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22.3 实际问题与二次函数
【提升训练】
一、单选题
1．如果一个矩形的周长与面积的差是定值 ，我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，在矩
形 中， ， ， ，那么这个“定差值矩形”的对角线 的长的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据矩形的性质，由勾股定理可得 ，由二次函数的性质可求解．
【详解】
解：∵在矩形 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ 有最小值为 （取正值），
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，二次函数的性质，掌握相关性质是本题的关键．
2．如图，点 是菱形 边上的动点，它从点 出发沿 路径匀速运动到点 ，设
的面积为 ，点 的运动时间为 ，则 关于 的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在BC上，在CD上和在DA上三种情况，利用三角形的面积公
式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
【详解】
解：设菱形的高为h，分三种情况：
①当P在BC边上时，y＝ BP•h，
∵BP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，且为一次函数关系，
故选项A和D不正确；
②当P在边DC上时，
y＝ AB•h，
AB和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项B不正确；
③当P在边AD上时，
y＝ AP•h，
∵PA随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，且为一次函数，
故选：C；【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出△PAB的面积的表达
式是解题的关键．
3．如图，四边形 是边长为1的正方形，点E是射线 上的动点（点E不与点A，点B重合），
点F在线段 的延长线上，且 ，连接 ，将 绕点E顺时针旋转 得到 ，连接
．设 ，四边形 的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（
）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】
分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．
【详解】
解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE=∠ABF，DE=BF，
∵∠DEG=90°，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG，
∴∠BEG=∠ADE，
∴∠BEG=∠ABF，
∴EG BF，
∵DE=BF，DE=GE，
∴EG=BF，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2 BE•AF，
设AE=x，四边形EFBG的面积为y，
当0≤x≤1时，y=（1-x）•x=-x2+x；
当x＞1时，y=（x-1）•x=x2-x；
综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有B，
故选：B．
【点睛】
本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 在直线 上运动，设
的面积为 ，则下列图象中，能反映 与 的函数关系的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意得出临界点P点横坐标为1时，△APO的面积为0，设直线 与y轴交于点B，则B(0，
2)，连接AB，利用割补法，得到S与m的函数，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵点P（m，n）在直线y＝−x＋2上运动，
∴当m＝1时，n＝1，即P点在直线AO上，此时S＝0，
设直线 与y轴交于点B，则B(0，2)，连接AB，
∵点A的坐标为 ，B(0，2)，
∴ 是等腰直角三角形，且 ，当m≤1时，S ＝ ×2×2- ×2×m×2＝2−2m，
△APO
∴S与m是一次函数关系，
同理：当m＞1时，S ＝2m−2，故S与m是一次函数关系，
△APO
只有选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意，得到S与m的函数解析式，是解题的关键．
5．如图．正方形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 分别从 ， 两点
同时出发，以 的速度沿 ， 运动，到点 ， 时停止运动，设运动时间为 ， 的
面积为 ，则 与 的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】
因BE=CF，根据正方形的性质，可证明△BOE≌△COF，从而这两个三角形的面积相等，故四边形OECF的
面积等于△BOC的面积，故有△OEF的面积=四边形OECF的面积−△ECF的面积，而△ECF的面积则可
以用t的代数式表示出来，从而可得△OEF的面积关于t的函数关系式，最后可判定结果．
【详解】
由题意，得：BE=CF=tcm，则CE=BC-BE=(8-t)cm
∵四边形ABCD是正方形
∴∠OBE=∠OCF=45゜，OB=OC
∴△OBE≌△OCF
∴
∴
∵
∴
∴
根据函数解析式知正确答案为：B
故选：B．
【点睛】
本题是一个动点问题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象，关键是由三角
形全等，把四边形OECF的面积转化为△OBC的面积，从而求△OEF的面积为转化△OBC的面积与△ECF
面积的差．
6．如图，菱形 的边长为 ，其中 ，动点 同时从点A都以 的速度出发，点
沿 路线，点 沿 路线运动．连接 ．设运动时间为 ， 的面积为，则下列图像中能大致表示S与 的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
分两种情况：当点E在AB上运动时和当点E在BC上运动时，分别得出S与t之间的关系，然后对照选项
即可确定答案．
【详解】
，
当点E在AB上运动时，即 时，∵动点 同时从点A都以 的速度出发，
．
，
为等边三角形，
，
∴图象为开口向上的抛物线；
当点E在BC上运动时，即 时，此时 ，
．
∵四边形ABCD是菱形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，，
，
∴图象为开口向下的抛物线，
综上所述，C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数图象，能够根据题意找到S与t之间的关系是关键．
7．如图所示，点P是边长为1的正方形 对角线 上一动点（P与点A、C不重合），点E在
上，且 ，设 ， 的面积为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（
）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】
过点 作 于 ，若要求 的面积，则需要求出 ， 的值，利用已知条件和正方形的
性质以及勾股定理可求出 ， 的值．再利用三角形的面积公式得到 与 的关系式，此时还要考虑
到自变量 的取值范围和 的取值范围．
【详解】
解：过点 作 于 ，
，
，
正方形 的边长是1，
，
， ，
，
，
，
即 ，
是 的二次函数 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，和正方形的性质；等于直角三角形的性质；三角形的面积公式，熟悉相关性质是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点
D，另一直角边与BC交于F，若AE=x，BF=y，则y关于x的函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据 为直角三角形，运用勾股定理列出 与 之间的函数关系式即可判断．
【详解】
解：如图，连接 ，
设 ， ，
则 ，，
；
为直角三角形，
，
即 ，
解得 ，
根据函数关系式可看出 中的函数图象与之对应．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是函数的关系式，矩形的性质，动点函数的图象，勾股定理的有关知识，由于直角边
始终经过点 ， 为直角三角形，运用勾股定理列出 与 之间的函数关系式即可．
9．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距
离为 时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高是 ，若足球能射入球门，则小明与球
门的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
建立坐标系，利用二次函数的顶点式求解判断
【详解】
解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y= +3将（0，0）代入解析式得a＝ ，
∴抛物线解析式为y= ，
当x＝10时，y＝ ，
∵ ＜2.44，满足题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，选择顶点式求二次函数的表达式是解题的关键．
10．已知二次函数 的图象与 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点C，点C
关于 轴的对称点为D点，若四边形 为正方形，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件得到A（1，0），B（4，0），得到抛物线的对称轴为直线 ，设顶点C的坐标为 ，根据已知条件列方程即可得到结论．
【详解】
解： 二次函数 的图象与 轴交于A、B两点，
， ，
抛物线的对称轴为直线 ，
设顶点C的坐标为 ，
四边形 为正方形，
，
或 ，
把C点的坐标代入得： 或 ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的图象与几何变换，正方形的性质，正确的理解题意是解
题的关键．
11．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（ ）
m．A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】
根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面
宽度，即可得出答案．
【详解】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为
原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为
（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）．故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会
把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
12．在平面直角坐标系中，先将抛物线 作关于x轴的轴对称变换，再将所得的抛物线作关于
