文档内容
第 03 讲 二次函数y=a(x−h) 2 +k的图象与性质
课程标准 学习目标
2
y=a(x−h)
①二次函数 的图象与性质
y=a(x−h) 2 y=ax2 +k y=a(x−h) 2 +k
y=ax2 +k 1. 掌握 、 、
②二次函数 的图象与性质
的函数与性质 ，并能够利用三种函数的图象与性质进行
2
y=a(x−h) +k
③二次函数 的图象与 解题。
性质
2
知识点01
y=a(x−h) (a≠0)的图象与性质
2
y=a(x−h)
1. 的图象与性质：
由函数的平移可知：
①若
h＞0
，可将
y=ax2
向 平移 个单位得到函数
y=a(x−h)
2
。
②若
h＜0
，可将
y=ax2
向 平移 个单位得到函数
y=a(x−h)
2
。
y=ax2
y=a(x−h)
2
由 的图象与性质可得到函数 的图象与性质如下：2
y=a(x+h) (a≠0) a＞0 a＜0
h＜0 h＞0 h＜0 h＞0
（向左平移） （向右平移） （向左平移） （向右平移）
大致图象
开口方向
a的绝对值越大，开口越
开口大小
a的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴
离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
对称轴右边y随x的增大而
增减性 对称轴右边y随x的增大而 。 。
对称轴左边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而
。
最值 函数轴最 值 函数轴最 值
这个值是 。 这个值是 。
【即学即练1】
1．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＞﹣4时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）
【即学即练2】2．在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+1与y＝﹣ （x﹣1）2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02
y=ax2 +k(a≠0)的图象与性质
y=ax2 +k(a≠0)
1. 的图象与性质：
由函数的平移可知：
①若
k＞0
，可将
y=ax2
向 平移 个单位得到函数
y=ax2 +k
。
②若
k＞0
，可将
y=ax2
向 平移 个单位得到函数
y=ax2 +k
。
y=ax2 y=ax2 +k
由 的图象与性质可得到函数 的图象与性质如下：
y=ax2 +k(a≠0) a＞0 a＜0
k＜0 k＞0 k＜0 k＞0
（向下平移） （向上平移） （向下平移） （向上平移）
大致图象
开口方向
开口大小 a的绝对值越大，开口越
a的绝对值越小，开口越
顶点坐标对称轴
离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
对称轴右边y随x的增大而
。 对称轴右边y随x的增大而 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 对称轴左边y随x的增大而 。
。
函数轴最 值 函数轴最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
【即学即练1】
3．对于二次函数y＝﹣2x2+3的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（0，3）
D．x＞0时，y随x的增大而减小
【即学即练2】
4．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2
知识点03
y=a(x−h) +k
的图象与性质
2
y=a(x−h) +k
1. 的图象与性质：
y=ax2
由函数的平移可知，可将 先向 平移 个单位，再向 平移 个单
y=a(x−h)
2
+k
y=ax2
y=a(x−h)
2
+k
位得到函数 。由 的图象与性质可得到函数 的图象与性质如下：2
y=a(x−h) +k a＞0 a＜0
开口方向
开口大小 a的绝对值越大，开口越
a的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴
离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
对称轴右边y随x的增大而
增减性 对称轴右边y随x的增大而 。 。
对称轴左边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而
。
最值 函数轴最 值 函数轴最 值
这个值是 。 这个值是 。
【即学即练1】
5．下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【即学即练2】
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
题型01 二次函数的基本性质
【典例1】对于抛物线y＝﹣ +3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）
B．开口向上，顶点坐标（5，3）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）
D．开口向下，顶点坐标（5，3）
【变式1】对于二次函数y＝（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大
【变式2】二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+6，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝3
C．顶点坐标为（﹣3，6）
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
【变式3】对于二次函数y＝﹣2（x﹣3）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴是直线x＝﹣3
C．图象的顶点是（3，﹣1）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【变式4】
下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【变式5】
对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1
B．顶点坐标是（1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．当x＝1时，函数y的最小值为2
题型02 二次函数的图象问题
【典例1】二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0
【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．【变式3】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】二次函数y＝a（x﹣2）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．题型03 二次函数图象上点的坐标特征
【典例1】点A（m﹣1，y ），B（m，y ）都在抛物线y＝（x﹣1）2+n上．若y ＜y ，则m的取值范围为
1 2 1 2
（ ）
A．m＞2 B． C．m＜1 D．
【变式1】若A（﹣1，y ），B（1，y ），C（4，y ）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 1
【变式2】已知二次函数y＝（x﹣1）2+2的自变量x ，x ，x 对应的函数值分别为y ，y ，y ．当﹣1＜x
1 2 3 1 2 3 1
＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，y ，y ，y 三者之间的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．不能确定
