文档内容
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模块一 数与代数基础
第 03 讲 函数与实际问题
（思维导图+3考点+10题型18考向）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 一次函数与实际问题
►题型01 方程组、不等式组与实际问题
►题型02 含参数的最值与方案问题
考点二 反比例函数与实际问题
►题型01 反比例函数与实际问题-新考法
►题型02 反比例函数与实际问题-跨学科
考点三 二次函数与实际问题
►题型01 利润问题
考向一 求利润的最大值
1）顶点处取最值
2）端点处取最值
考向二 利润最值分析
考向三 涉及关联变量的计算问题
►题型02 面积问题
考向一 求面积的最大值
1）图形面积类
2) 围墙类
考向二 加权面积最值计算
考向三 涉及关联变量的计算问题
►题型03 分段函数
考向一 区间最值的比较
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考向二 区间计算最值
►题型04 二次函数路径建模
考向一 落点高度分析
考向二 落点的距离分析
考向三 分析落点求高度范围
考向四 落点分析求参数值
考向五 结合一次函数建模
考向六 双二次函数建模
►题型05 抛物线建筑建模
考向一 距离计算
考向二 面积计算
►题型06 二次函数运动建模
考向一 竖直高度计算
考向二 水平距离计算
01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
函数是初中数学的关键内容，尤其在实际问题中的应用，一直是中考数学的重点。
以下是对此的简要分析：
一、命题趋势
1. 基础概念：中考依然重视函数的基本定义和表达方式，学生需熟练掌握。
2. 函数与方程、不等式：这些内容的内在联系是考试热点，需灵活运用函数思想解决
相关问题。
3. 开放性与灵活性：近年试题更加开放和灵活，函数与实际问题的结合更多样化。
4. 数形结合：利用函数图像解决实际问题，特别是“动点问题”，是常见考查形式。
二、常见题型
函数与实际问题 1. 销售问题：用二次函数解决利润最大化问题，建立模型求解。
2. 行程问题：通过一次或二次函数模型，解决速度、时间和距离问题。
3. 拱桥/隧道/拱门问题：涉及抛物线模型，建立坐标系，求解析式和用图像信息解题。
4. 面积最值问题：建立二次函数模型求解图形面积的最大或最小值。
三、解题策略
1. 仔细审题：理解题意，理清变量和常量及其关系。
2. 建立模型：选择合适函数模型，建立解析式。
3. 利用函数性质：掌握二次函数的图像和性质，快速解题。
4. 检验结果：确保结果符合实际意义。
四、备考建议
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1. 扎实基础：熟练掌握函数基本概念和性质，理解与方程、不等式的关系。
2. 多做练习：通过练习熟悉题型和方法，提高解题速度。
3. 注重应用：加强函数在实际中的应用训练，培养解决问题的能力。
4. 强化数形结合：提高利用函数图像解题的能力，尤其是动点问题。
总之，函数与实际问题的结合是中考数学的重要考点，考生需掌握基础，注重解题
策略和应用能力，才能取得好成绩。
02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 一次函数与实际问题
►题型01 方程组、不等式组与实际问题
1．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，
用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．
问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
2．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递
分拣．
相关信息如下：
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信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，
能使每天分拣快递的件数最多?