y轴的轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．
【详解】
解：先将抛物线 作关于x轴的轴对称变换，可得新抛物线为 ；再将所得的抛
物线 作关于y轴的轴对称变换，可得新抛物线为 ，
故选A．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴、y对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
13．正方形 的边长为 ，动点 从 出发，以 的速度沿 向 运动；同
时动点 以 的速度沿着 向 运动．如果一个点到达终点，则另一个点也停止运动．设运动时间
为 秒， 的面积为 ，则大致反应 与 变化关系的图像是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分点P在AB上运动、点P在AD上运动、点P在CD上运动三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【详解】
解：①当点P在AB上运动时，则PB=3t，BQ=t，
则AP=3-3t，CQ=3-t，
S=S -S -S -S =3×3- [t•3t+（3-3t）×3+3（3-t）]=- t2+6t，
正方形ABCD △PBQ △ADP △CDQ
该函数为开口向下的抛物线；
②当点P在AD上运动时，
则S= ×PD×AB= ×（3t-3）= t- ；
③当点P在CD上运动时，
同理可得S=- （t-2）（t-3）为开口向下的抛物线；故选：B．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，
图象和图形的对应关系，进而求解．
14．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关
系式是 ．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【答案】D
【分析】
根据数关系式，t＝﹣ 时，礼炮在升空到最高点，求解即可．
【详解】
解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，
∴t＝﹣ ＝- ＝6（s），
故答案为：D．
【点睛】
本主查二次数的性质，练享握二次函数的性质是解的关键．
15．已知 中， ，正方形 中， 和 在同一直线
上，将 向右平移，则 和正方形 重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数
图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意分0≤x≤2时、2＜x＜4时、4≤x≤6时分别找到y与x之间的函数关系式即可判断求解．
【详解】
依题意可得当0≤x≤2时， 和正方形 重叠部分为等腰直角△EBC
BE=x
∴y=
当2＜x＜4时， 和正方形 重叠部分为五边形CMEFN，如图所示
由题意可得S = ，S = ，
△CHM △CGN
∴S =2×2- - =
五边形CMEFN当4≤x≤6时，AF=6-x，
∴y=
∴y=
故函数图象如下图所示：
故选C．
【点睛】
此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质及二次函数的图象与性质．
16．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度 与旋转时 之间
的关系可以近似地用 来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时 和离地面高度 的
三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（
）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
把已知点的坐标代入函数解析式，求得b，c的值，可得函数解析式，再由二次函数求最值．
【详解】
解：把（160，60），（190，67.5）分别代入 ，
可得 ，
解得： ，
则 ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，
∴当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为 s，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决问题，是基础题．
17．如图，平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线
与抛物线交于点D，与直线 交于点E．连接 ， ．若 ，则a
的值是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据函数解析式分别求出A、B、C、D的坐标，再根据
，得到关于a的方程，故可求解．
【详解】
∵抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
令 =0
解得x=-2a，x=3a，
1 2
∴A（-2a，0），B（3a，0）
令x=0，
∴C（0， ）
联立抛物线 与直线 得
解得 或
∴D（2a， ）
∵∴
∴ =
解得a=2
故选B．
【点睛】
此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、坐标的特点及三角形的面积公
式．
18．如图所示，正方形 的边长为 ，点 是 的中点，动点 从点 向点 运动，速度为
，到点 时停止运动；同时，动点 从点 出发，沿 运动，点 的速度为 ．
设点 的运动时间为 秒， 的面积为 ，能大致刻画 与 的函数关系的图象是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分点 在 上和点 在 上两种情况，分别得出 与 的函数关系式进行判断即可．
【详解】
解：当点 在 上时，
为 的中点， cm，
cm，，
，
又 ，
；
当点 在 上时，
，
解得 ，
， ，
，
当 时， 到达点 ，停止运动．
综上所述，能大致刻画 与 的函数关系的图象是选项C．
故选：C．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想
解答问题．
19．在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别是 ，抛物线
的图象经过点 ，将 沿 轴向右平移 个单位，使点 平移到点 ，然
后绕点 顺时针旋转 ，若此时点 的对应点 恰好落在抛物线上．则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
过点C作CD⊥AB，过 作 ⊥ ，可得CD=2，AD=1，从而得 ， ，进而即
可求解．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB，过 作 ⊥ ，
∵ ，
∴CD=2，AD=1，
∵将 沿 轴向右平移 个单位，使点 平移到点 ，然后绕点 顺时针旋转 ，得
，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点 恰好落在抛物线上，
∴ ，解得：m= ，（负值舍去），∴m= ，
故选C．
．
【点睛】
本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数图像上点的坐标特征以及图形的平移和旋转的性
质，是解题的关键．
20．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为
C ，将C 向右平移得到C ，C 与x轴交于点B、D，C 的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积
1 1 2 2 2
为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．π
【答案】A
【分析】
由S ＝S ＝BD×OE，即可求解．
阴影部分图形 四边形BDFE
【详解】
令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，则：OB＝1，BD＝2，OE＝2，
S ＝S ＝BD×OE＝2×2＝4．
阴影部分图形 四边形BDFE
故选：A．【点睛】
本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S ＝S 是本题的关键．
阴影部分图形 四边形BDFE
21．如图1， 的边BC与长方形DEFG的边DE都在直线l上，且点C与点D重合， ，
将 沿着射线DE移动至点B与点E重合时停止，设 与长方形DEFG重叠部分的面积是y，
CD的长度为x，y与x之间的关系图象如图2所示，则长方形DEFG的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．7
【答案】A
【分析】
从图2看， 向右平移2个单位时， 整体到长方体中了，可得到长方形的宽，再向右
平移3个单位时，点 重合，可得到长方形的长，即可求出长方形的周长．
【详解】
解：从图2看， 向右平移2个单位时， 整体到长方体中了，此时 与长方形
DEFG重叠部分的面积为 的面积为 且 ，
的面积为 ,
解得： ，
．
再向右平移3个单位时，点 重合，
故： ，长方形 的周长为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点图像问题，解题的关键是：通过关系图像搞清楚图像与图形的对应关系．
22．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平
面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达
到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处
有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是
（ ）
A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣ x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
【答案】D
【分析】
A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
B、把y=0代入函数y＝﹣ x2+x+1即可水流喷射的最远水平距离
C、当x=20时y=11，减去2即可；
D、向后平移后的解析式为 ，把x=37代入解析式求得y的值，再减3后与2.3比较大小即可做出判断．
【详解】
解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，
把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，
解得： ，
∴解析式为 ；
故A不符合题意；
B、当y=0时， ；
解得x= 2 +20，
∴水流喷射的最远水平距离是2 +20米；
故B不符合题意；
C、当x=20时，y=11，
∴11-2=9
∴喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米
故C不符合题意；
D、向后平移后的解析式为 ，
当x=37时，y=8.5
8.5-3=5.5＞2.3，
∴可以避开对这棵石榴树的喷灌；
故选：D
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．如图，在 中， ， ， ．动点P沿 从点A向点B移动（点P不与点A，点B重合），过点P作 的垂线，交折线 于点Q．记 ， 的面积为y，
则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取AB的中点D，连接CD，分两种情况讨论，①当P在AD之间运动时，②当P在DB间运动时，分别写
