文档内容
第 03 讲 二次函数y=a(x−h) 2 +k的图象与性质
课程标准 学习目标
2
y=a(x−h)
①二次函数 的图象与性质
y=a(x−h) 2 y=ax2 +k y=a(x−h) 2 +k
y=ax2 +k 1. 掌握 、 、
②二次函数 的图象与性质
的函数与性质 ，并能够利用三种函数的图象与性质进行
2
y=a(x−h) +k
③二次函数 的图象与 解题。
性质
2
知识点01
y=a(x−h) (a≠0)的图象与性质
2
y=a(x−h)
1. 的图象与性质：
由函数的平移可知：
①若
h＞0
，可将
y=ax2
向 右 平移
h
个单位得到函数
y=a(x−h)
2
。
②若
h＜0
，可将
y=ax2
向 左 平移
h
个单位得到函数
y=a(x−h)
2
。
y=ax2
y=a(x−h)
2
由 的图象与性质可得到函数 的图象与性质如下：2
y=a(x+h) (a≠0) a＞0 a＜0
h＜0 h＞0 h＜0 h＞0
（向左平移） （向右平移） （向左平移） （向右平移）
大致图象
开口方向 开口向上 开口向下
a的绝对值越大，开口越 小
开口大小
a的绝对值越小，开口越 大
顶点坐标 （ h ， 0 ） （ h ， 0 ）
x=h x=h
对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边y随x的增大而 增大 对称轴右边y随x的增大而 减小
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大
。 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
这个值是 0 。 这个值是 0 。
【即学即练1】
1．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＞﹣4时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）
【分析】根据抛物线的性质由a＝﹣2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（﹣3，0），对
称轴为直线x＝﹣3，当x＞﹣3时，y随的增大而减小．
【解答】解：由y＝﹣2（x+3）2得抛物线开口向下，
对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，0），
x≤﹣3时y随x增大而增大，
x＞﹣3时y随x增大而减小．
故选：B．
【即学即练2】2．在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+1与y＝﹣ （x﹣1）2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】已知两函数解析式，分别求出它们经过的象限，开口方向，逐一判断即可．
【解答】解：∵y＝﹣x+1的图象过第一、二、四象限，y＝﹣ （x﹣1）2的开口向下，顶点在点（1，
0），
∴同时符合条件的图象只有选项D．
故选：D．
知识点02
y=ax2 +k(a≠0)
的图象与性质
y=ax2 +k(a≠0)
1. 的图象与性质：
由函数的平移可知：
①若
k＞0
，可将
y=ax2
向 上 平移
k
个单位得到函数
y=ax2 +k
。
②若
k＞0
，可将
y=ax2
向 下 平移
k
个单位得到函数
y=ax2 +k
。
y=ax2 y=ax2 +k
由 的图象与性质可得到函数 的图象与性质如下：
y=ax2 +k(a≠0) a＞0 a＜0
k＜0 k＞0 k＜0 k＞0
（向下平移） （向上平移） （向下平移） （向上平移）
大致图象
开口方向 开口向上 开口向下a的绝对值越大，开口越 小
开口大小
a的绝对值越小，开口越 大
顶点坐标 （ 0 ， k ） （ 0 ， k ）
y 轴 y 轴
对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边y随x的增大而 增大
。 对称轴右边y随x的增大而 减小 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大 。
。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
这个值是 k 。 这个值是 k 。
【即学即练1】
3．对于二次函数y＝﹣2x2+3的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（0，3）
D．x＞0时，y随x的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以
解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+3，
∴该函数的图象开口向下，故选项A正确；
对称轴是直线x＝0，故选项B错误；
顶点坐标为（0，3），故选项C正确；
当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项D正确；
故选：B．
【即学即练2】
4．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【分析】由于二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝ax+b（a≠0）均过（0，b），可知正确答案从A、D中
选，再根据二次函数的性质判断出a、b的值，然后根据a、b的值确定一次函数所过象限，从而选出正
确答案．
【解答】解：当x＝0时，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝ax+b（a≠0）均有y＝b，
可知函数均过（0，b），故B、C错误；
对于A、D：
A、二次函数y＝ax2+b开口向上，a＞0，而一次函数过二、一、四象限，则a＜0，得出矛盾，故本选项
错误；
D、二次函数y＝ax2+b开口向上，a＜0，而一次函数过二、三、四象限，则a＜0，且二者均过（0，b）
点，故本选项正确．
故选：D．
2
知识点03
y=a(x−h) +k
的图象与性质
2
y=a(x−h) +k
1. 的图象与性质：
y=ax2
h k
由函数的平移可知，可将 先向 左右 平移 个单位，再向 上下 平移
y=a(x−h)
2
+k
y=ax2
y=a(x−h)
2
+k
