竖直高度
CD=0.5米，将投石机固定在点O处，紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙；
第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落
地，其中点A到地面的高度OA=0.3米，测得BC=0.7米．
试验数据：
科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度PE为1.5米，
飞行的水平距离OE为4米．
问题解决：
已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，OG所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平
面直角坐标系．
（1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；
（2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围；
拓展应用：
（3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在OC上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木
杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？
【答案】（1）y=−0.075(x−4) 2+1.5（2）01.2，
设BF=n，
∵石块越过了城墙后落地，且紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙，
∴FG=BD=1.2米，则F(5+n，1.2)，
∴把F(5+n，1.2)代入y=−0.075(x−4) 2+1.5，
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得1.2=−0.075(5+n−4) 2+1.5，
∴−0.3=−0.075(1+n) 2，
解得n=1或者n=−3（舍去），
∴在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围为00时，y随着x的
5
增大而减小，当p>0，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵CO=5，AB=10，
∴C(0,5)，A(−5,0)，B(5,0)，
设抛物线的函数表达式为y=ax2+5，
把B(5,0)代入得25a+5=0，
1
解得a=− ，
5
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1
∴抛物线的函数表达式为y=− x2+5；
5
（2）解：∵四边形DEFG是矩形，
∴∠FEO=90°，
∵DE:EF=4:3，
∴设DE=4a，EF=3a，
∴F(2a,3a)，
1 1
把F(2a,3a)代入y=− x2+5得3a=− ×(2a) 2+5，
5 5
5
解得a= （负值舍去），
4
15
∴EF= ；
4
1
（3）解：∵a=− <0，对称轴为直线x=0，
5
∴当x<0时，y随着x的增大而增大，
当p<0，
∴当p≤x≤p+1时，y随着x的增大而增大，
1 1
∴函数的最大值y=− (p+1) 2+5，函数最小值y=− p2+5，
5 5
∵函数的最大值与最小值的差为1，
1 1
− (p+1) 2+5+ p2−5=1，
5 5
∴p=−3；
当x>0时，y随着x的增大而减小，
当p>0，
∴当p≤x≤p+1时，y随着x的增大而减小，
1 1
∴函数的最小值y=− (p+1) 2+5，函数最小值y=− p2+5，
5 5
∵函数的最大值与最小值的差为1，
1 1
∴− p2+5+ (p+1) 2−5=1，
5 5
∴p=2，
综上所述，p的值为−3或2．
10．（2024·河南商丘·模拟预测）在文艺汇演来临之际，九年级2班同学准备装饰教室．他们在相对的两
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面墙上的B，C两点之间拉了一根彩带，彩带自然下垂后呈抛物线形，地面上两点O，D分别在点B，C的
正下方，已知OB=CD=3米，OB和CD之间的水平距离为10米．以OB所在直线为y轴，OD所在直线为
x轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时彩带自然下垂形状可近似看作抛物线y=ax2−0.3x+c．
(1)求该抛物线的函数表达式及彩带到地面的最小距离．
(2)为了使彩带的造型美观，现将图1中彩带最低点固定在灯E上（灯宽度、厚度不计，图中所有点均在同
一竖直平面内），且灯E到OB和CD的距离相等，这样灯E两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线，如
图2所示．若两个新抛物线最低点之间的水平距离为4米，且灯E到地面的距离为2.7米，则图2中彩带最
低点比之前升高了多少米？
【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=0.03x2−0.3x+3，彩带到地面的最小距离为2.25米
(2)图2中彩带最低点比之前升高了0.21米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质解题是关键．
−0.3
（1）依据题意，可知抛物线的对称轴为直线x=5，且过点(0,3)，c=3，进而可得 =5，故可得
−2a
a=0.03，从而可得函数的解析式，当x=5时，y=2.25，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由两个新抛物线对称，且最低点之间的水平距离为4米，可得左边的新抛物线的对称轴
为直线x=5−2=3，再设左边的新抛物线的函数表达式为y=m(x−3) 2+k，又B(0,3)，E(5,2.7)，进而求
出解析式后即可判断得解．
【详解】（1）由题意，可知抛物线的对称轴为直线x=5，且过点(0,3)，且c=3，
−0.3
∴ =5，
−2a
∴a=0.03．
∴抛物线的函数表达式为y=0.03x2−0.3x+3．
当x=5时，y=2.25，
∴彩带到地面的最小距离为2.25米．
（2）∵两个新抛物线对称，且最低点之间的水平距离为4米，
∴左边的新抛物线的对称轴为直线x=5−2=3．
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设左边的新抛物线的函数表达式为y=m(x−3) 2+k．
由题意，可知B(0,3)，E(5,2.7)．
把B(0,3)，E(5,2.7)代入y=m(x−3) 2+k中，
得¿
解得¿
2.46−2.25=0.21（米）．
答：图2中彩带最低点比之前升高了0.21米．
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