出抛物线的解析式，再讨论函数的图像与性质，即可求解．
【详解】
解：取AB的中点D，连接CD，
当P在AD之间运动时，AC=BC，则∠A=45°，
∴AP=QP=x，
∴y= PQ·AP= x2
是开口向上的抛物线，排除A，C，选项，
当P在DB间运动时，
此时，AP=x，BP=PQ=2-x，
∴y=
是开口向下的抛物线，
∴综上：B选项符合，故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的解析式，二次函数图像和性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会
分类讨论，正确画出图形．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平
分线分别交AB，DC于点M，N，设BM＝y，BP＝x，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据中垂线的性质可以得出MP＝MA，由勾股定理就可以表示出MP2＝BM2＋PB2，由BP＝x，BM＝y，就
可以表示出BP＝x，MP＝8−y，从而可以得出y与x之间的函数关系式，因为线段AP的垂直平分线始终与
BC边相交，即0≤x≤6，由此可求出x的取值范围．
【详解】
解：如图，连接MP，
∵MN是线段AP的垂直平分线，
∴MP＝MA，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，
在Rt△BPM中，由勾股定理，得MP2＝BM2＋PB2，
∵PB＝x，BM＝y，AB＝8，
∴MA＝8−y＝MP．
∴（8−y）2＝y2＋x2，
∴ （0≤x≤6）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形、中垂线的性质及勾股定理等知识，题目的综合性较强，熟练掌握矩形、中垂线的性质并
利用勾股定理得出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
25．如图， 是边长为4的等边 的中位线，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿
折线 向点E运动；同时动点Q以相同的速度，从点B出发，沿 向点C运动，当点P到达终点
时，点Q同时停止运动．设运动时间为 四点围成图形的面积S与时间t之间的函数图象是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，点P在AD上，根据三角形的面积公式可知 BPQ的面积，代入数
据求出S与t之间的函数解析式；②当2＜t≤4时，点P在DE上，根据图形的面积公△式可知梯形BDPQ的
面积，代入数据求出S与t之间的函数解析式，从而判断出函数图象而得解．
【详解】
解：∵DE是边长为4的等边 ABC的中位线，
∴AD=DB=DE=2，AB=4，∠B△=60°．
分两种情况：①当0＜t≤2时，点P在AD上，
∵AP=BQ=t，
∴BP=AB-AP=4-t，BQ边上的高h=
∴△BPQ的面积S= BQ•h= t• = ；
②当2＜t≤4时，点P在DE上，
∴DP=t-2，BQ=t，BQ边上的高h=
∴梯形BDPQ的面积= （DP+BQ）•h= （t-2+t）× = t- ；
纵观各选项，只有C选项图形符合．
故选：C．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了等边三角形的性质，解直角三角形，分两段得到由B、D、
P、Q四点围成的图形面积并求出相应的函数关系式是解题的关键．
26．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的
圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计
重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（ ）A．（ ）cm B．（ ）cm C．（ ）cm D．（ ）cm
【答案】A
【分析】
设：左侧抛物线的方程为： ，点A的坐标为（-3,4），将点A坐标代入上式并解得： ，由题
意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，将 代入抛物线表达式，即可求解．
【详解】
设左侧抛物线的方程为： ，
点A的坐标为（-3,4），将点A坐标代入上式并解得： ，
则抛物线的表达式为： ，
由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，
将 代入抛物线表达式得： ，解得： ， （舍）
则AD=2AH+2 =6+ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后求解．
27．如图， 中，∠B＝90°，AB＝BC＝4cm，点D为AB中点，点E和点F同时分别从点D和点C
出发，沿AB、CB边向点B运动，点E和点F的速度分别为1cm/s和2cm/s，则 的面积ycm2与点F
运动时间x/s之间的函数关系的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由y＝ AE×BF＝ ×（2+x）（4﹣2x）＝﹣x2+4（0≤x≤2），即可求解．
【详解】
解：由题意得：设CF＝2x，DE＝x，
则BF＝BC﹣FC＝4﹣2x，AE＝AD+DE＝2+x，
则y＝ AE×BF＝ ×（2+x）（4﹣2x）＝﹣x2+4（0≤x≤2），
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，确定函数表达式是解题的关键．
28．如图，在矩形 中， ， ，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，
连接 ．设点P的运动路程为x， 为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
分0≤x≤3，3＜x≤4，4＜x≤7三种情况，分别画出图形，列出函数关系式，根据函数图象与性质逐项排除即
可求解．
【详解】
解：如图1，当0≤x≤3时， ，
∴A选项错误，不合题意；如图2，当3＜x≤4时，作QE⊥AB于E， ，
∴B选项错误，不合题意；
如图3，当4＜x≤7时， ，
∴选项D错误，不合题意．
故选：C
【点睛】
本题为根据点的运动确定函数图象，考查了分类讨论、列函数解析式，二次函数图象、勾股定理等知识，
综合性较强，根据题意分类讨论，列出函数关系式是解题关键．
29．如图，已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，抛物线与 轴交于点 和点 ，与
轴的负半轴交于点 ，且 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④当时，在 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点 ， （点 在点 左边），
使得 ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可
【详解】
①从图像观察，开口朝上，所以 ，
对称轴在 轴右侧，所以 ，
图像与 轴交点在x轴下方，所以
，所以①不正确；
②点 和点 ，与 轴的负半轴交于点 ，且
设 代入 ,得：
，所以②正确；
③ ，设抛物线解析式为： 过
，所以③正确；
④如图：设 交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，
根据抛物线的对称性， 是等腰直角三角形，
，
，
又对称轴
由顶点坐标公式可知
由题意 ，解得 或者由①知 ，所以④不正确．
综上所述：②③正确共2个
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数 （a≠0），a
的符号由抛物线的开口决定；b的符号由a及对称轴的位置确定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，
此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关键．
30．如图，直线 ， 都与直线 垂直，垂足分别为 ， ， ，正方形 的边长为 ，对
角线 在直线 上，且点 位于点 处，将正方形 沿 向右平移，直到点 与点 重合为止．记
点 平移的距离为 ，正方形 位于直线 ， 之间部分（阴影部分）的面积为 ，则 关于 的函
数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
求出正方形ABCD的对角线，再分三种情况求出y与x的关系式，再判断图像．
【详解】
解：∵正方形ABCD的边长为 ，∴对角线AC= =2，
当点B、D在直线a左侧时，即 ，重合部分为等腰直角三角形，
则 ，
当点B、D在直线a，b中间时，即 ，重合部分为四边形，未重合部分为两个等腰直角三角形，
则
=
= ，
当点B、D在直线b右侧时，即 ，重合部分为等腰直角三角形，
同理可得： ，
函数图象是B，
故选：B．
【点睛】
本题考查动点问题函数图象、二次函数等知识，解题的关键是理解题意，学会构建函数关系式解决问题，
属于中考常考题型．
二、填空题
31．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）
与水平距离x（米）之间的函数关系式为 ，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手
点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．
【答案】10．
【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y=0，得关于x的一元二次方程，求得方
程的解并作出取舍即可．
【详解】
解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知，点 ，点 ，代入 ，得：
，
解得 ．
∴ ，
当 时， ，
解得 ， （不符合题意，舍去）．
∴该学生推铅球的成绩为10m．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
32．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：
m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt 4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，
初速度为v，经过时间t 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h（如图1）；小球落地后，竖直向上
1 1 1
弹起，初速度为v，经过时间t 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h（如图2）．若h＝2h，则
2 2 2 1 2
t：t＝_____．
1 2
【答案】
【分析】
根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出 ， ， ， ，结合h＝
1
2h，即可求解．
2
【详解】
解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h＝vt 4.9t2，令h=0， 或 （舍去），
1
，
图2中的函数解析式为：h＝vt 4.9t2， 或 （舍去）， ，
2
∵h＝2h，
1 2∴ =2 ，即： = 或 =- （舍去），
∴t：t ： = ，
1 2=
故答案是： ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图像和性质，二次函数的顶点坐标公式，是解题的关
键．