个单位得到函数 。由 的图象与性质可得到函数 的图象与性质如
下：2
y=a(x−h) +k a＞0 a＜0
开口方向 开口向上 开口向下
a的绝对值越大，开口越 小
开口大小
a的绝对值越小，开口越 大
顶点坐标 （ h ， k ） （ h ， k ）
x=h x=h
对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边y随x的增大而 增大 对称轴右边y随x的增大而 减小
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大
。 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
这个值是 k 。 这个值是 k 。
【即学即练1】
5．下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、抛物线y＝﹣（x+1）2+4形状与y＝﹣x2相同，此选项不符合题意；
B、抛物线y＝﹣（x+1）2+4对称轴x＝﹣1，此选项不符合题意．
C、对于抛物线y＝﹣（x+1）2+4，由于a＝﹣1＜0，当x＞﹣1时，函数值y随x值的增大而减小，此选
项错误，符合题意；
D、抛物线y＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1），a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点
为（﹣3，0），（1，0），所以当y＞0时，﹣3＜x＜1，此选项不符合题意．
故选：C．
【即学即练2】
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比
是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣ ＞0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项
不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣ ＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣ ＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣ ＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意．
故选：B．
题型01 二次函数的基本性质
【典例1】对于抛物线y＝﹣ +3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）
B．开口向上，顶点坐标（5，3）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）
D．开口向下，顶点坐标（5，3）
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系及其顶点坐标进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣ （x﹣5）2+3中k＝﹣ ＜0，
∴此抛物线开口向下，顶点坐标为：（5，3），
故选：D．
【变式1】对于二次函数y＝（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）D．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决
问题．
【解答】解：因为二次函数的表达式为y＝（x+3）2，
所以抛物线的开口向上．
故A说法正确；
又抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，
故B说法正确；
因为抛物线的顶点坐标为（﹣3，0），
故C说法正确；
因为抛物线对称轴为直线x＝﹣3，且开口向上，
所以当x＜﹣3时，y随x的增大而减小．
故D说法不正确；
故选：D．
【变式2】二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+6，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝3
C．顶点坐标为（﹣3，6）
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：A、二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+6中a＝﹣2＜0，故函数图象开口向下，原说法错误，不符
合题意；
B、由函数解析式可知，函数图象的对称轴为直线x＝3，正确，符合题意；
C、由函数解析式可知，函数图象的顶点坐标为（3，6），原说法错误，不符合题意；
D、由函数解析式可知，抛物线开口向下，顶点坐标为（3，6），故当x＜3时，y随x的增大而增大，
原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【变式3】对于二次函数y＝﹣2（x﹣3）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴是直线x＝﹣3
C．图象的顶点是（3，﹣1）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣3）2﹣1，
∴a＝﹣2＜0，开口向下，顶点（3，﹣1），对称轴是直线x＝3，
当x＞3时，y随x的增大而减小．故选：C．
【变式4】
下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、抛物线y＝﹣（x+1）2+4形状与y＝﹣x2相同，此选项不符合题意；
B、抛物线y＝﹣（x+1）2+4对称轴x＝﹣1，此选项不符合题意．
C、对于抛物线y＝﹣（x+1）2+4，由于a＝﹣1＜0，当x＞﹣1时，函数值y随x值的增大而减小，此选
项错误，符合题意；
D、抛物线y＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1），a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点
为（﹣3，0），（1，0），所以当y＞0时，﹣3＜x＜1，此选项不符合题意．
故选：C．
【变式5】