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高
10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过
11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两
种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 a 22
乙 b 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705
元．
(1)求a,b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不
大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销
售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的
取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
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►题型02 含参数的最值与方案问题
5．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网
红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加
工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成
本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
数量（支）
次数 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支
的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
(1)求m、n的值；
(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．
在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串
降价a（00)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的
最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润−日支出费用）
3．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号
任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的
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进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的
售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过
1
“天宫”模型数量的 ，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多
4
少？
4．（2024·河北沧州·模拟预测）某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行
器所在海拔高度y（单位：m）与上升时间x（单位：min）满足一次函数关系，部分数值如表：
上升时间x(单位：min 1
… 5 …
） 5
2
海拔高度y（单位：m） … 10 …
0
乙飞行器从海拔15m的高度，以0.5m/min的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态．
(1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度y（单位：m）与上升时间x(单位：min）之间的函数关
系式；
(2)①求甲飞行器的初始高度；
②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明
理由；
(3)若甲飞行器因为电量不足，上升40min后，减速为0.3m/min继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，
设两个飞行器的高度差为h（单位：m）．请直接写出：当40≤x≤80，h最多为多少米？
5．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1是嘉嘉做“探究拉力F与斜面高度h的关系”的实验装置，一个高
度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为0.1m，两个相同弹簧测力计分别拉着质量不同的木块，图2是
电脑软件显示的拉力F与斜面高度h的关系图象．
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(1)分别求AC和BC段的函数关系式；
(2)当两个弹簧测力计的拉力相差0.4N时，求斜面h的高度．
6．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号手机，若购进2部甲
型号手机和1部乙型号手机，共需要资金8400元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金
13800元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元？
(2)该店计划购进甲乙两种型号的手机销售，预计用不多于5.52万元且不少于5.28万元的资金购进这两种
手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)若甲型号手机的售价为4500元，乙型号手机的售价为4200元，为了促销，无论采取哪种进货方案，公
司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客相同现金a元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获
利相同，求a的值．
考点二 反比例函数与实际问题
►题型01 反比例函数与实际问题-新考法
1．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一
行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b
（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
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素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视
1
力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n= (0.5≤θ≤10)．
θ
探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b 的I号“E”测得的视力与在B处用边长为b 的Ⅱ号“E”测得
1 2
的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
2．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
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__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
3．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：
所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，
在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化
规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，
所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
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(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
利用反比例函数与一次函数或二次函数相结合解决实际问题是近年中考的热点题型.
两种函数图像的交点的实际意义往往是分析问题的切点，要注意自变量的取值范围，特别要考虑实际情况.
►题型02 反比例函数与实际问题-跨学科
4．（2022·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），
小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点
O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的
质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；
若00)的图象的一
x
部分．
(1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确取值范围）；
(2)若“拥挤指数”y≥36，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每
天至少需要执勤的时间．
6．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（CO）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾
气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，
气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻R(Ω)的阻值随着
尾气中一氧化碳的含量β(g/km)变化的关系图象如图2所示，R (Ω)为定值电阻，电源电压恒定不变．
0
(1)请根据图2，判断气敏电阻R(Ω)与尾气中一氧化碳的含量之间成 函数，并求出它的函数解析式；
(2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于1.0g/km．若某辆小轿车的尾
气检测阻值为0.5Ω，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由．
7．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴
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材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1
为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线EG，FH（反比例函数图象的一部
分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形ABDC与四边形GMNH均为矩形，AB=2m，BE=2m，
AC=20m，GM=10m，MN=4m，以AC的中点O为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图2，求EG所在图象的函数表达式．
(2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架EG，并加装了始终垂直于EG的伸缩机械臂PQ
用来雕刻EG所在曲面的花纹，请问点P在EG上滑动过程中，PQ最长为多少米？
考点三 二次函数与实际问题
►题型01 利润问题
考向一 求利润的最大值
1）顶点处取最值
1．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价
不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
1
销售单价x/元 … 12 14 16 20 …
8
4
销售量y/盒 … 56 52 48 40 …
4
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
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(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日
销售获得的最大利润为392元，求m的值．
2．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，
销售额y （万元）与销售量x（吨）的函数解析式为y =5x；成本y （万元）与销售量x（吨）的函数图
1 1 2
(1 7)
象是如图所示的抛物线的一部分，其中 , 是其顶点．
2 4
(1)求出成本y 关于销售量x的函数解析式；
2
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额−成本）
2）端点处取最值
3．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单
位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多
少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
4．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价
为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天
售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米
的数量y(kg)与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
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(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
考向二 利润最值分析
5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价
为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y
件，售价为x元/件.
(1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?
(2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式；
(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.