33．规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断
下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义
菱形；③一组对边平行，一条对角线平分一个内角的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，
2），（0， 2），P是二次函数 图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线 于点Q，
则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是_________．（填序号）
【答案】①③④
【分析】
①正方形与菱形对边平行，邻边相等．②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形不满足对边平行
的条件．③通过对边平行与角平分线可得邻边相等．④数形结合，计算出PM与PN的长度作比较．
【详解】
解：①正方形与菱形对边平行，邻边相等，满足题意．
②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形不满足对边平行的条件，不满足题意．
③如图，四边形 ， ， 平分 ，，
，
平分 ，
，
，
，满足题意．
④如图，
设点 坐标为 ，
则 ．
．
，
，
四边形 是广义菱形满足题意．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查新定义，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，二次函数的图象与性质．
34．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承
了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为 ，
高度分别为 和 ，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（ 的长）为
_________m．【答案】40
【分析】
以底部所在的直线为 轴，以线段 的垂直平分线所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，用待定系数
法求得外侧抛物线的解析式，则可知点 、 的横坐标，从而可得 的长．
【详解】
解：以底部所在的直线为 轴，以线段 的垂直平分线所在的直线为 轴建立平面直角坐标系：
， ，
设外侧抛物线的解析式为 ，将 代入，得：
，
解得： ，
内侧抛物线的解析式为 ，将 代入得： ，
解得： ，
， ，
，
在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度 的长）为 ．
故答案为：40．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴交于点 ，
点 是抛物线上位于直线 下方一动点，当 时，点 的坐标为__________．
【答案】(2，-3)
【分析】
作点C关于x轴的对称点 ，连接B ，则∠ABC=∠AB ，从而得B ∥CP，利用待定系数法，先求出
直线B 的解析式，再求出直线CP的解析式，进而即可求解．
【详解】
解：作点C关于x轴的对称点 ，连接B ，则∠ABC=∠AB ，∴∠CB =2∠ABC，
∵ ，
∴ =∠CB ，
∴B ∥CP，
∵抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴交于点 ，
∴C的坐标为：（0，-2），B(4，0)，
∴ (0，2)，
设直线B 的解析式为：y=kx+b，
把 (0，2)，B(4，0)代入y=kx+b，得： ，解得： ，
∴直线B 的解析式为：y= x+2，
∵B ∥CP，
∴设直线CP的解析式为：y= x+m，
把C（0，-2）代入y= x+m，得：m=-2，
∴直线CP的解析式为：y= x-2，
∴ x-2= ，解得：x=2，x=0（舍去），
1 2
∴P(2，-3)．故答案是：(2，-3)．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数图像的综合，作点C关于x轴的对称点 ，熟练掌握待定系数法，是解
题的关键．
三、解答题
36．某商店在五一期间购进了600个旅游纪念品，进价每个6元，第一天以每个10元的价格售出了200个；
第二天若以每个10元的价格仍可售出200个，但为了适当增加销量，决定降价销售，已知单价每降低1元，
可多售出50个；第三天商店对剩下的旅游纪念品做清仓处理，以每个4元的价格全部售出．设第二天旅游
纪念品单价降低x元 ，这批旅游纪念品的销售利润为y元（利润=售价-成本），请解决以下问
题：
（1）用含x的代数式表示第三天的销售量
（2）若第三天销售量不超过前两天销售量之和的 ，求当第二天旅游纪念品的销售单价降低多少元时，
这批旅游纪念品的销售总利润最大?最大值是多少？
【答案】（1） ；（2）当第二天旅游纪念品的销售单价降低2元时，这批旅游纪念品的销售总利
润最大，最大值是1200元
【分析】
（1）根据题意先写出第二天的销量，作差即可得到第三天的销量；（2）先根据“第三天销售量不超过前两天销售量之和的 ”列出不等式，求出x的范围，再列出销售总利
润与销售单价的二次函数表达式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：（1）第二天的销量为 ，
∴第三天的销量为 ；
（2）∵第三天销售量不超过前两天销售量之和的 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
销售总利润
，
是一个开口向下的二次函数，对称轴为 ，
∵ ，
∴当 时，销售总利润有最大值，最大值为1200元，
答：当第二天旅游纪念品的销售单价降低2元时，这批旅游纪念品的销售总利润最大，最大值是1200元．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
37．某商贸公司购进某种商品的成本为20元/ ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y
（元/ ）与时间x（天）之间的函数关系式为： 且x为整数，且日销量
与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天） 1 3 6 10 …日销量
13
142 138 124 …
2
填空：
（1）m与x的函数关系为___________；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 商品就捐赠n元利润（ ）给当地福利院，后发
现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】（1） ；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）
【分析】
（1）设 ，将 ， 代入，利用待定系数法即可求解；
（2）分别写出当 时与当 时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即
可求解；
（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴
，求解即可．
【详解】
解：（1）设 ，将 ， 代入可得：
，解得 ，
∴ ；
（2）当 时，
销售利润 ，
当 时，销售利润最大为1568元；
当 时，销售利润 ，
当 时，销售利润最大为1530元；
综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；
（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：
，
∵ 时， 随x的增大而增大，
∴对称轴 ，解得 ．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
38．如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横
截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体 处，另一端固定在离地面高2米的墙体
处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度 （米）与其离墙体
的水平距离 （米）之间的关系满足 ，现测得 ， 两墙体之间的水平距离为6米．
图2
（1）直接写出 ， 的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
【答案】（1） ， ；（2） 米；（3）352
【分析】
（1）根据题意，可直接写出点A点B坐标，代入 ，求出b、c即可；
（2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可；
（3根据 ，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，
最后根据每平方米需要4根竹竿计算即可．
【详解】
解：（1）由题意知点A坐标为 ，点B坐标为 ，
将A、B坐标代入 得：
解得： ，
故 ， ；
（2）由 ，
可得当 时， 有最大值 ，
即大棚最高处到地面的距离为 米；
（3）由 ，解得 ， ，又因为 ，
可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为 （米），
又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为 （平方米）
共需要 （根）竹竿．
【点睛】
本题主要考查根据待定系数法求函数解析式，根据函数解析式求顶点坐标，以及根据函数值确定自变量取
值范围，掌握此题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质．
39．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为
60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，
设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；
（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
【分析】
（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；
（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；
（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．
【详解】
（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；
（2）由题意可得，
（-2x+220）（x-40）=2400，
解得， ， ，
∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得w=（-2x+220）（x-40）= ，
当 时，w有最大值，最大值为2450，
∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题．
40．“科学防控疫情，文明实践随行，讲卫生，勤洗手，常通风，健康有”现有一瓶洗手液如图1所示．
已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧 和 ，它们的圆心分别为点D和点C，下部分是矩形
，且 ，点E到台面 的距离为 ，如图2所示，若以 所在的直线
为x轴， 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，当手按住项部才下压时，洗手液从喷口B流出，
