文档内容
第 14 课 实际问题与二次函数
目标导航
课程标准
(1)能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问
题的最大(小)值，提高解决问题的能力。
(2)通过求最大面积、最大利润等问题，体会二次函数是一类解决最优化问题的数学模型。
知识精讲
知识点01 列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示
量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系
(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
知识点02 建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求函数关系式；
(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；
(5)利用关系式求解问题．
【注意】
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公
式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要
注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.知识点03 利用二次函数求图形面积的最值问题
一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面积。
求矩形的最大面积时，通常用含有自变量x的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造关于x
的二次函数，再结合二次函数的图象和性质，利用公式法或配方法求出二次函数的最大值，同时要注意自
变量的取值范围。
知识点04 利用二次函数求最大利润问题
(1)利润问题是本节的重点问题之一，在日常生活中经常出现，是考试热点。对于这类问题，只要审清题意，
记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题。
①每件的利润=销售单价-成本单价；
②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。
(2)利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：
①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入；
②用含自变量的代数式表示销售商品的成本；
③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式；
④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。
知识点05 利用二次函数解决抛物线型建筑物问题
这类问题所给的问题情境常有一个抛物线型物体，比如拱桥或隧道这些问题都可以通过构造二次承数的表
达式来解决，解决这类问题般是利用数形结合思想和函数思想。
1．一般解题思路
(1)在示意图中建立适当的平面直角坐标系，将题目中所给条件转化平面直角坐标系中的坐标。
(2)根据图中坐标利用待定系数法求得二次函数的表达式。
(3)由二次函数的性质去分析解决问题，检验问题的结果是否符合实标意义，并作答。
2．卡车过拱桥(隧道)问题
在问题中，抛物线的函数表达式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来，求出函数表
达式后有两种方法可以判断卡车能否从桥下通过：
(1)固定卡车的宽，看桥是否足够高(即相当于已知x的值，根据函数表达式求y的值，然后与限制的高的值
比较大小)；
(2)固定卡车的高，看桥是否足够宽(即相当于已知y的值，根据函数表达式求x的值，然后与限制的宽的值
比较大小)
能力拓展
考法01 求几何图形面积的最值
【典例1】如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园
的最大面积是( )A．18m2 B．12 m2 C．16 m2 D．22 m2
【答案】A
【详解】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S=x(12-2x)= ，
∴当x=3时，S取得最大值，此时S=18，
故选：A．
【即学即练】如图，四边形 中， ，若 ，则四边形 的面积最大值为( )
A．6 B．18 C．36 D．144
【答案】B
【详解】如图，设AC、BD交于点M
设
四边形 的面积
即四边形 的面积
当 时，四边形 的面积最大，最大为18．
故选：B．
【典例2】如图，在平面直角坐标系 中，直线 ( 为常数)与抛物线 交于A、B两点，
且点A在 轴左侧，点P的坐标为 ，连接PA，PB，则 面积的最小值为( )A． B． C． D．6
【答案】B
【详解】解：设 ，联立 ，得 ，即 ，
由根与系数的关系得
，
∴当 时， 的面积最小，最小面积为 .
故选：B.
【即学即练】如果一个矩形的周长与面积的差是定值 ，我们称这个矩形为“定差值矩形”.如
图，在矩形 中， ， ， ，那么这个“定差值矩形”的对角线 的
长的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵在矩形 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，∴ 有最小值为 (取正值)，
故选：C．
考法02 利用二次函数解最大利润问题
【典例3】某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出(100－x)件．若想获得
最大利润，则定价x应为( )
A．35元 B．45元 C．55元 D．65元
【答案】D
【详解】解：设所获得的利润为W，
由题意得 ，
∵ ，
∴当 时，W有最大值1225，
故选D．
【即学即练】某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式为y＝﹣x2+8x+9，且售价x的范围是
1≤x≤3，则最大利润是( )
A．16元 B．21元 C．24元 D．25元
【答案】C
【详解】解：y=-x2+8x+9=-(x-4)2+25，
∵a=-1＜0，
∴利润y有最大值，
当x＜4时，y随x的增大而增大，
∵售价x的范围是1≤x≤3，
∴当x=3时，最大利润y是24元，
故选：C．
【典例4】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降
低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是( )
A．销售单价降低15元时，每天获得利润最大
B．每天的最大利润为1250元
C．若销售单价降低10元，每天的利润为1200元
D．若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元
【答案】D
【详解】因为每降低5元，每天可多售出10件，所以每降价1元可多售2件，
设每件降价x元，每天的利润为y元，则每天可售(20+2x)件，每件利润为40-x，
所以每天的利润为
将 整理成顶点式有 ，由顶点式可知当销售单价降低15元时，每天获得利润最大，每天的最大利润为1250元，故A、B正确；
将x=10代入到解析式中解得y=1200，故C正确；
令y=1050，则 ，解得 ，即当每天的利润为1050元，则销售单价可能
降低了5元，也可能降低了25元，所以D错误；
综上所述，答案选D.