6．（2024·内蒙古包头·一模）某生态农业有限公司帮助和指导当地车厘子种植基地种植和销售车厘子，已
知该车厘子的成本是12元/千克，规定销售价格不高于成本的2倍．经市场调查发现，该车厘子的销售量y
（千克）与销售价格x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
(1)直接写出y与x之间的函数解析式；
(2)求这一天销售车厘子获得的利润W的最大值；
(3)该公司响应精准扶贫的号召决定每销售一千克提取a元用于捐资扶贫，根据市场情况计划销售价格不低
于15元且不高于19元．若公司要求每天的销售利润不低于2520元，求出a的值．
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考向三 涉及关联变量的计算问题
7．（2024·湖北十堰·一模）超市销售一种水果，进价为20元/件，经过市场调查发现，该水果的日销售量
y（件）与当天的销售单价x（元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表：
销售单件（元/件） 20 30 40
日销售量（件） 400 300 200
(1)求y与x的关系式；
(2)求该水果每天获得的利润w（元）的最大值；
(3)春节前夕，批发商调整进货价格，该水果的进价变为m元，该超市每天的销量与当天的销售单价的关系
不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过41元/件，在实际销
售过程中，发现该水果每天获得的利润随x的增大而增大，求m的最小值．
8．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知A型号消毒水每瓶进价是20元，B型号消毒水每瓶进价是
30元．某经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售（销量都是整数），当A型号消毒水每瓶
定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶；B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的
A，B两种型号消毒水都卖完．
(1)设A型号消毒水每瓶定价为x元（x为大于30的整数），用含x的代数式填空：
①A型号消毒水的销量为______瓶；
②B型号消毒水的总进价为______元；
③B型号消毒水的销量为______瓶．
(2)求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值；
(3)若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出A型号消毒水每瓶有几种定价．
9．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）某工厂生产A，B两种型号的环保产品，A产品每件利润200元，B
产品每件利润500元，该工厂按计划每天生产两种产品共50件，其中A产品的总利润比B产品少4000元．
(1)求该厂每天生产A产品和B产品各多少件；
(2)据市场调查，B产品的需求量较大，该厂决定在日总产量不变的前提下增加B产品的生产，但B产品相
比原计划每多生产一件，每件利润便降低10元．设该厂实际生产B产品的数量比原计划多x件，每天生产
A，B产品获得的总利润为w．
①当x为何值时，每天生产A，B产品获得的总利润恰好为16240元？
②若实际生产B产品的数量不少于A产品数量的1.2倍，求总利润w的最大值．
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►题型02 面积问题
考向一 求面积的最大值
1）图形面积类
10．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，
AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，
BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，
BE= y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
11．（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，
如图所示．经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB=3米，AF=BC=1米，
∠A=∠B=90°，∠C=∠F=135°．MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多
少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？
2) 围墙类
12．（2023·山东·中考真题）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙
足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已
定购篱笆120米．
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(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25
元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
13．（2024·浙江·一模）如图，某市计划利用现有的一段“L”字形的古城墙粗线ABC表示古城墙，已知
AB⊥BC，AB=60米，BC=20米和总长为280米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆DBEF (细线
表示仿古城墙，展览馆中间GH也是用仿古城墙隔开)．
(1)如图1，若点D可能在线段AB上，所围成的展览馆DBEF的面积为4800平方米，求DF的长；
(2)如图2，当点D在线段BA延长线上，DF为多少时，展览馆DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
考向二 加权面积最值计算
14．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，为美化小区环境，某小区计划在一块长为36米，宽为24米的长
方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
(1)花圃的面积为______（用含a的式子表示）；
2
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；
3
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(3)已知某园林公司修建通道和花圃的造价分别为每平方米80元和每平方米100元，如果小区决定由该公
3
司承建此项目，并要求修理的通道的宽度不少于2米且不超过6米，且通道面积不低于花圃面积的 ，那
5
么通道宽为多少时，修建的通道和花园的总造价最高，最高总造价为多少元？
考向三 涉及关联变量的计算问题
15．（2024·湖北武汉·三模）问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形ABCD花坛内种植
红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形IJKL内种植蓝色花
卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．AB的长为8m，AE=LI．红、蓝、黄三种花卉的单价分别为
40元/m2，100元/m2，60元/m2．
建立模型：
设AE的长为xm，购买花卉的总费用为W元．
（1）用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积；
（2）求W与x之间的函数表达式；
方案决策：
（3）当购买花卉的总费用最少时，求EI的长．
16．（2023·湖北武汉·模拟预测）学校计划建造一块边长为40m的正方形花坛ABCD，分别取四边的中点
E，F，G，H构成四边形EFGH，四边形EFGH部分种植甲种花，在正方形ABCD四个角落构造4个全
等的矩形区域种植乙种花，剩余部分种草坪．设小矩形的AM边长为xm(AM≤AN)，面积为y m2，已知
种植甲种花50元/m2，乙种花80元/m2，草坪10元/m2，种植总费用为w元．
(1)直接写出y关于x的函数关系式以及w与y的函数解析式；