对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1
B．顶点坐标是（1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．当x＝1时，函数y的最小值为2
【分析】首先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为 x＝1，顶点坐标为（1，2），据此选择正确
答案．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴a＝﹣1，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），
当x＞1时，y随x的增大而减小，
当x＝1时，抛物线有最大值为2，D选项错误．
故选：D．
题型02 二次函数的图象问题
【典例1】二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及顶点位置逐一判断可得．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，2），
由a＝﹣1＜0知抛物线的开口向下，
故选项B正确．
故选：B．
【变式1】二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0
【分析】根据顶点所处的位置确定m、k的符号．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m）2+k
∴顶点为（﹣m，k），
∵顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，k＜0，
∴m＜0，k＜0，
故选：A．
【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝x2+a得抛物线开口向上，排除B，根据一次函数y＝ax+2，得直线与y轴的正
半轴相交，排除D；根据抛物线得a＜0，故排除A．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+a，∴抛物线开口向上，
∴排除B，
∵一次函数y＝ax+2，
∴直线与y轴的正半轴相交，
∴排除D；
∵抛物线得a＜0，
∴排除A；
故选：C．
【变式3】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
故选：D．
【变式4】一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．【分析】根据二次函数的图象和一次函数与x轴，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【解答】解：由一次函数y＝x+a可知，一次函数的图象与x轴交于（﹣a，0），与y轴交于点（0，
a），由二次函数y＝ax2﹣a可知，抛物线与x轴交于（﹣1，0）和（1，0），与y轴交于点（0，﹣
a），
∵两个函数的图象与x轴交于不同的两点，与y轴交于不同的两点，
∴A、B、D不可能，
选项C中，由直线经过一、三、四象限可知a＜0，由抛物线可知开口向下，交y轴的正半轴，则a＜
0，故C有可能；
故选：C．
【变式5】二次函数y＝a（x﹣2）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、一次函数y＝cx+a的图象与y轴交于负半轴，a＜0，与二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图
象开口向上，即a＞0相矛盾，故A错误；
B、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、四象限，a＞0，c＜0，二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象开口向
上，顶点为（2，c）在第四象限，a＞0，c＜0，故B正确；
C、二次函数y＝a（x﹣2）2+c的对称轴直线x＝2，在y轴右侧，故C错误；
D、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、三象限，c＞0，与抛物线y＝a（x﹣2）2+c的顶点（2，c）在第
四象限，c＜0相矛盾，故D错误；
故选：B．
题型03 二次函数图象上点的坐标特征
【典例1】点A（m﹣1，y ），B（m，y ）都在抛物线y＝（x﹣1）2+n上．若y ＜y ，则m的取值范围为
1 2 1 2
（ ）A．m＞2 B． C．m＜1 D．
【分析】根据y ＜y 列出关于m的不等式即可解得答案．
1 2
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+n，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵点A（m﹣1，y ），B（m，y ）都在抛物线y＝（x﹣1）2+n上，且y ＜y ，
1 2 1 2
∴m﹣1＞1或 ＞1，
解得m＞2或m＞ ，
∴m＞ ．
故选：B．
【变式1】若A（﹣1，y ），B（1，y ），C（4，y ）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 1
【分析】根据二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k，可以得到该函数图象的对称轴为直线x＝2，再根据A（﹣
1，y ），B（1，y ），C（4，y ）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上和二次函数的性质，
1 2 3
即可判断y ，y ，y 的大小关系．
1 2 3
【解答】解：∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k，
∴抛物线对称轴为x＝2，
∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，
∵A（﹣1，y ），B（1，y ），C（4，y ）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，2﹣（﹣1）
1 2 3
＝3，2﹣1＝1，4﹣2＝2，
∴y ＞y ＞y ，
2 3 1
故选：B．