【即学即练】某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千
克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为 (元/千克)( ，且 是
按0.5的倍数上涨)，当日销售量为 (千克)．有下列说法：
①当 时，
② 与 之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是( )
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
【答案】B
【详解】当 时， ，故①正确；
由题意得： ，故②正确；
日销售利润为 ，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴ 不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③错误；
由上问可知： ，
即 ，
∵ ，
∴当 时， ，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确；
故正确的是①②④；
故答案选B．
考法03 利用二次函数解拱桥问题
【典例5】如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为( )
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
【答案】C
【详解】解：建立如图所示的坐标系：
设函数关系式为 ，由题意得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当y=-0.5时，则有 ，
解得： ，
∴水面的宽度为0.8m；
故选C．
【即学即练】如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面
下降( )
A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m
【答案】C
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴 通过 ，纵轴 通过 中点 且通过顶点 ，则通过画图
可得知 为原点，由平面直角坐标系可知， ，即 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则抛物线的解析式为 ，即 ，
当 时， ，
所以水面下降 ，
故选：C．
【典例6】如图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水
面宽4米．如果按图(2)建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是_____．
【答案】
【详解】解：设出抛物线方程y=ax2(a≠0)，由图象可知该图象经过(-2，-3)点，
∴-3=4a，
a=- ，
∴抛物线解析式为y=- x2．
故答案为： ．
【即学即练】某桥梁的桥洞可视为抛物线， ，最高点C距离水面4m，以AB所在直线为x轴(向
右为正向)，若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为 ，已知点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平C行于AB的直线为x轴(向右为正向)建立坐标系时，
该物线的表达式为___________．
【答案】 ##
【详解】解：在y＝﹣ x2+ x中，令y＝3得﹣ x2+ x＝3，
解得x＝3或x＝9，
∵点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，
∴xD﹣xA＝9，
以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴(向右为正向)建立坐标系，如图：
根据题意知此时顶点D(﹣3，1)，A(﹣9，﹣3)，
设抛物线的表达式为y＝a(x+3)2+1，
将A(﹣9，﹣3)代入得：36a+1＝﹣3，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣ (x+3)2+1＝﹣ x2﹣ x，
故答案为：y＝﹣ x2﹣ x．
考法04 利用二次函数求喷水、投球等实际问题
【典例7】从某幢建筑物2.25米高处的窗口A用水管向外喷水，水流呈抛物线，如果抛物线的最高点M离
墙1米，离地面3米，那么水流落点B与墙的距离OB是( )
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】C【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为(1，3)，
设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+3，
2.25=a(0-1)2+3，
解得a=-0.75，
∴y=- (x-1)2+3，
当y=0时，- (x-1)2+3=0，
解得，x=-1，x=3，
1 2
∴点B的坐标为(3，0)，
∴OB=3，
答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．
故选：C．
【即学即练】如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，
使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，
水管的长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可知点(1，3)是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3．
∵该抛物线过点(3，0)，
∴0=a(3-1)2+3，
解得：a=- ．
∴y=- (x-1)2+3．
∵当x=0时，y=- (0-1)2+3=- +3= ，
∴水管应长 m．
故选：A【典例8】如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝10t﹣
5t2，则小球飞行的最大高度为 _____m．
【答案】5
【详解】解：∵ ，
∴小球飞行的最大高度为5m，
故答案为5．
【即学即练】如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)
之间的关系是 ．则他将铅球推出的距离是___米．
【答案】10
【详解】解：当y=0时， ，
解得：x=10，x=-2(不合题意，舍去)，
1 2
所以推铅球的距离是10米；
故答案为：10．
分层提分
题组A 基础过关练
1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式：h =﹣5t2+20t﹣14，则
小球距离地面的最大高度是( )
A．2米 B．5米 C．6米 D．14米
【答案】C
【详解】 高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h =﹣5t2+20t﹣14，
当 时，小球距离地面高度最大，
米，
故选：C．
2．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，
那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h(m)与下落时间t(s)之间的函数表达式为h＝ gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约