其路线呈抛物线形，此时喷口B距台面 的距离为 ，且到 的距离为 ，此时该抛物线形的
表达式为 ，且恰好经过点E．
（1）请求出点E的坐标，并求出b，c的值．
（2）接洗手液时，当手心R距 所在直线的水平距离为 时，手心R距水平台面 的高度为多少？（3）如果该洗手液的路线与 的交点为点P，请求出 的正切值．
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）3
【分析】
（1）过点E作 ，交CD于M，连接ED，根据矩形的性质得到 、
，利用勾股定理求出MD的长度，即可得出点E的坐标，利用待定系数法将点E
和点B的坐标代入，求出b和c的值；
（2）根据题意可得出R的横坐标，代入二次函数解析式即可；
（3）求出点P的横坐标，利用正切的定义即可求解．
【详解】
解：（1）过点E作 ，交CD于M，连接ED，
∵四边形CGHD是矩形， ，
∴ ， ，
∴ ，
由题意可知 ，
∴ ，
∵ ，O为GH的中点，∴ ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ，
把点 和点 代入可得：
，解得 ；
（2）当手心R距 所在直线的水平距离为 时，手心R的横坐标为8，
当 时， ，
∴当手心R距 所在直线的水平距离为 时，手心R距水平台面 的高度为 ；
（3）该洗手液的路线与 的交点为点P，即为抛物线与x轴正半轴的交点，
当 时， （负值已舍去），
过点B作 ，则 ， ，
∴ ，∴ ．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，将实际问题与函数图象结合起来是解题的关键．
41．某商品有线上、线下两种销售方式．
线上销售单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件．另需支付其它成
本5 000元；线下销售单件利润500元．另需支付其它成本12 500元．(注：净利润＝销售商品的利润－其
他成本)
（1）线上销售100件的净利润为 元；线下销售100件的净利润为 元；
（2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，比较两种销售方式的净利润；
（3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售
多少件？
【答案】(1)45000，37500；(2)当0＜x＜150时，线上销售的净利润大于线下销售的净利润；当x＝150时，
线上销售的净利润等于线下销售的净利润；当150＜x≤600时，线上销售的净利润小于线下销售的净利润；
(3)当线上销售50件，线下销售350件时，最大净利润为185 000元
【分析】
(1) 根据题意分别列式计算即可解答；
(2)分别求出两种销售方式的净利润的函数关系式，再分三种情况求出x的取值范围即可；
(3)设线上销售a件，售完后的净利润是m元，根据题意列出m关于a的关系式，根据二次函数的性质即可
解答．
【详解】
解：(1)线上销售100件的净利润为：(600-100)×100-5000=45000(元)，
线下销售100件的净利润为：500×100-12500=37500(元)，
故答案为：45000，37500
(2)设销售量为x件时，线上销售的净利润为y 元，线下销售的净利润为y 元，线上线下销售的净利润差为
1 2
w元．
则y＝x(600－x)－5000，
1
y＝500x－12500.
2
w＝x(600－x)－5000－(500x－12500)＝－x2＋100x＋7500
结合二次函数w＝－x2＋100x＋7500的图像可知：当0＜x＜150时，w＞0，线上销售的净利润大于线下销售的净利润，
当x＝150时，w＝0，线上销售的净利润等于线下销售的净利润，
当150＜x≤600时，w＝0，线上销售的净利润小于线下销售的净利润；
(3)设线上销售a件时，售完400件商品的净利润为m元．
则m＝a(600－a)－5000＋500(400－a)－12500＝－a2＋100a＋182500
＝－(a－50)2＋185000
∵－1＜0，
∴当a＝50时，m有最大值185000，即当线上销售50件，线下销售350件时，最大净利润为185000元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，理解题意，求出函数关系式，进而利用二次函数的性质求解．
42．为了推进乡村振兴战略，提升茶叶的品牌竞争力，某地政府在新茶上市30天内，帮助茶农集中销售．
设第 天（ 为整数）的售价为 （元/斤），日销售额为 （元）．据销售记录知：
销量：第1天销量为42斤，以后每天比前一天多销售2斤；
价格：前12天的价格一直为500元/斤，从第13天开始价格每天比前一天少10元．
请根据以上信息，解决问题：
（1）当 时，写出 关于 的函数表达式；
（2）当 为何值时日销售额 最大，最大为多少？（3）若要保证第13天到第22天的日销售额 随 增大而增大，则价格需要在当天的售价基础上上涨
元/斤，求整数 的最小值．（直接写出结果）
【答案】（1） ；（2）当 为第21天时日销售额 最大，最大为33620元；
（3）20
【分析】
（1）根据前12天的价格一直为500元/斤，后18天价格每天比前一天跌10元，可求出当13≤x≤30时，y
与x的关系；
（2）根据日销售额=售价×日销售量，分类讨论在x的取值范围内w的最大值即可得到结论；
（3） ，利用对称轴 ，
即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得； ；
（2）由题意得，销售量为 ，
当 时，
则 ，
当 时， 取最大值为 ，
当 时，
则 ，
∵ ，
∴当 时， 取最大值为33620，
∵ ，
∴当 时， 取最大值为33620，
答：当 为第21天时日销售额 最大，最大为33620元；（3）依题意，
，
∵第13天到第22天的日销售额 随 增大而增大，
∴对称轴 ，得 ，
故 的最小值为20．
【点睛】
此题主要考查了二次函数实际应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是
解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
43．已知，足球球门高 米，宽 米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离
地面 米，即 米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离 为6米时，球恰
好到达最高点D，即 米．以直线 为x轴，以直线 为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为 （如图3），请直接写出
m的取值范围．
【答案】（1） ；（2）10.2米；（3）
【分析】
（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当y=2.44时x的值，再检验即得答案；（3）先求出y=0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离即可．
【详解】
解：（1）抛物线的顶点坐标是 ，
设抛物线的解析式是： ，
把 代入得 ，
解得 ，
则抛物线是 ；
（2） 球门高为2.44米，即 ，
则有 ，
解得： ， ，
从题干图2中，发现球门在 右边，
，
即足球运动的水平距离是10.2米；
（3）不后退时，刚好击中横梁，
往后退，则球可以进入球门，
而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，
当 时，
有 ，
解得： ， ，
取正值， ，
后退的距离需小于 米故 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．
44．为了减少农产品的库存，某网红在某网络平台上进行直播销售龙泉山牌香菇，每日销售量 与销
售单价x（元/ ）满足关系式： ．销售单价不低于成本价且不高于30元/ ．经销售
发现，当每日销售量不低于 时，该香菇的成本价格为5元/ ，当每日销售量低于 时，该
香菇的成本价格为6元/ ．设香菇公司销售该香菇的日获利为w（元）．
（1）求当日销售量为 时的销售单价x（元/ ）及当日获利w（元）；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种香菇日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当 元时，网络平台将向香菇公司收取a元/ （ ）的相关费用，若此时日获利的最
大值为44100元，求a的值．
【答案】（1）20元/kg，42000元；（2）单价为28元/kg时，日获利最大，且为48400元；（3）2
【分析】
（1）将日销售量代入y=-100x+5000，求出单价，利用（单价-成本）×数量可得日获利；
（2）分0≤x≤10，10＜x≤30两种情况，列出w关于x的表达式，利用二次函数的最值求解；
（3）由w≥40000元，可得w与x的关系式为w=-100x2+5600x-30000，可得日获利
w =-100x2+（5600+100a）x-30000-5000a，根据最大值为44100，得到方程，解之即可．
1
【详解】
解：（1）由题意可得：
当日销售量为3000kg时，
3000=-100x+5000，
解得：x=20，
∴w=（20-6）×3000=42000元；
（2）令4000≤-100x+5000，
解得：x≤10，∵销售单价不低于成本价且不高于30元/kg，
当5≤x≤10时，w=（x-5）（5000-100x）=-100x2+5500x-25000，
则当x= = 时，w最大，
又∵5≤x≤10，
∴当x=10时，w的最大值为20000元；
当10＜x≤30时，w=（x-6）（5000-100x）=-100x2+5600x-30000，
则当x= =28时，w最大，且为48400元，
综上：单价为28元时，日获利最大，且为48400元；
（3）∵w≥40000，
则w=-100x2+5600x-30000，10＜x≤30，
设此时日获利为w ，
1
则w =-100x2+5600x-30000-a（5000-100x）
1
=-100x2+5600x-30000+100ax-5000a
=-100x2+（5600+100a）x-30000-5000a
∵此时日获利的最大值为44100元，
∴ ，
解得：a=2或a=86，
∵a＜4，
∴a=2．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
45．如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测
得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同
的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【答案】（1）6m；（2）① ；②2m
【分析】
（1）设 ，由题意得 ，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y 的值即可；
1
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为 ，设 ，将点H代入求值即可；
②设彩带长度为h，则 ，代入求值即可．
【详解】
解（1）设 ，由题意得 ，
，
，
，
当 时， ，
桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为 ，设 ，
，
，
，
，
(左边抛物线表达式： )
②设彩带长度为h，
则 ，
当 时， ，
答：彩带长度的最小值是2m ．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的
