文档内容
第 55 讲 空间角与距离的计算（2）
空间角与距离的计算
1、【2021年甲卷理科】已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别
为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
2、【2020年新高考1卷（山东卷）】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面
PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．1、（2022·河北深州市中学高三期末）如图，在三棱柱 中， 是边长为2的等边三角形，
， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2） ， 分别是 ， 的中点， 是线段 上的动点，若二面角 的平面角的大小为
，试确定点 的位置.
2、 (2022·青岛二模)如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB＝4，母线PH＝
2，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形．
(1) 设平面POH∩平面PBC＝l，求证：l∥BC；
(2) 设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成的角最大时，求MN的长．考向一 利用空间向量解决探索性问题
例1、（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））四棱锥 中，底面 是边长为 的正
方形， ，点P在底面 的射影为点O，且 ，点M是 的中点．
(1)求证： ；
(2)在线段 上，是否存在点N，使二面角 的余弦值为 ？若存在，请确定点N的位置，若不
存在，请说明理由．
变式1、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）如图，在四棱锥 中，已知四边形 是边
长为 的正方形，点 在底面 上的射影为底面 的中心 ，点 在棱 上，且 的
面积为1.（1）若点 是 的中点，证明：平面 平面 ；
（2）在棱 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ？若存在，求出点
的位置；若不存在，说明理由.
变式2、 (2022·湖南长沙县第一中学模拟)在直三棱柱ABC-ABC 中，AB⊥AC，且AC＝AB＝AA＝2.
1 1 1 1
(1) 求证：AB⊥BC；
1 1
(2) M，N分别为棱CC ，BC的中点，点P在线段AB 上，是否存在点P，使平面PMN与平面ABC所
1 1 1
成角的余弦值为，若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．
方法总结：用向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的方法：
(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证
明，得出结论．
(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程
(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．
考向二 运用向量研究空间距离
例2、（2022年福建省福州市高三模拟试卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PAB是边长为2的等边三角
形．梯形ABCD满足BC＝CD＝1，AB∥CD，AB⊥BC．（1）求证：PD⊥AB；
（2）若PD＝2，求点D到平面PBC的距离．
变式1、如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB
＝2，求点A到平面MBC的距离．
方法总结：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．(2)等体积法．(3)向量法．其中向
量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．
考向三 运用向量研究最值问题
例3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将
△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′-BCDE.
(1) 在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD；
(2) 当四棱锥A′BCDE的体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE所成角的余弦值．变式1、（2022·广东东莞·高三期末）如图，在正四棱锥 中，点 ， 分别是 ， 中点，点
是 上的一点.
（1）证明： ；
（2）若四棱锥 的所有棱长为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
.
方法总结:建立关于角距离等所求的函数的关系式，然后运用基本不等式或者求导进行研究。
1、（2022·山东青岛·高三期末）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，
， 为 的中点， .（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点A到平面 的距离.
2、（2022年广州第十七中学高三模拟试卷）如图所示，在梯形ABCD中， ，
四边形ACFE为矩形，且 平面 ， ．（1）求证： 平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为
．
3、（惠州市高三期末试题）如图， 是以 为直径的圆 上异于 的点，平面 平面 ，
， ， 分别是 的中点，记平面 与平面 的交线为直线 .（1）求证：直线 平面 ；
（2）直线 上是否存在点 ，使直线 分别与平面 ，直线 所成的角互余？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
4、（江门市高三期末试卷）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD， ，且 ，
， ， ．
(1)求证： ；
(2)在线段PD上是否存在一点M，使二面角 的余弦值为 ？若存在，求三棱锥 体积；
若不存在，请说明理由．
5、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）如图，在四棱锥E-ABCD中， ， ，E
在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面 平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．(1)求证： 平面ABE；
(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．