为( )
A．98m B．78.4m C．49m D．36.2m
【答案】B
【详解】解：把t=4代入h＝ gt2得，
故选：B．
3．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，
平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出
的方程是( )
A．(3+x)(4﹣0.5x)＝15 B．(x+3)(4+0.5x)＝15
C．(x+4)(3﹣0.5x)＝15 D．(x+1)(4﹣0.5x)＝15
【答案】A
【详解】解：设每盆应该多植x株，由题意得
(x+3)(4-0.5x)=15，
故选：A．
4．如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，矩形的面积为 ．当x在一定范围内
变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得，
2(x+y)＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy
＝x(5﹣x)
∴矩形面积满足的函数关系为S＝x(5﹣x)，
由题意可知自变量的取值范围为 ，
故选：A．
5．某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得： ，
故选B．
6．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c(a≠0)．若此炮弹在
第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【答案】C
【详解】解： 此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，
抛物线的对称轴直线是： ，
抛物线开口向下，
时，函数值最大，
即第12秒炮弹所在高度最高，
故选：C．
7．据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为 万吨，如果2019年至
2021年蔬菜产量的年平均增长率为 ，那么 关于 的函数解析式为_________．
【答案】
【详解】解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为 ，
2021年的蔬菜产量为 ，
∴ ，
故答案为： ．
8．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB//x轴，AB＝4cm，最低点C在x
轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm则右轮廓线DFE所在抛物线的函数表达式为 ___(不用写x的取值范围)．
【答案】
【详解】解：∵眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C
在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，∴点C的坐标为(﹣3，0)，点B(﹣1，1)，
∴点D(1，1)，点F(3，0)，
设右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：y＝a(x﹣3)2，
则1＝a(1﹣3)2，
解得，a＝ ，
∴右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：
9．某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量
为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
(1)若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
(2)求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)销售单价应定为30元或40元．(2)当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元．
【详解】解：(1)设销售单价为x元，根据题意列方程得，
(x﹣20)[250﹣10(x﹣25)]＝2000，
解得x＝30，x＝40
1 2
答：销售单价应定为30元或40元．
(2)设销售单价为x元，每天的销售利润w元，可列函数解析式为：w＝(x﹣20)[250﹣10(x﹣25)] ＝﹣
10x2+700x﹣10000＝﹣10(x﹣35)2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，当x＝35时，w有最大值，最大值为2250元，
答：当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元．
10．如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E
在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方
米．
(1)求y与x之间的函数关系式(不需写自变量的取值范围)；
(2)根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长
为多少米？
【答案】(1)y=-2x +4x+16；(2)2米
【详解】解：(1)∵BE边长为x米，
∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x)
则苗圃的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为：y=-2x +4x+16
(2)依题意，令y=16 即-2x +4x+16=16
解得：x =0(舍)x =2
答：此时BE的长为2米．
题组B 能力提升练
1．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平
面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01(x-20)2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，
且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为( )
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米，
∴点C的横坐标为-5，
当x=-5时，y=-0.01(x-20)2+4=y=-0.01(-5-20)2+4=-2.25，
∴C(-5，-2.25)，
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．
2．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度(即 的长度)是1米．当
喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离 是( )
A．20米 B．18米 C．10米 D．8米
【答案】A
【详解】解：∵喷水头的高度(即 的长度)是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度