思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．
46．某校了解学生午餐排队情况，发现学生排队累计的人数 （人）随时间 （分钟）的变化情况满足关
系式 ，其中 ． 与 的部分对应值如表；
时间 （分钟） 0 1 2 …
累计人数 （人） 0 58 112 …
（1）求 与 之间的函数解析式；
（2）若食堂就餐排队窗口每分钟可减少排队人数32人，求排队等待的学生人数最多时有多少人？（排队
等待的学生人数 排队累计的人数 减少的排队人数）【答案】（1） ；（2）98
【分析】
（1）由待定系数法代入求解即可．
（2）排队等待的学生人数 排队累计的人数 减少的排队人数，每分钟可减少排队人数32人，即在原解
析式上减去 ，即 ，根据二次函数的性质可知：当 时，y
最大．
【详解】
（1）由题意得：
解得：
y与x之间的函数解析式为
（2）设第x分钟时排队等待的学生人数为z人，
由题意得：
当 时，z的最大值为98．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的实际应用，理清题目中的数量关系，熟练掌握待定系数法、顶点式求最值的
方法以及二次函数的性质是解题的关键．
47．某板栗经销商在销售板栗时，经市场调查：板栗若售价为10元/千克，日销售量为34千克，若售价每
提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设板栗售价为x元/千克（ 且为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，直接写出该日板栗的单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克，设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w
的最大值和最小值．
（3）若政府每日给板栗经销商补贴a元后（a为正整数）发现只有4种不同的单价使日收入不少于395元
且不超过400元，请直接写出a的值，（日收入＝销售额＋政府补贴）
【答案】（1）该日板栗的单价为15元/千克；（2）w关于x的函数表达式为w=-2x2+54x，w的最大值为
364元，w的最小值为340元；（3）a的值为35或36．
【分析】
（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程求解即可；
（2）根据题意，利用每日销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，并将其写成顶点式，根据
二次函数的性质可得答案；
（3）由题意得：395≤-2x2+54x+a≤400，由二次函数的对称性及只有4种不同的单价使日收入不少于395元
且不超过400元，可知x的取值为12，13，14，15，计算可得a的值．
【详解】
解：（1）根据题意得：34-2(x-10)=24，
解得x=15，
∴该日板栗的单价为15元/千克；
（2）根据题意得：
w=x[34-2(x-10)]
=-2x2+54x
=-2(x− )2+ ，
由题意得：10≤x≤15，且x为正整数，
∵-2＜0，
∴当x=13或14时，w有最大值，最大值为364元．
当x=10时，w有最小值，最小值为：-2(10− )2+ =340（元）．
∴w关于x的函数表达式为w=-2x2+54x，w的最大值为364元，w的最小值为340元；
（3）由题意得：395≤-2x2+54x+a≤400，
∵只有4种不同的单价使日收入不少于395元，4为偶数，∴由二次函数的对称性可知，x的取值为12，13，14，15，
当x=12或15时，-2x2+54x=360；当x=13或14时，-2x2+54x=364，
∵补贴a元后日收入不少于395元且不超过400元，360+35=395，364+36=400，
∴a的值为35或36．
【点睛】
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
48．某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量 （单位：万
件）与销售单价 （单位：元）之间有如下表所示关系：
… 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 …
… 8.0 6.0 5.0 3.0 1.0 …
（1）根据表中的数据，在图中描出实数对 所对应的点，并画出 关于 的函数图象；
（2）根据画出的函数图象，求出 关于 的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为 （单位：万元）．
①写出 关于 的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不
得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
【答案】（1）图象见详解；（2） ；（3）① ；②销售单价应定为3元．
【分析】（1）由题意可直接进行作图；
（2）由图象可得y与x满足一次函数的关系，所以设其关系式为 ，然后任意代入表格中的两组
数据进行求解即可；
（3）①由题意易得 ，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得 ，然后
求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解．
【详解】
解：（1）y关于x的函数图象如图所示：
（2）由（1）可设y与x的函数关系式为 ，则由表格可把 代入得：
，解得： ，
∴y与x的函数关系式为 ；
（3）①由（2）及题意可得：
；
∴ 关于 的函数表达式为 ；
②由题意得： ，即 ，∴ ，
解得： ，
∴ ；
答：此时的销售单价应定为3元．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．
49．某人做跑步健身运动，每千米消耗的热量y（单位：kcal）与其跑步的速度x（单位：km/h）之间的函
数关系如图所示，其中线段AB的表达式为y＝2x＋50（2.5≤x≤10），点C的坐标为（14，82），即步行速
度为14 km/h时他每步行1 km的消耗热量是82 kcal．
（1）求线段BC的表达式；
（2）若从甲地到乙地全程为26 km，其中有6 km是崎岖路，他步行的最高速度是5km/h，20 km是平坦路，
他步行的最高速度是12 km/h，那么在不考虑其他因素的情况下，他从甲地到乙地至多消耗多少kcal的热
量？
【答案】（1） ；（2）他从甲地到乙地至多消耗1880kcal的能量．
【分析】
（1）由题意易得点B的坐标，则设线段BC的解析式为 ，进而把点B、C的坐标
代入求解即可；
（2）分别求出x=5，x=12时y的值，即可求解．
【详解】
解：（1）由图象可得：把x=10代入线段AB的解析式得： ，∴点 ，
设线段BC的解析式为 ，则由B、C的坐标可得：
，解得： ，
∴线段BC的解析式为 ；
（2）x=5时，y=2×5+50=60，
x=12时，y=3×12+40=76，
∴60×6+76×20=1880（kcal），
答：他从甲地到乙地至多消耗1880kcal的热量．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，主要考查待定系数法求函数表达式的技能．
50．去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为
此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关
系式： ，下表是某4个月的销售记录．每月销售量 （万件）与该月销售价x（元/件）
之间成一次函数关系 ．
四
月份 … 二月 三月 五月 …
月
销售价x（元件） … 6 7 7.6 8.5 …
该月销售量y（万件） … 30 20 14 5 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）
【答案】（1） ；（2）4万元；（3）当销售价 定为7元/件时，该月纯收入最大．
【分析】
（1）利用待定系数法即可得；（2）将 代入 求出 的值，代入 与 的函数关系式求出该月的销售量，再利用
乘以该月的销售量即可得；
（3）设该月纯收入为 万元，先根据纯收入的计算公式求出 与 之间的函数关系式，再利用二次函数
的性质求解即可得．
【详解】
解：（1）设 与 的函数关系式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则 与 的函数关系式为 ；
（2）当 时， ，
，
则 （万元），
答：政府该月应付给厂家补贴4万元；
（3）设该月纯收入为 万元，
由题意得： ，
整理得： ，
由二次函数的性质可知，在 内，当 时， 取得最大值，最大值为32，
答：当销售价 定为7元/件时，该月纯收入最大．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
51．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发
现学生到校的累计人数y（单位：人）可以看作时间x（单位：分钟）的二次函数，其中0≤x≤30．统计数
据如下表：
时间x（分
0 5 10 15 20 25 30
钟）人数y
0 275 500 675 800 875 900
（人）
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）如果学生一进学校就开始测量体温，测温点有2个，每个测温点每分钟检测20人，学生按要求排队
测温．求第多少分钟时排队等待检测体温的人数最多？
（3）检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1个人工体温检测点，已知人工每
分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．
【答案】（1） ；（2）第10分钟时排队等待检测体温的人数最多；（3）人工检测8分钟
多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况．
【分析】
（1）根据题意设出二次函数解析式，代入3个点即可求出函数解析式；
（2）两个测温点每分钟检测40人，x分钟检测40x人，则可以列出第x分钟等待检测体温的人数为
，再根据二次函数的性质求最值；
（3）在原来等待人数的基础上再减去 ，列出函数关系式，当不再有人等待，即等待人数为0，
解出方程即可．
【详解】
（1）设 ，
将点 代入函数解析式，得：
，
解得 ，
所以二次函数解析式为 ；
（2）两个测温点每分钟检测40人，x分钟检测40x人，则第x分钟等待检测体温的人数为：
，
当x= 时，等待人数最多，
最多为： （人）；
（3）由（2）知，第x分钟等待检测体温的人数为 ，
检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1个人工体温检测点，已知人工每分钟
可检测12人，所以当x＞4时，又增加了检测人数 ，
故等待检测体温的人数为：
，
令 ，
解得 （不合题意舍去），
∴ （分钟），
即当人工检测8分钟后，校门口不再出现排队等候情况；
答：人工检测8分钟后，校门口不再出现排队等候情况．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的应用，关键是根据题意列出等待人数与检测时间的
函数关系式．
52．某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，
每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用
（万元）与月销售量 （辆）（ ）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
4 5 6 7 8
0 0.5 1 1.5 2(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出 与 的关系式 ________；