(2)当种植总费用为74880元时，求x的值；
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1
(3)为了花坛的美观，设计小矩形的宽AM不小于长AN的 ，求总费用的最小值．
3
17．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，为美化小区环境，某小区计划在一块长为36米，宽为24米的长
方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
(1)花圃的面积为______（用含a的式子表示）；
2
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；
3
(3)已知某园林公司修建通道和花圃的造价分别为每平方米80元和每平方米100元，如果小区决定由该公
3
司承建此项目，并要求修理的通道的宽度不少于2米且不超过6米，且通道面积不低于花圃面积的 ，那
5
么通道宽为多少时，修建的通道和花园的总造价最高，最高总造价为多少元？
►题型03 分段函数
考向一 区间最值的比较
18．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，
该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是
z=¿，其中x是正整数．当x=16时，z=14；当x=20时，z=13．
(1)求m，n的值；
(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y=5x+20．
①当120)．为此，公司又紧急从外地调运了5kg此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第8
周的销售价格比第7周仅上涨0.8n%．若在这一举措下，此种蔬菜在第8周的总销售额与第7周刚好持平，
请通过计算估算出n的整数值．
考向二 区间计算最值
21．（2019·湖北·中考真题）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的
销售价格为y（元/kg），销售量为m(kg)．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当
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1⩽x⩽30时，y=40；当31⩽x⩽50时，y与x满足一次函数关系，且当x=36时，y=37；x=44时，
y=33．②m与x的关系为m=5x+50．
（1）当31⩽x⩽50时，y与x的关系式为 ；
（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基
础上涨a元/kg，求a的最小值．
22．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为
10元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）
销售量m（千克） 销售单价n（元/千克）
1 300
m=40−x 当1≤x≤15时，n=20+ x 当16≤x≤30时，n=10+
2 x
设第x天的利润w元．
(1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克；
(2)这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润=（售价−成本）×销售量】
(3)在实际销售的前15天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给
1
a(a≥2)元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，
2
试求a的取值范围．
►题型04 二次函数路径建模
考向一 落点高度分析
23．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是
某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同
学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水
火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的水
平距离x(m)的几组关系数据如下：
水平距离x(m) 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度y(m) 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
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(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度．
24．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落
( 3)
到点A 3, 处．小球在空中所经过的路线是抛物线y=−x2+bx的一部分．
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线最高点的坐标；
(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
考向二 落点的距离分析
25．（2023·河南·中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛
进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P
在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=−0.4x+2.8；
若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x−1) 2+3.2．
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(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断
应选择哪种击球方式．
26．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的
始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级
沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直
1
于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=− x+b．其中，当火
2
箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
考向三 分析落点求高度范围
27．（2023·湖北武汉·中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对
于出发点的飞行水平距离x（单位：m）以、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据
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如下表．
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
1
飞行水平距离x/m 0 20 30 40 …
0
2
飞行高度y/m 0 40 54 64 …
2
探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和
y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据
上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN,AM=125m,MN=5m．若飞机落到MN内（不包括端点M,N），求
发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
28．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高