1.8米，
设抛物线解析式为 ，将点 代入，得解得
∴抛物线解析式为
令 ，解得 (负值舍去)
即 ，
故选：A
3．飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数表达式为 ，当滑行时间
为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为(
)
A．600米 B．800米 C．1000米 D．1200米
【答案】A
【详解】解：∵ 时， ； 时， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，S最大，且最大值为600，
即飞机的最大滑行距离为600米，故A正确．
故选：A．
4．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位：m3)与旋钮的旋转角度x(单位：度)(0＜x≤90)近似满
足函数关系y＝ax2+bx+c(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数
据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为( )
A．37.5° B．40°
C．42.5° D．45°
【答案】B【详解】解：由图象可得，
该函数的对称轴x＞ 且x＜50，
∴37.5＜x＜50，即对称轴位于直线x＝37.5与直线x＝50之间且靠近直线x＝37.5
∴此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，
故选：B．
5．如图，四边形 是边长为2的正方形，点 是射线 上的动点(点 不与点 ，点 重合)，点
在线段 的延长线上，且 ,连接 , ．设 ， 的面积为 ，下列图象能正确反映
出 与 的函数关系的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：当点 在 之间时，即 ，
，则 ，
，
图象是开口向下，对称为： 的抛物线，
当点 在 上方时，即 ，
，则 ，
，
图象是开口向上的抛物线，
故选：B．6．某超市销售一种商品，每件成本为 元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量 (件)与销售单价
(元)之间满足函数关系式 ，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品
销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？( )
A． 元， 元 B． 元， 元
C． 元， 元 D． 元， 元
【答案】B
【详解】解：设每月总利润为 ，
依题意得：
，此图象开口向下，又 ，
当 时， 有最大值，最大值为 元．
故选：B．
7．某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数表达式是 ，
该型号飞机着陆后滑行的最大距离是______．
【答案】600m##600米
【详解】解：∵ ，
∴x=20时，y取得最大值，最大值=600，
故答案为：600m．
8．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米)，围成中间隔有一道篱笆的
长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的
之间的函数表达式为 __；自变量x的取值范围为 __．
【答案】
【详解】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，
则S与x的之间的函数表达式为： ；由题意可得： ，
解得： ．
故答案为： ， ．
9．为满足市场需求，某超市在中秋节前夕购进价格为12元/盒的某品牌月饼，根据市场预测，该品牌月饼
每盒售价14元时，每天能售出200盒，并且售价每上涨1元，其销售量将减少10盒，为了维护消费者利
益，物价部门规定：该品牌月饼的售价不能超过20元/盒．
(1)当销售单价为多少元时，该超市每天销售该品牌月饼的利润为720元；
(2)当销售单价为多少元时，超市每天销售该品牌月饼获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)当销售单价为16元/盒时，该超市每天的利润为720元
(2)当销售单价20元/盒时，超市每天获得利润最大，最大利润是1120元
【详解】(1)解：设销售单价为x元/盒，依据题意得
解得 (不符合题意，舍去)．
答：当销售单价为16元/盒时，该超市每天的利润为720元．
(2)设销售单价为x元/盒，每天销售该品牌月饼的利润为w元，依据题意得
∵ ，抛物线开口向下，当 时，w随x的增大而增大．
∴ 时，w最大为1120元
答：当销售单价20元/盒时，超市每天获得利润最大，最大利润是1120元．
10．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水
柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛
物线的表达式为 ，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)
(2)2或6m
【详解】(1)解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
(2)由 ，令 ，
得 ，
解得 ，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 (m)，或 (m)．
题组C 培优拔尖练
1．两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为 ，则这两个正方形的面积的和S关于 的函
数关系式为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为 ，
∴另一个正方形的边长为 ，
∴这两个正方形的面积的和S关于 的函数关系式为 ，
故选：D．
2．某种产品按质量分为 个档次，生产最低档次产品，每件获利润 元，每提高一个档次，每件产品利
润增加 元，用同样工时，最低档次产品每天可生产 件，提高一个档次将减少 件．如果用相同的工时
生产，总获利润最大的产品是第 档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量増加)，那么 等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设总利润为y元，∵第 档次产品比最低档次产品提高了 个档次，
∴每天利润为 ，
∴当 时，产品利润最大，每天获利864元，
故选C．
3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运
动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P，
Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t函数关系的图象是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵正方形边长为4，点P的运动速度为每秒1个单位长度，
∴当点P到达B点时，t=4s，
当t=4s时，点Q运动了4×2=8个单位长度，
此时点Q到达点D，
故点Q的运动轨迹为：点B——点C——点D；
令运动时间为t，
当点Q在BC上运动时，BQ=2t，AP=t
(0