【变式2】已知二次函数y＝（x﹣1）2+2的自变量x ，x ，x 对应的函数值分别为y ，y ，y ．当﹣1＜x
1 2 3 1 2 3 1
＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，y ，y ，y 三者之间的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．不能确定
1 2 3 2 1 3 3 1 2
【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，2），
∴当﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，
1 2 3观察图象可知：y ＜y ＜y ，
2 1 3
故选：B．
【变式3】若A（0，y ），B（2，y ），C（3，y ）为二次函数y＝（x﹣2）2+m图象上的三点，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系为（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 3 2 3 1 2 2 1 3 2 3 1
【分析】求出二次函数y＝（x﹣2）2+m图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，又|2﹣2|＜|3﹣2|＜|0﹣
2|，即可得y ＜y ＜y ．
2 3 1
【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+m图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵|2﹣2|＜|3﹣2|＜|0﹣2|，且到对称轴距离越大，函数值越大，
∴y ＜y ＜y ；
2 3 1
故选：D．
【变式4】抛物线y＝ （x﹣1）2+c经过（﹣2，y ），（0，y ），（ ，y ）三点，则y ，y ，y 的大小
1 2 3 1 2 3
关系正确的是（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线 x＝1，求出（ ，y ）关于直线x＝1的对称点，
3
然后根据二次函数的增减性可以判断y ，y ，y 的大小关系，从而可以解答本题．
1 2 3
【解答】解：∵y＝ （x﹣1）2+c，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵（ ，y ）关于直线x＝1的对称点是（﹣ ，y ），
3 3∵﹣2＜﹣ ＜0＜1，
∴y ＞y ＞y ，
1 3 2
故选：D．
题型04 二次函数的平移
【典例1】将抛物线y＝2（x+1）2﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线
的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2 B．y＝2（x+3）2
C．y＝2（x﹣1）2﹣2 D．y＝2（x+3）2﹣2
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x+1）2﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的
新抛物线的函数表达式为y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2（x﹣1）2，
故选：A．
【变式1】将抛物线y＝（x﹣2）2+1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的
表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣4）2+2 D．y＝x2+2
【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2+1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物
线的表达式是y＝（x﹣2+2）2+1+1，即y＝x2+2．
故选：D．
【变式2】将抛物线y＝（x﹣1）2+4先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物
线的关系式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣3）2+9 D．y＝（x﹣3）2+7
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+4先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的
抛物线的关系式是y＝（x﹣1﹣2）2+4+3，即y＝（x﹣3）2+7．
故选：D．
【变式 3】抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣1可由抛物线 y＝﹣2（x+2）2+3平移得到，那么平移的步骤是
（ ）
A．右移3个单位长度，再下移4个单位长度
B．右移3个单位长度，再上移4个单位长度
C．左移3个单位长度，再下移4个单位长度D．左移3个单位长度，再上移4个单位长度
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣1的图象可由函数y＝﹣2（x+2）2+3的图象平移得到，那么平移
的步骤是右移3个单位，下移4个单位，
故选：A．
【变式 4】抛物线 y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线 y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是
（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
【分析】先通过抛物线解析式得到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），
∴将抛物线y＝﹣2x2+1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到抛物线y＝﹣2
（x+1）2+3．
故选：D．
1．抛物线y＝（x+1）2﹣4的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