为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线
路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA
的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，
求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此
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时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所
示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=−x+4，求光线与抛物
线水流之间的最小垂直距离．
考向四 落点分析求参数值
29．（2023·河北·中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道
题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A(6,1)处将沙包（看成点）抛出，并运
动路线为抛物线C :y=a(x−3) 2+2的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运
1
1 n
动路线为抛物线C :y=− x2+ x+c+1的一部分．
2 8 8
(1)写出C 的最高点坐标，并求a，c的值；
1
(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的
整数值．
30．（2024·贵州黔东南·一模）小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．
在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点A(8,2)处将球传出，其运动路线为抛物线
C₁∶y=a(x−4)²+4的一部分，小亮在B处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线
1 n 5
C ∶y=− x2+ x+ 的一部分．
2 10 10 2
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(1)求抛物线C 的函数表达式；
1
(2)设抛物线C 的顶点为点M，在x轴上找一点P，求使|PA−PM|的值最大的点P的坐标；
1
(3)若小明在x轴上方2m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的n的
整数值．
考向五 结合一次函数建模
31．（2024·河北邯郸·模拟预测）将小球（看作一点）以速度v (m/s)竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐
1
减少直至0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度y(m)与时间t(s)的函数解析式为
y=at2+v t(a≠0)，若上升的初始速度v =8m/s，且当t=1时，小球达到最大高度．
1 1
(1)求小球上升的高度y与时间t的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；
(2)向上抛出小球时再让小球在水平方向上匀速运动，且速度为v (m/s)，发现小球运动的路线为一抛物线，
2
其相对于抛出点的高度y(m)与时间t(s)的函数关系式与（1）中的解析式相同．在如图所示的平面直角坐标
系中，y轴表示小球相对于抛出点的高度，x轴表示小球距抛出点的水平距离．
1
①若v =4m/s，当t= 时，小球的坐标为______，小球上升的最高点坐标为______；
2 2
②在①的条件下求小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距离x之间的函数关系式；
③在小球的正前方的墙上有一高1m的小窗户PQ，其上沿P的坐标为(4,3)，若小球恰好能从窗户中穿过
（不包括恰好击中点P,Q，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度v 的取值范围．
2
32．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h=−5t2+v t，其
0
中t(s)是物体运动的时间，v (m/s)是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直
0
向上发射小球．
(1)小球被发射后_________s时离地面的高度最大（用含v 的式子表示）．
0
(2)若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的
时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
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考向六 双二次函数建模
33．（2025·陕西西安·一模）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞L ,L ,L 均呈抛物线型且抛物线形状
1 2 3
相同，如图所示，以AB中点O 为坐标原点，AB所在直线为x 轴 ，OC所在直线为y 轴建立平面直角坐
标系．已知：桥洞L 的最大高度OC为8米，跨度AB=32米，桥洞L ,L 关于y 轴对称，且最大高度均为
1 2 3
4米．
(1)求桥洞L 所在抛物线的函数表达式；
1
(2)如图所示，现需要在桥洞L ,L 上安装两盏靠近y 轴的照明灯Q，P，且照明灯的高度都是2米，请计算
2 3
照明灯的水平距离PQ的长度．
34．（2024·浙江宁波·模拟预测）北京环球影城主题乐园是世界第五个环球影城，乐园中既有功夫熊猫、
小黄人乐园等小朋友喜欢的景区，又有过山车等深受年轻游客喜爱的游乐设施．过山车虽然惊险，但是安
全保障措施非常到位．如图所示，F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中
OE=15米，OF=22.5米．（轨道厚度忽略不计）
(1)求点F，E，G所在抛物线的函数解析式．
(2)在轨道距离地面10米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运行了5米至K处，
又进入下坡段K→H（K接口处轨道忽略不计）．已知点K，H，Q所在抛物线的形状与点P，E，G
所在抛物线的形状完全相同．在过山车从位置G到Q的过程中，当过山车距地面6.4米时，它离出发点的水
平距离的最大值是多少？
(3)现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的竖直和水平支架
AM，CM，BN，DN，要求OA=AB．已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价
最低？最低造价为多少元？
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►题型05 抛物线建筑建模
考向一 距离计算
35．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们
可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这
样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中
AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点
为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线AED的顶点E(0,4)，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若
FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
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36．（2024·浙江金华·二模）
草莓种植大棚的设计
草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上
面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利