(2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价- -进价)x，请你根据上
述条件，求出月销售量 为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) ；(2)月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元
【分析】
(1)观察表格中数据可知， 与 的关系式为一次函数的关系，设解析式为 ，再代入数据求解即
可；
(2)根据已知条件“每月销售利润y=(每辆原售价- -进价)x”，求出y的表达式，然后再借助二次函数求出其
最大利润即可．
【详解】
解：(1)由表中数据可知， 与 的关系式为一次函数的关系，设解析式为 ，
代入点(4,0)和点(5,0.5)，
得到 ，解得 ，
故 与 的关系式为 ；
(2)由题意可知：降价后每月销售利润y=(每辆原售价- -进价)x，
即： ，其中 ，
∴ 是 的二次函数，且开口向下，其对称轴为 ，∴当 时， 有最大值为 万元，
答：月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元．
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，读懂题意，根据题中已知条件列出表达式是
解决本题的关键．
53．某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲
商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可
卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最
大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最
大，最大利润是2000元．
【分析】
（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结
论；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函
数的性质求出函数的最值．
【详解】
解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：
，
整理得：x2-18x+45=0，
解得：x=15或x=3（舍去），
经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，
∴x-5=15-5=10（元），
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，
∵a=-20，
当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
【点睛】
本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函
数关系式．
54．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆
沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数
相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少
售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x
的函数解析式并求最大利润．
【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2）
，最大利润为1750元
【分析】
（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价 元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用
6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；
（2）根据题意当 时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售 盒，列出
二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可．
【详解】
解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价 元．
则
解得： ，经检验 是方程的解．∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）由题意得，当 时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售 盒．每盒的利润为( )
∴ ，
配方得：
当 时，y取最大值为1750元．
∴ ，最大利润为1750元．
答：y关于x的函数解析式为 ，且最大利润为1750元．
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题
的关键．
55．为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种
植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地
种植该作物的成本 （元）与种植面积 （亩）之间满足一次函数关系，且当 时， ；当
时， ．
（1）求 与 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达
到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润
＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）
【答案】（1） ；（2）种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．【分析】
（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，预计明年每亩种粮成本y（元）与种粮面积x
（亩）之间的函数关系为 ，进而得出W与x的函数关系式，再利用二次函数的最值公式求出
即可．
【详解】
解：（1）设 与 之间的函数关系式 ，依题意得：
，
解得： ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ．
（2）设老张明年种植该作物的总利润为 元，依题意得：
．
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大．
由题意知： ，
∴当 时， 最大，最大值为268800元．
即种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
【点睛】
此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式并根据已知得出W与x的函数关系式是求最值问题的关键．
56．某商场销售甲、乙两种产品，其中甲商品进价为20元． 在销售过程中发现，甲商品每天的销售利润
w （单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：w ＝－x2＋bx－1260，当x＝30时，w ＝330；
1 1 1
乙商品每天的销售利润w （单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系w ＝－z2＋102z＋c，当z
2 2
＝50时，w ＝440．其中x、z均为整数，并且销售单价均高于进价．
2
（1）求b，c的值；
（2）若乙商品销售单价为甲商品销售单价的1.5倍，当两种商品每天获得的利润相同时，甲、乙两种商品
销售单价分别为多少；
（3）若乙商品销售单价为甲商品销售单价的2倍，当这两种商品每天销售利润的和最大时，请直接写出此
时甲的销售单价．
【答案】（1）b=83，c=-2160；（2）甲种商品销售单价为36元，乙两种商品销售单价为54元；（3）甲
的销售单价为29元．
【分析】
（1）根据已知x=30时，w =330可得b的值，根据z=50时，w =440可得c的值；
1 2
（2）由题意得z=1.5x，由w =w ，列方程求解得到x的值，即可求解；
1 2
（3）由题意得z=2x，设这两种商品每天销售利润的和为w，可得w关于x的函数关系式，根据二次函数的
性质解答即可．
【详解】
解：（1）∵x=30时，w =330，
1
∴330=-900+30b-1260，
解得：b=83，
∵z=50时，w =440，
2
∴440=-2500+102×50+c，
∴c=-2160；
（2）由题意得z=1.5x，w =w ，
1 2
∴-x2+83x-1260=-（1.5x）2+102×1.5x-2160，
整理得：x2-56x+720=0，
解得：x=36，x=20（不合题意，舍去），
1 2
z=1.5×36=54（元），
答：甲种商品销售单价为36元，乙两种商品销售单价为54元；
（3）由题意得z=2x，设这两种商品每天销售利润的和为w，则w=-x2+83x-1260-（2x）2+102×2x-2160
=-5x2+287x-3420
=-5（x-28.7）2+698.45，
∵-5＜0，
当x=28.7时，w有最大值．
∵x取整数，所以x=29
答：此时甲的销售单价为29元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意得出方程和函数关系式是解决本题的关键；
利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
57．为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定
这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间
符合一次函数关系，部分数据如表：
天数（x） 1 3 6 10
每件成本p（元） 7.5 8.5 10 12
任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y＝
．设李师傅第x天创造的产品利润为W元．
（1）求p与x的函数关系式；
（2）直接写出W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) p=0.5x+7（1≤x≤15，且x为整数）；(2) ；(3) 李
师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元．
【分析】
（1）用待定系数法即可求得p关于x的函数关系式；
（2）按照利润等于每件的利润乘以件数分段表示出W关于x的函数关系式即可；
（3）分当1≤x＜10时及当10≤x≤15时两种情况分别得出相应的函数最大值，再将两者比较取较大者即可．
【详解】解：（1）∵p与x之间符合一次函数关系，
∴设p=kx+b，将表中数据（1，7.5），（3，8.5）代入得：
，
解得： ，
∴p=0.5x+7（1≤x≤15，且x为整数）；
（2）由题意得：W=（20-p）y
= ；
（3）当1≤x＜10时，W=-x2+16x+260=-（x-8）2+324，
∴此时当x=8时，W的最大值为324元；
当10≤x≤15时，W=-20x+520，W随x的增大而减小，
∴此时当x=10时，W的最大值为320元．
∵324＞320，
∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及一次函数和二
次函数的相关性质是解题的关键．
58．在平面直角坐标系中，点 ，点 （ 为常数，且 ），将点 绕线段 中点顺
时针旋转 得到点 .经过A、B、 三点的抛物线记为 .