【分析】根据二次项系数可以判断抛物线的开口方向，根据抛物线函数的顶点式可以直接得到顶点坐标，
本题得以解决．
【解答】解：∵y＝（x+1）2﹣4，
∴该抛物线的开口向上，顶点坐标是（﹣1，4），
故选：A．
2．对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝5
B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标（5，3）
D．当x＞5时，y随x的增大而增大【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以
解答本题．
【解答】解：∵抛物线 ，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝5，故选项A正确；
函数有最大值，最大值y＝3，故选项B正确；
开口向下，顶点坐标为（5，3），故选项C正确；
当x＞5时，y随x的增大而减小，故选项D错误；
故选：D．
3．对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当x＝2时，y有最大值﹣1
C．若点A（3，y ），B（1，y ）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y ＞y
1 2 1 2
D．经过第一、二、四象限
【分析】依据题意，由抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，又a＝3＞0，从而当x＜2时，y随x的增大而减小；
当x＞2时，y随x的增大而增大，故可判断A；又抛物线开口向上，则当x＝2时，y取最小值为﹣1，故
可判断B；依据题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合抛物线的对称轴是直线 x＝2，
又|3﹣2|＝|1﹣2|，可得y ＝y ，故可判断C；依据题意，当x＜2时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，
1 2
y＝11，则当x＜0时，y＞11，故图象不经过三象限，则可判断D．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，
又a＝3＞0，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，故A错误，不合题意．
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2时，y取最小值为﹣1，故B错误，不合题意．
由题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
∵抛物线的对称轴是直线x＝2，
又|3﹣2|＝|1﹣2|，
∴y ＝y ，故C错误，不合题意．
1 2
∵当x＜2时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，y＝11，
∴当x＜0时，y＞11，故图象不经过三象限，故D正确，符合题意．
故选：D．
4．二次函数y＝a（x+h）2﹣k的图象如图所示，则一次函数y＝kx+h的图象一定不经过（ ）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【分析】根据题意可得：二次函数y＝a（x+h）2﹣k的图象的顶点坐标为：（﹣h，﹣k），且顶点在第
四象限，从而可得﹣h＞0，﹣k＜0，进而可得h＜0，k＞0，然后根据一次函数y＝kx+h的性质即可解答．
【解答】解：由题意得：二次函数y＝a（x+h）2﹣k的图象的顶点坐标为：（﹣h，﹣k），且顶点在第
四象限，
∴﹣h＞0，﹣k＜0，
∴h＜0，k＞0，
∴一次函数y＝kx+h的图象一定经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：C．
5．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+5（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函
数值y的最大值为﹣4，则h的值为（ ）
A．﹣2或4 B．0或6 C．1或3 D．﹣2或6
【分析】利用分类讨论的方法可以求得h的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2+5（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与
其对应的函数值y的最大值为﹣4，
∴当h≤1时，x＝1时，函数取得最大值﹣4，
即﹣4＝﹣（1﹣h）2+5，解得h ＝4（舍去），h ＝﹣2；
1 2
当1＜h＜3时，当x＝h时函数取得最大值0与题干中的函数值y的最大值为﹣4矛盾，故此种情况不存
在；
当h≥3时，x＝3时，函数取得最大值﹣4，
即﹣4＝﹣（3﹣h）2+5，解得h ＝0（舍去），h ＝6；
3 4
由上可得，h的值是﹣2或6，
故选：D．
6．二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（ ）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
【分析】由二次函数的性质可确定出a的范围．
【解答】解：∵y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝t，
∴a＜0，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴t≤1，∴a＜0，t≤1．
故选：B．
7．同一坐标系中，抛物线y＝（x﹣a）2与直线y＝ax+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数和二次函数的性质即可判断的图象判断．
【解答】解：当a＞0时，抛物线y＝（x﹣a）2与开口向上，顶点在x轴的正半轴上，直线y＝ax+a的图
象经过第一、二、三象限；故B正确，C错误；
当a＜0时，抛物线y＝（x﹣a）2与开口向上，顶点在x轴的负半轴上，直线y＝ax+a的图象经过第二、
三、四象限；故A、D错误；
故选：B．