生活背景 于采光．
（1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线
的顶点，大棚高PE=4m，宽ON=12m．现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，
过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．
建立模型
（2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中
AB=BE=EC=CD．求门高AB的值．
（3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此
时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长．
解决问题
考向二 面积计算
37．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的
跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，
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现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m其中，点N'在x轴上，
P'E'⊥O'N'，O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架
ABCD的面积记为S ，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为
1
S ，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上，现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，
2
S =12√2m2 ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
2
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S 并比较S ，S 的大小．
1 1 2
38．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分ACB连接，为确保安全，
在抛物线一部分ACB内修建了一个菱形支架ODCE，抛物线的最高点C到AB的距离OC=4米，
∠ODC=60°，点D，E在抛物线一部分ACB上，以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立
平面直角坐标系xOy，确定一个单位长度为1米．
(1)求此抛物线对应的函数表达式．
(2)如图2，现在将菱形ODCE做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形MNPQ广告牌，设边EP长度为
m米，试求内接矩形MNPQ的面积S．（用含m的式子表示）；
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(3)若已知矩形MNPQ广告牌的价格为80元/米2，广告牌其余部分的价格为160元/米2，试求完成菱形广告
牌所需的最低费用．
►题型06 二次函数运动建模
考向一 竖直高度计算
39．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数
1
y=ax2+bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y= x刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高
4
度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
7 15 15 7
y 0 6 8 n …
2 2 2 2
(1)①m=______，n=______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系y=−5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
40．（2023·湖北武汉·模拟预测）从地面以初速度vm/s竖直向上抛出
一小球，小球的高度h（单位：m）和小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=vt−5t2，已知当
t=2时，h=40．
(1)求小球的初速度v；
(2)①求小球运动的最大高度h；
1
②当t=4时，求小球运动的路径长；
(3)假设小球为弹性小球，经过时间t 达到最大高度h ：小球落地后立刻以速度v m/s竖直向上弹起，经过
1 1 2
时间t 达到最大高度h ，若t =2t ，直接写出h 的值．
2 2 1 2 2
考向二 水平距离计算
41．（2024·湖北襄阳·一模）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全
车距是预防交通事故的关键．某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速每秒减少a（m/s），该
型号汽车刹车时速度为v （m ⁄ s），刹车后速度v（m ⁄ s）、行驶的距离为s（m）与时间t（s）之间的
0
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关系如下表：
t … 1 1.5 2 2.5 …
v … 15 12.5 10 7.5 …
s … 17.5 24.375 30 34.375 …
(1)求v与t的函数关系式；
(2)s与t满足函数关系式s=pt2+qt，求该汽车刹车后行驶的最大距离；
(3)普通司机在遇到紧急情况时，从发现情况到刹车的反应时间是b（s），0.5≤b≤0.8，一个普通司机驾
驶该型汽车以v （m/s）的速度行驶，突然发现导航提示前面60m处路面变窄，需要将车速降低到5m/s
0
以下安全通过，司机紧急刹车，能否在到达窄路时将车速降低到5m/s以下？请通过计算说明．
42．（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度OH
为1.5m．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把
绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y 是由外边
2
缘抛物线y 向左平移得到，外边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．
1 1
(1)求外边缘抛物线y 的函数表达式；
1
(2)求内边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模
型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，
然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.
利用二次函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品
的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函
数解析式，从而解决问题.
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利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建
筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系
来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题.
利用二次函数解决面积最值的方法：求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答,也就是
把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式.
【注意】在求解几何图形的最大面积时,应注意自变量的取值范围,一定要注意题目中隐含的每一个几何量
的取值范围,一般有以下几种情况: 边长,周长,面积大于0,三角形中任意两边之和大于第三边.