（1）当 时，求抛物线 所对应的函数表达式.
（2）用含 的式子分别表示点 的坐标和抛物线 所对应的函数表达式．（直接写出即可）（3）当抛物线 在直线 和 之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8
时，直接写出 的取值范围．
（4）连结 ，点 在线段 上，过点 作 轴的平行线与抛物线 交于 、 两点，连结 、
．当点 将线段 分成1：3两部分，且 的面积为 时，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） ；（4）
【分析】
（1）利用旋转的性质，求出点 ，利用顶点式，将点 代入式中求解即可；
（2）根据旋转的性质可知，点 横坐标为 的中点，纵坐标在原来的基础上加上 ，再利用顶点求出
解析式即可，
（3）分两种情况来讨论，第一类，当函数的对称轴 时；第二类，当函数的对称轴 时来讨论，
分别求出 的取值，再和在一起；
（4）点 将线段 分成1：3两部分，可以得出线段之间的关系，引进含 的坐标，根据 的面
积建立 的等式，求解即可．
【详解】
解：（1）由题意可知，点 为抛物线 的顶点.
当 时， .
设 所对应的函数表达式为 .
将点 代入， .∴ 所对应的函数表达式为 .
（2）由旋转可得： .
同理可得： 为抛物线的顶点，
设抛物线为：
把 代入得：
，
.
（3）第一类：如下图所示：
当 时函数有最高点，
时， ，
时， ，
符合题意，
函数对称轴为 ，此时， 即满足题意；
第二类：如下图所示：当 时函数有最高点，
时， ，
时， ，
，
，
解得： ，
综上： 时满足题意．
（4）过点 作 于点 .
∵点 将线段 分成1：3两部分，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
设 ，则 .
∴点 的坐标为 .∴ .
∴ .
∴点 的坐标为 ， .
∵ 的面积为 ，
∴ .
∴ ， （舍去）.
∴ 的值为 .（如图所示）
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式与图形的性质，解题的关键是：掌握二次函数的顶点式，会利用旋转的性质
求顶点坐标、通过数形结合的思想来解题．59．如图①，小明和小亮分别站在平地上的 两地先后竖直向上抛小球 （抛出前两小球在同一水
平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面． 两球到地面的距离 和 与小球A离
开小明手掌后运动的时间 之间的函数图像分别是图②中的抛物线 ．已知抛物线 经过点
，顶点是 ，抛物线 经过 和 两点，两抛物线的开口大小相同．
（1）分别求出 与x之间的函数表达式．
（2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中．
①当x的值为__________时，两小球到地面的距离相等；
②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？
【答案】（1） ， ；（2）① ，②当x的值为1时，两球到地面
的距离之差最大，最大是 ．
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；（2）①令y＝y，即可求解；②在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+ ．当
1 2
1≤x≤ 时，两球到地面的距离之差y﹣y＝﹣8x+13，进而求解；当 ＜x≤1+ 时，同理可得；进而
1 2
求解．
【详解】
解：（1）设 与x之间的函数表达式为 ．
∵顶点Q的坐标是 ，
．
因为点 在抛物线 上，
所以点 的坐标满足 ，即 ．
解得 ．
．
∵两抛物线的开口方向和大小相同，
∴设 与x之间的函数表达式为 ．
因为点 和 都在抛物线 上，
所以点 和 的坐标满足 ，即
解得
．（2）①令y＝y，则﹣5（x﹣1）2+7＝﹣5x2+18x﹣11，解得x＝ ，
1 2
故答案为： ；
②令 ，则 ．
解这个方程，得 （不合题意，舍去）．
在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中， ．
当 时，两球到地面的距离之差 ．
，
随x的增大而减小．
∴当 时， 有最大值，最大值是5．
当 时，两球到地面的距离之差 ．
，
随x的增大而增大．
∴当 时， 有最大值，最大值是 ．
．
∴当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的性质，分类求解和熟悉函数的性质是本题解题
的关键．
60．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线
经过坐标原点和点 ，顶点为点 ．
（1）求抛物线的关系式及点 的坐标；
（2）点 是直线 下方的抛物线上一动点，连接 ， ，当 的面积等于 时，求 点的坐
标；
（3）将直线 向下平移，得到过点 的直线 ，且与 轴负半轴交于点 ，取点 ，
连接 ，求证： ．
【答案】（1） ， ；（2） 或 ；（3）证明见解析．
【分析】
（1）先根据直线 求出点 的坐标，再将点 和原点坐标代入抛物线的解析式即可得；
（2）如图（见解析），先求出直线 与抛物线的另一个交点 的坐标为 ，再设点 的坐标为 ，从而可得点 的坐标为 ，然后分 和 两种情况，
分别利用三角形的面积公式可得一个关于 的一元二次方程，解方程即可得；
（3）如图（见解析），先根据一次函数图象的平移规律求出直线 的解析式为 ，再利用
待定系数法求出直线 的解析式，从而可得点 的坐标，然后利用两点之间的距离公式可得
的长，根据等腰直角三角形的判定与性质可得 ，最后根据三角形的外角性质即可得证．
【详解】
解：（1）对于函数 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
当 时， ，即 ，
将点 和原点 代入 得： ，
解得 ，
则抛物线的关系式为 ，
将 化成顶点式为 ，
则顶点 的坐标为 ；
（2）设直线 与抛物线的另一个交点为点 ，联立 ，解得 或 ，
则 ，
过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当 时，
则 ，
，
因此有 ，
解得 或 ，均符合题设，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ；
②如图，当 时，
则 ，
，
因此有 ，
解得 或 ，均不符题设，舍去，
综上，点 的坐标为 或 ；
（3）由题意得： ，
将点 代入 得： ，解得 ，则直线 的解析式为 ，
如图，过点 作 于点 ，
可设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 ，即 ，
，
，
，
，
又 ，
是等腰直角三角形， ，
由三角形的外角性质得： ，
．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、一次函数图象的平移、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，
较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