8．将抛物线y＝2（x+1）2﹣3向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝2（x+4）2﹣4 B．y＝2（x+4）2﹣2
C．y＝2（x﹣1）2﹣2 D．y＝2（x﹣1）2﹣4
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线 y＝2（x+1）2﹣3向右平移2个单位所得抛物线的
解析式为：y＝2（x+1﹣2）2﹣3．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1﹣2）2﹣3向上平移1个单位所得抛物线的解析式为：
y＝2（x+1﹣2）2﹣3+1，即y＝2（x﹣1）2﹣2．
故选：C．
9．若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m的图象经过A（﹣3，y ），B（1，y ），C（4，y ）三点，则y ，y ，y
1 2 3 1 2 3
的大小关系正确的是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1
【分析】根据点距离对称轴越远函数值越小判断即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m的图象开口向下，对称轴是直线x＝3，根据点距离对称轴越
远函数值越小，
A（﹣3，y ）距离对称轴6，
1
B（1，y ）距离对称轴2，
2
C（4，y ）距离对称轴1，
3
∵1＜2＜6，∴y ＜y ＜y ，
1 2 3
故选：A．
10．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值
只有一个小于0，则m的值可能是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】依据题意，根据题意得到（x﹣m）2﹣1＜0，即 ，解得m﹣1＜x＜m+1，把x的值分
别代入即可求得．
【解答】解：由题意得y＝（x﹣m）2﹣1＜0，
∴ ．
∴m﹣1＜x＜m+1，
当x＝﹣3时，则﹣4＜m＜﹣2，
当x＝﹣1时，则﹣2＜m＜0，
当x＝1时，则0＜m＜2，
∴m的取值范围是﹣4＜m＜2且m≠0，m≠﹣2．
故选：B．
11．已知二次函数y＝（x﹣3）2+m，当x ＜ 3 时，y随x的增大而减小．
【分析】根据二次函数的顶点式，可知二次函数的顶点坐标是（3，m），且图象开口向上，由此即可
求解．
【解答】解：由题意得，二次函数的顶点坐标是（3，m），抛物线开口向上，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小，
故答案是：＜3．
12．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 （ 3 ， 4 ） ．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y＝﹣2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
13．将y＝2x2+1的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，则最终所得图象的函数表达式为 y
＝ 2 （ x ﹣ 1 ） 2 ﹣ 1 ．
【分析】依据题意，根据“上加下减，左加右减”的规律进而判断可以得解．
【解答】解：由题意，根据“上加下减，左加右减”的规律可得，
∵y＝2x2+1的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴最终所得图象的函数表达式为y＝2（x﹣1）2﹣1．
故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣1．14．若点A（0，y ），B（ ，y ），C（3，y ）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y ，y ，y 的大小关系为
1 2 3 1 2 3
y ＞ y ＞ y ． （用“＞”连接）．
3 1 2
【分析】根据对称轴是直线x＝1，判断出A，B，C离对称轴的远近可得结论．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+k的开口向上，且对称轴为x＝1，
又∵点C离对称轴最远，点B离对称轴最近，
∴y ＞y ＞y ．
3 1 2
故答案为：y ＞y ＞y ．
3 1 2
15．已知A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2040上的两点，则正数n＝ 8 ．
【分析】根据函数图象上的点满足函数解析式列式求解即可得到答案．
【解答】解：∵A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2040上的两点，
∴﹣（m﹣h）2+2040＝2024，﹣（m+n﹣h）2+2040＝2024，
∴（m﹣h）2＝16，（m+n﹣h）2＝16，
∴m﹣h＝±4，m+n﹣h＝±4，
即： 或 ，
解得：n＝8或n＝﹣8，
∵n取正数，
故：n＝8，
故答案为：8．
16．已知函数 是关于x的二次函数．
（1）求满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何？
【分析】（1）根据二次函数的定义得到m+2≠0且m2+m﹣4＝2，进而可得到满足条件的m的值；
（2）根据二次函数的性质得到当m＝﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值，则 y＝﹣x2，然后根据
二次函数的性质确定最大值和增减性．
【解答】解：（1）根据题意得，m2+m﹣4＝2且m+2≠0，
解得m＝2或m＝﹣3；
（2）当m＝2时，m+2＝4＞0，抛物线开口向上，该抛物线有最低点，
当m＝﹣3时，m+2＝﹣1＜0抛物线开口向下，该抛物线有最高点．
此时抛物线解析式为y＝﹣x2，则最高点坐标为（0，0），
当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，随x的增大而增大．
17．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内．
（1）求m的值；
