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第 07 讲 列分式方程解应用题
课程标准 学习目标
1. 掌握列分式方程解应用题的基本步骤，并能够熟练的用列分式方程解
①列分式方程解应用题
决相关应用题。
知识点01 列分式方程解应用题
1. 列分式方程解应用题的基本步骤：
①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的 。
②设：设出未知数。
③列：列出分式方程。
④解：解分式方程。
⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。
⑥答：写出答案。
【即学即练1】
1．小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米的普通道路，路线B包含快速通道，全
程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高40%，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速
度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．【即学即练2】
2．甲、乙两地相距180km，一辆汽车从甲地开往乙地，出发后前1小时按原计划的速度匀速行驶，1小时
后在原计划速度的基础上提速50%匀速行驶，并比原计划提前40min到达乙地，设前1小时行驶的速度
为x km/h．
（1）提速后走完剩余路程的时间为 h（用含x的式子表示）；
（2）求汽车出发后前1小时的行驶速度；
（3）到达乙地后，当汽车以y km/h的速度原路返回时，同时有一辆货车以ay km/h（0＜a＜1）的速度
从甲地开往乙地，求两车相遇时汽车比货车多行驶多少千米（用含a的式子表示）．
题型01 由实际问题抽象出分式方程
【典例1】数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上
6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为 x
人，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【变式1】某服装店购进一批甲、乙两种款型衬衫，甲种款型共用了 7800元，乙种款型共用了6400元，
甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．问甲、
乙两种款型的衬衫各购进多少件？设乙种款型的衬衫购进x件，所列方程为（ ）A． ﹣30＝ B． ＝ ﹣30
C． +30＝ D． ﹣30＝
【变式2】有一块长为57米、宽为30米的长方形空地，现在中间挖一个长方形游泳池，若游泳池四周与
空地边缘的距离相等，且游泳池宽与长的比是 1：2，求游泳池四周与空地边缘的距离是多少？设游泳
池四周与空地边缘的距离是x米，下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时
“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程 ，根据已有信息，题中用“×××”
表示的缺失的条件应补充为（ ）
A．每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成
B．每天比原计划少铺设15米，结果延迟8天完成
C．每天比原计划多铺设15米．结果延迟8天完成
D．每天比原计划少铺设15米，结果提前8天完成
【变式4】某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相
同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满699元，送两个篮球；乙商店：篮球单
价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买购数量，
还能剩 48 元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程： ① ，②
．其中x表示的意义是（ ）
A．均为篮球的数量
B．均为篮球的单价
C．方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价
D．方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量
题型02 列分式方程解应用题
【典例1】为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一
条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于 2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半
小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为 126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原
来的 ，时间将少用90min，则原来的平均速度是（ ）A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h
【变式1】某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种
书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍．请解答下列问题：
（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B
两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
【变式2】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用 30天时
间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，
要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按
通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【变式3】为落实劳动教育，实施五育并举，某校合理利用空地，开垦校园农场，培养学生的劳动能力．
农场去年春季种植蔬菜和水果共收获130kg．由于同学们劳动技能提高，今年春季蔬菜产量比去年增加
10%，水果产量比去年增加20%，蔬菜和水果的总产量比去年增加18kg．
（1）去年春季蔬菜和水果的产量各多少千克？（2）今年4月，收获劳动成果时，学校利用劳动课，安排两组同学分别采摘水果和收割蔬菜．每小时
收割蔬菜的质量是采摘水果的质量的1.2倍，两组同学同时开始劳动，结果水果采摘小组比蔬菜收割小
组提前20分钟完成任务．问水果采摘小组每小时采摘水果多少千克？
【变式4】上周末，小马约上小唐一起出发去离学校240km的A地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小
马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的 ，结果小马比小唐提前18分钟到达A地．
（1）求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米/小时）
（2）A地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往B地，小马的车行驶了2小时后发生故障，
小马原地检修用了20分钟后以原速度的80%行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1
小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？
1．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马
送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．
已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．C． D．
2．一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流
航行80km所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A．5km/h B．6km/h C．7km/h D．8km/h
3．甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知______，求乙组每小时植树多少棵？
下面是题目的部分解题过程；则横线上缺少的条件为（ ）
解：设乙组每小时植树x棵．
由题意得： ，
…
A．甲组每小时比乙组少种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成