1 2 3 2 1 3 3 1 2
【变式3】若A（0，y ），B（2，y ），C（3，y ）为二次函数y＝（x﹣2）2+m图象上的三点，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系为（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 3 2 3 1 2 2 1 3 2 3 1
【变式4】抛物线y＝ （x﹣1）2+c经过（﹣2，y ），（0，y ），（ ，y ）三点，则y ，y ，y 的大小
1 2 3 1 2 3
关系正确的是（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
题型04 二次函数的平移
【典例1】将抛物线y＝2（x+1）2﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线
的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2 B．y＝2（x+3）2
C．y＝2（x﹣1）2﹣2 D．y＝2（x+3）2﹣2
【变式1】将抛物线y＝（x﹣2）2+1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的
表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣4）2+2 D．y＝x2+2
【变式2】将抛物线y＝（x﹣1）2+4先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物
线的关系式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣3）2+9 D．y＝（x﹣3）2+7
【变式 3】抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣1可由抛物线 y＝﹣2（x+2）2+3平移得到，那么平移的步骤是
（ ）
A．右移3个单位长度，再下移4个单位长度
B．右移3个单位长度，再上移4个单位长度C．左移3个单位长度，再下移4个单位长度
D．左移3个单位长度，再上移4个单位长度
【变式 4】抛物线 y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线 y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是
（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
1．抛物线y＝（x+1）2﹣4的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
2．对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）A．对称轴是直线x＝5
B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标（5，3）
D．当x＞5时，y随x的增大而增大
3．对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当x＝2时，y有最大值﹣1
C．若点A（3，y ），B（1，y ）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y ＞y
1 2 1 2
D．经过第一、二、四象限
4．二次函数y＝a（x+h）2﹣k的图象如图所示，则一次函数y＝kx+h的图象一定不经过（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
5．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+5（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函
数值y的最大值为﹣4，则h的值为（ ）
A．﹣2或4 B．0或6 C．1或3 D．﹣2或6
6．二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（ ）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
7．同一坐标系中，抛物线y＝（x﹣a）2与直线y＝ax+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．将抛物线y＝2（x+1）2﹣3向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝2（x+4）2﹣4 B．y＝2（x+4）2﹣2
C．y＝2（x﹣1）2﹣2 D．y＝2（x﹣1）2﹣4
9．若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m的图象经过A（﹣3，y ），B（1，y ），C（4，y ）三点，则y ，y ，y
1 2 3 1 2 3
的大小关系正确的是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 110．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值
只有一个小于0，则m的值可能是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
11．已知二次函数y＝（x﹣3）2+m，当x 时，y随x的增大而减小．
12．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 ．
13．将y＝2x2+1的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，则最终所得图象的函数表达式为
．
14．若点A（0，y ），B（ ，y ），C（3，y ）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y ，y ，y 的大小关系为
1 2 3 1 2 3
（用“＞”连接）．
15．已知A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2040上的两点，则正数n＝ ．
16．已知函数 是关于x的二次函数．
（1）求满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何？
17．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内．
（1）求m的值；
（2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成
的三角形的面积．18．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）用配方法把该函数化为y＝a（x﹣h）2+k（其中a、h、k都是常数且a≠0）的形式，并指出函数图
象的对称轴和顶点坐标；
（2）函数图象与x轴的交点坐标．
19．已知二次函数y＝（x﹣3）2．
（1）写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值；
（2）若点A（x ，y ），B（x ，y ）位于对称轴右侧的抛物线上，且x ＜x ，试比较y 与y 的大小关系；
1 1 2 2 1 2 1 2
（3）抛物线y＝（x+7）2可以由抛物线y＝（x﹣3）2平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如
果不可以，请说明理由．
20．已知抛物线L ：y＝a（x﹣3）2﹣5经过点（2，﹣4）．
1
（1）求L 的函数表达式及其顶点坐标；
1
（2）若点A（m，y ）和B（n，y ）在抛物线L 上，且n﹣m＝4，y ＝y ．
1 2 1 1 2
①求A，B两点的坐标；
②将抛物线L 平移得到抛物线L ：y＝a（x﹣3+k）2﹣5．当m≤x≤n时，抛物线L 的函数最大值为
1 2 2
p，最小值为q，若p﹣q＝6，求k的值．