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要知晓动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合
直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条
件进行计算．
利用二次函数解决运动型几何问题的方法：对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运
动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动
过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析
找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决.当图形(或某一事物)在运动的过程中某一量取到最
大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置,这是普遍规律.
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）有一种玩具叫“不倒翁”．有的“不倒翁”造型分为上下两个部分，如图，
其下半部分的纵截面边缘近似形成一条抛物线的一部分．将“不倒翁”立在矩形桌面上，如图（2），最
低点A距离矩形桌面左边缘10cm，此时，粘在玩具上的标签点B距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平
距离均为5cm．已知“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为20cm．
(1)设“不倒翁”玩具下半部纵截面边缘上的点与桌面左边缘的水平距离为x，与桌面的铅直距离为y，建
立的平面直角坐标系，使A点的坐标为(10,0)，直接在图中画出平面直角坐标系，并求出y与x 的函数关
系式；
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(2)通过计算说明“不倒翁”左右摇动时，是否有一部分会超出桌子左边缘？
(3)如图，现要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差
为4π，请直接写出最多可画出几条装饰带（不计装饰带的宽度）．
2．（2025·陕西西安·二模）慕梓睿学习了二次函数后，在学校的空地上设计了一个花园，它是由两条抛物
线L和L'围成．如图，这两个抛物线都过空地上O、A两点，且它们关于直线OA对称，点D、E 是抛物线
L上关于对称轴对称的两点（点D在点E左侧），DE∥OA，再作点D 、E关于直线AO的对称点D'、E'，
顺次连接D、E、E'、D'，得到矩形DEE'D'．以直线OA为x轴，以过点O且与OA垂直的直线为y 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系．已知OA=8米，抛物线L的顶点B到OA的距离为6米．
(1)求抛物线L 的表达式；
(2)若沿矩形DEE'D'的边围一圈篱笆，将花园内部分为不同区域种植花卉，慕梓睿通过研究发现，当点D
8
的横坐标为 时，篱笆总长度最小，求篱笆总长度的最小值．
3
3．（2025·陕西·模拟预测）某滑雪选手训练越野滑雪高级赛道，从助滑区AB段的起滑点A出发，在助滑
道AB上获得高速度，至最低点B，依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端C点继续斜向上飞出，
身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆坡CD上点P处，建立如图所示平面直角坐标系．若该选手某
次训练在助滑区ABC段所滑过轨迹呈现的抛物线L 与从C点飞出的轨迹所呈现的抛物线L 关于原点O中心
1 2
对称．
经测量：跳台截面示意图为△CMD，且CM⊥MD，点B距离CM的水平距离为30m，与跳台区末端C的
竖直高度差为22.5m．
(1)求在助滑区ABC段上所滑轨迹呈现的抛物线L 的函数表达式；
1
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(2)已知着陆坡CD上有一距CM水平距离为75m的基准点K，若该选手此次训练着陆点P与跳台区末端C的
竖直高度差为40m，求点P与基准点K的水平距离．
4．（2025·河南安阳·模拟预测）公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道的修建在缩短运行距离、提高
运输能力、减少事故等方面起到重要的作用．某隧道顶部横截面可视为抛物线，如图1．隧道底部宽AB为
10m，高OC为5m．为了避免司机在隧道内行车疲劳，交通技术部门拟在隧道顶部安装上下长度为20cm
的警示灯带．普通货车的高度大约为2.5m（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于
50cm．
(1)在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求抛物线的解析式．
(2)在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带悬挂点的横坐标的取值范围．
5．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进A，B两种型号的电脑，已知每台电脑的进价B型比A型
多500元，用16万元购进A型电脑和用18万购进B型电脑的数量相同．
(1)A，B两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新，A型号电脑升级为A 型号，该商城计划一次性购进A 、B两种型号电脑共100台，B
1 1
型号电脑的每台售价5200元．经市场调研发现，销售A 型号电脑所获利润P(万元)与A 销售量m台(
1 1
1 29
0≤m≤80)，如图所示，AB为线段，BC为抛物线一部分P= m2− m+c(40