B．甲组每小时比乙组多种植10棵，且乙组比甲组提前2小时完成
C．甲组每小时比乙组少种植10棵，且乙组比甲组提前2小时完成
D．甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成
4．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，■．”
其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，
■．”设绫布有x尺，则可得方程为 ，根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下
列可以作为补充条件的是（ ）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．每尺罗布比每尺绫布便宜120文
5．2024年6月2日沈阳和河半程马拉松比赛成功举行，各位跑友齐聚沈阳市和平区，以跑者之势再现运
动之美．小阳参与“半程马拉松”（约21km）项目，前12km以原计划平均速度vkm/h完成，之后身体
竞技状态下降，以0.75vkm/h的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划晚 15min到达目的地，则小阳前
12km的平均速度为（ ）
A．9km/h B．10km/h C．12km/h D．21km/h
6．已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（ml）满足关系：
．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少20%时，测得气体对气缸壁所产生的
压强增加15kPa．设加压前汽缸内气体的体积为x（ml），则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．7．在运动会到来之际，八年级（3）班计划学生自制30个运动会入场表演道具，现因时间紧迫，将制作道
具任务委托给商家，已知商家的制作速度是学生的 1.5倍，商家制作完这批道具比学生自制少用5小时，
则学生每小时制作道具的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航
里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 0.54元，已知燃油车的油
箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，则小松爸
爸选择的两台汽车的续航里程是（ ）
A．600km B．500km C．450km D．400km
9．如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
甲、乙两个工程队，甲队修路 400米与乙队修路
600米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修 20 嘉嘉：
米，求甲队每天修路的长度.
淇淇：
下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度
B．淇淇设的未知量是乙队每天修路的长度
C．甲队每天修路的长度是40米
D．乙队每天修路的长度是40米
10．甲、乙两位打字员承担一项打字任务，已知有如下信息：
信息一：甲单独完成这项任务所需要的时间比乙单独完成这项任务所需要的时间多4小时；
信息二：甲5小时完成这项任务的工作量与乙4小时完成这项任务的工作量相等．
根据以上信息可知，乙单独完成这项任务需要（ ）
A．10小时 B．12小时 C．14小时 D．16小时
11．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱
三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210文．如果每株椽的运
费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？
若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ．
12．现有一项工程，甲单独做需要21天完成，甲、乙合作需要12天完成，如果乙单独做需要 天完
成．
13．某电力公司有A，B两种型号的高压线智能巡检机器人，A型机器人比B型机器人每小时多巡检3km，
A型机器人巡检75km所用时间与B型机器人巡检60km所用时间相等，则A型机器人每小时巡检线
路 km．14．山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的
粮种之一．某荻麦标准化种植基地在改良前总产量为12600kg，改良后总产量不变，但种植面积减少了
25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为 kg．
15．如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位A和D，并约在出口C
会合，琳琳从A经过B摊位，最后到达出口C，华华从D摊位直接前往出口C，速度与琳琳从B到C的
速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从A到B的速度比从B到C的
速度慢10m/min，且从A到B的时间为从B到C时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）
先到达出口C．
16．为迎接建国75周年，某旅游城市—文旅商店购进当地—特色纪念品．第一次用3000元购进后很快售
完；该商店第二次购进该特色纪念品时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10
件．
（1）求第一次购进的特色纪念品每件的进价；
（2）若两次购进的特色纪念品每件售价均为75元，且全部售完．求两次的利润总和．
17．某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套
装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？
（2）若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量
比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购
进A品牌工具套装多少套？18．某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市
场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进
度预计可提前2年完成任务．
（1）原计划每年产量为多少万台？
（2）为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平
均每年产量至少还要增加多少万台？
19．《花卉装点校园，青春献礼祖国》项目学习方案：
项目情景 国庆将至，向阳中学购买花卉装点校园，向祖国母亲生日献礼．同
学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，
摆放盆栽等任务
素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元，
用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2
倍
任务一 小组成员甲设用240元购买的A种花卉的数量为x，由题意得方
程：① ；
小组成员乙设② ，由题意得方程：素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的
插花任务或完成（7﹣m）盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小
盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同
任务二 求m的值
（1）任务一中横线①处应填 ，横线②处应填 ．
（2）完成任务二．
20．下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题．
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多 20元，用2000
元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设……
等量关系：甲商品数量＝乙商品数量
解法二 设……
等量关系：甲商品进价﹣乙商品进价＝20
（1）解法一所列方程中的x表示 （填序号），解法二所列方程中的x表示 （填序
号）；
①甲种商品每件进价x元；
②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件．
（2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题．
（3）商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？