（2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成的三角形的面积．
【分析】（1）将点P的坐标代入抛物线的解析式，从而可以求得m的值；
（2）首先将a的值代入得到二次函数的解析式，然后将点P的横坐标代入即可求得其纵坐标，然后根
据PQ∥x轴得到点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，从而求得点Q的坐标，从而求得三角形的面积．
【解答】解：（1）∵点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，
∴a＝a（m﹣1）2，
解得：m＝2或m＝0，
∵点P在第一象限内，
∴m＝2；
（2）∵a的值为3，
∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2，
∵点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标y＝3（x﹣1）2＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∵PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，
∴3＝3（x﹣1）2，
解得：x＝2或x＝0，
∴点Q的坐标为（0，3），
∴PQ＝2，
∴S△PQO ＝ ×3×2＝3．
18．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）用配方法把该函数化为y＝a（x﹣h）2+k（其中a、h、k都是常数且a≠0）的形式，并指出函数图
象的对称轴和顶点坐标；
（2）函数图象与x轴的交点坐标．
【分析】（1）先配方，得到二次函数的顶点坐标式，即可直接写出其对称轴和顶点坐标；
（2）令y＝0，求出x的值，即可确定函数图象与x轴的交点坐标．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4，
所以对称轴为：x＝2，顶点坐标：（2，4）．
（2）y＝0，﹣x2+4x＝0，即x（x﹣4）＝0，所以x ＝0，x ＝4，
1 2
所以图象与x轴的交点坐标为：（0，0）与（4，0）．
19．已知二次函数y＝（x﹣3）2．
（1）写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值；
（2）若点A（x ，y ），B（x ，y ）位于对称轴右侧的抛物线上，且x ＜x ，试比较y 与y 的大小关系；
1 1 2 2 1 2 1 2
（3）抛物线y＝（x+7）2可以由抛物线y＝（x﹣3）2平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如
果不可以，请说明理由．【分析】（1）依据题意，根据抛物线的性质可以判断得解；
（2）依据题意，由二次函数y＝（x﹣3）2，当x＞3时，y随x的增大而增大，再结合点A（x ，y ），
1 1
B（x ，y ）位于对称轴右侧，且x ＜x ，即可判断得解；
2 2 1 2
（3）依据题意，按照“左加右减，上加下减”的规律进行判断可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝（x﹣3）2，
∴该二次函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标为（3，0），该函数有最小值为0．
（2）由题意，∵二次函数y＝（x﹣3）2，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大．
∵点A（x ，y ），B（x ，y ）位于对称轴右侧，且x ＜x ，
1 1 2 2 1 2
∴y ＜y ．
1 2
（3）由题意，按照“左加右减，上加下减”的规律进行判断，
∵x﹣3+10＝x+7，
∴抛物线y＝（x+7）2可以由抛物线y＝（x﹣3）2向左平移10个单位得到．
20．已知抛物线L ：y＝a（x﹣3）2﹣5经过点（2，﹣4）．
1
（1）求L 的函数表达式及其顶点坐标；
1
（2）若点A（m，y ）和B（n，y ）在抛物线L 上，且n﹣m＝4，y ＝y ．
1 2 1 1 2
①求A，B两点的坐标；
②将抛物线L 平移得到抛物线L ：y＝a（x﹣3+k）2﹣5．当m≤x≤n时，抛物线L 的函数最大值为
1 2 2
p，最小值为q，若p﹣q＝6，求k的值．
【分析】（1）把点（2，﹣4）代入解析式即可求得a＝1，利用顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①由抛物线的对称性得到n+m＝6，结合n﹣m＝4，即可求得m＝1，n＝5，进一步即可求得A、B
的坐标；
②分三种情况讨论，根据二次函数图象上点的坐标特征，表示出p、q，由p﹣q＝6，得到关于k的方程，
解方程即可．
【解答】解：（1）把点（2，﹣4）代入y＝a（x﹣3）2﹣5得，﹣4＝a（2﹣3）2﹣5，
解得a＝1，
∴L 的函数表达式为y＝（x﹣3）2﹣5，
1
∴顶点坐标为（3，﹣5）；
（2）①由y ＝y 可知n+m＝6，
1 2
∴n﹣m＝4，
∴m＝1，n＝5，
∴A（1，﹣1）和B（5，﹣1）；
②抛物线L ：y＝（x﹣3+k）2﹣5的对称轴为直线x＝3﹣k，顶点为（3﹣k，﹣5），
2
由①得1≤x≤5；
Ⅰ．当3﹣k≤1，即k≥2时，x＝5时，函数最大值为p＝（k+2）2﹣5；x＝1时，函数最小值为q＝（k﹣2）2﹣5，
∴p﹣q＝[（k+2）2﹣5]﹣[（k﹣2）2﹣5]＝8k＝6，
解得k＝ ＜2（舍去）；
Ⅱ.3﹣k≥5，即k≤﹣2时，x＝1时，函数最大值为 p＝（k﹣2）2﹣5；x＝5时，函数最小值为 q＝
（k+2）2﹣5，
∴p﹣q＝[（k﹣2）2﹣5]﹣[（k+2）2﹣5]＝﹣8k＝6，
解得k＝﹣ ＞﹣2（舍去）；
Ⅲ.1＜3﹣k＜5，即﹣2＜k＜2时，x＝3﹣k时，函数有最小值q＝﹣5，
若3﹣k﹣1≥5﹣（3﹣k），即﹣2＜k≤0时，x＝1时，函数由最大值p＝（k﹣2）2﹣5，
∴p﹣q＝（k﹣2）2﹣5+5＝（k﹣2）2＝6，
解得k ＝2+ （舍去），k ＝2﹣ ；
1 2
若3﹣k﹣1≤5﹣（3﹣k），即0＜k≤2时，x＝5时，函数由最大值p＝（k+2）2﹣5，
∴p﹣q＝（k+2）2﹣5+5＝（k+2）2＝6，
解得k ＝﹣2+ （舍去），k ＝﹣2﹣ （舍去）；
1 2
综上，k的值为2﹣ 或﹣2+ ．
